MỘT số vấn đề về TOÁN tử TUYẾN TÍNH bị CHẶN

28 11 0
  • Loading ...
1/28 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 13/04/2018, 15:29

LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến quý Thầy Cô Khoa khoa học Tự nhiên nói chung Bộ mơn Gi ải tích nói riêng giúp đỡ em q trình học tập trường Đ ặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến giảng viên môn - Thạc sĩ Nguyễn Tiến Đà tạo hội điều kiện tốt để em đ ược làm t ập này, cảm ơn thầy giảng dạy bảo tận tình truy ền đ ạt nh ững kiến thức quý báu cho em suốt thời gian qua Cảm ơn tập thể lớp K17B Đại học Sư phạm Tốn tận tình giúp đỡ, tạo điều kiện cho tơi hồn thành đề tài này, c ảm ơn b ạn lớp giúp đỡ tơi q trình học tập hồn thành ti ểu luận Vì kiến thức em hạn chế không tránh kh ỏi thiếu sót chỗ chưa chuẩn xác, kính mong nhận đ ược ý kiến đóng góp quý báu quý Thầy Cô anh ch ị, b ạn học để em hoàn thiện tiểu luận Em xin chân thành cảm ơn! Thanh Hóa, ngày tháng năm Sinh viên Lê Thị Bích Hường LỜI MỞ ĐẦU 1.Sự cần thiết đề tài Trong chương trình học mơn Giải tích hàm đặc biệt Lý thuyết tốn tử sinh viên tìm hiểu tính chất tốn tử tuyến tính bị chặn khơng gian Banach, m ột nh ững vấn đề Giải tích Tương tự khơng gian Banach khơng gian Hinbert tốn tử tuyến tính bị chặn đ ược nghiên cứu với tính chất tương tự Chẳng hạn nh tính ch ất tốn tử tuyến tính liên hợp, tốn tử compac, phổ tốn tử, hay tốn tử tuyến tính bị chặn theo định lý đồ thị đóng lý thuyết khơng gian Banach tốn tử có đồ thị đóng định nghĩa tồn khơng gian Hinbert Để biết tốn tử tuyến tính bị chặn khơng gian có tính chất gì, để tìm hiểu, nghiên cứu, chứng minh rõ tính chất em xin lựa chọn đề tài nghiên cứu: “ Một số vấn đề toán tử tuyến tính bị chặn” Ý nghĩa khoa học ý ghĩa thực tiễn Ý nghĩa khoa học: Nghiên cứu tính chất tốn tử tuyến tính bị chặn không gian Banach, không gian Hinbert v ới tập áp dụng Ý nghĩa thực tiễn: Cung cấp tài liệu cho sinh viên ngành Toán, đặc biệt cho sinh viên ngành Sư phạm Tốn Mục đích nghiên cứu Chứng minh rõ tính chất tốn tử ến tính bị chặn hai khơng gian Minh họa qua tập cụ th ể Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu chứng minh tính chất tốn tử tuyến tính, xây dựng hệ thống tập áp dụng Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu tự luận: Đọc nghiên cứu tài liệu, giáo trình có liên quan đến tốn tử bị chặn phân hóa, hệ th ống hóa kiến thức Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên cứu tham khảo tài liệu, giáo trình từ rút kinh nghiệm để áp d ụng vào vi ệc nghiên cứu Phương pháp lấy ý kiến giảng viên hướng dẫn: Lấy ý kiến c giảng viên trực tiếp hướng dẫn, giảng viên khác để hoàn thiện v ề mặt nội dung hình thức khóa luận Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng: Các tính chất tốn tử tuyến tính Phạm vi: Tốn tử tuyến tính khơng gian Banach Hinbert NỘI DUNG Một số vấn đề tốn tử tuyến tính bị chặnMột số khái niệm Định nghĩa 1.1: Cho X Y hai khơng gian tuyến tính trường P ( P  � P  �) Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y gọi ánh xạ tuyến tính tốn tử tuyến tính A thỏa mãn: A( x   y )   Ax   Ay, x �X , y �Y ,  ,  �P Khi Y = P tốn tử tuyến tính A gọi phiếm hàm tuyến tính Nhận xét: a) Đối với tốn tử tuyến tính, khái niệm liên tục bị chặn tương đương b) Từ công thức suy ra: sup x �0 Ax �� x Ví dụ 1: - Toán tử vi phân T : X � X , X khơng gian vecto gồm tất đa thức [a, b], xác định Tx(t) = x’(t) - Tốn tử tích phân T : C  a, b  � C  a, b  xác định t Tx (t )  � x ( )d , a - Toán tử nhân t�C[a, b] T : C  a, b  � C  a, b  xác định Tx(t) = tx(t) Chú ý viết Tx thay cho T(x), từ sử dụng ký hiệu sau D(T) miền xác định T R(T) miền giá trị T N(T) không gian khơng T Định nghĩa 1.2: Chuẩn tốn tử tuyến tính A định nghĩa sau: A  sup x �0 Ax x Định nghĩa 1.3: Kí hiệu: Cho X Y hai không gian định chuẩn Ta gọi L( X , Y ) không gian tốn tử tuyến tính liên tục (bị chặn) từ X vào Y trang bị với chuẩn: T L ( X ,Y )  sup Tx x�X x� Thông thường, ta viết L( X ) thay cho L( X , Y ) Định lý 1.4: (Tốn tử ngược) Cho X, Y khơng gian vecto thực T : D  T  � Y tốn tử tuyến tính với miền xác định phức Cho D(T) � X miền giá trị R(T) �Y Khi đó: (a)Tốn tử ngược T 1 : R (T ) � D  T  tồn Tx = � x = (b)Nếu T 1 tồn tốn tử tuyến tính 1 (c) Nếu dim D(T) = n  � T tồn dimR(T) = dimD(T) Định nghĩa 1.5: (Tốn tử tuyến tính bị chặn) Cho X Y hai không T : D  T  � Y tốn tử tuyến tính, D(T) gian định chuẩn � X Tốn tử T gọi bị chặn tồn số th ực c cho với x D(T), Tx �c x Định nghĩa 1.6: Cho A tốn tử tuyến tính bị chặn từ khơng gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Chuẩn toán tử A, ký hiệu A , xác định A =inf  C  : Ax �C x , x �X  Định nghĩa 1.7 Cho T : H1 � H toán tử tuyến tính bị chặn, * H1 H khơng gian Hinbert Khi tốn tử tự liên hợp T T không gian Hinbert toán tử T * : H � H1 Sao cho với x �H1 y �H , Tx, y  x,T * y Định lý 1.8 (Các tính chất tốn tử liên hợp không gian Hinbert) Cho H1 , H không gian Hinbert, S : H1 � H T : H1 � H toán tử tuyến tính bị chặn vơ hướng  Khi ta có (a) T * y, x  y, Tx S T (b)  T  (c)  * T (d)   * * (e) * ( x �H1 , y �H )  S*  T *  T * T T *T  TT *  T * (f) T T  � T  ST (g)   *  T *S * (giả sử H1 = H ) Định nghĩa 1.9 Một tốn tử tuyến tính bị chặn T: H � H không gian Hinbert H gọi là: * +) Tự liên hợp hay toán tử Hermite T  T * 1 +) Unita T song ánh T  T * * +) Chuẩn tắc TT  T T Định lý 1.10.(Tính tự liên hợp) Cho T : H � H tốn tử tuyến tính bị chặn khơng gian Hinbert H Khi (a)Nếu T tự liên hợp, Tx, x thực với x �H (b) Nếu H không gian phức tốn tử T tự liên hợp Tx, x thực với x �H Định lý 1.11 (Toán tử Unita) Cho toán tử U : H � H V : H � H tốn tử Unita; H khơng gian Hinbert Khi đó: (a)U đẳng cự; (b) Ux  x với x �H , U  với H � 0 , 1 * U (  U ) toán tử Unita, (c) (d)UV toán tử Unita, (e)U chuẩn tắc, (f) Một toán tử tuyến tính bị chặn T khơng gian Hinbert phức H toán tử unita T đẳng cự toàn ánh T : D  T  � H gọi xác Định nghĩa 1.12 Tốn tử tuyến tính định trù mật H miền xác định D(T) trù mật H Lý thuyết phổ tốn tử tuyến tính bị chặn 2.1 Phổ toán tử bị chặn X � 0 Định nghĩa 2.1.1 Cho không gian định chuẩn phức T : D T  � H tốn tử tuyến tính với miền xác định D(T ) �X Giá trị quy  T số phức thỏa mãn: ( R1 ) R (T ) tồn tại, ( R2 ) R (T ) bị chặn, ( R3 ) R (T ) xác định tập hợp trù mật X Tập hợp giải  (T ) T tập hợp tất giá trị quy  T Phần bù  (T )  �  (T ) không gian phức � gọi phổ T  � (T ) gọi giá trị phổ T Hơn nữa, phổ  (T ) chia thành ba tập hợp rời sau:  (T ) tập hợp cho R (T ) không Phổ điểm hay phổ rời rạc  tồn tại,  �  (T ) gọi giá trị riêng T Phổ liên tục  c (T ) tập hợp cho R (T ) tồn thỏa mãn ( R3 ) không thỏa mãn ( R2 ) nghĩa R (T ) không bị chặn Phổ thặng dư  r (T ) tập hợp cho R (T ) tồn (và bị chặn khơng bị chặn) không thỏa mãn ( R3 ) , nghĩa miền xác định R (T ) không trù mật X Bổ đề 2.1.2 (Miền xác định R ) Cho X không gian Banach phức, T : X � X tốn tử tuyến tính,  � (T ) Giả sử a) T đóng b) T bị chặn Khi R (T) xác định tồn khơng gian X bị chặn Định nghĩa 2.1.3 Họ phổ họ tham số c  ( E )�� hình chiếu E xác định không gian Hinbert H phụ thuộc vào tham số thực  thỏa mãn E �E E E = E E = E (    ), lim E x  x  ��  � � lim E x  , , E  x  lim E x  x  E x  �  ( x �H )  Các tính chất phổ tốn tử tuyến tính bị chặn Định lý 2.1.4 (Phổ đóng) Tập hợp giải  (T ) tốn tử tuyến tính bị chặn T khơng gian Banach phức X tập mở, ph ổ  (T ) tập đóng Định lý 2.1.5 (Giải thức) Với X T định lý 2.4 0 � (T ) giải thức R (T) biểu diễn � R  �(  0 ) j Rj 1 j 0 , chuỗi hội tụ tuyệt  thuộc đĩa mở cho   0  R không gian phức Đĩa tập hợp  (T ) Định lý 2.1.6 (Phổ) Phổ  (T ) tốn tử tuyến tính bị chặn T : X � X không gian Banach phức X compac chứa đĩa cho  �T Do tập hợp giải  (T ) T khác rỗng Định lý 2.1.7 (Phổ) Phổ  (T ) tốn tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn T : H � H không gan Hinbert phức H thực Định lý 2.1.8 (Chuẩn) Với tốn tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn T không gian Hinbert phức H ta có T  max  m , M   sup Tx, x Định lý 2.1.9 (Định lý phổ cho tốn tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn) Cho T : H � H tốn tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn không gian Hinbert phức Khi a) T có biểu diễn phổ M T �  dE m0 , C  ( E ) họ phổ liên hợp với T; tích phân hiểu toán tử hội tụ [hội tụ chuẩn B(H, H)] với x, y �H M Tx, y  �  d  ( ) m 0 ,  ( )  E x, y , tích phân tích phân Riemann-Stieltijes thông thường b) Tổng quát hơn,  đa thức  có hệ số thực  ( )   n n   n1 n1    , tốn tử  (T ) xác định  (T )   nT n   n 1T n 1   n I Có biểu diễn phổ M  (T )  �  ( )dE m 0 với x, y �H , M  (T ) x, y  �  ( ) d  ( ) m 0  ( )  E x, y , (Mở rộng tới hàm số liên tục xét định lý 2.11) Chú ý: m-0 viết để phải đưa vào xem xét   m xảy Em �0(m �0) ; lấy   m ta viết M M a m 0 � dE  � dE  mE Tương tự, M m �  dE m  T g T g �0 liên tục   Khi   xác định rõ ràng, tự liên hợp (bởi g giá trị thực), với v �V , ta có f  T  v, v  g (T ) v, v  g  T  v �0, điều f  T  �0 Có nhiều tính chất quan trọng phổ c toán t b ị chặn ta bổ sung tính chất quan trọng đ ể mơ tả tốn tử bị chặn khơng gian Hinbert Để tìm hiểu tính ch ất này, ta có định nghĩa tốn tử nhân qua ví dụ sau: X ,   không gian độ đo hữu hạn Ví dụ (Tốn tử nhân) Cho  � g � L  X ,   hàm bị chặn Khi ta có ánh xạ tuyến cho �L2 ( X ,  ) � L2  X ,   Mg � �f a gf tính liên tục �g  x  f  x  d   x  � g ta có X � f , M g � g � cho M, xác định rõ ràng liên tục với chuẩn Hơn ta ý g  x f  x f  x d   x   M  f , f   � g f1 , M g  f  x X , f , f � L  X ,   , liên hợp M g cho với M g*  M g cho thấy khắp nơi) Mg , tự liên hợp g giá trị thực (hầu g , g � L  X ,   ta có quan hệ hiển nhiên sau Với Mg  Mg  f    g (g tất tốn tử chúng chuẩn tắc Mg f )  g ( g1 f )  M g  M g  f   , với g �L2  X ,   giao hốn; nói riêng, H  L2  X ,   X , Ví dụ Cho với không gian độ đo hữu hạn  cho � g �L  X  hàm giá trị thực Toán tử nhân M g (ví dụ trên)  M tự liên hợp H Phổ  g  miền thiết yếu (essential range) g, định nghĩa sau:    M g   x ��/   g 1  x   , x      0 với   M    M g  Thật vậy, trước tiên ta có g Ta giải phương trình (M g   )    �L2  X ,   việc đặt với   g  , nghiệm tập hàm lý thuyết X Nó ta  �p ( M g ) có toán tử     x �X / ( g ( x)   ) 1  c  Hoặc tương đương �� � �  ��x �X / g ( x)    �� C � , � � Nói cách xác  khơng nằm miền thiết yếu g Trước hết ta định nghĩa độ đo ảnh sau:  X , �,    Y , , v  hai không gian độ đo f : X � Y ánh Y ,   độ đo cho xạ đo được, độ đo ảnh f* (  )  f* (  )  B     f 1  B   ảnh v  g*    R: Bây ta xác định giá độ đo   M g   sup pg*    (Ta nhắc lại giá độ đo Borel  không gian Topo X  sup p  x �X   U  0 với lân cận mở U x Nói riêng, X tập bị chặn R g(x) = x, phổ Mg giá  f �C   ( M g )  f ( M g )  M f og cho tích � f og định nghĩa rõ ràng L  X  , ảnh g  (M g ) khơng nằm ngun mô tả Nếu , toán tử f (M g )      x g  x  �  M g   v R    M g   , (phần bù giá tập mở lớn với độ đo 0) v ậy, v ới h ầu h ết  M tất x, g(x) nằm  g  f(g(x)) định nghĩa với hầu hết x (dĩ nhiên ta định nghĩa tùy ý hàm tập độ đo khơng mà g(x) �  M g  toán tử nhân ký hiệu , điều không thay đổi kết với M f og ) 2.3 Độ đo Phổ Sử dụng phép toán phiếm hàm, ta có th ể hiểu thêm ph ổ “biểu diễn” tốn tử T hoạt động vecto v �H Mệnh đề 2.3.1 Cho H không gian Hinbert, cho T �L( H ) toán tử tự liên hợp cho v �H vecto cố định tồn độ đo  T dương Radon    , phụ thuộc vào T v, cho �f ( x)d  ( x)  f (T )v, v  (T ) với f �C    T   Nói riêng, ta có  T    v (2.1)  độ đo hữu hạn Độ đo gọi độ đo phổ liên kết với v T Chứng minh Ta sử dụng kết sau: Định lý 2.2 (Riesz-Markov) Cho X không gian tôpô compact đ ịa C X phương, cho b   không gian Banach hàm bị chặn X , l : Cb  X  � C ánh xạ tuyến tính với chuẩn supremum Cho l f �0 cho f �0   Khi tồn độ đo Radon  cho �f ( x )d  ( x)  l  f  X với f �Cb  X  Ta thấy mệnh đề ứng dụng trực tiếp định lý RieszMarkov Thật vậy, ta có phiếm hàm tuyến tính � C T   �C � l� �f � f  T  v, v f T �0 , Nó xác định rõ ràng dương, f �0 , ta có   f  T  v, v �0 theo định nghĩa Theo định lý Riesz-Markov, tồn  T độ đo Radon    cho l ( f )  f  T  v, v  �f ( x)d  ( x)  (T ) với f �C    T   l  v Hơn nữa, lấy f ( x)  với x, ta thu (2.1) (nghĩa ) Lý thuyết phổ cho toán tử tự liên hợp Sử dụng độ đo phổ, ta chuyển sang nghiên cứu làm mà phổ phép toán cho phiếm hàm lại tương tác v ới để đưa mô tả đầy đủ toán tử tự liên h ợp L(H) Trước hết, ta lấy v �H độ đo phổ liên kết v cho f  T  v, v  �f ( x)d  ( x)  (T ) với hàm liên tục f định nghĩa phổ T Nói riêng, ta áp dụng điều cho phiếm hàm, ta có f f f sử dụng tính chất phép tốn cho f  f f f T  v  2 �f ( x) d  ( x)  v f  (T ) L2 ( ( T ), v ) Nói cách khác, ánh xạ (hiển nhiên tuyến tính) �  C T   , L  � H � l� �f � f  T  v đẳng cự Thực tế v độ đo Radon kéo theo hàm liên tục trù mật không gian Hilbert mở rộng (đẳng cự) L2    T  , v  , có U : L2    T  , v  � H Một cách tổng quát, U nên toàn ánh (xét đến trường hợp v = 0) Mặc dù vậy, ta cho H v  Im(U ) �H khơng gian H v đóng, ổn định T : Thật vậy, tính đóng đến từ việc U T H �H v , điều đủ để đẳng cự,  v  T  U  f   �H v với f �C    T   cần với f hàm đa thức, ảnh hàm trù mật H v Nhưng ta lại có � � T  U  f    T  f  T  v  T �   j  T j � �  j  T j 1v  ( xf )(T )(v ) � �j � j , (3.1) nằm H v Ta thấy rõ phép toán sau Ký hiệu Tv thu hẹp T đến H v : Tv : H v � H v Vì U phép đẳng cấu đẳng cự U : L2    T  , v  � H v 1 Do ta coi Tv tốn tử S  U TvU L2    T  , v  , ta có Tv  U  f     xf  T    v   U  xf  (3.2) (ở ta viết x ký hiệu đơn giản cho hàm x a x ) (3.1), kéo dài L2    T  , v  liên tục từ đa thức đến , điều kéo theo S  f   x   xf  x  (trong L ), nói cách khác, S đơn giản phép nhân L2   T  , v  toán tử M x định nghĩa  Ta có thêm định nghĩa bổ đề sau: T �L  H  Một Định nghĩa 3.1 Cho H không gian Hilbert cho vecto v �H v gọi vecto tuần hoàn T vecto T n  v  , n �0 trù mật H Nói riêng H tách Bổ đề 3.2 Cho H không gian Hilbert cho T �L ( H ) toán H tử tự liên hợp Khi tồn họ  i  i�I không gian khác khơng, trực giao đơi, đóng H cho H tổng tr ực giao H , T H �H i với i, T thu hẹp đến H i , với i trực tiếp i  i  L H toán tử bị chặn tự liên hợp   i mà có véctơ tuần hoàn Chứng minh Ta sử dựa vào ứng dụng bổ đề Zorn mà ta trình bày sau Trước hết, ta phải để ý đến trường hợp H = 0, ý thêm v �H v , ta có H v  v  I �H \  0 cho không gian H v Cho  tập tập với v �H v trực giao cặp, thứ tự theo quan hệ bao hàm Ta ứng dụng bổ đề Zorn cho  , � : Thật vậy, T tập thứ tự  , ta định nghĩa J  U I �H I �T v, w nằm J, chúng thuộc I1 , I T, tương ứng I1 �I I �I1 phải giữ nguyên Trong hai trường hợp, định nghĩa O cho thấy H v H w không gian trực giao khác rỗng Do đó, J cận T O Bây ta chứng minh định lý (2) cho toán tử tự liên h ợp qua định lý quan trọng sau: Định lý 3.3 (Lý thuyết phổ cho toán tử tự liên hợp) Cho H không gian Hilbert tách T �L( H ) toán tử liên tục tự liên hợp Tồn không gian độ đo hữu hạn ( X ,  ) toán tử unita U : H � L2 ( X ,  ) � hàm bị chặn g �L ( X ,  ) cho M g oU  U oT Chứng minh Xét họ H  n n� (dương với số phần tử hữu hạn) không gian khác không, trực giao t ừng đơi, đóng c H, với T  H n  �H n T có véctơ tuần hoàn �0 H n Bằng việc thay với Cho  n  v n n 1 , ta giả sử  2 n độ đo phổ liên kết với (và T), cho  n    T     2 n Bằng lý luận đầu chương, ta có ánh xạ unita U n : L2    T  , n  � H n �H , 1 cho U n TU n  M x , toán tử phép nhân x Giờ ta định nghĩa X   1, 2, n,  �  T  với tích tơpơ, độ đo Radon cho    n �A    n  A  với n �1 A �  T  đo Dễ dàng kiểm tra độ đo Thực tế, hàm X tươg ứng với dãy hàm  f n    T  việc ánh xạ f đến  f n  với f n  x   f  n, x  , �f  x  d   x   � �f  x  d   x  X n� T n n điều có ý nghĩa (chẳng hạn hình f �0 tương đương với f n �0 , f khả tích tương đương với f n  n  khả tích n ) Nói riêng   X   �n    T    �2 n  � n� n� ,  X ,   không gian độ đo hữu hạn chiều Hơn n ữa, ánh xạ 2 � �L  X ,   � �n�1 L    T  ,  n  � �f � f n rõ ràng phép đẳng cự toàn ánh Ta xây d ựng U định nghĩa 1 � U� n � U n1  n  � � � V � � � � �n�1 � �n�1 � với n �H n H n rộng khắp H, ánh xạ tuyến tính định nghĩa tất H ánh xạ unita với nghịch đảo U 1  f   �U n  f n  n� Khi ta xét �X � C g�  n, x  a x � mà bị chặn đo được, cuối ta ý thành ph ần th ứ n U  v  với v cho v  �U n  f n  n� U n1  U n  f n    f n , , từ đó, thành phần thứ n U  T  v  T  fn   x  fn  điều có nghĩa xác M g oU  U oT Ví dụ 3.4 Ta đưa ví dụ tốn tử nhân T = Mg liên kết với hàm bị chặn g, tác động H  L  X ,   cho không gian độ đo  X ,   Với  �H mà theo phần trước H  không gian hàm thuộc dạng x a f  g  x    x với biệt f �C    T   , phổ giá g*    Nếu ta chọn véctơ đặc   , không gian hàm f (g (x)) Nó không trù mật; Hay X �� g  x   x , không gian dĩ nhiên trù mật H Nếu cho X   1;1 ,  độ đo Lesbesgue g  x   x , không gian hàm L , mà khơng trù mật,  khơng véctơ tuần hồn trường hợp Lý thuyết phổ cho toán tử chuẩn tắc Trước hết ta sử dụng định nghĩa sau: Định nghĩa 4.1 (Độ đo giá trị phép chiếu (Projection-valued measure)) Cho H không gian Hilbert cho P( H ) tập phép chiếu trực giao L( H ) Một độ đo giá trị phép chiếu (Projection-valued measure)  H ánh xạ �B( R) � P( H ) � �A � �A từ  -đại số tập Borel R đến tập phép chiếu, cho điều kiện sau thỏa mãn: - (1) � 0, � Id ; R - (2) Với số số R  , ta có �  R , R Id ; - (3) Nếu An , n �1 , A dãy tùy ý tập Borel rời đôi R, cho A  U An �B( R), n� ta có �  �� A n� An chuỗi hội tụ "tôpô toán tử mạnh" H, đưa định nghĩa tôpô L( H ) mô tả nửa chuẩn � �L( H ) �  0; � pv � T � T  v � với v �H Sử dụng bổ đề quan trọng : Bổ đề 4.2 Cho H không gian Hilbert T �L  H  toán tử T , T �L  H  chuẩn tắc bị chặn Tồn hai toán tử tự liên hợp cho T  T1  iT2 , TT  T2T1 Chứng minh Ta viết T T* T T* T1  , T2  2i để T  T1  iT2 ý tất rõ ràng tự liên hợp, TT  T2T1  T2  T* 4i , T chuẩn tắc Bây ta có kết cho toán tử chuẩn tắc: Mệnh đề 4.3 Cho H không gian Hilbert tách cho T �L  H  toán tử chuẩn tắc bị chặn Tồn không gian độ X ,   phép đẳng cấu Unita đo hữu hạn  U : H � L2  X ,   cho M g oU  U oT Chứng minh Viết T  T1  iT2 với T1 , T2 toán tử tự liên hợp bị chặn mà giao hoán bổ đề Cho �1 , ( �2 tương tự) ký hiệu độ đo giá trị phép chiếu cho T1 , ( T2 tương tự ) Ý tưởng xây dựng độ đo phép chiếu giá trị liên kết với T, mà phải  T định nghĩa C   không tập R � � Đầu tiên ta phải khẳng định tất phép chiếu 1, A 2,B (Do T1 T2 giao hoán theo bổ đề sau (không cần chứng minh): Bổ đề 4.4 Cho H không gian Hilbert tách được, cho T1 ,T2 L H toán tử tự liên hợp   mà giao hốn, liên kết vói độ đo giá trị phép chiếu �1 �2 Khi đó, với hàm độ đo bị chặn f g, toán tử S1  � fd �1 , S  � gd �2 n n giao hoán Điều cho ta định nghĩa �A�B  � �  � � � 1, A 2, B 2, B 1, A mà phép chiếu trực giao Bằng phương pháp giới hạn, ta ch ỉ ánh xạ �A�B A �B a � dẫn đến ánh xạ B  C  � P( H ) độ đo giá trị phép chiếu (hữu hạn) định nghĩa tập Borel C Nhắc lại phần trước cho ta định nghĩa toán tử chuẩn tắc �   �L( H ) f   d � � C cho f bị chặn đo định nghĩa C Nói riêng, ta nhắc lại �   T � d � C tích phân định nghĩa lại việc chia tập compact đầy đủ Vậy ta lý thuyết phổ cho T, nhấn mạnh ngôn ngữ độ đo giá trị phép chiếu Tiếp theo ta có, với f �C    T   v �H , quan hệ � v  �fd � 2  �f d  , v liên kết độ đo phổ Điều lại cho thấy T có véctơ tuần hồn v, ánh xạ Unita L2    T  , v  � H L2   T  , v  biểu diễn T toán tử nhân M z  Và bổ đề Zorn cho ta trường hợp tổng quát KẾT LUẬN Những kết đạt tiểu luận là: • Nhắc lại số kiến thức Đại số Banach, không gian Hinbert, lý thuyết Phổ • Trình bày vấn đề tốn tử tuyến tính bị ch ặn khơng gian Hinbert Phổ chúng thông qua m ột s ố đ ịnh lý ví dụ cụ thể Do thời gian có hạn nên tiểu luận khơng thể tránh khỏi nh ững thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến c th ầy cô bạn để hoàn thiện h ơn Em xin chân thành cảm ơn ! TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu Tiếng Việt [1] Hồng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại h ọc Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật Tài liệu Tiếng Anh [3] w.Averson (2001), Ả Short Course on Spectrum Theory, Springer, New York [4] J Conway and S.Kochen (2009), The strong free will theorem, 226232, Notices of the A.M.S, New York [5] E Kowalski (2009), Spectral theory in Hilbert spaces, ETH Zürich, Switzerland [6] M Reed and B Simon (1980), Methods of modern mathematical physics, I: Functional analysis, Academic Press, New York [7] M Reed and B Simon (1980), Methods of modern mathematical physics, II: Self-adjointness and Fourier theoretic techiques, Academic Press, New York [8] Tạ Ngọc Tri (2009), Results on the number of the zero modes of the Weyl- Dirac operator, PhD Thesis, Lancaster Universiry ... Các tính chất tốn tử tuyến tính Phạm vi: Tốn tử tuyến tính khơng gian Banach Hinbert NỘI DUNG Một số vấn đề tốn tử tuyến tính bị chặn  Một số khái niệm Định nghĩa 1.1: Cho X Y hai khơng gian tuyến. .. Hinbert tốn tử tuyến tính bị chặn đ ược nghiên cứu với tính chất tương tự Chẳng hạn nh tính ch ất tốn tử tuyến tính liên hợp, tốn tử compac, phổ tốn tử, hay tốn tử tuyến tính bị chặn theo định... lựa chọn đề tài nghiên cứu: “ Một số vấn đề toán tử tuyến tính bị chặn Ý nghĩa khoa học ý ghĩa thực tiễn Ý nghĩa khoa học: Nghiên cứu tính chất tốn tử tuyến tính bị chặn không gian Banach, không
- Xem thêm -

Xem thêm: MỘT số vấn đề về TOÁN tử TUYẾN TÍNH bị CHẶN, MỘT số vấn đề về TOÁN tử TUYẾN TÍNH bị CHẶN

Từ khóa liên quan

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay