DÙNG PP TOẠ ĐỘ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN –LTTN và ĐH(08-09) Nội dung lý thuyết: A. Cơ sở lý thuyết: 1.Hệ tọa độ vuông góc trong không gian Là hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc tại gốc chung O. i, j,k r r r là các vectơ đơn vị trên Ox, Oy, Oz. 2 2 2 i j k 1= = = r r r và i.j j.k k.i 0= = = rr r r r r . 2. Tọa độ của vectơ và của điểm + Trong hệ tọa độ Oxyz mỗi vectơ a r được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng a xi y j zk= + + r r r r , bộ ba số thực (x;y;z) được gọi là tọa độ của vectơ a r . Kí hiệu a (x;y;z)= r hoặc a(x;y;z) r . Số x gọi là hoành độ, số y gọi là tung độ, số z gọi là cao độ của a r . + Mỗi điểm M trong hệ tọa độ Oxyz ta xác định vectơ OM uuur . Tọa độ của vectơ OM uuur được gọi là tọa độ của điểm M. Nếu OM (a; b;c)= uuur thì kí hiệu M(a; b;c) hoặc M (a;b;c)= . +Trong hệ tọa độ Oxyz, cho ( ) ( ) A A A B B B A x ;y ;z ,B x ;y ;z Khi đó ( ) = − − − uuur B A B A B A AB x x ;y y ;z z 3. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ Cho hai vectơ 1 1 1 a (x ;y ;z )= r , 2 2 2 b (x ;y ;z )= r . + 1 2 1 2 1 2 x x a b y y z z ì = ï ï ï ï = Û = í ï ï = ï ï î r r ; + 1 2 1 2 1 2 a b (x x ;y y ;z z )+ = + + + r r ; + 1 1 1 ka (kx ; ky ; kz ) k= " Î r ¡ . 4. Điều kiện cùng phương của hai vectơ Cho hai vectơ 1 1 1 a (x ;y ;z )= r , 2 2 2 b (x ;y ;z )= r khác 0 r . a r và b r cùng phương kÛ $ Î ¡ sao cho b ka= r r hay 2 1 2 1 2 1 x kx k : y ky z kz ì = ï ï ï ï $ Î = í ï ï = ï ï î ¡ hoặc 2 2 2 1 1 1 x y z x y z = = . 5. Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ¹ 1), tức MA kMB= uuur uuur GV: Đào Tấn Điệp 1 DNG PP TO GII MT S BI TON HèNH HC KHễNG GIAN LTTN v H(08-09) A B M A B M A B M x kx x 1 k y ky OA kOB O,OM y (k 1) 1 k 1 k z kz z 1 k ỡ - ù ù = ù ù - ù ù ù - - ù " = = ạ ớ ù - - ù ù ù - ù = ù ù - ù ợ uuur uuur uuur . c bit I l trung im on AB thỡ A B A B A B x x y y z z I ; ; 2 2 2 ổ ử + + + ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ . 6. Tớch vụ hng ca hai vect Cho hai vect 1 1 1 a (x ;y ;z )= r , 2 2 2 b (x ;y ;z )= r . + 1 2 1 2 1 2 a.b x x y y z z= + + r r + 2 2 2 1 1 1 a x y z= + + r + 1 2 1 2 1 2 a b a.b 0 x x y y z z 0^ = + + = r r r r + 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 x x y y z z a.b cos(a, b) a b x y z . x y z + + = = + + + + r r r r r r 7. Tớch cú hng ca hai vect + Cho hai vect 1 1 1 a (x ;y ;z )= r , 2 2 2 b (x ;y ;z )= r . + 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 y z z x x y a,b ; ; y z z x x y ổ ử ữ ộ ự ỗ ữ = ỗ ữ ờ ỳ ỗ ữở ỷ ỗ ố ứ r r + a r v b r cựng phng a,b 0 ộ ự = ờ ỳ ở ỷ r r r + a a,b ,b a,b ộ ự ộ ự ^ ^ ờ ỳ ờ ỳ ở ỷ ở ỷ r r r r r r + a,b a b sin(a, b) ộ ự = ờ ỳ ở ỷ r r r r r r * ng dng ca tớch cú hng: + Din tớch tam giỏc ABC l: ABC 1 S AB,AC 2 D ộ ự = ờ ỳ ở ỷ uuur uuur + Din tớch hỡnh bỡnh hnh ABCD l : , ABCD S AB AD = uuur uuur + Th tớch ca hỡnh hp ABCD.A'B'C' D' l: ABCD.A ' B'C' D' V AB,AD .AA' ộ ự = ờ ỳ ở ỷ uuur uuur uuur + Th tớch ca t din ABCD l : 1 , . 6 ABCD V AB AC AD = uuur uuur uuur + Khong cỏch gia hai on thng AB v CD l : , . d(AB,CD)= , AB CD AC AB CD uuur uuur uuur uuur uuur GV: o Tn ip 2 DÙNG PP TOẠ ĐỘ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN –LTTN và ĐH(08-09) + Cho a r và b r không cùng phương, ba vectơ a,b,c r r r không đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại các số k và l sao cho c ka lb a,b .c 0 é ù = + Û = ê ú ë û r r r r r r . 8. Mặt phẳng trong không gian + Nếu mặt phẳng ( ) a có cặp vectơ chỉ phương là u, v r r ( u, v r r không cùng phương) thì n u,v é ù = ê ú ë û r r r là vectơ pháp tuyến của ( ) a . a) Phương trình tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0 ( 2 2 2 A B C 0+ + ¹ ), n (A; B;C)= r là vectơ pháp tuyến. b) Mặt phẳng đi qua ( ) 0 0 0 M x ;y ;z và nhận vectơ n (A; B;C)= r làm vectơ pháp tuyến có phương trình: 0 0 0 A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0- + - + - = c) Phương trình theo đoạn chắn (mặt phẳng đi qua A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)): x y z 1 a b c + + = d) Vị trí của hai mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng ( ) Ax By Cz D 0a + + + = và ( ) A'x B'y C'z D' 0b + + + = + ( ) ( ) A B C D A' B' C' D' a º b Û = = = + ( ) ( ) A B C D // A' B' C' D' a b Û = = ¹ + ( ) ( ) ( ) d A : B : C A ' : B' : C'a Ç b = Û ¹ e) Chùm mặt phẳng : Mỗi mặt phẳng qua giao tuyến (nếu có) của ( ) a và ( ) b khi và chỉ khi phương trình của nó có dạng ( ) ( ) ( ) 2 2 Ax By Cz D A'x B'y C'z D' 0 0l + + + +m + + + = l +m ¹ 9.Đường thẳng trong không gian a) Phương trình tổng quát của đường thẳng Ax By Cz D 0 d : A'x B'y C'z D' 0 ì + + + = ï ï í ï + + + = ï î (với A : B : C A ' : B' : C'¹ và 2 2 2 2 2 2 A B C 0,A ' B' C' 0+ + ¹ + + ¹ ). b) Phương trình tham số của đường thẳng d: 0 0 0 x x at y y bt z z ct ì = + ï ï ï ï = + í ï ï = + ï ï î (với 0 0 0 0 M (x ;y ;z ) d,Î và u (a; b;c)= r là vectơ chỉ phương của d). c) Phương trình chính tắc của đường thẳng: 0 0 0 x x y y z z a b c - - - = = ( a,b,c 0¹ ) d)Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Cho đường thẳng D đi qua điểm 0 0 0 0 M (x ;y ;z ) , có vectơ chỉ phương u (a; b;c)= r và GV: Đào Tấn Điệp 3 DÙNG PP TOẠ ĐỘ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN –LTTN và ĐH(08-09) đường thẳng 'D đi qua điểm 0 0 0 0 M' (x ' ;y ' ;z' ) ,có vectơ chỉ phương u' (a'; b';c')= r + D và 'D cùng nằm trong một mặt phẳng 0 0 u,u' .M M' 0 é ù Û = ê ú ë û r ur uuuuuur . + D và 'D cắt nhau 0 0 u,u' .M M' 0 a : b : c a' : b' : c' ì é ù ï = ï ê ú ï ë û Û í ï ï ¹ ï î r ur uuuuuur . + 0 0 0 0 0 0 // ' a:b:c=a':b':c' (x' -x ):(y' -y ):(z' -z ) D D Û ¹ . + 0 0 0 0 0 0 ' a : b : c a' : b' : c' (x ' x ) : (y ' y ) : (z ' z )D º D Û = = - - - . + D và 'D chéo nhau 0 0 u,u' .M M' 0 é ù Û ¹ ê ú ë û r ur uuuuuur e) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng: Cho mp ( )a : Ax By Cz D 0+ + + = ; và đường thẳng D : 0 0 0 x x y y z z a b c - - - = = + D cắt ( ) Aa Bb Cc 0a Û + + ¹ . + 0 0 0 Aa Bb Cc 0 //( ) Ax By Cz D 0 ì + + = ï ï D a Û í ï + + + ¹ ï î ; + 0 0 0 Aa Bb Cc 0 ( ) Ax By Cz D 0 ì + + = ï ï D Ì a Û í ï + + + = ï î 10. Góc và khoảng cách: +Cho hai đường thẳng 0 0 0 x x y y z z d : a b c - - - = = và 0 0 0 x x' y y' z z' d' : a' b' c' - - - = = . Cho hai mặt phẳng ( ) Ax By Cz D 0a + + + = và ( ) A'x B'y C'z D' 0b + + + = . Gọi các điểm 0 0 0 0 M (x ;y ;z ) , 0 0 0 0 M' (x ' ;y ' ;z' ) và 1 1 1 1 M (x ;y ;z ) . Gọi các vectơ u (a; b;c)= r và u' (a'; b';c')= ur . a) Khoảng cách từ 1 1 1 1 M (x ;y ;z ) đến mp ( )a : 1 1 1 1 2 2 2 Ax By Cz D d(M ;( )) A B C + + + a = + + . b) Khoảng cách từ 1 1 1 1 M (x ;y ;z ) đến đường thẳng d : 0 1 1 M M ,u d(M ;d) u é ù ê ú ë û = uuuuuur r r . c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d và d’: 0 0 u,u' .M M' d(d ',d ') u,u' é ù ê ú ë û = é ù ê ú ë û r ur uuuuuur r ur . d) Góc j giữa hai đường thẳng chéo nhau d và d’ cho bởi công thức: 2 2 2 2 2 2 u.u' aa' bb' cc' cos u u' a b c . a' b' c' + + j = = + + + + r ur r ur . e) Góc y giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( )a cho bởi công thức: GV: Đào Tấn Điệp 4 DÙNG PP TOẠ ĐỘ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN –LTTN và ĐH(08-09) 2 2 2 2 2 2 Aa Bb Cc sin A B C . a b c + + y = + + + + ( 0 0 0 90£ y £ ). f) ) Góc j giữa hai mặt phẳng ( )a và ( )b cho bởi công thức: 2 2 2 2 2 2 AA' BB' CC' cos A B C . A' B' C' + + j = + + + + . 11. Phương trình Mặt cầu: a) Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) có bán kính R có phương trình là: ( x- a ) 2 + ( y - b ) 2 + ( z - c ) 2 = R 2 b) Phương trình : x 2 +y 2 +z 2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 ,a 2 +b 2 +c 2 - d > 0 là phương trình của mặt cầu có tâm I(a;b;c) , bán kính R = dcba −++ 222 c) Vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng : Cho mp(α) :Ax + By + Cz + D = 0 và mặt cầu (S) có phương trình: (x – a) 2 + (y – b) 2 + (z – c) 2 = R 2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm I(a;b;c) của (S) trên (α) Vậy 222 ),( CBA DCcBbAa IdIH ++ +++ == α + Nếu IH < R thì (α) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn ( C)có tâm H ,có bán r = 22 IHR − Phương trình của đường tròn (C) :    =+++ =−+−+− 0 )()()( 2222 DCzByAx Rczbyax + Nếu IH = R thì (α) tiếp xúc với (S) tại H .(α) gọi là mặt tiếp diện của mc(S) + Nếu IH > R thì (α) và (S) không có điểm chung B. Bài tập 1. Nhận dạng các bài toán hình học không gian có thể giải bằng phương pháp toạ độ: Các bài toán hình học không gian có thể giải bằng phương pháp toạ độ thường là các bài toán có chứa tam diện vuông hoặc các bài toán dạng chóp đều , chẳng hạn : Hình lập phương, hình hộp chữ nhật, tứ diện vuông, hình chóp đều, và một số bài toán khác mà việc chọn hệ trục toạ độ có nhiều thuận lợi. 2. Quy trình giải một bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ: - Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp (chú ý vị trí của gốc toạ độ, và các trục toạ độ) - Bước 2: Tìm cách biểu diễn các đối tượng hình học mà đề cho bằng toạ độ và các biểu thức toạ độ: Toạ độ điểm, toạ độ vectơ, phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng, toạ độ trung điểm, . - Bước 3: Chuyển yêu cầu bài toán qua ngôn ngữ toạ độ và sử dụng các kiến thức toạ độ nêu ở trên để tính toán, chứng minh điều đó. - Bước 4: Kết luận bài toán 3. Một số bài tập minh hoạ cụ thể cho phương pháp: GV: Đào Tấn Điệp 5 . và (S) không có điểm chung B. Bài tập 1. Nhận dạng các bài toán hình học không gian có thể giải bằng phương pháp toạ độ: Các bài toán hình học không gian. TOẠ ĐỘ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN –LTTN và ĐH(08-09) + Cho a r và b r không cùng phương, ba vectơ a,b,c r r r không đồng phẳng khi và chỉ khi