Đang tải... (xem toàn văn)
Hệ thống lại kiến thức lí thuyết về tính chia hết của đa thức, các phương pháp chứng minh chia hết. Các dạng bài tập về tính chia hết của đa thức: chứng minh chia hết, tìm điều kiện để có phép chia hết, tìm đa thức thỏa mãn điều kiện cho trước, ...
CHUYÊN ĐỀ: TÍNH CHIA HẾT ĐỐI VỚI ĐA THỨC Người thực hiện: Nguyễn Thị Thảo Thành phần :Tổ KHTN Ngày báo cáo: A.Lý thuyết I.Chia đa thức 1.Khái niệm +) A B ⇔ A=B.Q +) Với da thức biến A B tùy ý, tồn đa thức Q R cho: A=B.Q+R (R=0 R có bậc nhỏ bậc B) • R=0 ta có pép chia hết • R ≠ ta có phép chia có dư Tính chất a) A(x) C(x); B(x) C(x) ⇒ A(x) ± B(x) C(x) b) A(x) B(x) ⇒ A(x).M(x) B(x) c) A(x) M(x); B(x) N(x) ⇒ A(x) B(x) M(x) N(x) II Tìm dư phép chia mà không thực phép chia Đa thức chia có dạng x-a (a số) *Phương pháp: + Sử dụng định lí Bơdu +Sử dụng sơ đồ Hoocne 1.1 Định lí Bơdu a)Định lí: Số dư phép chia đa thức f (x) cho nhị thức x-a f(a) Ví dụ: Tìm số dư phép chia da thức f(x) = x243+x27+x9+x3+1 cho x+1 Giải: Theo định lí Bơdu ta có số dư phép chia f(x) cho x+1 băng f(-1) Có f(-1)= (-1)243+(-1)27+(-1)9+(-1)3+1=-3 Vậy số dư phép chia đa thức f(x) cho x+1 -3 b) Hệ +) f(x) (x-a) ⇔ f(a)=0 +) Đa thức f(x) có tổng hệ số f(x) (x-1) +) Đa thức f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ f(x) (x+1) 1.2 Sơ đồ Hooc-ne a) Sơ đồ Ví dụ1 : Tìm đa thức thương dư cuả phép chia đa thức x3-5x2+8x-4 cho x-2 mà không cần thực phép chia GV thực mẫu: -5 -4 a= -3 Ví dụ 2:(x3-7x+6):(x+3) HS thực VD2 GV tổng quát: Với đa thức f(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+… +an-1x+an Ta có sơ đồ Hoocne: a0 a1 a2 …… an-1 an a B0=a0 b1=a.b0+a1 b2=a.b1+a2 …… bn-1=a.bn-2+an-1 r=a.bn-1+an b,Chứng minh sơ đồ (Nâng cao phát triển ) c,Áp dụng sơ đồ Hooc –ne để tính giá trị đa thức f(x) x=a (Đọc SGK/68) Đa thức chia có bậc từ bậc hai trở lên *Phương pháp Cách1: Tách đa thức bị chia đa thức chia hết cho đa thức chia Cách2: Xét giá trị riêng (sử dụng đa thức chia có nghiệm ) Ví dụ:Tìm dư chia f(x) =x7+x5+x3+1 cho x2-1 C1: f(x)=x7+x5+x3+1=(x7-x)+(x5-x)+(x3-x) +3x+1 =x(x6-1)+x(x4-1)+x(x2-1)+3x+1 Có x6-1 x2-1;x4-1 x2-1;x2-1 x2-1 ⇒ f(x): x2 -1 dư 3x+1 C2: Có f(x)=(x2-1).Q(x)+ax+b với x (1) Đẳng thức (1) với x ,nên Với x=1 có f(x)=a+b=4 x=-1 có f(-1)=-a+b=-2 a=3;a=1 Vậy dư 3x+1 *Chú ý : +) an-bn a-b ( a ≠ b) n n a +b a+b (n lẻ ;a ≠ -b) n +) x -1 x-1 x2n-1 x2-1 ⇒ x-1; x-1 x4n-1 x4-1 ⇒ x2-1; x2 +1 x3n-1 x3-1 ⇒ x2+x+1 III Chứng minh đa thức chia hết cho đa thức *Phương pháp : có cách C1:Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có chứa đa thức chia (đ/n~ A=B.Q) C2:Biến đổi đa thức bị chia thành tổng đa thức chia hết cho đa thức chia(t/chất) C3:Sử dụng biến đổi tương đương f(x) g(x) f(x) ± g(x) g(x) C4:Chứng tỏ nghiệm đa thức chia nghiệm đa thức bị chia B.Các dạng tập Dạng 1:Tìm dư phép chia (khơng làm tính chia) Phương pháp: Sử dụng pp phần II lí thuyết Bài1:Tìm dư phép chia x41 cho x2+1 Gv gợi ý để HS chọn phương pháp HS: x41=x41-x+x=x(x40-1)+x =x[(x4)10-1]+x =x[(x2-1)(x2+1)]10+x ⇒ x[(x2-1)(x2+1)]10+x:(x2+1) dư x Bài 2.Tìm dư phép chia f(x) =x50+x49+ +x2+x+1 cho x2-1 Gv gợi ý để HS chọn phương pháp HS: Chọn cách xét giá trị riêng đa thức có nghiệm Bài 3.Đa thức f(x) chia cho x+1 dư , chia cho x2+1 dư 2x+3 Tìm phần dư chia f(x) cho (x+1)(x2+1) HD: Có f(x)=(x+1).A(x)+4 (1) f(x)=(x +1).B(x)+2x+3 (2) 2 f(x)=(x+1)(x +1).C(x) +ax +bx+c (3) =(x+1)(x2+1).C(x)+a(x2+1)+bx+c-a =(x2+1)[C(x).(x+1)+a]+bx+(c-a) (4) Từ (2) (4) ⇒ b=2;c-a=3 ⇒ b=2;c= ;a= 2 Vậy đa thức dư x +2x+ 2 Dạng 2: Tìm đa thức thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp: Xét giá trị riêng Bài 1: Với giá trị a b đa thức f(x)= x3+ax2+bx+2 chia cho x+1 dư 5; chia cho x+2 dư HD: Vì f(x)= x3+ax2+bx+2 chia cho x+1 dư 5; chia cho x+2 dư nên ta có: f(x)=(x+1).Q(x)+5 f(x)=(x+2).H(x)+8 Với x=-1 ta có f(-1)=-1+a-b+2=5 (1) Với x=-2 ta có f(-2)=-8+4a-2b+2=8 (2) Từ (1) (2) ta có: a=3; b=-1 Bài 2: Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia cho x-3 dư 7; chia cho x-2 dư 5; chia cho (x-3) (x-2) thương 3x dư HD: Theo ta có: f(x)= (x-3).A(x)+7 f(x)=(x-2).B(x)+5 f(x)=3x(x-3)(x-2)+ax+b đẳng thức tren với x nên: +Với x=2 có f(2)=5=> 2a+b=5 +Với x=3 có f(3)=7=> 3a+b=7 a=2; b=1 Do dư 2x+1 F(x)= 3x(x-2)(x-3)+2x+1+3x3-15x2+20x+1 Dạng 3: Chứng minh chia hết Phương pháp: Sử dụng pp phần III lí thuyết Bài 1: Chứng minh rằng: x50+x10+1 chia hết cho x20+x10+1 HD:Đặt x10=t=> cần chứng minh t5+t+1 chia hết cho t2+t+1 Có t5+t+1=t5-t2+t2+t+1=t2(t-1)(t2+t+1)+( t2+t+1) t2+t+1 Chứng tỏ x50+x10+1 chia hết cho x20+x10+1 Bài 2: (x2-x9-x1945) (x2-x+1) HD: 1945 x -x -x =(x2-x+1)+(-x9-1)+(-x1945+x) Có x2-x+1 x2-x+1 x9+1 x3+1 nên x9+1 x2-x+1 x1945-x=x(x1944-1)=x((x6)324-1) x6-1 nên x1945-x x3+1 nên x1945-x x2-x+1 Chứng tỏ (x2-x9-x1945) (x2-x+1) Bài tập nhà: Bài 1: Tìm dư chia đa thức sau: a) x43: (x2+1) b) (x27+x9+x3+x):(x-1) c) (x27+x9+x3+x):(x2-1) d) (x99+x55+x11+x+7): (x+1) e) (x99+x55+x11+x+7): (x2+1) Bài 2: Chứng minh rằng: a) x10-10x+9 chia hết cho (x-1)2 b) x8n+x4n +1 chia hết cho x2n+xn +1( với n số tự nhiên) c) x3m+1 +x3n+2 +1 chia hết cho x2+x +1( với m, n số tự nhiên) Bài 3: Cho đa thức f(x), phần dư phép chia f(x) cho x cho x-1 Hãy tìm phần dư phép chia f(x) cho x(x-1) Bài : Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia cho x - th× dư 2, f(x) chia cho x + d 9, f(x) chia cho x2 +x - 12 đợc thơng x2 + cßn dư Duyệt tổ chun mơn: Văn Lâm, ngày tháng năm Người thực hiện: Nguyễn Thị Thảo Đánh giá, nhận xét chuyên đề: ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ... đa thức chia hết cho đa thức *Phương pháp : có cách C1:Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có chứa đa thức chia (đ/n~ A=B.Q) C2:Biến đổi đa thức bị chia thành tổng đa thức chia hết cho đa thức. .. trị đa thức f(x) x=a (Đọc SGK/68) Đa thức chia có bậc từ bậc hai trở lên *Phương pháp Cách1: Tách đa thức bị chia đa thức chia hết cho đa thức chia Cách2: Xét giá trị riêng (sử dụng đa thức chia. .. +1 chia hết cho x2n+xn +1( với n số tự nhiên) c) x3m+1 +x3n+2 +1 chia hết cho x2+x +1( với m, n số tự nhiên) Bài 3: Cho đa thức f(x), phần dư phép chia f(x) cho x cho x-1 Hãy tìm phần dư phép chia