Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu cho sinh viên chuyên ngành công trình thủy
Chương 1: Chảy rối phương trình dịng chảy Chương CHẢY RỐI VÀ PHƯƠNG TRÌNH DỊNG CHẢY 1.1 Khái niệm dịng chảy rối: 1.1.1 Thí nghiệm chảy rối Nếu cho chất lỏng chảy qua ống thủy tinh suốt đầu vào ta đặt ngòi mực lỏng ta thấy: Hình vẽ 1-1 Thí nghiệm dòng chảy rối - Khi vận tốc dòng chảy ống bé, dòng mực chảy thành đường thẳng, hay nói cách khác chất lỏng khơng xáo trộn lẫn lớp, ta gọi trạng thái chảy tầng (chất lỏng phân thành tầng riêng biệt) - Khi tăng vận tốc dòng chảy, dòng mực bắt đầu dao động, tiếp tục tăng vận tốc tới lúc dịng mực hịa tan vào chất lỏng, ta gọi trạng thái chảy rối (các phần tử nước chuyển động rối loạn không theo quy luật nào) 1.1.2 Phân định trạng thái chảy rối Dịng chảy sơng thiên nhiên nói chung dịng chảy rối, để phân định trạng thái chảy cách định lượng người ta dùng số Râynôn không thứ nguyên: Re = vd Re = vR υ υ - đường ống; - kênh hở sơng thiên nhiên Trong đó: v - vận tốc trung bình mặt cắt; d - đường kính ống; υ - hệ số nhớt động học chất lỏng; R - bán kính thuỷ lực Với sơng chiều rộng lớn so với chiều sâu nên coi: R = 1-1 ω B = Ttb Chương 1: Chảy rối phương trình dịng chảy Hình vẽ 1-2 Mặt cắt ngang lịng sơng Với dịng chảy có áp: - Khi Re2320 ta có trạng thái chảy rối Với dịng chảy khơng áp: - Khi Re580 ta có trạng thái chảy rối Để nghiên cứu chảy rối người ta dùng công cụ xác suất thống kê 1.1.3 Sự hình thành dịng chảy rối: Sự hình thành dịng chảy rối ma sát chất lỏng thành ống bề mặt kênh dẫn Hình vẽ 1-3 Nguyên nhân dòng chảy rối Bề mặt tiếp xúc với chất lỏng ln có nhám định, phần chất lỏng chảy sát biên tiếp xúc có vận tốc thay đổi tạo thành xoáy - Khi vận tốc ống cịn bé xốy khơng đủ lượng để lan truyền vào lịng chất lỏng ta có trạng thái chảy tầng; - Khi vận tốc ống đủ lớn, chất lỏng có tính nhớt (ma sát trong) nên xốy lan truyền vào lịng chất lỏng, giao thoa với làm cho phần tử nước chuyển động rối loạn, ta có trạng thái chảy rối 1.2 Đặc tính chung dịng chảy rối: 1.2.1 Mạch động lưu tốc: Trong chảy rối vận tốc điểm dòng chảy ổn định thay đổi theo thời gian: 1-2 Chương 1: Chảy rối phương trình dòng chảy U(m/s u u' u t(s) T U t ∆t Hình vẽ 1-4 Vận tốc tức thời chảy rối Nếu gọi u vận tốc trung bình theo thời gian điểm ta có: T u= ∫ udt (1- 1) T Khi vận tốc tức thời xác định theo công thức: u = u ± u' (1- 2) u - vận tốc trung bình; u ' - vận tốc mạch động Nếu có dịng chảy khơng gian ký hiệu vận tốc tương ứng với trục sau: trục x → u; y → v; z → w Ta có: u = u + u ′ ; v = v + v ′ ; w = w + w′ (1- 3) u- vận tốc theo phương x; v- vận tốc theo phương y; w- vận tốc theo phương z Đối với dòng chảy phẳng, chảy theo chiều theo phương x, ta có: v = ; w = x y Hình vẽ 1-5 Hệ trục tọa độ dòng chảy chiều Vận tốc dòng chảy là: u = u + u' ; v = v′ ; w = w′ Các vận tốc mạch động có tính chất: trung bình theo thời gian lưu tốc mạch động hay: u ' =0; v' =0; w' =0 1.2.2 Cường độ mạch động: 1-3 Chương 1: Chảy rối phương trình dịng chảy Để đánh giá độ lớn vận tốc mạch động người ta lấy trung bình bình phương vận tốc mạch động (sau bình phương lấy trung bình), gọi cường độ mạch động σ u ' = u '2 ; σ v ' = v'2 ; σ w' = w' (1- 4) Căn vào tài liệu thu thập kênh hở đường ống người ta xây dựng đồ thị quan hệ cường độ mạch động theo chiều sâu dòng chảy: H H 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 σu' umax 0.02 0.04 0.06 σv' u max Kªnh hë è ng Hình vẽ 1-6 Đồ thị biến thiên cường độ mạch động theo chiều sâu y - Tọa dộ theo phương tẳng đứng; H - Chiều sâu dòng chảy Ta thấy: - Cường độ mạch động theo hướng dòng chảy phụ thuộc vào số Re; - Cường độ mạch động theo hướng vng góc dịng chảy khơng phụ thuộc vào Re 1.3 Phương trình chuyển động phương trình liên tục dịng chảy rối: 1.3.1 Phương trình chuyểnđộng dịng chảy rối: Đối với dòng chảy ổn định chất lỏng lý tưởng ta có phương trình: ∂u ∂u ∂u ∂u ∂p ∂ + υ∆u x = x + u x x + u y x + u z x + (u ' x u ' x ) + ρ ∂x ∂x ∂y ∂z ∂x ∂t ∂ ∂ (u ' x u ' y ) + (u ' x u ' z ) ∂y ∂z fx − ∂u y ∂u y ∂u y ∂u y ∂ ∂p + (u ' y u ' x ) + + υ ∆u y = + ux + uy + uz ∂z ∂x ρ ∂y ∂t ∂x ∂y ∂ ∂ (u ' y u ' y ) + (u ' y u ' z ) ∂y ∂z fy − 1-4 (1- 5) Chương 1: Chảy rối phương trình dịng chảy ∂u ∂u ∂u ∂u ∂p ∂ + υ∆u z = z + u x z + u y z + u z z + (u ' z u ' x ) + ρ ∂z ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂ ∂ (u ' z u ' y ) + (u ' z u ' z ) ∂z ∂y fz − Trong đó: ∂2 ∂2 ∂2 ∆= + + ∂x ∂y ∂z 1.3.2 Phương trình liên tục Phương trình liên tục dịng chảy rối có dạng: ∂u x ∂u y ∂u z + + =0 ∂x ∂y ∂z (1- 6) 1.3.3 Ứng suất tiếp chảy rối Xét dịng chảy phẳng, đều, ổn định có phương dịng chảy trùng với trục x ta có: Bỏ qua phương trình đại lượng có liên quan đến trục y Do dòng chảy nên đại lượng không biến đổi theo x ⇒ ∂p ∂u ' x ∂ = = (u ' x u ' x ) = ∂x ∂x ∂x dịng chảy có phương trùng với trục x nên: u z = Vì dịng chảy ổn định nên ∂u x ∂u y ∂u z = = = ∂t ∂t ∂t Do đại lượng phụ thuộc vào biến z nên khơng cịn đạo hàm riêng, hệ phương trình Râynơn trở thành: ⎧ d 2u x d fx +υ = (u ' x u ' z ) ⎪ ⎪ dz dz ⎨ ⎪ f − dp = ⎪ z ρ dz ⎩ Với chất lỏng động học ta có: f z = − g ; f x = gI x Ix- độ dốc mặt nước theo phương x Xét phương trình thứ nhất: gI x + υ d 2u x d = (u ' x u ' z ) (nhân hai vế với ρ) dz dz γI x + µ d 2u x d = ρ (u ' x u ' z ) dz dz Lấy tích phân theo z ta được: 1-5 (1- 7) Chương 1: Chảy rối phương trình dịng chảy γI x z + µ du x = ρ (u x u ' z ) + C dz C- số tích phân, xác định dựa vào điều kiện biên Khi z = H (Điều kiện mặt nước) ta có: µ du x = ρ (u ' x u ' z ) = dz ⇒ C = γI x H thay vào ta có: γI x ( H − z ) = µ du x − ρ (u ' x u ' z ) dz Dễ dàng thấy vế trái lực gây chuyển động Do chuyển đồng nên cân với lực ma sát hay ứng suất tiếp: γJ x ( H − z ) = τ suy ra: τ =µ du x − ρ u ' x u ' z dz Đại lượng µ (1- 8) du x du biết ứng suất tiếp chảy tầng τ t = µ x dz dz đại lượng − ρ u ' x u ' z chảy rối ký hiệu τ r τ t - ứng suất tiếp chảy tầng; τ r - ứng suất tiếp chảy rối; τ = τ t + τ r - ứng suất tiếp toàn phần Dựa vào công thức: τ = γI x ( H − z ) ta thấy τ biến thiên theo quy luật tuyến tính: Khi: z = H ⇒τ = z = ⇒ τ = τ = γI x H H τo = γ H J x Hình 1-7 Sự biến thiên ứng suất chiều sâu Theo thực nghiệm biểu đồ phân bố τ t τ r theo chiều sâu sau: - Với phần lớn dịng chảy tính từ mặt nước xuống đáy τ r chiếm phần chính; - Phần sát đáy τ t chiếm phần lớn 1-6 Chương 1: Chảy rối phương trình dịng chảy τr τt Hình 1-8 Sự biến thiên ứng tiếp chảy tầng chảy rối Chính nghiên cứu τ phần cách đáy ta coi τ = τ r Khi nghiên cứu phần sát đáy τ = τ t 1.3.4 Hệ số, chiều dài hỗn hợp: Để thuận tiện cho tính tốn người ta dùng cơng thức tính τ r có dạng τ t : τr = E du x ; E - hệ số hỗn hợp động lực; dz τ r = ρA (1- 9) du x ; A- hệ số hỗn hợp động học; dz (1- 10) ⎛ du ⎞ τ r = ρL ⎜ x ⎟ ; L- chiều dài hỗn hợp ⎝ dz ⎠ (1- 11) Trong đó: - Ở gần đáy sơng L tính theo cơng thức sau: L=Kz; K - số Kacman; - Đối với ống K=0,4; - Đối với kênh K=0,417; - Đối với sông tự nhiên K=0,54 1.4 Dịng chảy sơng Xét dịng chảy sơng tác dụng động học độ dốc Chọn hệ toạ độ xyz cho trục x song song với mặt đáy trung bình lịng sơng có độ dốc i0 Trục z hướng lên hình vẽ: z g.i o g h α u z' y o zo x Hình 1-9 Sơ đồ dịng chảy sơng 1-7 Chương 1: Chảy rối phương trình dịng chảy Lực khối tác dụng theo trục sau: f y = ; f x − = g sin α = gi0 ; f Z = − g − i0 ≈ − g (1- 12) Do i0 đại lượng có giá trị bé thường khoảng 10-3 á10-5 Với dịng chảy sơng số đặc điểm nên phương trình chuyển động dịng chảy không đầy đủ Cụ thể sau: - Bề rộng sông lớn nhiều lần chiều sâu nên gia tốc theo trục z bé so với trục du z bỏ qua x y: dt - Cũng bề rộng lớn nhiều lần chiều sâu nên biến đổi ứng suất z mạnh nhiều so với x y Điều khơng tính đến dịng chảy bứt khỏi bờ tạo thành vũng nước xoáy mặt - Dịng chảy sơng vận tốc khơng lớn nên áp lực phụ thêm chảy rối nhỏ so với áp lực thủy động: ∂p >> ρ u ' z u ' z ∂z - Trong phần lớn dòng chảy ứng suất tiếp dòng chảy rối trội độ nhớt nên ta bỏ qua υ∆u x ,υ∆u y ,υ∆u z Phương trình Râynơn rút gọn có dạng sau: ⎧ ∂u x ∂u ∂u ∂u ∂p ∂u ' x u ' z − + u x x + u y x + u z x = gi0 − ⎪ ρ ∂x ∂z ∂z ∂y ∂x ∂t ⎪ ⎪ ∂u ∂u y ∂u y ∂u y ∂p ∂u ' y u ' z ⎪ y =− − + uz + uy + ux ⎨ ∂z ∂z ∂y ρ ∂y ∂x ⎪ ∂t ⎪ ∂p ⎪0 = − g − ρ ∂z ⎪ ⎩ (1- 13) Phương trình liên tục: ∂u x ∂u y ∂u z =0 + + ∂z ∂x ∂y Tích phân phương trình hệ phương trình chuyển động ta có: dp = −γ ⇒ dp = −γdz p phụ thuộc z dz ⇒ p = −γz + C C - xác định theo điều kiện biên, z = z’ ⇒ p(z’) = Như vậy: C = γz’ Thay vào ta có: p = γ ( z '− z ) ⇒ ⇒ 1-8 ∂p dz ' =γ = γI x ∂x dx ∂p dz ' =γ = γI y ∂y dy (1- 14) Chương 1: Chảy rối phương trình dịng chảy Hệ phương trình chuyển động trở thành: ⎧ ∂u x ∂u ∂u ∂u ∂u ' x u ' z + u x x + u y x + u z x = gi0 − gI x − ⎪ ∂x ∂y ∂z ∂z ⎪ ∂t ⎨ ∂u y ∂u y ∂u y ∂u ' y u ' z ⎪ ∂u y + ux + uy + uz = − gI y − ⎪ ∂t ∂x ∂y ∂z ∂z ⎩ (1- 15) Phương trình liên tục: ∂u x ∂u y ∂u z =0 + + ∂z ∂x ∂y (1- 16) 1.5 Sự phân bố lưu tốc kênh hở: Từ khái niệm chảy rối tìm cơng thức phân bố lưu tốc Sự phân bố lưu tốc sức cản sồn thiên nhiên chiếm vị trí quan trọng thuỷ động lực học 1.5.1 Công thức phân bố lưu tốc bán thực nghiệm: 1.5.1.1 Sự phân bố lưu tốc vách nhẵn: Từ khái niệm ứng suất tiếp chảy rối ta có cơng thức tính ứng suất tiếp chảy rối: τ =µ du ⎛ du ⎞ + ρL2 ⎜ ⎟ dz ⎝ dz ⎠ (1- 17) Đối với điểm cách xa đáy sông, bỏ qua ứng suất tiếp chảy tầng τ t thì: ⎛ ∂u ⎞ τ = ρL ⎜ ⎟ ⎝ ∂z ⎠ 2 Gần đáy ứng suất tiếp ứng suất tiếp đáy hay τ = τ = γHI ta có: ⎛ ∂u ⎞ τ = ρK z ⎜ ⎟ ⎝ ∂z ⎠ du = 2 ⇒ du = dz τ0 ρ Kz τ dz ρK z Tích phân hai vế ta có: u = τ0 ln z + C K ρ Với C số tích phân Nếu đặt: u= τ0 γHI = = gHI = u* gọi lưu tốc ma sát (hay lưu tốc động lực) thì: ρ ρ u* ln z + C K Gọi u max vận tốc lớn mặt nước (z=H) ta có: u max = 1-9 u* ln H + C K Chương 1: Chảy rối phương trình dịng chảy u max − u H = ln u* K z ⇒ (1- 18) Tuy nhiên nhiều trường hợp người ta lấy lưu tốc bình quân thuỷ trực u bq thay lấy vận tốc lớn nhất: Lấy trung bình theo chiều sâu hai vế ta có: H ⇒ u max − u ∫ u* dz = H H u max − u bq = u* H ∫ K ln H dz z K (1- 19) u bq - Lưu tốc bình qn thuỷ trực Vị trí điểm có lưu tốc lưu tốc trung bình thuỷ trực u = u bq : Ta có: Hay: u max − u u max − u bq H − = ln − u* u* K z K u bq − u u* = 1⎛ H ⎞ ⎜ ln − 1⎟ K⎝ z ⎠ Khi u = u bq thì: ln ⇒z= H H = hay =e z z H ≈ 0,37 H e (1- 20) Vậy điểm có vận tốc trung bình có toạ độ từ lên 0,37H 1.5.1.2 Sự phân bố lưu tốc vách nhám: Bằng thực nghiệm Nicuratde đưa công thức sau: u z = B ln + C u* d (1- 21) Trong đó: d - Đường kính hạt đại biểu cho độ gồ ghề; B=2,5; C=8,5 Thay vào ta có: u z = 2,5 ln + 8,5 u* d (1- 22) Công thức Gôntrarốp: u u max 16,7 z 6,15H 16,7 z +1 u +1 lg lg ∆ ∆ ; u = ∆ = ; bq = 16,7 H 16,7 H u bq 6,15 H u max lg lg lg ∆ ∆ ∆ Trong đó: 1-10 lg (1- 23) Chương 1: Chảy rối phương trình dịng chảy u max - Lưu tốc bề mặt (là lưu tốc lớn nhất); u bq - Lưu tốc bình quân thuỷ trực; ∆ - Chiều cao gồ ghề lấy 0,7d 1.5.2 Các công thức phân bố lưu tốc kinh nghiệm: Các công thức thực nghiệm xây dựng cách xấp xỉ số liệu thực đo theo cách khác thùy thuộc tác giả 1.5.2.1 Công thức dạng đường Parabol - Công thức Bazin: u = u* − m HI (H − z) H2 (1- 24) Trong đó: m - Hệ số có giá trị 20 ÷ 24; H – Chiều sâu dòng chảy; I - Độ dốc mặt nước 1.5.2.2 Công thức dạng log – Công thức Nicuratdê: ⎡ C ⎤ + (1 + ln ξ )⎥ u = u* ⎢ ⎢ g K ⎥ ⎣ ⎦ (1- 25) Hoặc: ⎡ ⎤ g (1 + ln ξ )⎥ u = u bq ⎢1 + ⎢ CK ⎥ ⎣ ⎦ Trong đó: u* = gHI - Lưu tốc ma sát đáy; C - Hệ số Sedi; ξ= z - độ sâu tương đối H 1.5.2.3 Công thức dạng đường Ellipse - Karausep: Căn vào tài liệu thực đo nhiều sông Liên Xơ, Karausep tìm cơng thức sau: u = u max z ⎞ ⎛ − P ⎜1 − ⎟ ⎝ H⎠ Trong đó: P= Mu bq Cu max M phụ thuộc vào C: - Khi 10 ≤C ≤ 60 M=0,7C+6; 1-11 (1- 26) Chương 1: Chảy rối phương trình dịng chảy - Khi 60 ≤C ≤960 M=48 1-12 Chương 1: Chảy rối phương trình dịng chảy Chương 1-1 1.1 Khái niệm dòng chảy rối: .1-1 1.2 Đặc tính chung dòng chảy rối: 1-2 1.3 Phương trình chuyển động phương trình liên tục dịng chảy rối: 1-4 1.4 Dịng chảy sơng 1-7 1.5 Sự phân bố lưu tốc kênh hở: 1-9 1-13 ... 1-11 (1- 26) Chương 1: Chảy rối phương trình dịng chảy - Khi 60 ≤C ≤960 M=48 1-12 Chương 1: Chảy rối phương trình dịng chảy Chương 1-1 1.1 Khái niệm dòng chảy rối: .1-1 1.2... thuộc vào Re 1.3 Phương trình chuyển động phương trình liên tục dịng chảy rối: 1.3.1 Phương trình chuyểnđộng dòng chảy rối: Đối với dòng chảy ổn định chất lỏng lý tưởng ta có phương trình: ∂u ∂u... động rối loạn, ta có trạng thái chảy rối 1.2 Đặc tính chung dịng chảy rối: 1.2.1 Mạch động lưu tốc: Trong chảy rối vận tốc điểm dòng chảy ổn định thay đổi theo thời gian: 1-2 Chương 1: Chảy rối phương