ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao MẶT NÓN – KHỐI NÓN A – LÝ THUYẾT CHUNG Định nghĩa mặt nón Cho đường thẳng  Xét đường thẳng l cắt  O khơng vng góc với  Mặt tròn xoay sinh đường thẳng l quay quanh  gọi mặt nón tròn xoay hay đơn giản mặt nón -  gọi trục mặt nón - l gọi đường sinh mặt nón - O gọi đỉnh mặt nón - Nếu gọi  góc l  2 gọi góc đỉnh mặt nón 0 Δ O M  2  1800  Hình nón khối nón Cho mặt nón N với trục  , đỉnh O góc đỉnh 2 Gọi  P  mặt phẳng vng góc với  I khác O Mặt phẳng  P  cắt mặt nón theo đường tròn  C  có tâm I Gọi  P ' mặt phẳng vng góc với  O Khi đó: - Phần mặt nón N giới hạn mặt phẳng  P   P ' với hình tròn xác định  C  gọi hình nón - Hình nón với phần bên gọi khối nón Diện tích hình nón thể tích khối nón - Diện tích xung quanh hình nón: S xq   Rl với R bán kính đáy, l độ dài đường sinh - Thể tích khối nón: V   R h với R bán kính đáy, h chiều cao Lý thuyết ngắn gọn thế, nhiên có nhiều tập vận dụng cao đòi hỏi khả tư cao B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Hình nón tròn xoay nội tiếp tứ diện cạnh a có diện tích xung quanh bằng:    2 A S xq  a B S xq  a 2 C S xq  a D S xq  a 6 Câu 2: Hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ diện cạnh a có diện tích xung quanh bằng: A S xq   a2 B S xq   a2 C S xq   a2 3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D S xq   a2 Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 3: Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Một bình đựng nước dạng hình nón (khơng đáy) đựng đầy nước Biết chiều cao bình gấp lần bán kính đáy Người ta thả vào khối trụ đo dược thể tích nước tràn ngồi 16 dm Biết mặt khối trụ nằm mặt hình nón, điểm đường tròn đáy lại thuộc đường sinh hình nón (như hình vẽ) khối trụ có chiều cao đường kính đáy hình nón Diện tích xung quanh S xq A P 9 10 dm I B Q S bình nước là: A S xq  O N M B S xq  4 10 dm C S xq  4 dm D S xq  3 dm Câu 4: Cho khối nón tròn xoay có đường cao h  20 cm , bán kính đáy r  25 cm Một mặt phẳng (P) qua đỉnh khối nón có khoảng cách đến tâm O đáy 12 cm Khi diện tích thiết diện (P) với khối nón bằng: A 500 cm B 475 cm C 450 cm D 550 cm Câu 5: Cho tam giác ABC có độ dài cạnh huyền Người ta quay tam giác ABC quanh cạnh góc vng để sinh hình nón Hỏi thể tích V khối nón sinh lớn A V  Câu 6: Câu 7: 250 3 27 B V  25 2 27 C V  20 3 27 D V  250 6 27 Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB  , đáy lớn CD  , cạnh bên AD  quay quanh đường thẳng AB Tính thể tích V khối tròn xoay tạo thành A V  3 B V   C V   D V   3     00    900  , AD  a  Cho hình bình hành ABCD có BAD ADB  900 Quay ABCD quanh AB, ta vật tròn xoay tích là: A V   a sin  B V   a sin  cos C V   a3 sin  cos D V   a cos 2 sin  Câu 8: Cho khối nón đỉnh O , trục OI Măt phẳng trung trực OI chia khối chóp thành hai phần Tỉ số thể tích hai phần là: 1 1 A B C D Câu 9: có bán kính đáy R, đường cao SO Gọi (P) mà mặt phẳng vng góc với SO O1 cho SO1  SO Một mặt phẳng qua trục hình nón cắt phần khối nón  nằm (P) đáy hình nón theo thiết diện hình tứ giác có hai đường chéo vng góc Tính thể tích phần hình nón  nằm mặt phẳng (P) mặt phẳng chứa đáy hình nón  Cho hình nón  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A 7 R B  R3 C Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao 26 R 81 D 52 R3 81 Câu 10: Hình nón tròn xoay có trục SO  R với R bán kính đáy, thiết diện qua trục hình nón tạo thành tam giác SAB tam giác Gọi I trung điểm SO E, F  SO EI FI   Khi đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón điểm: cho EO FO A I B E C F D O Câu 11: Cho hình nón tròn xoay đỉnh S, đáy đường tròn tâm O, bán kính R  Một thiết diện qua đỉnh S tạo thành tam giác SAB cho tam giác SAB đều, cạnh Khoảng cách từ O đến thiết diện  SAB  là: A d  13 B d  13 C d  13 D d  Câu 12: Cho hình nón có bán kính đáy R , chiều cao 2R , ngoại tiếp hình cầu S (O; r ) Khi đó, thể tích khối trụ ngoại tiếp hình cầu S (O; r ) A 16 R   1 B 4 R3 1 C 16 R3  1  D 4 R3 1 Câu 13: Một hình nón bị cắt mặt phẳng  P  song song với đáy Mặt phẳng  P  chia hình nón làm hai phần  N1   N  Cho hình cầu nội tiếp  N2  N1 hình vẽ cho thể tích hình cầu nửa thể tích  N  Một mặt phẳng qua trục hình nón vng góc với đáy cắt  N  theo thiết diện hình thang cân, tang góc nhọn hình thang cân A B C N2 D Câu 14: Trong hình nón nội tiếp hình cầu có bán kính 3, tính bán kính mặt đáy hình nón tích lớn A R  B R  C R  D R  2 Câu 15: Trong tất hình nón có độ dài đường sinh a , tìm hình nón tích lớn 2 a 3 A MaxV  27 MaxV   a3 B MaxV   a3 C MaxV  27 D 2 a 3 Câu 16: Trong hình nón tròn xoay có diện tích tồn phần  Tính thể tích hình nón lớn nhất? File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A  B  12 C Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao  D  Câu 17: Giá trị lớn thể tích khối nón nội tiếp khối cầu có bán kính R A R B  R3 C  R3 D 32  R3 81 Câu 18: Tìm hình nón tích nhỏ ngoại tiếp mặt cầu bán kính r cho trước tích bằng: A  r B  r C  r D  r 3 Câu 19: Cho hình nón  N  có đáy hình tròn tâm O Đường kính 2a đường cao SO  a Cho điểm H thay đổi đoạn thẳng SO Mặt phẳng  P  vng góc với SO H cắt hình nón theo đường tròn  C  Khối nón có đỉnh O đáy hình tròn  C  tích lớn bao nhiêu? A 2 a 81 B 4 a 81 C 7 a 81 D 8 a 81 Câu 20: Cho hình nón có chiều cao h Tính chiều cao x khối trụ tích lớn nội tiếp hình nón theo h h h h 2h A x  B x  C x  D x  3 Câu 21: Cho hình nón đỉnh S , đáy hình tròn tâm O , góc đỉnh 120 Trên đường tròn đáy, lấy điểm A cố định điểm M di động Có vị trí điểm điểm M để diện tích tam giác SAM đạt giá trị lớn nhất? A B C D vơ số Câu 22: Hình nón tích lớn nội tiếp mặt cầu bán kính R cho trước bằng: A 64 R3 81 B 32 R 81 C 32 R3 81 D 64 R3 81 Câu 23: Cho nửa đường tròn đường kính AB  R điểm C thay đổi nửa đường tròn đó, đặt  gọi H hình chiếu vng góc C lên AB Tìm  cho thể tích vật thể   CAB tròn xoay tạo thành quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn A   60 B   45 C arctan D   30 Câu 24: Gọi r h bán kính đáy chiều cao hình nón Kí hiệu V1 ,V2 thể tích hình nón thể tích hình cầu nội tiếp hình nón Khi r h thay đổi, tìm giá trị V bé tỉ số V2 A B 2 C File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Câu 25: Với miếng tơn hình tròn có bán kính R  6cm Người ta muốn làm phễu cách cắt hình quạt hình tròn gấp phần lại thành hình nón (Như hình vẽ) Hình nón tích lớn người ta cắt cung tròn hình quạt bằng: A 4 6cm B 6 6cm C 2 6cm D 8 6cm Câu 26: Gọi r h bán kính đáy chiều cao hình nón Kí hiệu V1 , V2 thể tích hình nón thể tích khối cầu nội tiếp hình nón Giá trị bé tỉ số V1 V2 A B C D Câu 27: Cho hình nón có chiều cao h, đường tròn đáy bán kính R Một mặt phẳng (P) song song với đáy cách đáy khoảng d cắt hình nón theo đường tròn (L) Dựng hình trụ có đáy (L), đáy lại thuộc đáy hình nón trục trùng với trục hình nón Tìm d để thể tích hình trụ lớn h h h h A d  B d  C d  D d  Câu 28: Cho miếng tơn hình tròn có bán kính 50cm Biết hình nón tích lớn diện tích tồn phần hình nón diện tích miếng tơn Khi hình nón có bán kính đáy A 10 2cm B 20cm C 50 2cm File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D 25cm Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao C – HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Hình nón tròn xoay nội tiếp tứ diện cạnh a có diện tích xung quanh bằng:    2 A S xq  a B S xq  a 2 C S xq  a D S xq  a 6 Hướng dẫn giải: Gọi S ABC tứ diện cạnh a S Gọi H trung điểm cạnh BC a đường sinh hình nón Ba điểm A, O, H thẳng hàng Kẻ SO   ABC  SH  C 1 a a AH   3 a a  a2 S xq   OH SH    Chọn A A HO  Câu 2: B Hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ diện cạnh a có diện tích xung quanh bằng:  a2  a2 B S xq  3 Hướng dẫn giải: Kẻ SO   ABC  , SH  BC  OH  BC A S xq  Ta có: OA  C S xq   a2 3 a a S a A O a S xq  Chọn C H A bình nước là: 9 10 dm C B Một bình đựng nước dạng hình nón (khơng đáy) đựng đầy nước Biết chiều cao bình gấp lần bán kính đáy Người ta thả vào khối trụ đo dược thể tích nước tràn 16 dm Biết mặt khối trụ nằm mặt hình nón, điểm đường tròn đáy lại thuộc đường sinh hình nón (như hình vẽ) khối trụ có chiều cao đường kính đáy hình nón Diện tích xung quanh S xq A S xq   a2 D S xq  2 a a AH   3 S xq   OA.SA   Câu 3: H O B S xq  4 10 dm C S xq  4 dm File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay O N M P I Q S D S xq  3 dm Trang B ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Hướng dẫn giải: Chọn B Xét hình nón: h  SO  3r , r  OB, l  SA Xét hình trụ: h1  2r  NQ , r1  ON  QI SQI  SBO  Vt   r12 h1  QI SI r    r1   Thể tích khối trụ là: BO SO 3 2 r 16   r   h   l  h  r  10 9  S xq   rl  4 10 dm Câu 4: Cho khối nón tròn xoay có đường cao h  20 cm , bán kính đáy r  25 cm Một mặt phẳng (P) qua đỉnh khối nón có khoảng cách đến tâm O đáy 12 cm Khi diện tích thiết diện (P) với khối nón bằng: A 500 cm B 475 cm C 450 cm D 550 cm Hướng dẫn giải: Gọi S đỉnh khối nón Mặt phẳng (P) qua đỉnh S cắt khối nón theo hai đường sinh SA  SB nên ta có thiết diện tam giác cân SAB Gọi I trung điểm đoạn AB, ta có OI  AB Từ tâm O đáy ta kẻ OH  SI H, ta có OH   SAB  theo giả thiết ta có OH  12 cm Xét tam giác vng SOI ta có: 1 1    2 2 2 OI OH OS 12 20  OI  15  cm  Mặt khác, xét tam giác vuông SOI ta có: OS OI  SI OH Do SI  OS OI 20.15   25  cm  OH 12 Gọi St diện tích thiết diện SAB Ta có: St  AB.SI , AB  AI Vì AI  OA2  OI  252  152  20 nên AI  20 cm AB  40 cm Vậy thiết diện SAB có diện tích là: St  40.25  500  cm  Chọn A Câu 5: Cho tam giác ABC có độ dài cạnh huyền Người ta quay tam giác ABC quanh cạnh góc vng để sinh hình nón Hỏi thể tích V khối nón sinh lớn File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 250 3 27 Hướng dẫn giải: A V  B V  25 2 27 C V  Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao 20 3 27 D V  250 6 27 1 25 Ta có V   r h   x y    25  y  y   y   y 3 3 Xét hàm số V  Ta có V '  25  y   y với  y  3 25   y2   y  3 Khi thể tích lớn V  250 3 27 Chọn A Câu 6: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB  , đáy lớn CD  , cạnh bên AD  quay quanh đường thẳng AB Tính thể tích V khối tròn xoay tạo thành B V   C V   D V   A V  3 3 Hướng dẫn giải: Chọn C Theo hình vẽ: AH  HD  Thể tích khối tròn xoay tạo thành thể tích khối trụ có bán kính r  AH  , chiều cao CD  trừ thể tích hai khối nón (khối nón đỉnh A, đỉnh B đáy đáy hình trụ) 2  Vậy V   AH CD   AH HD        3  Câu 7:     00    900  , AD  a  Cho hình bình hành ABCD có BAD ADB  900 Quay ABCD quanh AB, ta vật tròn xoay tích là: A V   a sin  B V   a sin  cos sin  cos Hướng dẫn giải: C V   a3 D V   a cos 2 sin  Kẻ DH  AB, CN  AB Các tam giác vuông HAD NBC File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A DH  CN  a.sin  AH  BN  a.cos  Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao D a cos  Khi quay quanh AB, tam giác vuông AHD NBC tạo thành hai hình nón tròn xoay nên: C a  HN  AB  α A H N B 1 a sin    V   DH AH    DH HN   CN BN    DH AB   a sin    a3 3 sin  cos   Chọn C Câu 8: Cho khối nón đỉnh O , trục OI Măt phẳng trung trực OI chia khối chóp thành hai phần Tỉ số thể tích hai phần là: 1 1 A B C D Hướng dẫn giải: Chọn D Gọi R bán kính đáy khối nón trục OI  V   R OI Giả sử mặt phẳng trung trực OI cắt trục OI H , cắt đường sinh OM N Khi mặt phẳng chia khối nón thành phần, phần R khối nón có bán kính r  , có chiều cao 2 OI  R   OI   R OI  V1      Phần  2   24 khối nón cụt tích V2  V  V1   R OI  R OI 7 R OI   24 24  R OI V 24 Vậy tỉ số thể tích là:   V2 7 R OI 24 Câu 9: có bán kính đáy R, đường cao SO Gọi (P) mà mặt phẳng vng góc với SO O1 cho SO1  SO Một mặt phẳng qua trục hình nón cắt phần khối nón  nằm (P) đáy hình nón theo thiết diện hình tứ giác có hai đường chéo vng góc Tính thể tích phần hình nón  nằm mặt phẳng (P) mặt phẳng chứa đáy hình nón  Cho hình nón  7 R A  R3 B 26 R C 81 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 52 R3 D 81 Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Để nhà sản xuất tiết kiệm ngun vật liệu diện tích tồn phần Stp hình trụ nhỏ Ta có: Stp  2 R  2 Rh  2 R  2 R  2 R  1000  R2 1000 1000 1000 1000   3 2 R  3 2 10002 R R R R Đẳng thức xảy 2 R  1000 500 R3 R  Câu 31: Một viên phấn bảng có dạng khối trụ với bán kính đáy 0,5cm , chiều dài 6cm Người ta làm hình hộp chữ nhật carton đựng viên phấn với kích thước 6cm  5cm  6cm Hỏi cần hộp kích thước để xếp 460 viên phấn? A 17 B 15 C 16 D 18 Hướng dẫn giải: Chọn C Có cách xếp phấn theo hình vẽ đây: A M B C H2 H1 H3 Nếu xếp theo hình H : đường kính viên phấn 2.0,5  1cm nên hộp xếp tối đa số viên phấn là: 6.5  30 Nếu xếp theo hình H : hàng viên xen kẽ hàng viên Gọi số hàng xếp n  1, n    Ta có ABC cạnh  CM   5 n   xếp tối đa hàng  hộp xếp tối đa số viên phấn là: 3.6  2.5  28 Nếu xếp theo hình H :hàng viên xen kẽ hàng viên Gọi số hàng xếp m  1, m    Ta phải có 2.0,5  n 10 6m  xếp tối đa hàng  nên hộp xếp tối đa số viên phấn là: 3.5  3.4  27 Vậy, xếp theo hình H xếp nhiều phấn nhất, nên cần hộp Ta có 460 : 30  15,3  cần 16 hộp để xếp hết 460 viên phấn Ta phải có 2.0,5  m File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 117 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Câu 32: Một khối cầu có bán kính  dm  , người ta cắt bỏ hai phần khối cầu hai mặt phẳng song song vng góc đường kính cách tâm khoảng  dm  để làm lu đựng nước (như hình vẽ) Tính thể tích mà lu chứa A 100   dm3  B C 41  dm  43   dm3  D 132  dm3  Hướng dẫn giải: Chọn D Cách 1: Trên hệ trục tọa độ Oxy , xét đường tròn (C ) : ( x  5)2  y  25 Ta thấy cho nửa trục Ox  C  quay quanh trục Ox ta mặt cầu bán kính Nếu cho hình phẳng  H  giới hạn nửa trục Ox  C  , trục Ox , hai đường thẳng x  0, x  quay xung quanh trục Ox ta khối tròn xoay phần cắt khối cầu đề Ta có ( x  5)  y  25  y   25  ( x  5)  Nửa trục Ox  C  có phương trình y  25  ( x  5)  10 x  x  Thể tích vật thể tròn xoay cho  H  quay quanh Ox là: 2  x3  52 V1    10 x  x  dx    x    0  500 Thể tích khối cầu là: V2   53  3 Thể tích cần tìm: V  V2  2V1  500 52   132  dm3  3 Câu 33: Một tục lăn sơn nước có dạng hình trụ Đường kính đường tròn đáy 5cm , chiều dài lăn 23cm (hình bên) Sau lăn trọn 15 vòng trục lăn tạo nên sân phẳng diện diện tích 23 cm A 1725 cm B 3450 cm C 1725 cm D 862,5 cm cm Hướng dẫn giải: Chọn B File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 118 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Diện tích xung quanh mặt trụ S xq  2 Rl  2 5.23  230 cm Sau lăn 15 vòng diện tích phần sơn là: S  230 15  3450 cm Câu 34: Một bóng bàn chén hình trụ có chiều cao Người ta đặt bóng lên chén thấy phần ngồi bóng có chiều cao chiều cao Gọi V1 , V2 thể tích bóng chén, đó: A 9V1  8V2 B 3V1  2V2 C 16V1  9V2 D 27V1  8V2 Hướng dẫn giải: Chọn A Gọi r1 bán kính bóng, r2 bán kính chén, h chiều cao chén Theo giả thiết ta có h  2r1  r1  2h OO  r1 h  h h Ta có r        h     16 2 4 h Thể tích bóng V1   r13       h3 3 2 thể tích chén nước V2  B.h   r22 h  V  h3   16 V2 Câu 35: Phần khơng gian bên chai nước có hình dạng hình bên Biết bán kính đáy R  5cm, bán kính cổ r  2cm, AB  3cm, BC  6cm, CD  16cm Thể tích phần khơng gian bên chai nước bằng: A 495  cm3  B 462  cm3  A rB C 490  cm3  D 412  cm3  C Hướng dẫn giải: Thể tích khối trụ có đường cao CD : V1   R CD  400  cm3  Thể tích khối trụ có đường cao AB : V2   r AB  12  cm3  MC CF    MB  MB BE Thể tích phần giới hạn BC :  V3   R MC  r MB   78  cm3  Suy ra: V  V1  V2  V3  490  cm3  Ta có Chọn C M R B D E r=2 R=5 C F Câu 36: Bạn A muốn làm thùng hình trụ khơng đáy từ ngun liệu mảnh tơn hình tam giác ABC có cạnh 90  cm  Bạn muốn cắt mảnh tơn hình chữ nhật MNPQ từ File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 119 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao mảnh tơn nguyên liệu (với M , N thuộc cạnh BC ; P Q tương ứng thuộc cạnh AC AB ) để tạo thành hình trụ có chiều cao MQ Thể tích lớn thùng mà bạn A làm là: A 91125  cm3  4 B 91125  cm3  2 C 108000  cm3   D 13500  cm3   Hướng dẫn giải: Gọi I trung điểm BC Suy I trung điểm MN A Đặt MN=x (  x  90 ); MQ BM    MQ  (90  x) AI BI Gọi R bán kính trụ  R   VT   ( Q x 2 B M P N C x 3 ) (90  x)  ( x  90 x ) 2 8 Xét f ( x )  13500 3 ( x  90 x ) với  x  90 Khi đó: max f ( x )  x= 60 8  x(0;90) Câu 37: Nhà Nam có bàn tròn có bán kính m Nam muốn mắc bóng điện phía bàn cho mép bàn nhận nhiều ánh sáng Biết sin  cường độ sáng C bóng điện biểu thị công thức C  c (  góc tạo l tia sáng tới mép bàn mặt bàn, c - số tỷ lệ phụ thuộc vào nguồn sáng, l khoảng cách từ mép bàn tới bóng điện) Khoảng cách nam cần treo bóng điện tính từ mặt bàn A 1m B 1,2m C 1.5 m D 2m Hướng dẫn giải: Đ l h α N I M File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 120 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Gọi h độ cao bóng điện so với mặt bàn (h > 0); Đ bóng điện; I hình chiếu Đ lên mặt bàn MN đường kính mặt bàn.( hình vẽ) l2  h 2 (l  2) Ta có sin   h  l  , suy cường độ sáng là: C (l )  c l l3 C '  l   c  l2   l  l l   C 'l    l  l    Lập bảng biến thiên ta thu kết C lớn l  , Câu 38: Với đĩa tròn thép tráng có bán kính R  6m phải làm phễu cách cắt hình quạt đĩa gấp phần lại thành hình tròn Cung tròn hình quạt bị cắt phải độ để hình nón tích cực đại? 6m O N A  66 B  294 C  12,56 D  2,8 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta nhận thấy đường sinh hình nón bán kính đĩa tròn Còn chu vi đáy hình nón chu vi đĩa trừ độ dài cung tròn cắt Như ta tiến hành giải chi tiết sau: Gọi x (m) độ dài đáy hình nón (phần lại sau cắt cung hình quạt dĩa) Khi x  2 r  r  x 2 Chiều cao hình nón tính theo định lí PITAGO h  R  r  R  1 x2 Thể tích khối nón là: V   r h   3 4 R2  x2 4 x2 4 Đến em đạo hàm hàm V ( x) tìm GTLN V ( x) đạt 2 x R  4 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 121 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Suy độ dài cung tròn bị cắt là: 2 R  4    Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao 6  4 3600  660 6 Câu 39: Một công ty nhận làm thùng phi kín hay đáy với thể tích theo yêu cầu 2 m3 yêu cầu tiết kiệm vật liệu Hỏi thùng phải có bán kính đáy R chiều cao h bao nhiêu? A R  2m, h  m B R  1 m, h  8m C R  4m, h  m D R  1m, h  2m Hướng dẫn giải: Chọn A Gọi R bán kính đáy thùng ( m ), h : chiều cao thùng ( m ) ĐK: R  0, h  Thể tích thùng là: V   R h  2  R h   h  R2 Diện tích tồn phần thùng là:   2  Stp  2 Rh  2 R  2 R  h  R   2 R   R   2   R  R  R  2  Đặt f  t   2   t   t   với t  R t    4  t  1 f '  t   4  t    , f ' 1   t   t  t  t  Từ bảng biến thiên… ta cần chế tạo thùng với kích thước R  1m, h  2m Câu 40: Có cốc làm giấy, úp ngược hình vẽ Chiều cao cốc 20 cm , bán kính đáy cốc 4cm , bán kính miệng cốc 5cm Một kiến đứng điểm A miệng cốc dự định bò hai vòng quanh than cốc để lên đến đáy cốc điểm B Quãng đường ngắn để kiến thực dự định gần với kết dước đây? A 59,98 cm B 59,93cm C 58, 67 cm D 58,80 cm Hướng dẫn giải: Chọn D File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 122 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Đặt b, a, h bán kính đáy cốc, miệng cốc chiều cao cốc,  góc kí hiệu hình vẽ Ta “trải” hai lần mặt xung quanh cốc lên mặt phẳng hình quạt khuyên với cung nhỏ BB "  4 b cung lớn AA "  4 a Độ dài ngắn đường kiến độ dài đoạn thẳng BA” Áp dụng định lí hàm số cosin ta được: l  BO  OA2  BO.OA.cos 2 (1) BA  AB  (a  b)  h   ) OA OB  AB a 4 a l ( BB AB AB.      1  1 ) OB 2 b b 4 b l (AA OB 2 b  b ( a  b)  h 2 ( a  b) 2 ( a  b) AB a a b (b )  1   OB   (a) AB OB b b ab (a  b)2  h OA  OB  BA  b ( a  b)  h  (a  b)2  h (c ) a b Thay (a), (b), (c) vào (1) ta tìm l l  58, 79609cm  58,80  điểm khác Ghi Để tồn lời giải đoạn BA” phải khơng cắt cung BB  B Điều tương đương với B, tức BA” nằm tiếp tuyến BB b 2  cos 1   Tuy nhiên, lời giải thí sinh khơng u cầu phải trình bày điều a kiện (và đề cho thỏa mãn yêu cầu đó) Câu 41: Gia đình An xây bể hình trụ tích 150 m3 Đáy bể làm bê tông giá 100 000 đ / m Phần thân làm tôn giá 90000 đ / m , nắp nhôm giá 120 000 đ / m Hỏi chi phí sản suất để bể đạt mức thấp tỷ số chiều cao bể bán kính đáy bao nhiêu? A 22 B 22 C 31 22 D Hướng dẫn giải: : Chọn A 21 32 A File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay O Trang 123 B O A B ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao 150  R2 Mà ta có: f  R   100000 R  120000 R  180000 Rh Ta có: V  150   R h  150  h  150 27000000  220000 R  R R Để chi phí thấp hàm số f  R  đạt giá trị nhỏ với R  f  R   220000 R  180000 R 27000000 440000 R3  27000000 30  , cho f   R    R  2 R R 440 30 Lập BBT, từ BBT suy f  R  R  R 0 440 h 150 22 Nên   R  R3 f   R   440000 R  Câu 42: Học sinh A sử dụng xô đựng nước có hình dạng kích thước giống hình vẽ, đáy xơ hình tròn có bán kính 20 cm , miệng xơ đường tròn bán kính 30 cm , chiều cao xơ 80 cm Mỗi tháng A dùng hết 10 xô nước Hỏi A phải trả tiền nước tháng, biết giá nước 20000 đồng/ m3 (số tiền làm tròn đến đơn vị đồng)? A 35279 đồng B 38905 đồng C 42116 đồng D 31835 đồng Hướng dẫn giải: Chọn D Ta xét hình nón đỉnh A , đường cao h  80 cm đáy đường tròn tâm O , bán kính 30 cm Mặt phẳng   cách mặt đáy 80 cm cắt hình nón theo giao tuyến đường tròn tâm O ' có bán kính 20 cm Mặt phẳng   chia hình nón thành phần Phần I phần chứa đỉnh A , phần II phần khơng chứa đỉnh A ( Như hình vẽ) Ta có O ' B AO ' AO '     AO '  160 cm OC AO AO ' O ' O Thể tích hình nón V  AO. 302  72000 cm 3 Thể tích phần I V1  64000 AO '. 202   cm3 3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 124 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Vậy thể tích xơ thể tích phần II V2  V  V1  Vậy số tiền phải trả T  Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao 152000 19  cm3    m3  375 19 10.20000  31835 đồng 375 Câu 43: Một cốc nước hình trụ có chiều cao 9cm , đường kính 6cm Mặt đáy phẳng dày 1cm , thành cốc dày 0, 2cm Đổ vào cốc 120ml nước sau thả vào cốc viên bi có đường kính 2cm Hỏi mặt nước cốc cách mép cốc cm (Làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy) A 3, 67 cm B 2, 67 cm C 3, 28 cm D 2, 28 cm Hướng dẫn giải: Chọn D Thành cốc dày 0, 2cm nên bán kính đáy trụ 2,8cm Đáy cốc dày 1cm nên chiều cao hình trụ 8cm Thể tích khối trụ V    2,8  197, 04  cm3  Đổ 120ml vào cốc, thể tích lại 197, 04  120  77, 04  cm3  Thả viên bi vào cốc, thể tích viên bi Vbi  . 13  20,94 (cm3 ) Thể tích cốc lại 77, 04  20,94  56,1  cm3  Ta có 56,1  h '.  2,8   h '  2, 28 cm Cách khác: Dùng tỉ số thể tích  2,8   h VTr  coc    hnuoc bi  5, 72 Vnuoc  Vbi hnuoc bi 120  . hnuoc bi Chiều cao lại trụ  5, 72  2, 28 Vậy mặt nước cốc cách mép cốc 2, 28 cm Câu 44: Người ta xếp hình trụ có bán kính đáy r chiều cao h vào lọ hình trụ có chiều cao h, cho tất hình tròn đáy hình trụ nhỏ tiếp xúc với đáy hình trụ lớn, hình trụ nằm tiếp xúc với sáu hình trụ xung quanh, hình trụ xung quanh tiếp xúc với đường sinh lọ hình trụ lớn Khi thể tích lọ hình trụ lớn là: A 16 r h B 18 r h C 9 r h D 36 r h Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 125 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Ta có hình vẽ minh họa mặt đáy hình cho trên, ta rõ ràng nhận R  3r , đề phức tạp, nhiên để ý kĩ lại đơn giản Vậy V  B.h   3r   h  9 r h Câu 45: Từ kim loại dẻo hình quạt hình vẽ có kích thước bán kính R  chu vi hình quạt P  8  10 , người ta gò kim loại thành phễu theo hai cách: Gò kim loại ban đầu thành mặt xung quanh phễu Chia đôi kim loại thành hai phần gò thành mặt xung quanh hai phễu Gọi V1 thể tích phễu thứ nhất, V2 tổng thể tích hai phễu cách Tính V1 ? V2 A V1 21  V2 B V1 21  V2 C V1  V2 D V1  V2 Hướng dẫn giải: Do chu vi hình quạt tròn P = độ dài cung + 2R Do độ dài cung tròn l  8 Theo cách thứ nhất: 8 chu vi đường tròn đáy phễu Tức 2 r  8  r  Khi h  R  r  52  42   V1  3 42 Theo cách thứ hai: Thì tổng chu vi hai đường tròn đáy hai phễu 8  chu vi đường tròn đáy 4  4  2 r  r  Khi h  R  r  52  22  21  V2  21.22. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 126 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khi Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao V1 42 21   V2 21 Câu 46: Cho miếng tơn hình tròn có bán kính 50cm Biết hình nón tích lớn diện tích tồn phần hình nón diện tích miếng tơn Khi hình nón có bán kính đáy A 10 2cm B 20cm C 50 2cm D 25cm Hướng dẫn giải: Đặt a  50cm Gọi bán kính đáy chiều cao hình nón x, y  x, y   Ta có SA  SH  AH  x  y Khi diện tích tồn phần hình nón Stp   x   x x  y Theo giả thiết ta có  x2   x x2  y   a2  x x2  y2  x2  a2  x x  y  a  x  x  x  y   a  x  2a x ,  DK : x  a   x  a4 y  2a Khi thể tích khối nón a4 y V   y   a4 2 y  2a y  2a y  2a V đạt giá trị lớn đạt giá trị nhỏ y y  2a 2a 2a Ta có  y  y  2a y y y a 2a Vậy V đạt giá trị lớn y  , tức y  a  x   25cm y File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 127 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Lưu ý: Bài em xét hàm số lập bảng biến thiên Câu 47: Một chậu nước hình bán cầu nhơm có bán kính R =10cm, đặt khung hình hộp chữ nhật (hình 1) Trong chậu có chứa sẵn khối nước hình chỏm cầu có chiều cao h = 4cm Người ta bỏ vào chậu viên bi hình cầu kim loại mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi (hình 2) Bán kính viên bi gần số ngun sau (Cho biết thể tích h  khối chỏm cầu V   h  R   ) 3  A B C D 10 Hướng dẫn giải: Gọi x bán kính viên bi hình cầu Điều kiện: < 2x (loại) x2  2,0940 < (thỏa mãn), x3  - 1,8197 (loại) Vậy bán kính viên bi là: r  2,09 (cm) Câu 48: Một người có dải băng dài 130 cm, người cần bọc dải băng đỏ quanh hộp q hình trụ Khi bọc quà, người dùng 10 cm dải băng để thắt nơ nắp hộp (như hình vẽ minh họa) Hỏi dải băng bọc hộp q tích lớn bao nhiêu? File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 128 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A 4000 cm3 B 32000 cm3 Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao C 1000 cm3 D 16000 cm3 Hướng dẫn giải: Một toán thực tế hay ứng dụng việc tìm giá trị lớn hàm số Ta nhận thấy, dải băng tạo thành hai hình chữ nhật quanh hộp, chiều dài dải băng tổng chu vi hai hình chữ nhật Tất nhiên chiều dài băng phải trừ phần băng dùng để thắt nơ, có nghĩa là: 22  2r  h   120  h  30  2r Khi thể tích hộp q tính cơng thức: V  B.h   r  30  2r     2r  30r  Xét hàm số f  r   2r  30r  0;15  r  l  f '  r   6r  60r; f '  r      r  10 Khi vẽ BBT ta nhận Max f  r   f 10  Khi thể tích hộp quà  0;10  V  B.h   10 10  1000 Câu 49: Một khối gạch hình lập phương (khơng thấm nước) có cạnh đặt vào chiếu phễu hình nón tròn xoay chứa đầy nước theo cách sau: Một cạnh viên gạch nằm mặt nước (nằm đường kính mặt này); đỉnh lại nằm mặt nón; tâm viên gạch nằm trục hình nón Tính thể tích nước lại phễu (làm tròn chữ số thập phân) A V =22,27 B V =22,30 C V =23.10 D 20,64 Hướng dẫn giải: Gọi R, h bán kính chiều cao hình nón (phễu) File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 129 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Thiết diện hình nón song song với đáy hình nón, qua tâm viên gạch hình tròn R h h có bán kính R1  thỏa mãn   R  1 R h h Thiết diện hình nón song song với đáy hình nón, chứa cạnh đối diện với cạnh nằm đáy hình nón hình tròn có bán kính R2  thỏa mãn R2 h  2 h2   R  1  R h h Từ (1) (2) suy h 2  3h R   h2 Thể tích lượng nước lại phễu V  Vnón - Vgạch   R h  23  22, 2676 Câu 50: Một nồi hiệu Happycook dạng hình trụ khơng nắp chiều cao nồi 11.4 cm, đường kính dáy 20.8 cm Hỏi nhà sản xuất cần miếng kim loại hình tròn có bán kính R tối thiểu để làm nồi (không kể quay nồi) A R  18.58cm C R  13.13cm B R  19.58cm D R  14.13cm Hướng dẫn giải: Diện tích xung quanh nồi 5928 S1  2 rl  2 10, 4.11,   25 Diện tích đáy nồi S   r  2704  25 Suy diện tích tối thiểu miếng kim loại hình tròn 8632 S  S1  S     R  R  18.58cm 25 Chọn A Câu 51: Một bồn hình trụ chứa dầu, đặt nằm ngang, có chiều dài bồn 5m , có bán kính đáy 1m , với nắp bồn đặt mặt nằm ngang mặt trụ Người ta rút dầu bồn tương ứng với 0,5m đường kính đáy Tính thể tích gần khối dầu lại bồn (theo đơn vị m3 ) A 12,637m B 114,923m C 11,781m D 8,307m Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 130 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nhận xét OH  CH  0,  Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao R OB suy OHB tam giác nửa  22   60    HOB AOB  120 C 1 Suy diện tích hình quạt OAB là: S   R   3 B A OB  ( BOC 4 Vậy diện tích hình viên phân cung AB   Mặt khác: S AOB  SHOB  S BOC  H O đều) 1 3 Suy thể tích dầu rút ra: V1      3   Thể tích dầu ban đầu: V  5. 12  5 Vậy thể tích lại: V2  V  V1  12,637m3 Chọn A File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 131 ... Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón- Trụ- Cầu Nâng Cao B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Một hình trụ có bán kính đáy R có thiết diện qua trục hình vng Tính thể tích khối lăng trụ tứ... Trang 15 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón- Trụ- Cầu Nâng Cao Chọn B Câu 20: Cho hình nón có chiều cao h Tính chiều cao x khối trụ tích lớn nội tiếp hình nón theo h h h h... https://www.facebook.com/dongpay Trang 21 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Mặt Nón- Trụ- Cầu Nâng Cao MẶT TRỤ - KHỐI TRỤ A – LÝ THUYẾT CHUNG Định nghĩa mặt trụ Δ - Cho đường thẳng  Xét đường