1 NH TPXĐ TPBĐ KTT UD TPSR Tích phân (Dành cho Tốn cao cấp A1, B1, C2) ThS Trần Bảo Ngọc Bộ mơn Tốn, Khoa Khoa học, Đại học Nông Lâm TP HCM Email: tranbaongoc@hcmuaf.edu.vn ThS Trần Bảo Ngọc Tích phân (Dành NH TPXĐ TPBĐ KTT UD TPSR Nội dung 1 NH 2 TPXĐ 3 TPBĐ 4 KTT 5 UD 6 TPSR ThS Trần Bảo Ngọc Tích phân (Dành NH TPXĐ TPBĐ KTT UD TPSR "Hỏi câu dốt chốc lát Nhưng không hỏi dốt nát đời." Ngạn ngữ phương Tây ThS Trần Bảo Ngọc Tích phân (Dành NH TPXĐ TPBĐ KTT UD TPSR Nguyên hàm −→ 1.1 Định nghĩa Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định (a; b) Khi hàm số y = F (x) gọi nguyên hàm hàm số y = f (x) F (x) có đạo hàm (a; b) F (x) = f (x) với x ∈ (a; b) Ví dụ : Chứng minh hàm số F (x) = x sin(x) + cos(x) + 2016 nguyên hàm hàm số f (x) = x cos(x) R Chứng minh : Ta có F (x) = x sin(x) + cos(x) + 2016 = sin(x) + x cos(x) − sin(x) = x cos(x) ThS Trần Bảo Ngọc Tích phân (Dành NH TPXĐ TPBĐ KTT UD TPSR Nguyên hàm −→ 1.2 Tính chất Note Nếu F (x) nguyên hàm f (x) ngun hàm f (x) có dạng F (x) + C , điều có ý nghĩa cần tìm nguyên hàm f (x) ta tìm ngun hàm f (x) Tính chất Cho c số, gọi F (x), G (x) nguyên hàm f (x), g (x) (a; b) Khi c.F (x) nguyên hàm c.f (x) (a; b) F (x) + G (x) nguyên hàm f (x) + g (x) (a; b) ThS Trần Bảo Ngọc Tích phân (Dành NH TPXĐ TPBĐ KTT UD TPSR Nguyên hàm −→ 1.2 Tính chất Câu hỏi : Nếu F (x), G (x) nguyên hàm f (x), g (x) (a; b) F (x).G (x) có phải ngun hàm f (x).g (x) ? Cho ví dụ minh họa ThS Trần Bảo Ngọc Tích phân (Dành NH TPXĐ TPBĐ KTT UD TPSR Nguyên hàm −→ 1.3 Các nguyên hàm Nguyên hàm hàm số sơ cấp x α+1 +C α+1 ax ax có nguyên hàm +C ln(a) sin(x) có nguyên − cos(x) x α có nguyên hàm cos(x) có nguyên sin(x) tan(x) có nguyên tan2 (x) + = cos2 (x) cot(x) có nguyên − cot2 (x) + = − ThS Trần Bảo Ngọc Tích phân sin (x) (Dành NH TPXĐ TPBĐ KTT UD TPSR Nguyên hàm −→ 1.4 Các phương pháp tìm nguyên hàm Định lý (PP Đổi biến số) Nếu f (x) có ngun hàm F (x) f (u(x)).u (x) có ngun hàm F (u(x)) Ví dụ : Tìm nguyên hàm hàm số a) e sin(x) cos(x) b) (1 − 2x)7 c) √ d) x + x2 cos(x) − sin(x) sin(x) + cos(x) ThS Trần Bảo Ngọc Tích phân (Dành NH TPXĐ TPBĐ KTT UD TPSR Nguyên hàm −→ 1.4 Các phương pháp tìm nguyên hàm Định lý (PP Nguyên hàm phần) Cho f (x), g (x) có nguyên hàm tương ứng F (x), G (x) Nếu f (x)G (x) có ngun hàm H(x) F (x)g (x) có nguyên hàm F (x)G (x) − H(x) Ví dụ : Tìm ngun hàm hàm số a) x cos(x) b) xe x c) x ln(x) d) e x cos(x) ThS Trần Bảo Ngọc Tích phân (Dành NH TPXĐ TPBĐ KTT UD TPSR Nội dung 1 NH 2 TPXĐ 3 TPBĐ 4 KTT 5 UD 6 TPSR ThS Trần Bảo Ngọc Tích phân (Dành NH TPXĐ TPBĐ KTT UD TPSR Ứng dụng TPXĐ Tích phân xác định ứng dụng nhiều Tính diện tích hình phẳng (hình nằm mặt phẳng) Tính thể tích vật thể tròn xoay Tính độ dài đường cong Tính diện tích xung quanh vật thể tròn xoay ThS Trần Bảo Ngọc Tích phân (Dành NH TPXĐ TPBĐ KTT UD TPSR Ứng dụng TPXĐ −→ 5.1 Tính diện tích HP Định lý (Tính diện tích hình phẳng) Diện tích S hình phẳng giới hạn đường y = f (x), y = g (x), x = a x = b cho công thức b f (x) − g (x) dx S= a Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x − x, y = 0, x = x = 2 Giải Ta có S = x − x dx = x − x dx 1 = x − x dx + (x − x)dx + ThS Trần Bảo Ngọc (x − x)dx = = 1 Tích phân (Dành NH TPXĐ TPBĐ KTT UD TPSR Ứng dụng TPXĐ −→ 5.1 Tính diện tích HP Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x, y = 4x y = x Giải Ta chia diện tích HP cần tính thành phần nằm phía trục tung Khi 1/2 (4x − x)dx + S =2 = 3x 1/2 x=1/2 x=0 + ln(x) − ThS Trần Bảo Ngọc x2 Tích phân − x dx x x=1 x=1/2 = ln(2) (Dành NH TPXĐ TPBĐ KTT UD TPSR Ứng dụng TPXĐ −→ 5.1 Tính diện tích HP Câu hỏi : Ta nên vẽ phần hình phẳng cần tính diện tích ? Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y + 8x = 16 y − 24x = 52 Giải Hình phẳng hạn đồ thị hai hàm số x = y − 52 (theo biến y ) Do đó, 24 16 − y y − 52 S = − dy 24 −5 16 − y x = = = 6 25 − y dy = −5 25y − y3 y =5 = y =−5 ThS Trần Bảo Ngọc (25 − y )dy −5 250 Tích phân (Dành NH TPXĐ TPBĐ KTT UD TPSR Ứng dụng TPXĐ −→ 5.2 Tính thể tích VTTX Định lý (Tính thể tích VTTX) Thể tích V vật thể tròn xoay tạo thành quay phần hình phẳng giới hạn đường y = f (x), y = 0, x = a x = b xung quanh trục Ox b V =π f (x)dx a Ví dụ : Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành quay phần hình phẳng giới hạn đường y = x + 1, y = 0, x = x = −1 Giải V =π x2 + dx = π −1 ThS Trần Bảo Ngọc x 2x + +x Tích phân x=1 = x=−1 56π 15 (Dành NH TPXĐ TPBĐ KTT UD TPSR Ứng dụng TPXĐ −→ 5.2 Tính thể tích VTTX Ví dụ : Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành quay phần hình phẳng giới hạn đường y = x + 1, y = , x = x = −1 Giải V =π (x + −1 dx − π −1 2 dx 56π π − 15 97π = 30 = ThS Trần Bảo Ngọc Tích phân (Dành NH TPXĐ TPBĐ KTT UD TPSR Ứng dụng TPXĐ −→ 5.3 Tính độ dài đường cong Định lý (Tính độ dài đường cong phẳng) Độ dài đường cong ứng với đồ thị hàm số y = f (x) với a ≤ x ≤ b b + f (x) dx L= a 1 Ví dụ : Tính độ dài đường cong xác định y = x − ln(x) 4 với ≤ x ≤ e x Giải Ta có y = − nên 2x e 1+ L= x − 2x ThS Trần Bảo Ngọc e dx = Tích phân x + 2x dx = (Dành NH TPXĐ TPBĐ KTT UD TPSR Ứng dụng TPXĐ −→ 5.4 Tính DTXQ mặt TX Định lý (diện tích xung quanh mặt tròn xoay) Diện tích xung quanh mặt tròn xoay sinh sau quay đường cong xác định y = f (x) với a ≤ x ≤ b b Sxq = 2π f (x) + f (x) dx a Ví dụ : Tính diện tích xung quanh mặt tròn xoay sinh sau quay đường cong xác định x = y với ≤ y ≤ ThS Trần Bảo Ngọc Tích phân (Dành NH TPXĐ TPBĐ KTT UD TPSR Nội dung 1 NH 2 TPXĐ 3 TPBĐ 4 KTT 5 UD 6 TPSR ThS Trần Bảo Ngọc Tích phân (Dành NH TPXĐ TPBĐ KTT UD TPSR Tích phân suy rộng Định nghĩa (TPSR) Cho hàm số f (x), giới hạn b lim b→+∞ a f (x)dx tồn hữu hạn giới hạn gọi tích phân suy rộng (loại 1) f (a; +∞) Chú ý Nếu giới hạn tồn hữu hạn tích phân suy rộng tương ứng gọi hội tụ, ngược lại gọi phân kỳ Ví dụ Xét hội tụ, phân kỳ tích phân suy rộng +∞ dx, + x2 ThS Trần Bảo Ngọc +∞ Tích phân dx xα (Dành NH TPXĐ TPBĐ KTT UD TPSR Tích phân suy rộng Định nghĩa (TPSR) Cho hàm số f (x), giới hạn +∞ b f (x)dx := lim b→+∞ a a f (x)dx tồn hữu hạn giới hạn gọi tích phân suy rộng (loại 1) f (a; +∞) Ví dụ Xét hội tụ, phân kỳ tích phân suy rộng +∞ dx, + x2 ThS Trần Bảo Ngọc +∞ Tích phân dx xα (Dành NH TPXĐ TPBĐ KTT UD TPSR Tích phân suy rộng Định nghĩa (TPSR) Cho hàm số f (x), giới hạn b b f (x)dx := lim a→−∞ a −∞ f (x)dx tồn hữu hạn giới hạn gọi tích phân suy rộng (loại 1) f (−∞; b) Ví dụ Xét hội tụ, phân kỳ tích phân suy rộng e x dx −∞ ThS Trần Bảo Ngọc Tích phân (Dành NH TPXĐ TPBĐ KTT UD TPSR Tích phân suy rộng Định nghĩa (TPSR) Cho hàm số f (x), tích phân suy rộng c +∞ f (x)dx f (x)dx −∞ c tồn tổng c +∞ f (x)dx + −∞ f (x)dx c gọi tích phân suy rộng (loại 1) f (−∞; +∞) Ví dụ Xét hội tụ, phân kỳ tích phân suy rộng +∞ −∞ ThS Trần Bảo Ngọc dx + x2 Tích phân (Dành NH TPXĐ TPBĐ KTT UD TPSR Tích phân suy rộng Định nghĩa (TPSR) Cho hàm số f (x), tích phân suy rộng c +∞ f (x)dx −∞ f (x)dx c tồn tổng +∞ c +∞ f (x)dx := −∞ f (x)dx + −∞ f (x)dx c gọi tích phân suy rộng (loại 1) f (−∞; +∞) Ví dụ Xét hội tụ, phân kỳ tích phân suy rộng +∞ −∞ ThS Trần Bảo Ngọc dx + x2 Tích phân (Dành NH TPXĐ TPBĐ KTT UD TPSR Tích phân "Một ngày ngồi trách móc làm việc Một làm lòng ta nhẹ túi ta nặng." Benjamin Franklin HẾT ThS Trần Bảo Ngọc Tích phân (Dành ... sau thơng qua phần diện tích tương ứng 1.5 − 4x dx c1) (1 − x)dx c2) ThS Trần Bảo Ngọc Tích phân (Dành NH TPXĐ TPBĐ KTT UD TPSR Tích phân xác định −→ 2 .4 Tính chất Định lý (Tính chất tích phân xác... KTT UD TPSR Tích phân xác định −→ 2 .4 Tính chất Định lý (Phép tốn +, − × tích phân xác định) Cho c số f , g hàm khả tích [a; b] Khi b b f (x) ± g (x) dx = P4 a a b P5 g (x)dx a b c.f (x) dx =... sin(x) sin(x) + cos(x) ThS Trần Bảo Ngọc Tích phân (Dành NH TPXĐ TPBĐ KTT UD TPSR Nguyên hàm −→ 1 .4 Các phương pháp tìm nguyên hàm Định lý (PP Nguyên hàm phần) Cho f (x), g (x) có nguyên hàm tương