Đang tải... (xem toàn văn)
Một số công thức truy hồi trong bài toán tháp Hà Nội tổng quát (Luận văn thạc sĩ)Một số công thức truy hồi trong bài toán tháp Hà Nội tổng quát (Luận văn thạc sĩ)Một số công thức truy hồi trong bài toán tháp Hà Nội tổng quát (Luận văn thạc sĩ)Một số công thức truy hồi trong bài toán tháp Hà Nội tổng quát (Luận văn thạc sĩ)Một số công thức truy hồi trong bài toán tháp Hà Nội tổng quát (Luận văn thạc sĩ)Một số công thức truy hồi trong bài toán tháp Hà Nội tổng quát (Luận văn thạc sĩ)Một số công thức truy hồi trong bài toán tháp Hà Nội tổng quát (Luận văn thạc sĩ)Một số công thức truy hồi trong bài toán tháp Hà Nội tổng quát (Luận văn thạc sĩ)Một số công thức truy hồi trong bài toán tháp Hà Nội tổng quát (Luận văn thạc sĩ)Một số công thức truy hồi trong bài toán tháp Hà Nội tổng quát (Luận văn thạc sĩ)Một số công thức truy hồi trong bài toán tháp Hà Nội tổng quát (Luận văn thạc sĩ)
-1- ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - VŨ THU TRANG MỘT SỐ CƠNG THỨC TRUY HỒI TRONG BÀI TỐN THÁP HÀ NỘI TỔNG QUÁT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2015 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ -2- MỤC LỤC Trang Mục lục…………………………………………………………… …… Lời nói đầu……………………………………………………… ….…… Chƣơng BÀI TOÁN THÁP HÀ NỘI TỔNG QUÁT………………… 1.1 Lịch sử toán Tháp Hà Nội ………………………………………… 1.1.1 Truyền thuyết 1.1.2 Lịch sử 1.2 Bài toán Tháp Hà Nội tổng quát 1.2.1 Bài toán Tháp Hà Nội cổ điển 1.2.2 Bài toán Tháp Hà Nội tổng quát Chƣơng MỘT SỐ CÔNG THỨC TRUY HỒI TRONG BÀI TOÁN THÁP HÀ NỘI DỰA TRÊN PHÁT BIỂU QUI HOẠCH ĐỘNG…… 17 2.1 Công thức qui hoạch động toán Tháp Hà Nội ……………… 17 T cọc … … … 30 2.3 Công thức truy hồi T 39 Kết luận………………………………… … 54 Tài liệu tham khảo………………………… .…… 55 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ -3- LỜI NÓI ĐẦU Tháp Hà Nội từ tiếng Việt đựợc biết đến nhiều giới, gắn liền với Trò chơi (hoặc Bài tốn) Tháp Hà Nội Bài toán giới thiệu phổ biến rộng rãi Paris từ năm 1883 nhà toán học Edouard Lucas Mặc dù khoảng 10 năm (từ năm 1883 đến 1891), báo sách, E Lucas thú vị quan trọng toán mối quan hệ với lĩnh vực khác (Dãy truy hồi, lí thuyết đồ thị, hệ đếm số 2, trò chơi tháo vòng Trung Hoa,…), tốn Tháp Hà Nội thường coi trò chơi tốn học nhiều tốn có nội dung tốn học Với bùng nổ cơng nghệ thơng tin, toán Tháp Hà Nội quan tâm trở lại toán thú vị Toán-Tin học vào năm 1970 Bài toán Tháp Hà Nội đưa vào hầu hết giáo trình tin học ví dụ điển hình thuật giải đệ qui, lập trình độ phức tạp tính tốn Trò chơi Tháp Hà Nội khơng thú vị chỗ mang tên Hà Nội, thủ Việt Nam Bài toán Tháp Hà Nội hấp dẫn nhà nghiên cứu Tốn học Tin học liên quan đến nhiều vấn đề Toán-Tin học giải thuật đệ qui, hệ đếm mã Gray, tam giác Pascal, thảm Sierpinski Fractal, dãy Stern, lý thuyết đồ thị chu trình Hamilton, ơtơmát hữu hạn, độ phức tạp tính tốn, Bài tốn Tháp Hà Nội gợi ý cho nhiều nghiên cứu nhiều lĩnh vực khác Hiện toán nghiên cứu phát triển nhiều nhà toán học khoa học máy tính, chuyên gia giáo dục y học Một toán tổng quát trực tiếp quan trọng toán Tháp Hà Nội toán Tháp Hà Nội với nhiều cọc Để nghiên cứu toán này, nhà toán học đưa thuật toán, chứng minh cơng thức truy hồi áp dụng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ -4- nhiều phương pháp, có cơng thức qui hoạch động, để chứng minh đánh giá thuật tốn tối ưu Luận văn Một số cơng thức truy hồi tốn Tháp Hà Nội tổng qt có mục đích trình bày tổng quan tốn Tháp Hà Nội với nhiều cọc (bài toán Tháp Hà Nội tổng quát) Luận văn trình bày chứng minh số cơng thức truy hồi tính số lần chuyển tối ưu trò chơi Tháp Hà Nội tổng quát Đặc biệt, luận văn quan tâm tới công thức qui hoạch động giải toán Tháp Hà Nội Luận văn gồm Phần mở đầu, hai Chương Tài liệu tham khảo Chƣơng Bài toán Tháp Hà Nội tổng quát Chương giới thiệu tổng quan toán tháp Tháp Hà Nội tổng quát Chƣơng Một số công thức truy hồi trò chơi Tháp Hà Nội tổng quát Chương trình bày cách tính số lần chuyển tối ưu thông qua việc chứng minh số công thức truy hồi Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình PGS TS Tạ Duy Phượng, Viện Tốn học Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc Thầy Em xin cảm ơn Thầy Cô Đại học Thái Ngun Viện Tốn học tận tình giảng dạy em suốt q trình học cao học Tơi xin cảm ơn khoa Toán-Tin, trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Ngun, trường Trung học phổ thơng Hòn Gai quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi thực kế hoạch học tập Xin cảm ơn người thân, đồng nghiệp, bạn bè cổ vũ động viên tơi suốt q trình học cao học làm luận văn Thái Nguyên, 10.4.2015 Vũ Thu Trang Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ -5- CHƢƠNG BÀI TOÁN THÁP HÀ NỘI TỔNG QUÁT 1.1 Lịch sử toán tháp Hà Nội 1.1.1 Truyền thuyết Éduard Lucas, tác giả trò chơi Tháp Hà Nội, viết sau: Dưới vòm tòa tháp thờ thần Brahma (thần sáng tạo) thành Bernares (Ấn độ), vị trí coi trung tâm giới, bắt đầu sáng tạo vũ trụ, thần Brahma đặt 64 đĩa vàng ròng có kht lỗ ba cọc kim cương Các đĩa có đường kính nhỏ dần từ lên tạo thành hình nón Các nhà tu hành tòa tháp liên tục suốt ngày đêm, không mệt mỏi, chuyển 64 đĩa từ cọc sang cọc thứ ba tòa tháp Khi di chuyển đĩa phải tuân theo hai qui tắc: 1) Mỗi lần chuyển đĩa cọc 2) Đĩa chuyển từ cọc sang hai cọc khác Đĩa lớn không đặt lên đĩa nhỏ có tính dễ vỡ Cơng việc hồn thành tòa tháp đổ, lúc thời điểm kết thúc vũ trụ với tiếng nổ khủng khiếp! Không rõ truyền thuyết tới đâu Lucas ra, nhà tu hành cần 18.446.744.073.709.551.615 lần di chuyển hồn thành cơng việc Nếu họ làm ngày lẫn đêm, lần chuyển đĩa giây phải tới 580 tỷ năm hồn thành cơng việc này! 1.1.2 Lịch sử Trò chơi Tháp Hà Nội Éduard Lucas (1842-1891) phổ biến Paris năm 1883 ẩn danh (under the nickname) giáo sư N Claus Trò chơi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ -6- nhà toán-tin học quan tâm nghiên cứu, trở thành ví dụ thuật giải giải đệ quy kinh điển dạy học tin học (solving problem, lập trình bản, giải thuật đệ qui, độ phức tạp tính tốn, ) Ngồi tốn Tháp Hà Nội ứng dụng nghiên cứu tâm lý phương pháp giảng dạy cách giải vấn đề (problem solving) Tháp Luân Đôn biến thể khác, dùng chẩn đoán điều trị thần kinh tâm lý chức thực hành Có lẽ điều mà tác giả khó hình dung mức phổ biến đến trò chơi, nghiên cứu thực tiễn lẫn giải trí Trên bìa hộp đựng trò chơi sản xuất năm 1883 sách L’Arithméique Amusante (Số học vui), xuất Paris năm 1895 (sau Ơng mất), Édouard Lucas viết ([21], trang 179): “…la Tour d’Hanoi, véritable casse-tête annamite…” (Tháp Hà Nội, trò chơi trí tuệ người Annam), Ơng lại gọi trò chơi trò chơi Tháp Hà Nội lại trò chơi trí tuệ người Annam chưa có câu trả lời thật rõ ràng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ -7- Một giả thuyết Cột cờ Hà Nội gợi ý cho E Lucas đặt tên trò chơi trò chơi Tháp Hà Nội: “The Flag Tower of Hanoi may have served as the inspiration for the name” Cột cờ Hà Nội có đáy gồm ba khối vuông xây chồng lên Cột cờ Hà Nội xây năm 1805-1812, 70 năm trước trò chơi tháp Hà Nội phổ biến Cột cờ Hà Nội kỉ 19 Năm 1882 Pháp công đánh chiếm thành Hà Nội lần thứ hai Đề tài Hà Nội Đông Dương thời tràn ngập báo Paris vào năm 18821883 (xem [12], trang 6) Phải điều gợi ý E Lucas đặt tên cho trò chơi trò chơi Tháp Hà Nội? Trên tờ bìa hộp đựng trò chơi Tháp Hà Nội bán lần đầu Paris năm 1883 có hình tháp 10 tầng, tre, người Annam dòng chữ: La Tour d’Hanoϊ, Veritable casse-téte Annamite Jeu, rapporté du Tonkin par le professeur N Claus (de Siam) du college Mandarin Li-Sou-Stian - Tháp Hà Nội, Trò chơi trí tuệ người Annam, mang từ Bắc Kì giáo sư N Claus (ở Siam), trường trung học Li-Sou-Stian (N Claus de Siam đảo từ E Lucas d’Amiens, Amiens quê E Lucas Li-Sou-Sian đảo từ Sant Louis, trường trung học Paris, nơi Ông dạy học vào năm đó) Phần dịch nghĩa tờ hướng dẫn thứ giới thiệu trò chơi Tháp Hà Nội tóm tắt sau: Trò chơi lần đầu tìm thấy sách có minh họa tiếng Quan thoại FER-FER-TAM-TAM, xuất tương lai gần, phủ bảo hộ Tháp Hà Nội có đĩa, nhỏ dần, có số lượng thay đổi, mà chúng tơi làm gỗ, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ -8- có lỗ Ở Nhật Bản, Trung Quốc, Đông Kinh (Tonkin-Bắc Kì), chúng làm sứ Trò chơi có mục đích dỡ bỏ đĩa, đặt vào cọc bên cạnh, theo quy tắc định Vui bổ ích, dễ học dễ chơi thành phố, ngồi nơng thơn, chuyến du lịch, tạo để mang đến kiến thức khoa học, giống trò chơi kỳ thú lạ giáo sư N CLAUS (của SIAM) Trò chơi Tháp Hà Nội vừa phổ biến Paris năm 1883 đón nhận rộng rãi đơn giản hấp dẫn E Lucas tỏ khơn khéo Ơng cho sản xuất trò chơi Tháp Hà Nội với đĩa, số đĩa vừa đủ để trò chơi không đơn giản (để chuyển hết đĩa từ cọc nguồn sang cọc đích, khơng nhầm lẫn, cần 255 bước), không phức tạp (như trường hợp 64 đĩa, phải tỉ năm) Ngày nay, mạng Internet có nhiều chương trình viết nhiều ngôn ngữ khác nhiều phần mềm hiển thị hướng dẫn trò chơi Tháp Hà Nội (với ba cọc nhiều hơn, trò chơi Tháp Hà Nội cải biên, ) Tại Việt Nam có nhiều lập trình viên, sinh viên đại học đưa phiên ứng dụng trò chơi, giúp trở thành trò chơi điện tử hấp dẫn sinh động Một số hãng điện thoại nước ngồi đưa trò chơi tháp Hà Nội vào điện thoại di động Có thể tìm mua trò chơi Tháp Hà Nội làm gỗ sứ cửa hàng Việt Nam nước ngồi để giải trí 1.2 Bài toán Tháp Hà Nội tổng quát 1.2.1 Bài toán Tháp Hà Nội cổ điển n T đặt Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ), đĩa http://www.lrc-tnu.edu.vn/ -9- n Ta thực chuyển đĩa số từ cọc A sang cọc C; chuyển đĩa số sang cọc B; chuyển đĩa số từ cọc C sang cọc B Khi đĩa số nằm đĩa số Vậy ta có hai đĩa nằm cọc B, cọc C thời trống Chuyển đĩa số từ cọc A sang cọc C Lặp lại ba bước để giải toán cho hai đĩa: chuyển đĩa số đĩa số cho nằm lên đĩa số cọc C Tiếp tục làm cho bốn, năm,…đĩa Mỗi lần dựng xong tháp từ đĩa thứ l đến đĩa thứ (trên cọc B cọc C, hai cọc trống), ta chuyển đĩa thứ l từ cọc A sang cọc trống (cọc C cọc B), lại di chuyển tháp dựng từ cọc B (hoặc cọc C) lên đĩa thứ l để tháp với l đĩa Như vậy, xây dựng xong tháp thứ l ta dễ dàng xây dựng tháp thứ l 1, sau chuyển đĩa thứ l sang cọc trống Phương pháp gọi thuật giải đệ qui: Để tiến hành giải toán với n đĩa, ta áp dụng lại thuật giải toán với n đĩa Tồn q trình số hữu hạn bước, đến lúc thuật giải áp dụng cho n Bước đơn giản chuyển đĩa từ cọc A sang cọc C Kí hiệu L ( n) số lần chuyển đĩa tối ưu toán tháp Hà Nội với n đĩa ba cọc Khi ấy, để chuyển n đĩa từ cọc A sang cọc C, trước tiên ta phải chuyển n đĩa (các đĩa nhỏ) từ cọc A sang cọc B, sau chuyển đĩa thứ n từ cọc A sang cọc C Cuối cùng, lại chuyển n đĩa từ cọc B sang cọc C Ta có: L1 1, L 3, L(n) L(n 1) L(1) L(n 1) L( n 1) Theo qui nạp, ta có L(n 1) L n 2n Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2n 1 http://www.lrc-tnu.edu.vn/ - 10 - Vậy công thức L(n) 2n chứng minh với n Cơng thức cho thấy, thuật tốn đệ qui giải tốn Tháp Hà Nội thuật tốn có thời gian mũ 1.2.2 Bài toán Tháp Hà Nội tổng quát Một mở rộng tự nhiên toán Tháp Hà Nội cổ điển Bài toán Tháp Hà Nội với bốn (hoặc nhiều) cọc Chính tác giả tốn Tháp Hà Nội, E Lucas người xét toán với nhiều cọc vào năm Bài toán Tháp Hà Nội với bốn cọc 1889 (xem [12], trang 211) Năm 1902-1903 Henry Ernest Dudeney viết hai báo toán Tháp Hà Nội với bốn cọc Trong hai trang sách tiếng The Canterbury Puzzles and Other Curious Problems xuất London năm 1907 New York năm 1908 (xem [9] bìa sách hình bên), Ơng viết tốn trò chơi tháp Hà Nội với bốn cọc (dưới dạng quân cờ) số đĩa 8, 10 21 gọi The Reve's puzzle-câu đố Reve) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ... Bài toán Tháp Hà Nội cổ điển 1.2.2 Bài toán Tháp Hà Nội tổng quát Chƣơng MỘT SỐ CƠNG THỨC TRUY HỒI TRONG BÀI TỐN THÁP HÀ NỘI DỰA TRÊN PHÁT BIỂU QUI HOẠCH ĐỘNG…… 17 2.1 Công thức. .. toán Tháp Hà Nội Luận văn gồm Phần mở đầu, hai Chương Tài liệu tham khảo Chƣơng Bài toán Tháp Hà Nội tổng quát Chương giới thiệu tổng quan toán tháp Tháp Hà Nội tổng quát Chƣơng Một số cơng thức. .. Nội thuật toán có thời gian mũ 1.2.2 Bài tốn Tháp Hà Nội tổng quát Một mở rộng tự nhiên toán Tháp Hà Nội cổ điển Bài toán Tháp Hà Nội với bốn (hoặc nhiều) cọc Chính tác giả toán Tháp Hà Nội, E Lucas