GA – phu đạo 10 - HK I Chương I : MỆNH ĐỀ – TẬP HP §1: Mệnh đề mệnh đề chứa biến A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.Đònh nghóa : Mệnh đề câu khẳng đònh Đúng Sai Một mệnh đề vừa vừa sai 2.Mệnh đề phủ đònh: Cho mệnh đề P.Mệnh đề “Không phải P ” gọi mệnh đề phủ đònh P Ký hiệu P Nếu P P sai, P sai P Ví dụ: P: “ > ” P : “ ≤ ” Mệnh đề kéo theo mệnh đề đảo : Cho mệnh đề P Q Mệnh đề “nếu P Q” gọi mệnh đề kéo theo Ký hiệu P ⇒ Q Mệnh đề P ⇒ Q sai P Q sai Cho mệnh đề P ⇒ Q Khi mệnh đề Q ⇒ P gọi mệnh đề đảo P ⇒ Q Mệnh đề tương đương Cho mệnh đề P Q Mệnh đề “P Q” gọi mệnh đề tương đương , ký hiệu P ⇔ Q.Mệnh đề P ⇔ Q P Q Phủ đònh mệnh đề “ ∀x∈ X, P(x) ” mệnh đề “∃ x∈X, P ( x ) ” Phủ đònh mệnh đề “ ∃ x∈ X, P(x) ” mệnh đề “∀x∈X, P ( x ) ” Ví dụ: Cho x số nguyên dương ;P(x) : “ x chia heát cho 6” ; Q(x): “ x chia hết cho 3” Ta có : • P(10) mệnh đề sai ; Q(6) mệnh đề • P( x) : “ x không chia hết cho 6” • Mệnh đề kéo theo P(x)⇒ Q(x) mệmh đề • “∃ x∈ N*, P(x)” có phủ đònh “∀x∈ N*, P(x) ” có tính sai B: BÀI TẬP GA – phu đạo 10 - HK I Bài 1: Các câu sau dây, câu mệnh đề, mệnh đề hay sai : a) Ở nơi ? b) Phương trình x2 + x – = vô nghiệm c) x + = d) 16 không số nguyên tố Bài 2: Nêu mệnh đề phủ đònh mệnh đề sau : a) “Phương trình x2 –x – = vô nghiệm ” b) “ số nguyên tố ” c) “∀n∈N ; n2 – số lẻ ” Bài 3: Xác đònh tính sai mệnh đề A , B tìm phủ đònh : A = “ ∀x∈ R : x3 > x2 ” B = “ ∃ x∈ N , : x chia heát cho x +1” Bài 4: Phát biểu mệnh đề P ⇒ Q xét tính sai phát biểu mệnh đề đảo : a) P: “ ABCD hình chữ nhật ” Q:“ AC BD cắt trung điểm đường” b) P: “ > 5” Q : “7 > 10” c) P: “Tam giác ABC tam giác vuông cân A” Q :“ Góc B = 450 ” Bài 5: Phát biểu mệnh đề P ⇔ Q cách và xét tính sai a) P : “ABCD hình bình hành ” Q : “AC BD cắt trung điểm đường” b) P : “9 số nguyên tố ” Q: “ 92 + số nguyên tố ” Bài 6:Cho mệnh đề sau a) P: “ Hình thoi ABCD có đường chéo AC vuông góc với BD” b) Q: “ Tam giác cân có góc = 600 tam giác đều” c) R : “13 chia hết 13 chia hết cho 10 ” - Xét tính sai mệnh đề phát biểu mệnh đề đảo : - Biểu diễn mệnh đề dạng A ⇒ B Bài 7: Cho mệnh đề chứa biến P(x) : “ x > x2” , xét tính sai mệnh đề sau: GA – phu đạo 10 - HK I a) P(1) b) P( ) c) ∀x∈N ; P(x) d) ∃ x∈ N ; P(x) Bài 8: Phát biểu mệnh đề A ⇒ B A ⇔ B cặp mệnh đề sau xét tính sai a) A : “Tứ giác T hình bình hành ” B: “Hai cạnh đối diện nhau” b) A: “Tứ giác ABCD hình vuông ” B: “ tứ giác có góc vuông” c) A: “ x > y ” B: “ x > y2” ( Với x y số thực ) d) A: “Điểm M cách cạnh góc xOy ” B: “Điểm M nằm đường phân giác góc xOy” Bài 9: Hãy xem xét mệnh đề sau hay sai lập phủ đònh : a) ∀x∈N : x2 ≥ 2x b) ∃ x∈ N : x2 + x không chia hết cho c) ∀x∈Z : x2 –x – = Bài 10 : Trong mệnh đề sau, mệnh đề có mệnh đề đảo a) A : “Một số tự nhiên tận số chia hết cho 2” b) B: “ Tam giác cân có góc = 600 tam giác ” c) C: “ Nếu tích số số dương số số dương ” d) D : “Hình thoi có góc vuông hình vuông” Bài 11:Phát biểu thành lời mệnh đề ∀x: P(x) ∃ x : P(x) xét tính sai chúng : a) P(x) : “x2 < 0” c) P(x) : “ x2 − = x+ 2” x−2 b)P(x) :“ > x + 1” x x) P(x): “x2-3x + > 0” §2: ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO PHÉP SUY LUẬN TOÁN HỌC A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1:Trong toán học đònh lý mệnh đề Nhiều đònh lý phát biểu dạng “∀x∈X , P(x) ⇒ Q(x)” GA – phu đạo 10 - HK I Chứng minh phản chứng đinh lý “∀x∈X , P(x) ⇒ Q(x)” gồm bước sau: - Giả sử tồn x0 thỏa P(x0)đúng Q(x0) sai - Dùng suy luận kiến thức toán học để đến mâu thuẫn 3: Cho đònh lý “∀x∈X , P(x) ⇒ Q(x)” Khi P(x) điều kiện đủ để có Q(x) Q(x) điều kiện cần để có P(x) 4: Cho đònh lý “∀x∈X , P(x) ⇒ Q(x)” (1) Nếu mệnh đề đảo “∀x∈X , Q(x) ⇒ P(x)” gọi dònh lý đảo (1) Lúc (1) gọi đònh lý thuận gộp lại “∀x∈X , P(x) ⇔ Q(x)” Gọi P(x) điều kiện cần đủ để có Q(x) B: BÀI TẬP : Bài 1: Phát biểu mệnh đề sau với thuật ngữ “Điều kiện cần”, “Điều kiện đủ” a) Nếu tam giác chúng có diện tích b) Số nguyên dương chia hết cho chia hết cho c) Mộthình thang có đường chéo hình thang cân Bài 2: Dùng phương pháp chứng minh phản chứng để chứng minh : a) Với n số nguyên dương, n2 chia hết cho n chia hết cho b) Chứng minh số vô tỷ c) Với n số nguyên dương , n2 số lẻ n số lẻ Bài 3: Phát biểu đònh lý sau cách sử dụng khái niệm “Điều kiện đủ ” a)Nếu mặt phẳng, hai đường thẳng vuông góc với đường thẳng thứ hai đường thẳng song song với b)Nếu tam giác chúng có diện tích c)Nếu số nguyên dương a tận chia hết cho GA – phu đạo 10 - HK I d)Neáu tứ giác hình thoi đường chéo vuông góc với Bài 4: Phát biểu đònh lý sau cách sử dụng khái niệm“Điều kiện cần ” a)Nếu mặt phẳng, hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ hai đường thẳng song song với b)Nếu tam giác chúng có góc tương ứng c)số nguyên dương a chia hết cho 24 chia hết cho d)Nếu tứ giác ABCD hình vuông cạnh Bài 5: Chứng minh phương pháp phản chứng a) Nếu a≠ b≠ c a2 +b2 + c2 > ab + bc + ca b) Nếu a.b chia hết cho a b chia hết cho c) Nếu x2 + y2 = x = y = Bài :Cho đinh lý sau, đònh lý có đònh lý đảo, phát biểu : a) “Nếu số tự nhiên chia hết cho chia hết cho 12” b) “Một tam giác vuông có trung tuyến tương ứng nửa cạnh huyền ” c) “Hai tam giác đồng dạng có cạnh hai tam giác nhau” d) “Nếu số tự nhiên n không chia hết cho n2 chia dư 1” §3 TẬP HP VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HP A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT : GA – phu đạo 10 - HK I Tập hợp khái niệm toán học Có cách trình bày tập hợp Liệtkê phần tử : VD : A = {a; 1; 3; 4; b} hoaëc N = { ; 1; 2; ; n ; } Chỉ rõ tính chất đặc trưng phần tử tập hợp ; dạng A = {{x/ P(x)} VD : A = {x∈ N/ x lẻ x < 6} ⇒ A = {1 ; 3; 5} * Taäp : A⊂ B ⇔(x, x∈A ⇒ x∈B) Cho A ≠ ∅ có tập ∅ A phép toán tập hợp : Phép giao Phép hợp Hiệu tập hợp A∩B = {x /x∈A A∪B = {x /x∈A A\ B = {x /x∈A vaø vaø x∈B} x∈B} x∉B} Chú ý: Nếu A ⊂ E CEA = A\ B = {x /x∈E vaø x∉A} tập tập hợp số thực Tên gọi, ký Tập hợp Hình biểu diễn hiệu Đoạn [a ; b] {x∈R/ a ≤ x ≤ b} Khoaûng (a ; b ) {x∈R/ a < x < Khoaûng (-∞ ; a) b} Khoaûng(a ; + ∞) {x∈R/ x < a} Nửa khoảng [a {x∈R/ a< x } {∈R/ a ≤ x < ; b) b} Nửa khoảng (a {x∈R/ a < x ≤ ; b] b} Nửa khoảng (- {x∈R/ x ≤ a} ∞ ; a] Nửa khoảng [a {x∈R/ a ≤ x } GA – phu đạo 10 - HK I ;∞) B: BÀI TẬP : Bài 1: Cho tập hợp A = {x∈ N / x2 – 10 x +21 = hay x3 – x = 0} Hãy liệt kê tất tập A chứa phần tử Bài 2: Cho A = {x ∈R/ x2 +x – 12 = vaø 2x2 – 7x + = 0} B = {x ∈R / 3x2 -13x +12 =0 hay x2 – 3x = } Xác đònh tập hợp sauA ∩ B ; A \ B ; B \ A ; A∪B Baøi 3: Cho A = {x∈N / x < 7} vaø B = {1 ; ;3 ; 6; 7; 8} a) Xác đònh AUB ; A∩B ; A\B ; B\ A b) CMR : (AUB)\ (A∩B) = (A\B)U(B\ A) Baøi 4: Cho A = {2 ; 5} ; B = {5 ; x} C = {x; y; 5} Tìm giá trò cặp số (x ; y) để tập hợp A = B =C Bài 5: Xác đònh tập hợp sau bẳng cách nêu tính chất đặc trưng A = {0 ; 1; 2; 3; 4} B = {0 ; 4; 8; 12;16} C = {-3 ; 9; -27; 81} D = {9 ; 36; 81; 144} E = Đường trung trực đoạn thẳng AB F = Đường tròn tâm I cố đònh có bán kính = cm Bài 6: Biểu diễn hình ảnh tập hợp A ; B ; C biểu đồ Ven A = {0 ; 1; 2; 3} B = {0 ; 2; 4; 6} C = {0 ; 3; 4; 5} Bài : Hãy liệt kê tập A, B: A= {(x;x2) / x ∈ {-1 ; ; 1}} B= {(x ; y) / x2 + y2 ≤ vaø x ,y ∈Z} Baøi 8: Cho A = {x ∈R/ x ≤ 4} ; B = {x ∈R / -5 < x -1 ≤ } Viết tập hợp sau dạng khoảng – đoạn – nửa khoaûng A ∩ B ; A \ B ; B \ A ; R \ ( A∪B) Baøi 9: Cho A = {x ∈R/ x2 ≤ 4} ; B = {x ∈R / -2 ≤ x +1 < } Viết tập hợp sau dạng khoảng – đoạn – nửa khoảng A ∩ B ; A \ B ; B \ A ; R \ ( A∪B) Baøi 10: Gọi N(A) số phần tử tập A Cho N(A) = 25; N(B)=29, N(AUB)= 41.Tính N(A∩B) ; N(A\B); N(B\A) Bài 11: a) Xác đònh tập hợp X cho {a ; b}⊂ X ⊂ {a ; b ;c ;d ; e} b) Cho A = (1 ; 2}; B = {1; 2; 3; 4; 5} Xaùc đònh tập hợp X cho A ∪ X = B GA – phu đạo 10 - HK I c) Tìm A; B bietá A∩ B = {0;1;2;3;4}; A\B = {-3 ; -2} ; B\A = {6 ; 9;10} Baøi 12: Cho A = {x∈R/ x ≤ -3 hoaëc x >6 } B={x∈R / x2 – 25 ≤ 0} a) Tìm khoảng , doạn, nửa khoảng sau : A\B ; B\ A ; R \ ( A∪B); R \ (A∩B) ; R \(A\B) b)Cho C={x∈R / x ≤ a} ; D={x∈R / x ≥ b } Xaùc đònh a b biết C∩B D∩B đoạn có chiều dài Tìm C∩D Bài 13: Cho A = {x ∈R/ x2 ≤ 4} ; B = {x ∈R / -3 ≤ x < } Viết tập hợp sau dạng khoảng – đoạn – nửa khoảng A ∩ B ; A \ B ; B \ A ; R \ ( A∪B) Bài 14: Viết phần bù R tập hợp sau : A= {x∈R / – ≤ x < 0} B= {x∈R / x> 2} C= {x∈R / -4 < x + ≤ 5} Bài 15: Cho Tv = tập hợp tất tam giác vuông T = tập hợp tất tam giác Tc = tập hợp tất tam giác cân Tđ = tập hợp tất tam giác Tvc= tập hợp tất tam giác vuông cân Xác đònh tất quan hệ bao hàm tập hợp Bài 16: Xác đònh tập hợp sau cách liệt kê A= { x∈Q / (2x + 1)(x2 + x - 1)(2x2 -3x + 1) =0} B= { x∈Z / 6x2 -5x + =0} C= { x∈N / (2x + x2)(x2 + x - 2)(x2 -x - 12) =0} D= { x∈N / x2 x ≤ vaø x > -2} > vaø x < 4} E= { x∈Z / Baøi 17:Cho A = {x ∈Z / x < 4} B = { x∈Z / (5x - 3x2)(x2 -2 x - 3) = 0} a) Liệt kê A ; B b) CMR (A ∪B) \ (A ∩B) = (A \ B) ∪ (B \ A) Baøi 18: Cho E = { x∈N / ≤ x < 7} A= { x∈N / (x2-9)(x2 – 5x – 6) = } B = { x∈N / x số nguyên tố ≤ 5} a) Chứng minh A⊂ E B ⊂ E b) Tìm CEA ; CEB ; CE(A∩B) c) Chứng minh : E \ (A ∩B)= (E \A) ∪ ( E \B) E \ ( A∪B) = ( E \A) ∩ ( E \ B) Baøi 19 : a) Cho A ⊂ C vaø B⊂ D , chứng minh (A∪B)⊂ (C∪D) b) CMR : A \(B∩ C) = (A\B)∪(A\C) GA – phu đạo 10 - HK I c) CMR : A \(B∪ C) = (A\B)∩(A\C) GA – phu đạo 10 - HK I 10 Chương II: HÀM SỐ §1: Đại cương hàm số A:TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1: Cho D ⊂ R hàm số f xác đònh D quy tắc ứng với x∈D số Khi f(x) gọi giá trò hàm số, x gọi biến số , D gọi tập xác đònh 2: Sự biến thiên hàm số Cho f(x) xác đònh K f đồng biến ( tăng) K ⇔∀x1;x2∈K ; x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) f nghòch biến ( giảm) K ⇔∀x1;x2∈K ; x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) 3: Hàm số chẵn, hàm số lẻ : f gọi chẵn D ∀x∈D ⇒ -x ∈D f(-x) = f(x), đồ thò nhận Oy làm trục đối xứng f gọi lẻ D ∀x∈D ⇒ -x ∈D f(-x) = - f(x), đồ thò nhận O làm tâm đối xứng 4: Tònh tiến đồ thò song song với trục tọa độ (NC) Cho (G) đồ thò y = f(x) p;q > 0; ta có Tònh tiến (G) lên q đơn vò đồ thò y = f(x) + q Tònh tiến (G) xuống q đơn vò đồ thò y = f(x) – q Tònh tiến (G) sang trái p đơn vò đồ thò y = f(x+ p) Tònh tiến (G) sang phải p đơn vò đồ thò y = f(x – p) B VÍ DỤ :Tìm miền xác đònh xét tính tăng , giảm hàm soá y = f ( x) = x + − x −3 GIAÛI D = R \ { 3} Xét tỉ số T= f ( x2 ) − f ( x1 ) = 1+ , ∀x1 , x2 ∈ D x2 − x1 ( x2 − 3).( x1 − 3)  x1 − < ∆y ⇒ >0 Ta có :Với x1 , x2 ∈ ( −∞ ;3) ⇒  x − < ∆x   x1 − > ⇒T >0 Với x1 , x2 ∈ ( 3; +∞ ) ⇒   x2 − > Vậy hàm số cho đồng biến ( −∞ ;3 ) ∪ ( 3; +∞ ) C:BÀI TẬP Bài 1:Tìm tập xác đònh hàm số sau: 33 GA – phu đạo 10 - HK I  x2 =3x+2y d)   y =3y+2y  x + xy + y = e)   x + xy + y = Bài 4: Giải biện luận hệ phương trình  3( x + y ) = xy f)  2  x + y = 160 x + y =   xy = m  x + y = Baøi 5: Cho hệ phương trình  2  x + y = m a) Giải hệ m =10 b) Giải biện luận  x + y + xy = m + Bài 6: Cho hệ  (x + y)xy = m a) Giải hệ m =2 b) Đònh m để hệ có nghiệm  x + y = m + Bài 7: Cho hệ phương trình  2  x + y + xy = m + a) Giải hệ m = b) Đònh m để hệ có nghiệm Bài 8: Cho hệ phương trình a) Giải hệ m =5  x + y + xy = m  2  x + y = m b) Giaûi biện luận ( x + y ) = Bài 9: Cho hệ phương trình  2  x + y = 2(1 + m) * Giaûi hệ m =10 * Giải biện luận Bài 10 : Đònh m để hệ phương trình sau có nghiệm  x = y3 − 4y + my   y = x − 4x + mx GA – phu đạo 10 - HK I 34 § +2 CÁC ĐỊNH NGHĨA - TỔNG VÀ HIỆU HAI VÉCTƠ BÀI TẬP PHÂN TÍCH MỘT VECTO THÀNH HAI VECTO KHƠNG CÙNG PHƯƠNG I TÓM TẮT LÝ THUYẾT PP: Sử dụng định lý vectơ phân tích thành vectơ khơng phương Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành II GIẢI BÀI TẬP Bài (B2-SGK) Cho AK BM hai trung tuyến tam giác ABC.Hãy phân tích ur uuur ur uuuu r vectơ AB, BC, AC theo vectơ u = AK ; v = BM Bài (B3-SGK) Trên đường thẳng chứa cạnh BC tam giác ABC, lấy điểm M cho vectơ MB = MC Hãy biểu diễn vectơ AM theo hai vectơ ur uuur ur uuur u = AB; v = BC GA – phu đạo 10 - HK I 35 Bài Cho tứ giác ABCD, cạnh AB CD lấy điểm M, N uuuur uuur uuur uuur cho: AM = k AB; DN = k DC , k ≠ Hãy phân tích vectơ MN theo hai vectơ ur uuur ur uuur x = AD; y = BC Bài Cho ΔABC Gọi M trung điểm AB, D trung điểm BC, N điểm uuur uuu r thuộc AC cho CN = NA K trung điểm MN Chứng minh: a) uuur uuur uuur uuur uuur uuur AK = AB + AC b) KD = AB + AC uuur ur uuur ur Bài Cho hình bình hành ABCD, đặt AB = a , AD = b Gọi I trung điểm uur uuur ur ur CD, G trọng tâm tam giác BCI Phân tích vectơ BI , AG theo véctơ a , b uuur uuur Bài Cho lục giác ABCDEF Phân tích vectơ BC BD theo véctơ uuur uuu r AB, AF Bài Cho hình bình hành ABCD, M điểm cạnh BC cho MB = 3MC uuuur uuur uuur a) Chứng minh: AM = AB + AC 4 uuur uuuu r b Gọi N điểm cạnh CD thỏa ND = CN Tính vectơ AN , MN theo uuur uuur AB, AC III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài Cho hình thang OABC, AM trung tuyến tam giác ABC Hãy phân tích uuu r uuur uuur uuuur vectơ AM theo vectơ OA, OB, OC Bài Cho Δ ABC Gọi A1, B1, C1 trung điểm BC, CA, AB uuuur uuuu r uuuu r r a Chứng minh: AA1 + BB1 + CC1 = uuuu r ur uuuu r ur ur ur uuur uuu r uuur b Đặt BB1 = u , CC1 = v Tính BC , CA, AB theo u , v Bài Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo cắt O uuur uuur uuu r a Biễu diễn OA theo hai véctơ AB, AD uuur uuur uuur b Biễu diễn BD theo hai véctơ AB, AC CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh ba điểm thoả mãn uuu r uuur đẳng thức AB = k AC với k ≠ Để chứng minh hai điểm M, N trùng ta chứng minh chúng thoả mãn đẳng thức uuuur uuur uuuur ur OM = ON , với O điểm MM = O II PP GIẢI BÀI TẬP GA – phu đạo 10 - HK I 36 uuu r uuur uuur r Bài Cho bốn điểm O, A, B, C cho : OA + 2OB − 3OC = Chứng tỏ A, B, C thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC, gọi G, H, O trọng tâm, trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC CMR điểm G, H, O thẳng hàng Bài Cho hình bình hành ABCD TrênBC lấy điểm H, BD lấy điểm K uuur uuur uuur uuur cho: BH = BC ; BK = BD Chứng minh: A, K, H thẳng hàng Bài Cho DABC với I, J, K xác định bởi: uur uur uuu r r uuur uur uuu IB = IC; JC = − JA; KA = − KB uu r uur uuur uuur a) Tính IJ , IK theo AB, AC b) Chứng minh I , J , K thẳng hàng Bài Cho hình bình hành ABCD Trên tia AD, AB lấy điểm F, E 1 AD = AF, AB = AE cho Chứng minh: 2 a Ba điểm F, C, E thẳng hàng b Các tứ giác BDCF, DBEC hình bình hành Bài Cho ΔABC Hai điểm I, J xác định uu r uur r uur uur uuu r r bởi: IA + 3IC = 0, JA + JB + 3JC = Chứng minh điểm I, J, B thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC Các điểm M, N xác định hệ thức uuuu r uuur uuur uuur uuur uuur BM = BC − AB, CN = x AC − BC Xác định x để A, M, N thẳng hàng Bài Cho DABC Gọi A’, B’, C’ điểm định bởi: uuuur uuuur ur uuuur uuuur ur uuuur uuuur ur A ' B + A ' C = , 2C ' A + 3C ' B = , B ' C + B ' A = Chứng minh tam giác ABC A’B’C’ có trọng tâm III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài Cho tam giác ABC Trên đường thẳng BC, AC, AB lấy điểm uuur uuur r uuur uuur uuur uuu r M, N, P cho 3MA + MB = 0, NB = NC , PC = −4 PA uuur uuur uuuu r uuur a) Tính PM , PN theo AB, AC b) Chứng minh M,N,P thẳng hàng Bài2 Cho Δ ABC Hai điểm M, N xác định bởi: uuur uuuu r uuu r uuur uuu r uuu r r MB − 2MC = NA + NC = PA + PB = Chứng minh điểm M, G, N thẳng hàng, với G trọng tâm Δ ABC uuur uuuu r uuu r uuur uuu r uuu r r Bài3 Cho ΔABC Lấy điểm M,N,P: MB − 2MC = NA + NC = PA + PB = uuur uuur uuuu r uuur a) Tính PM , PN theo AB, AC b) Chứng minh M,N,P thẳng hàng 37 GA – phu đạo 10 - HK I TỌA ĐỘ TRÊN TRỤC Dạng 1: Tìm độ dài đại số véctơ trục ur Bài : Trên trục tọa độ (O ; i ) cho điểm A ; B ; C có tọa độ –2 ; uuur uuuu r uuu r a) Tính tọa độ vec tơ : AB ; BC ; CA b) Chứng minh B trung điểm AC GIẢI: a) AB = + = BC = CA = −6 uuu r uuur b) BA = −3 = − BC => BA = − BC Vậy B trung điểm AC Tổng quát : ur Cho A ; B trục ( O ; i ) có tọa độ a b M trung điểm ABa+b = 2m (m tọa độ M) Dạng Chứng minh hệ thức liên quan đến độ dài đại số véctơ trục Thí dụ : Hàng điểm điều hòa : Trên trục tọa độ (O ; i ) cho điểm A ; B ; C ; D có tọa độ a ; b ;c ; d (ABCD) hàng điểm hòa  DA CA =− DB CB a) (a + b)(c + d ) = 2(ab + cd ) 2 b) I A = IB = IC.ID Với I trung điểm AB 1 = + c) AB AC AD GIẢI: DA CA a−d a −c a) =− =− (a − d )(b − c ) = (b − d )(c − a ) b − d b −c DB CB ab − ac − bd + cd = bc − ab − cd + ad 2(ab + cd ) = ac + bc + + ad + bd 2(ab + cd ) = c (a + b) + d (a + b) 2(ab + cd ) = (a + b)(c + d )(1) b) Chọn trung điểm I AB làm gốc tọa độ , ta có:a = - b -a = −cd 2 (1) ⇒ 2(ab + cd) = ab = -cd  IA = IB = IC.ID  −b = −cd GA – phu đạo 10 - HK I 38 c) Chọn A làm gốc tọa độ ta có : a = 1 1 (1) => 2cd = bc + bd = + hay = + b c d AB AC AD BÀI TẬP: ur 1.Trên trục tọa độ (O; i ) Cho điểm A B có tọa độ a b uuur uuur kb − a a)Tìm tọa độ điểm M cho MA = k MB (k ≠ 1) ĐS: xM = k −1 a+b b)Tìm tọa độ trung điểm I AB ĐS: xI = uuu r uuur 5b + 2a c)Tìm tọa độ điểm N cho NA = −5 NB ĐS: xN = ur 2.Trên trục (O ; i ) cho điểm A ; B ; C có tọa độ a ; b ;c Tìm điểm I cho : uu r uur uur ur a+b+c IA + IB + IC = ĐS: xI = 3.Trên trục tọa độ cho điểm A ; B ;C ;D a.Chứng minh AB.CD + AC.DB + AD.BC = b.Gọi I,J ,K ,L trung điểm AC ; BD;AB CD Chứng minh IJ KL có chung trung điểm HỆ TRỤC TỌA ĐỘ I.Lý thuyết : 1.Tọa độ điểm – Tọa độ vec tơ ur r ur ∀a ⊂ mpOxy ∃a1 ; a2 ∈ R : a = a1 i + a2 j a = ( a1 ; a2 ) uuuur r ur ∀M ∈ mpOxy ∃x; y ∈ R : OM = xi + y j M ( x; y ) 2.Các phép toán vec tơ: ur ur Trong mp Oxy cho vec tơ a = (a1 ; a2 ) ; b = (b1 ; b2 ) ta có: ur ur uu r ur uu r ur  a1 = b1 a = b  a + b = (a1 + b1 ; a2 + b2 ) a − b = (a1 − b1 ; a2 − b2 )  a2 = b2 ur ur ur ur r k a = ( ka1 ; ka2 ) , a , b phương ∃k , a = kb 3.Tọa độ số điểm đặt biệt : Trong mpOxy cho điểm A(x1;y1) , B(x2;y2) C(x3;y3) uuur Tọa độ vecto AB = ( x2 − x1 ; y2 − y1 )  x + x y + y2  Tọa độ M trung điểm AB M  ; ÷   GA – phu đạo 10 - HK I 39  x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3  ; Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC G  ÷ 3   II.BÀI TẬP: ur ur Dạng Chứng minh vecto u = (a1 ; a2 ) ; v = (b1 ; b2 ) phương Phương Pháp: ur ur a1 = kb1 Giả sử vecto phương => u = k v  a2 = kb2 Nếu hệ có nghiệm vecto phương ; Nếu hệ vơ nghiệm véctơ khơng phương ur ur a1 a2 Chú ý :Nếu b1; b2 ≠ u ; v phương = b1 b2 Thí dụ : ur ur Cho véctơ u = (−1;3); v = (2; −6) Xét tính phương vecto Giải :  p=− ur ur uur  −1 = p  => p = −  Giả sử u , v phương => u = p  Hệ 3 = −6 p p = −1  ur ur có nghiệm ; u ; v phương Thí dụ 2: Trong mpOxy cho điểm A(–1; –2) B(3 ; 2) C(4 ; –1) , Chứng minh ABC tam giác GIẢI uuur uuur uuur uuuu r 4 AB = ( 4; 4), AC = ( 5;1), ≠ => AB ; AC không phương => A ; B ; C không thẳng hàng Vậy điểm A ; B ; C tạo thành tam giác Thí dụ 3: ur ur Cho u = ( m + m − ; ) , v = (m; 2) Định m để vecto phương GIẢI : ur ur ur ur ≠ => u ; v không phương Xét m = => u = (−2; 4) ; v = (0; 2) => −2 ur ur Xét m ≠ u ; v phương  m = −1 m2 + m − = m + m − = 2m m − m + =  m m = BÀI TẬP: 1.Trong mpOxy cho điểm A (1 ;–2) B(0 ; 3) C(–3; 4) D(–1 ; 8) Bộ ba điểm thẳng hàng ĐS: A ; B ;D GA – phu đạo 10 - HK I 40 2.Trong mpOxy cho điểm A(1 ;–2) B(3 ; –1) C(–3 ; 5) a.Chứng minh ABC tam giác b.Tìm tọa độ trọng tâm tam gia1cABC c)Gọi I(0 ; 2) Chứng minh A ; G; M thẳng hàng d) Gọi D(-5;4) Chứng minh ABCD hình bình hành Dạng 2:Tìm tọa độ vecto: PP.Áp dụng phép tốn véctơ : Thí dụ : ur uu r ur Cho véctơ : a = ( 3; ) b = ( − 1;5 ) c = ( − 2; −5 ) ur ur ur ur ur ur r ur Tìm tọa độ véctơ u = 2a + b − 4c , v = −a + 2b + 5c GIẢI ur ur ur ur 2a = (6; 4) b = (−1;5) − 4c = (8; 20) => u = (13; 29) ur ur ur ur − a = (−3; −2) 2b = (−2;10) + 5c = (−10; −25) => v = (−15; −17) Bài tập ur uu r   ur 1.Cho vecto a = ( 2; ) b =  − 1; ÷ c = ( 4;6 ) Tìm tọa độ véctơ 2  ur ur uu r ur ur u = 2a − 4b + 5c ĐS: u = (28; −32) 2.Cho tam giác ABC , G trọng tâm tam giác Tính tọa độ véctơ ur uuu r uuur uuur u = 3GA − 2GC + 4GB ĐS: (1 ; -14) ur ur uu r Dạng 3: Phân tích véctơ c = (c1 ; c2 ) theo a = (a1 ;a ) , b = (b1 ;b ) không phương ur ur r  xa1 + yb1 = c1 Phương pháp: Giả sử c = xa + y b  giải hệ tìm x,y  xa2 + yb2 = c2 Thí dụ : ur uu r ur Cho a = ( 3; ) , b = ( − 1;5 ) , c = ( − 2; −5 ) ur ur a) Chứng minh a ; b không phương uu r ur ur b) Phân tích c theo vecto a vaø b Giải ur ur a ) ≠ => a ; b không phương -1 ur ur ur b) Giả sử: c = xa + y b 15   x = − 17 ur 3x − y = −2 15 ur 11 ur    => c = − a − b 17 17  x + y = −5  y = − 11  17  41 GA – phu đạo 10 - HK I BÀI TẬP ur uu r ur ur ur ur 1) Cho a = ( 1; ) , b = ( −3;1) , c = ( −4; −2 ) Phân tích vecto a theo b ,c ur r ur ĐS : a = b − c 10 ur uu r ur 2.Cho a = ( 5; − ) , b = ( 4;1 ) , c = ( − 2; −7 ) ur ur a) Chứng minh a ; b không phương ur ur ur b) Phân tích vecto c theo vecto a ; b ur ur r ĐS : c = 2a − 3b Dạng 4: Tìm tọa độ đỉnh thứ tư hình bình hành ABCD biết A(x1;y1); B (x2y2 ) ;C(x3;y3) Thí dụ : Cho tam giác ABC với A(1; –2) B(3 ;–1) C(–3 ; 5) Tìm D cho ABCD hình bình hành GIẢI : Goiï I trung điểm AC =>I (–1 ; ) ABCD hình bình hành => I trung điểm BD  x + = −2 ⇒ => D (−5; 4)  y −1 = Bài tập: 1.Cho điểm A(2;1) B(2;–1) C(–2 ;–3) a.Chứng minh A,B,C không thẳng hàng Tìm D cho ABCD hình bình hành ĐS: D(–2;–1) 2.Cho tam giác ABC với A(–1;–2) B(3;2) C(4 ; -1) a.Tìm trung điểm I AC b.Tìm D cho ABCD hình bình hành ĐS: I 3 3  ; − ÷ D(0; −5) 2 2 3.Trong mpOxy cho điểm M(-4 ; 1) N(2;4) P(2 ; –2) trung điểm cạnh BC ; CA AB tam giác ABC a.Tìm A ; B ;C ĐS: A(8;1) B(-4;-5) C(-4;7) b.Chứng minh tam giác ABC MNP có trọng tâm 4.Cho tam giác ABC với A(–3;6) B(9;–10) C(-5;4) a.Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC ĐS: b.Tìm D cho BGCD hình bình hành Dạng 5: Tìm giao điểm đoạn thẳng AB CD với A(x1;y1); B(x1;y2); C(x3;y3) ; D(x4;y4) GA – phu đạo 10 - HK I 42 Cách giải: Gọi I (x;y) giao điểm đường thẳng AB CD uur uuur  AI ; AB cung phuong Giải tìm I(x;y)  uur uuur CI ; CD cung phuong I laø giao điểm đoạn AB CD  uur uur  IA ; IB nguoc huong  uur uur  IC ; ID nguoc huong Thí dụ 1: Trong mpOxy cho điểm A(0 ; 1) B(1; 3) C(2 ;7 ) D(0;3) Tìm giao điểm đoạn thẳng AC BD GIẢI: uuur uuur  AI ; AC cung phuong (1) I ∈ AC ∩ BD =>  uuu r uuur  BI ; BD cung phuong (2) uur uuur x y −1 AI = ( x ; y − 1) ; AC = (2; 6) (1) => = x − y = −2 uur uuur BI = ( x − 1; y − 3) BD = (−1; 0) (2) => y = uu r   uur   uur   => x = => I  ;3 ÷ IA =  − ; −2) ÷ IC =  ; ÷ = −2 IA => I ∈ AC 3    3  uur   uur   uur 1  IB =  ;0 ÷ ID =  − ;0) ÷ = −2  ; ÷ = −2 IB =>I ∈ BD 3    3  2  Vậy I  ;3 ÷ giao điểm AC BD 3  Bài tập : Trong mpOxy cho điểm A(0 ; 1) B(1; 3) C(2 ;7 ) D(0;3).Tìm giao điểm hai đoạn thẳng ADvà BC (ĐS: Đoạn AD không cắt BC) Trong mpOxy cho điểm A(0 ; 1) B(-1; -2) C(1 ;5 ) D(-1;-1) a.Tìm giao điểm đoạn thẳng AC BD b, Tìm giao điểm BD AC 3.Cho điểm A(-2 ; -3) B(3;7) C(0;3) D(-4 ; -5) a.Chứng minh AB //CD b Tìm giao điểm I AD BC ÑS (12;-13) 43 GA – phu đạo 10 - HK I Dạng Tìm tọa độ điểm mặt phẳng Thí dụ : Cho hình bình hành ABCD có AD = chiều cao ứng với cạnh AD = 3, ∠BAD=600 Chọn hệ trục tọa độ uuur uuuu r uuuu r uuur hình vẽ Tìm tọa độ vecto AB; BC ; CD ; AC y B A H C D x Keû BH ⊥ AD =>BH=3 ;AB=2 ; AH = A(0;0) ; B( 3;3) C (4 + 3;3) D(4; 0) uuur uuur AB = 3;3 BC = (4;0) CD = − 3; −3 uuur AC = + 3;3 ( ( ) ) ( ) Bài tập: 1.Cho tam giác ABC có cạnh a Chọn hệ trục tọa độ Oxy sau: O trung điểm BC , trục hoành hướng với tia OC , trục tung hướng với tia OA a.Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC b.Tìm tọa độ trung điểm I AC c.Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giaùc ABC 44 GA – phu đạo 10 - HK I Các công thức : a) sin2x + cos2x = b) tgx.cotgx = sin x cos x c) tgx = d) cotgx = cos x sin x 1 e) = + tg2x f) = + cotg2x cos x sin x Bi 1: Rút gọn hay đơn giản biểu thức : a) cos2x + cos2x.tg2x b) sin2x.cotg2x + sin2x c) sin a(1 + cot ga) + cos a(1 + tga) e) cos a(1 − tg a ) + sin a (1 − cot g a) 2sin a − sin a − cos a cos a − f) sin a + cos a d) + sin a − 2tg a − sin a Bµi 2: Rót gän biĨu thøc : + sin a − sin a A= víi < a < 900 − − sin a + sin a g) + cos a − cos a víi 900 < a < 1800 − − cos a + cos a cos a 1 C= víi 00 < a < 900 + + cos a − cos a B= 1 víi 00 < a < 900 + cos a − sin a + sin a Bài 3: Chứng minh ®¼ng thøc sau : cos a 1 + sin a + tga = a) b) = 2tg a + + sin a cos a − sin a tga cot g a − sin a + cos a =1 + = c) d) − tg a cot ga + cos a sin a sin a D= e) + cos a = + cot g a − cos a cot g a − 1 − tg a = g) cot ga tga f) sin a + cot ga = + cos a sin a n n  tga   cot ga  h)  = ÷ ÷  − tg a   cot g a −  45 GA – phu đạo 10 - HK I sin a cos a + sin a − = cot ga + = j) sin a + cos a + sin a cos a cos a sin a sin a + cos a + = sin a + cos a k) sin a − cos a − tg a l) sin4a + cos4a = – 2sin2a.cos2a m) sin6a + cos6a = – 3.sin2a.cos2a i) Bài 4: Tính giá trị hàm số lợng giác khác biết a) sinx = , 900 < a < 1800 b) tgx = , 00 < a < 900 c) cotg15O = 2+ d) tgx = -1 Bµi 5: Cho tgx = Tính số trị biểu thức sau : sin x − 3cos x + cos x A= B= sin x + cos x − sin x tgx − cot g x sin x − 6sin x cos x + cos x B= C = − cot gx − cot g x sin x − 2sin x.cos x sin x.cos x + cos x G = sin6x – cos6x F = sin4x + cos4x E= H = sinx.cosx –cos2x Bµi 6: Cho sina + cosa = Tính số trị biểu thøc : P = sina.cosa Q = sin4a + cos4a R = sin3a + cos3a S = sin5a + cos5a cotg3a + tg3a T = tg2a + cotg2a Bµi 7: Cho tga + cotga = TÝnh A = tga – cotga B = tg2a – cotg2a cotg a D = tg4a + cotg4a E = tg3a + cotg3a sina.cosa Bµi 8: Chøng minh : tg a + cos a  tga + cos a  a)  ÷ = + cot g a.cos a  + cot ga.cos a  U= C = tg2a + F= 46 GA – phu đạo 10 - HK I n tg n a + cos n a  tga + cos a  + b)  = ÷ + cot g n a.cos n a ∀n ∈Z + cot ga cos a   c) sin2a.tga + cos2a.cotga + 2sina.cosa = tga + cotga tga + tgb tg a − tg b sin a − sin b = d) tga.tgb = e) cot ga + cot gb tg a.tg b sin a.sin b f) cotg2a.cotg2b − cos s a − sin b =1 sin a.sin b g)  + sin a − sin a  −  ÷ = tg a  − sin a + sin b ÷  sin a.sin b(tg a − tg 2b)  tga + tgb  = ÷ sin a − sin b  cot ga + cot gb  h) Bµi 9: Chứng minh biểu thức sau khơng phụ thuộc x A = 2(cos6x + sin6x) – 3(cos4x + sin4x) B= tg x - (1 + sin x cos x tg2x)2 sin x cos x cot g x − cos x sin x.cos x + − C= + sinx.cosx D= + cot gx + tgx cot g x cot gx 8 6 E = 3(sin x – cos x) + 4(cos x - 2sin x) + 6sin x F = 2(sin4x + cos4x + sin2x.cos2x)2 sin8x cos8x Bài 10: Tìm tất giá trị tham số m để biểu thức sau không phụ thuộc vào x P = cos6x + sin6x + ( m -1)sin2x.cos2x Q = m(sin4x + cos4x) + 4(m + 1)sin2x.cos2x + sin6x + cos6x R= m(sin x + cos8 x) + cos x + sin x + S = m(sin8x – cos8x) + 4(2sin6x – cos6x) – nsin4x TÍCH VƠ HƯỚNG ur ur 1.Cho hai vectơ a b Chứng minh : ur ur r r2 r2 r2 r2 r2 r r2 r r2 r r2 a b = a +b − a − b = a + b − a −b = a +b − a −b ur ur ur ur ur ur 2.Cho hai vectơ a , b có a = , b = 12 a + b = 13.Tính tích vơ hướng ur ur ur ur ur ur a a + b suy góc hai vectơ a a + b ( ( ) ( ) ( ) 3.Cho tam giác ABC cạnh a Gọi H trung điểm BC,tính ) GA – phu đạo 10 - HK I 47 uuuuruuur uuuruuur uuuu ruuu r a) AH BC b) AB AC c) AC.CB 4.Cho hình vng ABCD tâm O,cạnh a.Tính: uuuruuur uuuruuur uuuu ruuu r a) AB AC b) OA AC c) AC.CB uuuruuur Tam giác ABC có AC = ,BC = ,C = 90o ,tính AB AC Tam giác ABC có AB = ,AC = ,A = 120o uuuruuur uuuu r uuur a)tính AB.BC b) Gọi M trung điểm AC tính AC.MA Tam giác ABC có AB = ,BC = ,CA = uuuruuur a)Tính AB AC suy giá trị góc A uuuruuu r b)Tính CA.CB uuuu ruuu r c)Gọi D điểm cạnh CA cho CD = CA Tính CD.CB ur ur ur ur ur ur 8.Cho hai vectơ a b thỏa mãn | a | = , | b | = ( a , b ) = 120o ur ur ur ur Với giá trị m hai vectơ a + m b a – m b vng góc Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(2;4) ,B(– 3;1) ,C(3;– 1) a)Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành b)Kẻ đường cao AH Tìm tọa độ chân đường cao H 10.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A,B,C,D với A(– 1;1) ,B(0;2) ,C(3;1) D(0;– 2) Chứng minh rằng: tứ giác ABCD hình thang cân 11.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A,B,C với A(– 1;– 1) ,B(3;1) ,C(6;0) a)Chứng minh rằng: điểm A ,B ,C tạo thành tam giác b)Tính góc B tam giác ABC 12.Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A,B với A(5;4) ,B(3;– 2).Một điểm M thay đổi trục hồnh.Tìm giá trị nhỏ 13.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(3;4) ,B(4;1) ,C(2;– 3) ,D(– 1;6) Chứng minh rằng: tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn 14.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(– 8;0) ,B(0;4) ,C(2;0) ,D(– 3;– 5) Chứng minh rằng: tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ... C B⊂ D , chứng minh (A∪B)⊂ (C∪D) b) CMR : A (B∩ C) = (AB)∪(AC) GA – phu đạo 10 - HK I c) CMR : A (B∪ C) = (AB)∩(AC) GA – phu đạo 10 - HK I 10 Chương II: HÀM SỐ §1: Đại cương hàm số A:TÓM... mệnh đề dạng A ⇒ B Bài 7: Cho mệnh đề chứa biến P(x) : “ x > x2” , xét tính sai mệnh đề sau: GA – phu đạo 10 - HK I a) P(1) b) P( ) c) ∀x∈N ; P(x) d) ∃ x∈ N ; P(x) Bài 8: Phát biểu mệnh đề A... LÝ THUYẾT 1:Trong toán học đònh lý mệnh đề Nhiều đònh lý phát biểu dạng “∀x∈X , P(x) ⇒ Q(x)” GA – phu đạo 10 - HK I Chứng minh phản chứng đinh lý “∀x∈X , P(x) ⇒ Q(x)” gồm bước sau: - Giả sử tồn