Đang tải... (xem toàn văn)
CHUYÊN ĐỀ: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC AMGM ________________________________________ MỤC LỤC A. MỤC TIÊU DẠY HỌC 2 B. HÌNH THỨC, KẾ HOẠCH DẠY HỌC 2 1. Hình thức dạy học 2 2. Kế hoạch dạy học 2 C. NỘI DUNG BÀI HỌC 2 I. BẤT ĐẲNG THỨC AMGM 2 1. Một số tính chất cơ bản của bất đẳng thức. 2 2. Một số quy tắc chung trong chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức AMGM. 3 3. Bất đẳng thức AMGM 3 II. KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC AMGM. 5 1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên. 5 2. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở tâm. 11 3. Bài tập áp dụng. 18 D. KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ 22 A. MỤC TIÊU DẠY HỌC • Căn cứ: +) Chuẩn KTKN +) Yêu cầu của nhà trường +) Khả năng, mong muốn của HS… • Mục tiêu dạy học: Về kiến thức: +) Học sinh hiểu các tính chất cơ bản của bất đẳng thức. +) Học sinh biết các quy tắc khi làm bài toán bất đẳng thức. +) Học sinh hiểu bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AMGM). +) Học sinh chứng minh được bất đẳng thức AMGM dạng 2 số không âm. +) Học sinh biết phương pháp quy nạp kiểu Cauchy. +) Học sinh hiểu kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức AMGM. Về kỹ năng: +) Học sinh dự đoán được điểm rơi xảy ra ở đâu. +) Học sinh vận dụng được bất đẳng thức AMGM để giải các bài toán bất đẳng thức và cực trị. B. HÌNH THỨC, KẾ HOẠCH DẠY HỌC 1. Hình thức dạy học Tổ chức các hoạt động nhóm: chia lớp thành các nhóm làm bài tập. 2. Kế hoạch dạy học Nội dung Tiết I. BẤT ĐẲNG THỨC AMGM 1. Một số tính chất cơ bản của bất đẳng thức 2. Một số quy tắc chung trong chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức AMGM. 1 3. Bất đẳng thức AMGM 1 II. KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC AMGM 1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên. 5 2. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở tâm. 4 3. Bài tập áp dụng 4 Kiểm tra và chữa bài kiểm tra 2 C. NỘI DUNG BÀI HỌC I. BẤT ĐẲNG THỨC AMGM 1. Một số tính chất cơ bản của bất đẳng thức. +) +) +) +) +) 2. Một số quy tắc chung trong chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức AMGM. +) Quy tắc song hành: hầu hết các BĐT đều có tính đối xứng do đó việc sử dụng các chứng minh một cách song hành, tuần tự sẽ giúp ta hình dung ra được kết quả nhanh chóng và định hướng cách giả nhanh hơn. +) Quy tắc dấu bằng: dấu bằng “ = ” trong BĐT là rất quan trọng. Nó giúp ta kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh. Nó định hướng cho ta phương pháp giải, dựa vào điểm rơi của BĐT. Chính vì vậy mà khi dạy cho học sinh ta rèn luyện cho học sinh có thói quen tìm điều kiện xảy ra dấu bằng mặc dù trong các kì thi học sinh có thể không trình bày phần này. Ta thấy được ưu điểm của dấu bằng đặc biệt trong phương pháp điểm rơi và phương pháp tách nghịch đảo trong kỹ thuật sử dụng BĐT Cô Si. +) Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: không chỉ học sinh mà ngay cả một số giáo viên khi mới nghiên cứu và chứng minh BĐT cũng thương rất hay mắc sai lầm này. Áp dụng liên tiếp hoặc song hành các BĐT nhưng không chú ý đến điểm rơi của dấu bằng. Một nguyên tắc khi áp dụng song hành các BĐT là điểm rơi phải được đồng thời xảy ra, nghĩa là các dấu “ = ” phải được cùng được thỏa mãn với cùng một điều kiện của biến. +) Quy tắc biên: Cơ sở của quy tắc biên này là các bài toán quy hoạch tuyến tính, các bài toán tối ưu, các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm nhiều biến trên một miền đóng. Ta biết rằng các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thường xảy ra ở các vị trí biên và các đỉnh nằm trên biên. +) Quy tắc đối xứng: các BĐT thường có tính đối xứng vậy thì vai trò của các biến trong BĐT là như nhau do đó dấu “ = ” thường xảy ra tại vị trí các biến đó bằng nhau. Nếu bài toán có gắn hệ điều kiện đối xứng thì ta có thể chỉ ra dấu “ = ” xảy ra khi các biến bằng nhau và mang một giá trị cụ thể. +) Chiều của BĐT : “ ≥ ”, “ ≤ ” cũng sẽ giúp ta định hướng được cách chứng minh: đánh giá từ TBC sang TBN và ngược lại 3. Bất đẳng thức AMGM 3.1. Định lí Với mọi số thực dương ta có bất đẳng thức: Dấu = xảy ra . 3.2. Chứng minh Sử dụng phương pháp quy nạp Cauchy +) Với ta có: ( đúng) Dấu = xảy ra . +) Giả sử (1) đúng với ta có: Ta đi CM (1) đúng với Xét: Dấu = xảy ra . +)Giả sử (1) đúng với ta có: Ta đi CM (1) đúng với Đặt Xét Dấu = xảy ra Ta có điều phải chứng minh. 4. Một số hệ quả. 4.1. với 4.2. với 4.3.Cho 2n số dương ta có:
CHUYÊN ĐỀ: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM MỤC LỤC A MỤC TIÊU DẠY HỌC • Căn cứ: +) Chuẩn KT-KN +) Yêu cầu nhà trường +) Khả năng, mong muốn HS… • Mục tiêu dạy học: Về kiến thức: +) Học sinh hiểu tính chất bất đẳng thức +) Học sinh biết quy tắc làm toán bất đẳng thức +) Học sinh hiểu bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (AM-GM) +) Học sinh chứng minh bất đẳng thức AM-GM dạng số không âm +) Học sinh biết phương pháp quy nạp kiểu Cauchy +) Học sinh hiểu kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức AM-GM Về kỹ năng: +) Học sinh dự đoán điểm rơi xảy đâu +) Học sinh vận dụng bất đẳng thức AM-GM để giải toán bất đẳng thức cực trị Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Page B HÌNH THỨC, KẾ HOẠCH DẠY HỌC Hình thức dạy học - Tổ chức hoạt động nhóm: chia lớp thành nhóm làm tập Kế hoạch dạy học I BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM Nội dung Một số tính chất bất đẳng thức Một số quy tắc chung chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức AMGM Bất đẳng thức AM-GM II KỸ THUẬT CHỌN Kỹ thuật chọn điểm rơi toán ĐIỂM RƠI TRONG cực trị xảy biên BẤT ĐẲNG THỨC Kỹ thuật chọn điểm rơi toán AM-GM cực trị xảy tâm Bài tập áp dụng Kiểm tra chữa kiểm tra Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Page Tiết 1 4 C NỘI DUNG BÀI HỌC I BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM Một số tính chất bất đẳng thức a≥b⇔ a−b≥0 +) +) +) +) a ≥ b ⇒a≥c b ≥ c a≥b⇔a+c≥b+c a ≥ b ⇒a+c≥b+d c ≥ d a≥b>0⇒ +) 1 ≤ a b Một số quy tắc chung chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức AM-GM +) Quy tắc song hành: hầu hết BĐT có tính đối xứng việc sử dụng chứng minh cách song hành, giúp ta hình dung kết nhanh chóng định hướng cách giả nhanh +) Quy tắc dấu bằng: dấu “ = ” BĐT quan trọng Nó giúp ta kiểm tra tính đắn chứng minh Nó định hướng cho ta phương pháp giải, dựa vào điểm rơi BĐT Chính mà dạy cho học sinh ta rèn luyện cho học sinh có thói quen tìm điều kiện xảy dấu kì thi học sinh khơng trình bày phần Ta thấy ưu điểm dấu đặc biệt phương pháp điểm rơi phương pháp tách nghịch đảo kỹ thuật sử dụng BĐT Cô Si +) Quy tắc tính đồng thời dấu bằng: không học sinh mà số giáo viên nghiên cứu chứng minh BĐT thương hay mắc sai lầm Áp dụng liên tiếp song hành BĐT không ý đến điểm rơi dấu Một nguyên tắc áp dụng song hành BĐT điểm rơi phải đồng thời xảy ra, nghĩa dấu “ = ” phải được thỏa mãn với điều kiện biến +) Quy tắc biên: Cơ sở quy tắc biên toán quy hoạch tuyến tính, tốn tối ưu, tốn cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhỏ hàm nhiều biến miền đóng Ta biết giá trị lớn nhất, nhỏ thường xảy vị trí biên đỉnh nằm biên Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Page +) Quy tắc đối xứng: BĐT thường có tính đối xứng vai trò biến BĐT dấu “ = ” thường xảy vị trí biến Nếu tốn có gắn hệ điều kiện đối xứng ta dấu “ = ” xảy biến mang giá trị cụ thể +) Chiều BĐT : “ ≥ ”, “ ≤ ” giúp ta định hướng cách chứng minh: đánh giá từ TBC sang TBN ngược lại Bất đẳng thức AM-GM 3.1 Định lí a1 ,K , an Với số thực dương ⇔ a1 = K = an ta có bất đẳng thức: a1 + K + an n ≥ a1.K an (1) n Dấu "=" xảy 3.2 Chứng minh Sử dụng phương pháp " quy nạp Cauchy" +) Với ⇒ n=2 ta có: a1 + a2 ≥ a1a2 Dấu "=" xảy a + a − a1a2 ( a1 − a2 ) a1 + a2 − a1a2 = = ≥0 2 ( đúng) ⇔ a1 = a2 +) Giả sử (1) với Ta CM (1) với Xét: n=k ta có: a1 + K + ak k ≥ a1.K ak k n = 2k a1 + K + a2 k = a1 + K + ak + ak +1 + K + a2 k ÷ 2 k k 2k ≥ ≥ ( k k a1.K ak k ak +1.K a2 k a1.K ak + k ak +1.K a2 k ) = k a1.K ak .a2 k Dấu "=" xảy a1 = K = ak ⇔ ak +1 = K = a2 k a a = a a ⇔ a = = a = a = = a k +1 2k k k k +1 2k +)Giả sử (1) với a1 + K + a p n= p Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 ta có: p Page ≥ p a1.K a p Ta CM (1) với ap = a1 + K + a p −1 Đặt p −1 a1 + K + a p −1 + a p p Xét ≥ ≥ n = p −1 p −1 a1.K a p −1 a1 + K + a p −1 + p −1 a1.K a p −1 p ≥ p a1.K a p −1 p −1 a1.K a p −1 = p −1 a1.K a p −1 ⇒ a1 + K + a p −1 + p −1 a1.K a p −1 ≥ p p −1 a1.K a p −1 ⇔ a1 + K + a p −1 ≥ ( p − 1) p −1 a1.K a p −1 ⇔ a1 + K + a p −1 p −1 ≥ p −1 a1.K a p −1 ⇔ a1 = K = a p −1 = a1 + K + a p −1 p −1 ⇔ a1 = K = a p −1 Dấu "=" xảy Ta có điều phải chứng minh Một số hệ 1 1 ( a1 + a2 + + a n ) + + + ÷≥ n2 an ∀ai > 0, i = 1, n a1 a2 4.1 với 1 n2 + + + ≥ a1 a2 an a1 + a2 + + an ∀ai > 0, i = 1, n 4.2 với ( n ∈ Z , n ≥ ) : a1 , a2 , , an , b1, b2 , , bn 4.3.Cho 2n số dương ta có: n a +b ( ) ( a2 + b ) ( an + bn ) ≥ n a1a2 an + n b1b2 bn II KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM Kỹ thuật chọn điểm rơi toán cực trị xảy biên 1.1 Quy tắc biên Cơ sở quy tắc biên tốn quy hoạch tuyến tính, tốn tối ưu, tốn cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhỏ hàm nhiều biến miền đóng Ta biết giá trị lớn nhất, nhỏ thường xảy vị trí biên đỉnh nằm biên Khi biến có giá trị biên Khi ta gọi tốn có cực trị đạt biên 1.2 Một số toán Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Page a≥2 Bài toán 1: Cho số thực +) Sai lầm thường gặp là: A=a+ A=a+ Tìm giá trị nhỏ (GTNN) a 1 ≥ a = a a Vậy GTNN A +) Nguyên nhân sai lầm: ⇔a= GTNN A +) Phân tích: ⇔ a = ±1 a vơ lý theo giả thuyết a≥2 Do a tăng A tăng nên ta dự đoán A đạt GTNN “Điểm rơi a=2 dấu “=” Vì ta phải tách quy tắc dấu “=” a a ” , ta có sơ đồ sau: a α = α a =2⇒ ⇒ = ⇒α = α 1 = a A=a+ Khi đó: A=a+ A đạt GTNN a 3a = + + a 4 a ta có lời giải sau: a 3a a 3a = + + ≥2 + ≥ 1+ = a a 4 a 4 ⇔ Dấu “=” xảy a = hay a = a Vậy GTNN A Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 a a khơng thỏa quy tắc để áp dụng bất đẳng thức Cauchy thỏa Giả sử ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số a=2 a=2⇒ ” Ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số a = α a Page a 1 , α a cho “Điểm rơi +) Lưu ý:Để giải tốn trên, ngồi cách chọn cặp số cặp số sau: 1 αa , a Bài toán 2: Cho số thực Sơ đồ điểm rơi: α a, a a≥2 a, αa a 1 , α a ta chọn các A=a+ Tìm giá trị nhỏ a2 a α = α a =2⇒ ⇒ = ⇒α =8 α 1 =1 a Sai lầm thường gặp là: Dấu A= “=” xảy ⇔a=2 a 7a a 7a + + ≥2 + = a 8 a 7a + ≥ 2a + = 2 Vậy GTNN A Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù GTNN A mắc sai lầm đánh giá mẫu số: “ a≥2⇒ đáp số cách giải sai” ≥ 2a 2 Lời giải đúng: A= Dấu “=” xảy a a 6a a a a + + + ≥ 3.3 + ≥ + = 8 a 8 a 8 ⇔a=2 Vậy GTNN A 1.3 Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Cho số thực dương a, b thỏa a +b ≤1 Phân tích: Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Page A = ab + Tìm GTNN ab a+b ab ≤ ≤ Ta có: Sơ đồ điểm rơi: ab = 1 α 4α ab = ⇒ ⇒ = 4⇒α = 4α 16 1 =4 ab Giải: Ta có: a+b ab ≤ ÷ ≤ ⇒ −ab ≥ − A = 16ab + 1 17 − 15ab ≥ 16ab − 15ab ≥ − 15 = ab ab 4 Dấu “=” xảy ⇔ ab = Vậy GTNN A 17 Ví dụ 2: Cho số thực Phân tích: Ta có: A = a2 + 1 ⇔a=b= a≥6 A = a2 + Tìm GTNN 18 a 18 9 = a2 + + a a a Dễ thấy a tăng A tăng Ta dự đốn A đạt GTNN Ta có sơ đồ điểm rơi: a 36 = α ⇒ 36 = ⇒ α = 24 a =6⇒ α α 9 = = a Giải: a 9 23a a 9 23a 23.36 A= + + + ≥3 + ≥ + = 39 24 a a 24 24 a a 24 24 Ta có: Dấu “=” xảy ⇔ a2 = ⇔a=6 24 a Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Page a=6 Vậy GTNN A 39 Ví dụ 3: Cho số thực dương a, b, c thỏa A= a+b+c+ a + 2b + 3c ≥ 20 Tìm GTNN + + a 2b c Phân tích: Dự đốn GTNN A đạt a + 2b + 3c = 20 ,tại điểm rơi a = 2, b = 3, c = Sơ đồ điểm rơi: a α = α a =2⇒ ⇒ = ⇒α = α 3 = a b β = β 3 b =3⇒ ⇒ = ⇒β =2 β 9 =3 2b c γ = γ c =4⇒ ⇒ =1⇒ γ = γ 4 = c Giải: 3a b c a b 3c A = + ÷+ + ÷+ + ÷+ + + a 2b c 4 ≥2 3a b c a + 2b + 3c +2 +2 + a 2b c ≥ + + + = 13 Dấu “=” xảy ⇔ a = 2, b = 3, c = Vậy GTNN A 13 Ví dụ 4: Cho3 số thực dương a, b, c thỏa ( a + b + c ) + 2 + + + ≥ 121 ab bc ca abc 12 Phân tích: Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Page ab ≥ 12 bc ≥ Chứng minh rằng: Dự đoán GTNN A đạt ab = 12 bc = ,tại điểm rơi a = 3, b = 4, c = Giải: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: a b a b + + ≥ 33 = 18 24 ab 18 24 ab a c a c + + ≥ 33 = ca ca b c b c + + ≥ 33 = 16 bc 16 bc a c b a c b + + + ≥ 44 = 12 abc 12 abc 13a 13b 13a 13b 13 13 13 + ≥2 ≥2 12 = 18 24 18 24 18 24 13b 13c 13b 13c 13 13 13 + ≥2 ≥2 = 48 24 48 24 48 24 Cộng theo vế bất đẳng thức ta được: ( a + b + c ) + 2 1 121 + + ≥ + ab bc ca abc 12 (đpcm) Ví dụ 5: Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: 10a + 10b + c ≥ minh rằng: Phân tích: Với < α < 10 αa + 2 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: c2 c2 ≥ αa = 2α ac 2 2 c c αb + ≥ αb = 2α bc 2 (10 − α ) a + (10 − α ) b ≥ (10 − α ) a (10 − α ) b = ( 20 − 2α ) ab Cộng theo vế bất đẳng thức trên, ta có: 10a + 10b + c ≥ 2α ( ac + bc ) + ( 20 − 2α ) ab Cân điều kiện giả thuyết có: Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Page 10 ab + bc + ca = Chứng Sai lầm 1: Ta có: P= 1 4 + + + 4ab ≥ + + 4ab = + + 4ab ÷ 2 a +b 2ab 2ab a + b + 2ab 2ab ( a + b ) 2ab Mặt khác: 1 + 4ab ≥ 4ab = 2 2ab 2ab Vậy P≥4+2 ( MinP = 2 nên ) Sai lầm 2: P= 1 1 1 + + ab + + ≥ ab + ≥ + + = + ÷ a + b ab 4ab 4ab ( a + b ) ab ab 4ab 4ab Dấu “=” xảy a + b2 = 2ab 1 ⇔ a 2b = ⇔a=b= 16 a + b = a=b= MinP = a=b= Thay vào ta P≥7 +) Nguyên nhân sai lầm: Sai lầm 1: Với bạn chưa có khái niệm “điểm rơi”, việc tách thói quen để làm xuất a=b 2 a + b + 2ab = ( a + b ) MinP = + 2 ⇔ = 4ab ⇒ VN ab a + b = Dấu “=” bất đẳng thức không xảy Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 ⇒ Không kết luận Page 15 1 = + ab 2ab 2ab MinP = + 2 a=b= Sai lầm 2: Với bạn có khái niệm điểm rơi, dự đoán dấu a=b= tách số hạng MinP = đúng, bước cuối làm sai ví ( x − 1) + x = 1?? x = ⇒ Min − x + x ≥ x ( ) dụ , dấu xảy +) Lời giải đúng: a=b= Do P biểu thức đối xướng với a,b, ta dự đoán MinP đạt P= 1 1 + + 4ab + ≥ + 4ab + ≥7 ÷+ 2 a +b ab 4ab 4ab ( a + b ) ab a + b 4 ÷ Bài toán 3: Cho a + b = 2ab 1 ⇔ a 2b = ⇔a=b= 16 a + b = a, b > a + b ≤ S= Ta có: Tìm GTNN biểu thức 1 1 + + + + a + b3 3a 2b 3ab 3a 2b 3ab 2 1 + + 2÷ 2 a + b + 3a b + 3ab a b ab 3 ( a + b) +2 S= +) Sai lầm thường gặp: = , ta có: Dấu xảy ≥ 1 1 + ab a b Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Page 16 1 + + a + b3 a 2b ab ≥9+ 59 ≥ a+b a+b 3 ÷ Vậy MinS = 59 +) Nguyên nhân sai lầm: MinS = a3 + b3 = 3a 2b ⇔ a =b (vn) 59 a + b =1 +) Lời giải đúng: a=b= Dự đoán dấu “=” xảy Ta thấy a3 + b3 + 3a 2b + 3ab = ( a + b ) muốn xuất ( a + b) : ta áp dụng bất 1 + + a + b 2a b 2ab2 đẳng thức 1 + + ≥ 3 a + b 2a b 2ab ( a + b ) − ab ( a + b ) Mà: ta phải dùng bất đẳng thức cho số: S= 1 1 25 + + + + ≥ ≥ 3 2 a + b 2a b 2ab 2a b 2ab ( a + b ) + ab ( a + b ) a=b= Dấu xảy Vậy không đánh giá tiếp MinS = 20 2.2 Ví dụ áp dụng Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Page 17 25 ( a + b) ( a + b) + ≥ 20 a+b+c ≤ Ví dụ 1: Cho số thực dương a, b, c thỏa A= a+b+c+ Tìm GTNN của: 1 + + a b c Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN A đạt tại: a=b=c= Sơ đồ điểm rơi: c a b = = = 1 α α α 2α a=b=c= ⇒ ⇒ = 2⇒α = 2α 1 = = = a b c Giải: Ta có: 1 1 1 13 A = 4a + 4b + 4c + + + ÷− 3a − 3b − 3c ≥ 6 4a.4b.4c − ( a + b + c ) ≥ 12 − = a b c a b c 2 ⇔a=b=c= Dấu “=” xảy Vậy GTNN A 13 a+b+c ≤ Ví dụ 2: Cho số thực dương a, b, c thỏa A = a2 + b2 + c2 + Tìm GTNN của: 1 + + a b c Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN A đạt a=b=c= Sơ đồ điểm rơi: a = b2 = c2 = 1 a=b=c= ⇒ ⇒ = ⇒α =8 α 1 = = = αa αb αc α Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Page 18 Giải: Ta có: 1 1 1 3 A = a + b + c + + + + + + ÷+ + + 8a 8b 8c 8a 8b 8c 4a 4b 4c ≥ 9 a b c ≥ 1 1 1 31 1 + + + ÷ 8a 8b 8c 8a 8b 8c a b c 9 9 27 + ≥ + ≥ + = 4 abc 4 a + b + c 4 ⇔a=b=c= Dấu “=” xảy Vậy GTNN A 27 A= Ví dụ 3: Cho số thực dương a, b Tìm GTNN a+b ab + ab a+b Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN A đạt tại: Sơ đồ điểm rơi: 2a a+b = α ab αa = α a=b⇒ ⇒ = ⇒α = α ab = a = a + b 2a Giải: Ta có: a+b ab 3( a + b ) a+b ab 3.2 ab + A = + ≥2 + = 1+ = 2 ab a + b ab ab a + b ab Dấu “=” xảy ⇔a=b Vậy GTNN A Ví dụ 4: Cho số thực dương a, b, c Tìm GTNN Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Page 19 a=b A= a b c b+c c+a a+b + + + + + b+c c+a a+b a b c Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN A đạt tại: Sơ đồ điểm rơi: a=b=c b c a b + c = c + a = a + b = 2 a=b=c⇒ ⇒ = ⇒α = α b + c = c + a = a + b = αa αb αc α Giải: Ta có: ≥ 66 b c b+c c+a a+b 3b+c c+a a+b a A= + + + + + + + ÷+ ÷ 4b 4c a b c b + c c + a a + b 4a a b c b+c c+a a +b 3 b c c a a b + + + + + + ÷ b + c c + a a + b 4a 4b 4c 4a a b b c c b c c a a b 15 ≥ + 6.6 = + = a a b b c c 2 Dấu “=” xảy ⇔a=b=c Vậy GTNN A 15 Ví dụ 5: Cho số thực dương a, b thỏa a +b ≤1 A= Tìm GTNN của: 1 + 2ab a +b Phân tích: a=b= Do A biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN A đạt tại: Sơ đồ điểm rơi: a + b = a=b= ⇒ ⇒ 2α = ⇒ α = α = 2α 2ab Giải: Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Page 20 A= 1 + ≥2 2ab a +b ( Ta có: Dấu “=” xảy 1 ≥ 2 = ≥4 2 a + b 2ab a + b + 2ab ( a + b ) 2 ) a + b = 2ab ⇔ ⇔a=b= a + b = Vậy GTNN A Ví dụ 6: Cho số thực dương a, b thỏa A= 1+ a + b 2 + a + b ≤1 Tìm GTNN : 2ab Phân tích: a=b= Do A biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN A đạt tại: Sơ đồ điểm rơi: = 2 2 a = b = ⇒ 1 + a + b ⇒ = ⇒α =3 α = 2αab α Giải: A= Ta có: ≥2 ≥ = 1+ a + b ( a + b) + 1 + 6ab 3ab 1 + ( + a + b ) 6ab 3ab 1 + + a + b + 6ab 3ab 2 2 + + 4ab + 3ab a +b ≥ + Do ab ≤ ÷ 2 a+b a + b a + b + + ( ) ÷ ÷ Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Page 21 ÷ ÷ ≥ ≥ 2( a + b ) + + 3( a + b ) 4 + = 2.1 + 3.1 Dấu “=” xảy 1 + a + b = 6ab ⇔ a = b ⇔a=b= a + b = Vậy GTNN A Bài tập áp dụng Bài 1: Cho x,y,z > xyz = , chứng minh rằng: Bài 2: Cho số a, b,c thỏa P = a +b+c + abc Bài 3: Cho số a, b,c thỏa a , b, c > a , b, c > x2 y2 z2 + + ≥ 1+ y 1+ z 1+ x Thỏa mãn Thỏa mãn a b + c + b c + a + c a + b ≤ 24 a + b2 + c = a + b2 + c = 12 abc = b+c c+a a+b + + ≥ a + b + c +3 a b c Bài 5: Cho S= Tìm GTNN : CMR Bài 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn: a, b, c, d > CMR: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a b c d b +c +d c +d +a d +a +b a +b +c + + + + + + + b+c+ d c+d +a d +a+b a+b+c a b c d Bài (D-2005): Cho ba số thực dương Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 x, y , z Page 22 thỏa xyz = CMR + x3 + y + y3 + z3 + z + x3 + + ≥3 xy yz zx Bài ( A-2005): Cho ba số thực dương P= 1 + + 2x + y + z x + y + z x + y + 2z x, y , z thỏa 1 + + =4 x y z Tìm GTLN Bài (A-2007): Cho x, y, z số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện xyz = x2 ( y + z) A= y y + 2z z Tìm GTNN biểu thức: + y ( z + x) z z + 2x x + z ( x + y) x x + 2y y HƯỚNG DẪN: Bài 1:Ta dự đoán dấu ‘=’ xảy x = y = z =1 Vì áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho x2 1+ y 1+ y α ta được: x 1+ y = ⇔ = ⇔α=4 1+ y α α Ta có: x2 1+ y + ≥x 1+ y y2 1+ z + ≥y 1+ z z2 1+ x 1+ x + ≥ z Dấu ‘=’ xảy x = y = z =1 Bài 2: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có P = (a + b + c + 8 )+ ≥ 4 abc + 9abc 9abc 9abc a + b2 + c2 9 Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Page 23 ÷ ÷ =4 Vậy GTNN P = Bài 3: Dấu đạt : a=b=c= đạt a=b=c=2 4a = 2a = b + c Áp dụng BĐT AM-GM sau: 4a.2a (b + c ) 4a + 2a + b + c a b +c = ≤ 2 4b.2b (c + a ) 4b + 2b + c + a b c +a = ≤ 2 c a + b2 = 3 4c.2c (a + b ) 4c + 2c + a + b ≤ Cộng vế theo bât đẳng thức ý điều phải chứng minh Đẳng thức xảy dấu a + b + c ≤ 3( a + b + c ) = a=b=c=2 Bài 4: Do biểu thức đối xứng với a, b,c nên ta dự đoán dấu '' = '' a = b = c =1 a , b, c > Ta sử dụng BĐT AM-GM: b + c c + a a + b ≥ bc + ca + ab = bc + ca + ab ÷ + + b c ÷ a b c a a b c bc ca ca ab ab bc = + + + + + ÷ ÷ ÷ b ÷ c ÷ a ÷ a b c bc ca +2 a b ≥2 =2 ( ca ab +2 b c ) ( a+ b+ c = ab bc c a ) ( a+ b+ c + a+ b+ c ≥ a + b + c + 33 a b c = a + b + c + Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Page 24 ) xảy ta có Vậy Dấu b+c c+a a+b + + ≥ a + b + c +3 a b c '' = '' a = b = c =1 xảy Bài 5: Dự đoán a=b=c=d >0 Ta có sơ đồ điểm rơi: a b c d b + c + d + c + d + a + d + a + b + a + b + c = b + c + d + c + d + a + d + a + b + a + b + c = ⇒ = ⇔ α = a b c d α α Áp dụng bất đẳng thức AM-GM có: S= a b+c+d b+c+d + ÷+ ∑ a a ,b , c , d 9a a ,b , c , d b + c + d ≥ 8 ∑ a b c d b+c+d c+d +a d +a+b a+b+c + + + + + + + b+c+d c+d +a d +a+b a+b+c 9a 9b 9c 9d b c d c d a d a b a b c + + + + + + + + + + + + ÷ a a a b b b c c c d d d 8 b c d c d a d a b a b c 8 40 ≥ + 1212 = + 12 = a a a b b b c c c d d d S= Vậy Min 40 Dấu xảy ⇔a=b=c=d >0 Bài 6: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho số dương ta : + x3 + y3 ≥ xy 3 x y 1 + y3 + z3 ≥ yz 3 y z 1 + z + x3 ≥ zx = xy = yz 3 z x = zx zx xy yz Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Page 25 Cộng vế bất đẳng thức ta : + x3 + y + y3 + z3 + z + x3 1 + + ≥ 3( + + ) xy yz zx xy yz zx Mặt khác AM – GM cho số dương ta : 1 + + ≥3 xy yz zx 1 =3 xy yz zx Từ suy điều phải chứng minh Đẳng thức xảy Bài 7: Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 = ≤ = ≤ + + + x + y + z x + x + y + z 44 x.x y.z x x y z 16 x x y z Tương tự: 1 1 1 1 ≤ + + + x + y + z 16 x y y z 1 1 1 1 ≤ + + + x + y + z 16 x y z z Cộng theo vế bất đẳng thức trên, ta có: P= 1 1 4 4 + + ≤ + + = x + y + z x + y + z x + y + z 16 x y z ⇔ Dấu “=” xảy 1 = = = ⇔x= y=z= x y z Vậy GTLN P Bài 8: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: A≥ x 2 yz y y + 2z z ≥ ≥ x = y = z =1 + x x xyz y y + 2z z 2x x y y + 2z z y 2 zx z z + 2x x + + + y y yzx z z + 2x x 2y y z z + 2x x Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 z 2 xy x x + 2y y + + z z zxy x x + 2y y 2z z x x + 2y y Page 26 Đặt: x x = ( − 2a + 4b + c ) a = y y + z z b = z z + x x ⇒ y y = ( a − 2b + 4c ) c = x x + y y z z = ( a + b − 2c ) Khi đó: A≥ − 2a + 4b + c a − 2b + 4c 4a + b − 2c + + 9 a b c 2 b a c c a b − + 4 + + + + + 9 a c b a b c 2 b a c c a b ≥ − + 4.3.3 + 3.3 = ( − + 12 + 3) = 9 a c b a b c ≥ Dấu “=” xảy ⇔ a = b = c =1 Vậy GTNN A D KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ BÀI KIỂM TRA (Thời gian: 45 phút) Câu 1: Cho a,b,c > a + b + c = 3 Chứng minh rằng: Câu 2: Cho số thực dương a, b,c thỏa A= a+ 2b + b + 2c + c + 2a ≤ 33 a + b + c + 2abc ≥ 10 Tìm GTNN 9b c a 9c a b 9a b c + + + + + + + + 4 a2 b2 c2 ĐÁP ÁN: Câu 1: Ta dự đoán dấu "=" bất đẳng thức xảy Vậy ta áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số a+ 2b = 3.3( a + 2b) ≤ 3+ 3+ (a+ 2b) + a + 2b = 33 Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Page 27 a= b= c= a + 2b,3,3 , ta có: Tương tự ta có: P≤ 6+ a+ 2b + b + 2c 6+ c + 2a + + =3 33 33 33 Dấu xảy a= b= c= Câu 2: Do A biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN A đạt a=b=c=2 Sơ đồ điểm rơi: Ta có: ⇒ a α = β b b α a =b=c =2⇒ = ⇒ = ab = bc = ca = β α β c c = α β a , chọn α = β = 9b c a + ≤ + 9b + ca + 18 + + a a 9c a b + ≤ + 9b + ca + 18 + + b b 9a b2 c + 18 + + + ≤ + 9b + ca c a 4 4 24 A ≥ + + ÷+ ( a + b + c ) + ( ab + bc + ca ) a b c 4 4 4 ≥ + a ÷+ + b ÷+ + c ÷+ ( 2a + bc ) + ( 2b + ac ) + ( 2c + ab ) + ( a + b + c ) a b c ≥2 4 a + b + c + 2abc + +2 2abc + +2 2abc + ( a + b + c ) a b c ( ) ≥ 12 + a + b + c + 2abc ≥ 72 ⇒ A≥ 72 =6 24 Vây với a =b=c =2 GTNN A Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 6 Page 28 Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Page 29 ... 2 4 a + b + c + 2abc + +2 2abc + +2 2abc + ( a + b + c ) a b c ( ) ≥ 12 + a + b + c + 2abc ≥ 72 ⇒ A≥ 72 =6 24 Vây với a =b=c =2 GTNN A Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 6 Page 28 Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2... thức AM-GM ta có: A≥ x 2 yz y y + 2z z ≥ ≥ x = y = z =1 + x x xyz y y + 2z z 2x x y y + 2z z y 2 zx z z + 2x x + + + y y yzx z z + 2x x 2y y z z + 2x x Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 z 2 xy x x + 2y... = 12 abc 12 abc 13a 13b 13a 13b 13 13 13 + 2 2 12 = 18 24 18 24 18 24 13b 13c 13b 13c 13 13 13 + 2 2 = 48 24 48 24 48 24 Cộng theo vế bất đẳng thức ta được: ( a + b + c ) + 2 1 121