XÁC XUẤT, QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN CHUỖI MARKOV N H Ó M LỚ P M C QT E - N ĐẶ N G T H A N H P H O N G ĐẶ N G T Ứ Q U Ý VÕ T R Ầ N N H ẬT P H ƯƠ N G THÁNG 8/2017 PHẦN 1: TỔNG QUAN VỀ XÁC SUẤT  Các định nghĩa xác suất  Biến ngẫu nhiên  Hàm mật độ xác suất  Vector ngẫu nhiên Tổng quan xác suất  Phép thử Những thí nghiệm, quan sát mà kết khơng thể dự báo trước ta gọi chúng phép thử ngẫu nhiên ký hiệu C  Biến cố Với phép thử C ta xét kiện (biến cố ngẫu nhiên) mà việc xảy hay khơng xảy hồn tồn xác định kết C Các biến cố ngẫu nhiên ký hiệu chữ in hoa A, B, C, … Mỗi kết ω (biến cố sơ cấp) phép thử C gọi kết thuận lợi cho biến cố A A xảy kết phép thử C ω Tổng quan xác suất (tt)  Không gian mẫu Tập hợp tất biến cố sơ cấp phép thử gọi không gian mẫu, ký hiệu Ω  Biến cố chắn biến cố luôn xảy thực phép thử Không gian mẫu Ω biến cố chắn  Biến cố biến cố định không xảy thực phép thử Tổng quan xác suất (tt)   Quan hệ biến cố   Biến cố đối xảy biến cố A không xảy Tổng hai biến cố A, B biến cố ký hiệu A B xảy có A B xảy Tích hai biến cố A, B biến cố ký hiệu A B xảy hai biến cố A , B đồng thời xảy Hai biến cố A, B gọi xung khắc hai biến cố đồng thời xảy Tổng quan xác suất (tt)   Hệ đầy đủ biến cố  Dãy biến cố gọi hệ đầy đủ biến cố thỏa mãn hai điều kiện sau: Xung khắc đôi Tổng chúng biến cố chắc  Hai biến cố A B độc lập với việc xảy hay không xảy biến cố không ảnh hưởng tới việc xảy hay không xảy biến cố Tổng quan xác suất (tt)   Xác suất  Giả sử phép thử C thỏa mãn điều kiện sau: Không gian mẫu có số hữu hạn phần tử Các kết xảy đồng khả Khi ta định nghĩa xác suất biến cố A Tổng quan xác suất (tt)   Nếu xem biến cố A tập không gian mẫu Ω Ví dụ: Biến cố A xuất mặt chẵn phép thử gieo xúc xắc có trường hợp thuận lợi ( A = 3) trường hợp (Ω = ) Vậy Tổng quan xác suất (tt)   Xác suất có điều kiện  Xác suất biến cố B tính điều kiện biến cố A xảy gọi xác suất B với điều kiện A Ký hiệu P(B| A) Công thức xác suất đầy đủ Giả sử hệ đầy đủ biến cố Khi đó, với biến cố B phép thử ta có Tổng quan xác suất (tt)   Công thức Bayes  Giả sử hệ đầy đủ biến cố Khi đó, với biến cố B phép thử P(B) > ta có Phân bố xác suất (tt) Với n ≥ 0, m ≥ ta có: Phân bố xác suất (tt)   Phân bố dừng, phân bố giới hạn, phân bố ergodic  gọi phân bố dừng chuỗi Markov với ma trân xác suất chuyển P thoả mãn điều kiện: Do lấy làm phân bố đầu chuỗi Markov , ∀ n Như chuỗi Markov có phân bố dừng thời điểm hệ có phân bố xác suất ổn định sau bước chuyển kể từ thời điểm Phân bố xác suất (tt)   nói chuỗi Markov với ma trân xác suất chuyển có phân bố Ta giới hạn thoả mãn điều kiện: Nếu đổi điều kiện thành chuỗi Markov gọi có tính ergodic phân bố ergodic Nếu tồn phân bố giới hạn phân bố dừng Phân loại trạng thái chuỗi Markov •  Các trạng thái liên thơng phân lớp Ta nói trạng thái j đạt (accessible) từ trạng thái i tồn n ≥ cho (xác suất để sau bước chuyển từ trạng thái i sang trạng thái j lớn 0) Ký hiệu i → j Quy ước Hai trạng thái i j gọi liên thông (communicate) với i → j j → i , lúc ta ký hiệu i ↔ j Chuỗi Markov gọi tối giản (irreducible) hai trạng thái không gian trạng thái liên thông với Phân loại trạng thái chuỗi Markov (tt) Trạng thái tuần hồn khơng tuần hồn Ta định nghĩa chu kỳ trạng thái i UCLN viết tắc “ước chung lớn nhất” Phân loại trạng thái chuỗi Markov (tt)  Trạng thái hồi quy trạng thái không hồi quy Phân loại trạng thái chuỗi Markov (tt) Thời điểm trung bình để lần hệ quay lại trạng thái i với điều kiện hệ xuất phát từ thời điểm tinh Tiêu chuẩn hồi quy không hồi quy  Tiêu chuẩn hồi quy không hồi quy Tiêu chuẩn hồi quy không hồi quy (tt) Giới hạn chuỗi Markov Định lý giới hạn chuỗi Markov Gọi d chu kỳ chung trạng thái chuỗi Giả sử j trạng thái hồi quy khơng tuần hồn (d(j) = 1) Giới hạn chuỗi Markov (tt) Giới hạn chuỗi Markov (tt) Giả sử j trạng thái hồi quy tuần hoàn chu kỳ d(j) = d > Nếu i Phân bố dừng phân bố giới hạn   Sự tồn phân bố dừng phân bố giới hạn  Điều kiện cần đủ để tồn phân bố giới hạn khơng gian trạng thái E có đung lớp hồi quy dương C khơng tuần hồn (d(C) = 1) cho ; ∀ j ∈ C, ∀ i ∈ E Phân bố dừng phân bố giới hạn (tt)  Giả sử { , n ≥ 0} chuỗi Markov có khơng gian trạng thái hữu hạn Khi ta có điều sau tương đương: Nhóm cảm ơn Thầy bạn lắng nghe