Đang tải... (xem toàn văn)
1) Để chứng minh phương trình có nghiệm không phụ thuộc giá trị của k có hai cách giải. Cách 1 (Đã nói ở lời bình sau câu 2(1) Đề 24) Xem k(x2 4x 3) + 2(x 1) = 0 (*) là phương trình đối với ẩn k . Thế thì (*) có nghiệm không phụ thuộc k khi và chỉ khi x2 4x 3 = 2(x 1) = 0 x = 1. Cách 2 (Phương pháp cần và đủ) + Phương trình (*) có nghiệm với mọi x ắt phải có nghiệm với k = 0. + Với k = 0 ta có k(x2 4x 3) + 2(x 1) x = 1. Thay x = 1 vào (*) có 0k + 0 = 0 nghĩa là x = 1 là nghiệm của (*) với mọi k. Ta có điều phải chứng minh. 2) Kết quả một bài toán đâu phải chỉ có là đáp số. Cái quan trọng hơn là cách nghĩ ra lời giải chúng như thế nào, có bao nhiêu con đường (cách giải) để đi đến kết quả đó : Câu V : 1) Mấu chốt của bài toán là chuyển hoá hình thức bài toán. Cụ thể ở đây là biết thay thế việc chứng minh ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm bằng cách chứng minh 1 + 2 0. Sự chuyển hoá này đã giúp kết nối thành công với giả thiết a1 + a2 2(b1 + b2). 2) Một cách hiểu khác của bài toán là : Chứng minh cả hai phương trình không thể cùng vô nghiệm. Với cách hiểu này ta chuyển hoá thành chứng minh khả năng 1 + 2 < 0 không thể xảy ra. Thật vậy: Nếu 1 < 0 và 2 < 0 suy ra 1 + 2 < 0. Điều này sẽ dẫn tới mâu thuẫn với a1 + a2 2(b1 + b2). Bài toán được chứng minh. 3) Các cách chứng minh bài toán trên cũng là cách chứng minh trong nhiều phương trình bậc hai, ít nhất có một phương trình có nghiệm. 4) Cùng một kiểu tư duy ấy bạn dễ dàng chứng minh : Với mọi giá trị của m, phương trình x2 mx + m = 0 không thể có hai nghiệm cùng dương. Thật vậy : + Nếu m = 0, phương trình có nghiệm x = 0. + Nếu m < 0, phương trình có nghiệm hai nghiệm trái dấu (do ac < 0). + Nếu m > 0, nếu cả hai nghiệm x1, x2 đều âm thì x1+ x2 < 0 suy ra (!). Mâu thuẫn với m > 0. Vậy là bài toán được chứng minh.
ĐỀ SỐ 32 ( + − 2)( − + 2) Câu 1: 1) Rút gọn biểu thức: P= 2) Trong mp toạ độ Oxy, tìm m để đường thẳng (d): y = (m − 1)x + song song với (d′) : y = 3x + m − đường thẳng Câu 2: Cho phương trình x2 + (2m + 1) x + m2 + = (1) a) Giải phương trình (1) m = b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm âm Câu 3: Cho a, b số dương thoả mãn ab = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = (a + b + 1)(a2 + b2) + a+b Câu 4: Qua điểm A cho trước nằm đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến AB, AC (B, C tiếp điểm), lấy điểm M cung nhỏ BC, vẽ MH ⊥ BC; MI ⊥ AC; MK ⊥ AB a) Chứng minh tứ giác: BHMK, CHMI nội tiếp đường tròn b) Chứng minh MH2 = MI.MK c) Qua M vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt AB, AC P, Q Chứng minh chu vi ∆ APQ khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M a >2 Câu 5: Chứng minh hệ phương trình: x − 2y = a (1) 2 x + y = (2) vô nghiệm ĐÁP ÁN Câu 1: 1) P = = ( + − 2)( − + 2) = [ + ( − 2)][ − ( − 2)] ( )2 − ( − 2))2 = − (3 − + 4) = d′ 2) Đường thẳng d song song với khi: m − = m2 = m = ±2 ⇔ ⇔ ⇔ m = −2 m ≠ m − ≠ m ≠ Câu 2: x2 + (2m + 1) x + m2 + = (1) a) Khi m = ta có phương trình: x + 3x + = Vì a = 1; b = 3; c = => a - b + c = Vậy phương trình có x1 = - 1; x2 = - b) Phương trình (1) có nghiệm âm khi: (2m + 1)2 − 4(m + 1) ≥ ∆ ≥ m≥ 4m − ≥ ⇔ ⇔ S < ⇔ −(2m + 1) < 2m + > P > m + > m > − m≥ 2⇔ Câu 3: Ta có: a + b > 2ab = (vì ab = 1) A = (a + b + 1)(a2 + b2) + = + (a + b + (a + b + a+b a+b > 4 a+b > 2(a + b + 1) + a+b ) + (a + b) > + + = a + b > Dấu “=” a = b = Vậy minA = ab áp dụng BĐT Cơsi cho số dương) Câu 4: µ +K µ H A a) Xét tứ giác BHMK: = 900 + 900 = 1800 => Tứ giác BHMK nội tiếp đường tròn CM tương tự có tứ giác CHMI nội tiếp b) Ta có µ + HMK · µ + HMI · B =C I K = 180 M B H C mà µ =C µ ⇒ HMK · · B = HMI (1) · · · · KBM = BCM , KBM = KHM (vì góc nội tiếp chắn cung MK góc tạo tia tt góc nội tiếp chắn cung BM) · · HCM = HIM (góc tạo tia tiếp tuyến góc nội tiếp chắn ¼ · · ⇒ KHM HM = HIM ∆ ) (2) MH MK = ⇒ MH MI MH ∆ Từ (1), (2) => HMK ~ IMH (g.g) => = MI MK (đpcm) c) Ta có PB = PM; QC = QM; AB = AC (Theo t/c hai tiếp tuyến) ∆ Xét chu vi APQ = AP + AQ + PQ = AP + AQ + PM + QM = (AP + PB) + (AQ + QC) = AB + AC = 2AB khơng đổi Vì A cố định đường tròn (O) cho trước nên chu vi phụ thuộc vào vị trí điểm M (đpcm) Câu 5: Giả sử hệ x − 2y = a (1) 2 x + y = (2) ∆ APQ khơng có nghiệm (x; y) x ≤ 1, y ≤ Từ (2) suy Từ (1) ta có: x − 2y ≤ x + y ≤ x + y = ( x + y ) − ( y − y + 1) + = − ( y − y + 1) = − ( y − 1) ≤ ⇒ a ≤ a >2 trái giả thiết Suy hệ vô nghiệm, đpcm ... 2(a + b + 1) + a+b ) + (a + b) > + + = a + b > Dấu “=” a = b = Vậy minA = ab áp dụng BĐT Cơsi cho số dương) Câu 4: µ +K µ H A a) Xét tứ giác BHMK: = 900 + 900 = 1800 => Tứ giác BHMK nội tiếp đường