ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Số Phức Nâng Cao Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao A - LÝ THUYẾT CHUNG Định nghĩa - Một biểu thức dạng a  bi với a, b  R, i  1 gọi số phức - Đối với số phức z  a  bi, ta nói a phần thực, b phần ảo z - Tập hợp số phức kí hiệu  Hai số phức - Hai số phức phần thực phần ảo chúng tương ứng a  c - Công thức: a  bi  c  di   b  d Biểu diễn hình học số phức - Điểm M  a; b  hệ tọa độ vng góc Oxy gọi điểm biểu diễn số phức z  a  bi Môđun số phức - Cho số phức z  a  bi có điểm biểu diễn M  a; b  mặt phẳng tọa độ Oxy Độ dài  véctơ OM gọi mô đun số phức z kí hiệu z  - Công thức z  OM  a  bi  a  b Số phức liên hợp - Cho số phức z  a  bi, số phức dạng z  a  bi gọi số phức liên hợp z Phép cộng, phép trừ, phép nhân, phép chia - Cho số phức z1  a  bi, z2  c  di, ta có z1  z2   a  bi    c  di    a  c    b  d  i - Cho số phức z1  a  bi, z2  c  di, ta có z1  z2   a  bi    c  di    a  c    b  d  i - Cho số phức z1  a  bi, z2  c  di, ta có z1.z2   a  bi   c  di    ac  bd    ad  bc  i - Cho số phức z1  a  bi, z2  c  di, (với z2  ) tacó: z1 a  bi  a  bi  c  di   ac  bd   bc  ad  i     z2 c  di  c  di  c  di  c d2 c d2 Phương trình bậc hai với hệ số thực Cho phương trình bậc hai ax  bx  c  với a, b, c  R a  Phương trình có biệt thức   b  4ac, nếu: -   phương trình có nghiệm thực x   b 2a -   phương trình có hai nghiệm thực phân biệt x1,2  b   2a File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A -   phương trình có hai nghiệm phức x1,2  Số Phức Nâng Cao b  i  2a Acgumen số phức z  ĐỊNH NGHĨA Cho số phức z  Gọi M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số z Số đo (radian) góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM gọi acgumen z CHÚ Ý Nếu  acgumen z (hình dưới) gọi acgumen z có dạng   k 2 , k  Z (người ta thường nói: Acgumen z  xác định sai khác k 2 , k  Z ) Dạng lượng giác số phức Xét số phức z  a  bi   a, b    Kí hiệu r mô đun z  acgumen z (hình dưới) dễ thấy rằng: a  r cos  , b  r sin  Vậy z  a  bi  viết dạng z  r  cos +i sin   ĐỊNH NGHĨA Dạng z  r  cos +i sin   , r  0, gọi dạng lượng giác số phức z  Dạng z  a  bi   a, b    , gọi dạng đại số số phức z Nhận xét Để tìm dạng lượng giác z  r  cos +i sin   số phức z  a  bi   a, b    khác cho trước ta cần: Tìm r : mơ đun z , r  a  b ; số r khoảng cách từ gốc O đến điểm M biểu diễn số z mặt phẳng phức Tìm  : acgumen z;  số thực cho cos = a b sin   ; số  r r số đo góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM CHÚ Ý Z  Z  cos +i sin  ;     Khi z  z  r  acgumen z không xác định (đôi coi acgumen số thực tùy ý viết   cos +i sin   Cần để ý đòi hỏi r  dạng lượng giác r  cos +i sin   số phức z  Nhân chia số phức lượng giác Ta công thức nhân chia số phức dạng đại số Sau định lý nêu lên công thức nhân chia số phức dạng lượng giác; chúng giúp cho quy tắc tính tốn đơn giản nhân chia số phức ĐỊNH LÝ Nếu z  r  cos +i sin   ; z '  r '  cos ' +i sin  '  r  0, r '   Thì zz '  rr '  cos    ' +i sin    '   ; z r  cos    '  +i sin    '   ;  r   z' r'  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Nói cách khác, để nhân số phức dạng lượng giác, ta lấy tích mô đun tổng acgumen; để chia số phức dạng lượng giác ta lấy thương mô đun hiệu acgumen Chứng minh zz '   r  cos +i sin     r '  cos '+i sin  '  lim x   rr '  cos cos ' sin  sin  ' i  sin  cos '+cos sin '    rr '  cos    ' +i sin    '   1   cos     i sin     Theo công thức nhân số phức, z r z r Ta có:  z   cos    '  +i sin    '   z' z' r' Mặt khác, ta có Cơng thức Moa-vrơ (Moivre) Từ công thức nhân số phức dạng lượng giác, quy nạp toán học dễ dàng suy với số nguyên dương n n  r  cos +i sin     r n  cosn +i sin n  Và r  1, ta có  cos +i sin   n  cosn +i sin n Cả hai công thức gọi cơng thức Moa – vrơ Căn bậc hai số phức dạng lượng giác Từ công thức Moa – vrơ, dễ thấy số phức z  r  cos +i sin   , r  có bậc hai           r  cos +i sin   r  cos +i sin   r  cos( + )+i sin(   )  2 2 2     File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao B - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM DẠNG 1: TÍNH TOÁN TRÊN SỐ PHỨC Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn A 13  z i z 1    i 1 Tính mơ đun số phức    z  z B 15 C 17 D 19 Hướng dẫn giải: Giả sử z  a  bi  a  bi  i    i  5a  5i  b  1  2a  2bi    bi  i a  bi  3a   b  a   3a   b  i  5b   2b  a  1      z  1 i 3b  a   b  1      i   2i    3i      13 Chọn A Câu 2: Cho z1 , z2 hai số phức liên hợp thỏa mãn z1   z1  z2  Tính z22 mơđun số phức z1 A z1  B z1  C z1  D z1  Hướng dẫn giải: Gọi z1  a  bi  z2  a  bi;  a  ; b    Không tính tổng quát ta gọi b  Do z1  z2   2bi   b  z1 z13    z13   Do z1 , z2 hai số phức liên hợp nên z1.z2   , mà  z2  z1 z2  b  Ta có: z13   a  bi    a  3ab    3a 2b  b3  i    3a 2b  b3     a  3a  b Vậy z1  a  b  Chọn C m Câu 3:   6i  Cho số phức z    , m nguyên dương Có giá trị m  1;50 để z số  3i  ảo? A 24 B 26 C 25 D 50 Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao m   6i  m m m Ta có: z     (2i)  i  3i  z số ảo m  2k  1, k   (do z  0; m  * ) Vậy có 25 giá trị m thỏa yêu cầu đề Chọn C Câu 4: Nếu z  z 1 z A lấy giá trị phức B số ảo C D lấy giá trị thực Hướng dẫn giải: Ta có: z 1 z z  z  z  z   z  z số ảo z z z z z Chọn B Câu 5: Nếu z  a;  a   z2 a z A lấy giá trị phức B số ảo C D lấy giá trị thực Hướng dẫn giải: Ta có: z  a2 a a2 z a2 z z z  z   z  z số ảo z z z z z Chọn B Câu 6: Có số phức z thỏa A B z 1 z i   1? iz 2 z C D Hướng dẫn giải:  z 1  x  i  z 1   z   i  z x   y     z    i Ta có:     2  x  y  3  y   z  i   z  i   z   z  Chọn A Câu 7: Cho hai số phức z1 , z2 thảo mãn z1  z  1; z1  z  Tính z1  z2 A B C D Nhận xét: Bài nhìn vào khó, em cần phải bình tĩnh, cần gọi z1  a1  b1i; z2  a2  b2i  a1 , a2 , b1 , b2    sau viết hết giả thiết đề cho: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao 2 2  z1  z2  a1  b1  a2  b2    2 z  z    a1  a2    b1  b2   2 Và viết cần tính z1  z   a1  a2    b1  b2  Hãy quan sát cần tính thấy cần bình phương lên dùng giả thiết Hướng dẫn giải: Ta có: z1  a1  b1i; z2  a2  b2i  a1 , a2 , b1 , b2    2 2  z1  z2  2 a1  b1  a2  b2     a1b1  a2b2     a1  a2    b1  b2    2  z1  z2   a1  a2    b1  b2   2 Vậy: z1  z2   a1  a2    b1  b2   Chọn A Câu 8: Tính z  i  i  i   i 2008 có kết quả: B A C i D i Hướng dẫn giải: Ta có iz  i  i   i 2008  i 2009 z  i  i  i   i 2008 Suy z  i  1  i 2009  i  i  i 2008  1   z  Chọn A Câu 9: Tính S  1009  i  2i  3i   2017i 2017 A S  2017  1009i B 1009  2017i C 2017  1009i D 1008  1009i Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có S  1009  i  2i  3i  4i   2017i 2017  1009   4i  8i8   2016i 2016    i  5i  9i   2017i 2017     2i  6i  10i10   2014i 2014    3i  7i  11i11   2015i 2015  504 505 504 504  1009    4n   i   4n  3    4n    i   4n  1 n 1 n 1 n 1 n 1  1009  509040  509545i  508032  508536i  2017  1009i Cách khác: Đặt f  x    x  x  x3   x 2017 f   x    x  x   2017 x 2016 xf   x   x  x  x   2017 x 2017 1 Mặt khác: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao x 2018  x 1 2017 2018 2018 x  x  1   x  1 f  x    x  x  x   x 2017  f  x   x  1 2018 x 2017  x  1   x 2018  1  xf   x   x  2  x  1 Thay x  i vào 1   ta được: 2018i 2017  i  1   i 2018  1 2018  2018i   1009  i  2017  1009i S  1009  i 2i  i  1 Câu 10: Cho số phức z có mơ đun 2017 w số phức thỏa mãn biểu thức 1   z w zw Môđun số phức w bằng: A B C 2016 D 2017 Hướng dẫn giải:  z  w  zw  zw 1 1   0 Từ   z w zw zw zw zw  z  w   z  w2  zw   z  zw  w2  w2  4 2    i 3w      z  w    w   z  w           2  i 3 w   i 3w  z  Từ  z       z      w  w= 2     i 3        Suy ra: w  2017  2017  4 Chọn D Câu 11: ho số phức z thoả mãn: z  A 21008 z  7i Tìm phần thực số phức z 2017   3i B 21008 C 2504 D 22017 Hướng dẫn giải: Cho số phức z thoả mãn: z  z  7i Tìm phần thực số phức z 2013   3i Gọi số phức z  a  bi (a, b  )  z  a  bi thay vào (1) ta có a  bi  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay a  bi  7i   3i Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao (a  bi )(1  3i )  7i   10a  10bi  a  3b  i (b  3a)  12  14i 10  9a  3b  i (11b  3a)  12  14i a  bi  9a  3b  12 a    11b  3a  14 b  a  b   z   i  z 2017   (1+i)  504 504 1  i    4 1  i   21008  21008 i Chọn B Câu 12: Cho số phức z1 , z2 khác thỏa mãn: z1  z2 Chọn phương án đúng: A z1  z2  z1  z2 B z1  z2 số phức với phần thực phần ảo khác z1  z2 C z1  z2 số thực z1  z2 D z1  z2 số ảo z1  z2 Hướng dẫn giải: Chọn D Phương pháp tự luận: Vì z1  z2 z1  z2 nên hai số phức khác Đặt w  z1  z2 z1  z2  a , ta z1  z2 có a2 a2   z1  z2  z1  z z1 z2 z1  z2 w    w  z2  z1  z1  z  z1  z2 a  a z1 z2 Từ suy w số ảo Chọn D Phương pháp trắc nghiệm: Số phức z1 , z2 khác thỏa mãn z1  z2 nên chọn z1  1; z2  i , suy z1  z2  i  i z1  z2  i số ảo Câu 13: Cho hai số phức u,v thỏa mãn u  v  10 3u  4v  2016 Tính M  4u  3v A 2984 B 2884 2894 C D 24 Hướng dẫn giải: Ta có z  z z Đặt N  3u  4v   2   Khi N   3u  4v  3u  4v  u  16 v  12 uv  vu File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  Số Phức Nâng Cao  Tương tự ta có M  16 u  v  12 uv  vu  Do M  N  25 u  v   5000 Suy M  5000  N  5000  2016  2984  M  2984 Câu 4( Số phức).Cho số phức z thỏa mãn z  Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w   2i    i  z đường tròn.Tính bán kính r đường tròn A 20 B 20 C D Hướng dẫn giải: Chọn B Đặt w  x  yi,  x, y    w   2i    i  z  x  yi   2i    i  z z x    y  2 i 2i 2 2x  y  x  y 1  2x  y    x  y 1    i     2 5 5     2  x  y  x  y     x  3   y    20 Bán kính đường tròn r  20 Câu 14: Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  z1  z2  z3  Mệnh đề sau sai A Trong ba số có hai số đối B Trong ba số phải có số C Trong ba số có nhiều hai số D Tích ba số ln Hướng dẫn giải: Ta có: z1  z2  z3    z1  z2  z3 Nếu  z1  z2  z3   z2   z3 Nếu  z1  điểm P biểu diễn số phức 1 z1  z2  z3 không trùng với góc tọa độ O Gọi M điểm biểu diễn số phức z1 A điểm biểu diễn số    Khi ta có OA  OM  OP (do P điểm biểu diễn số 1  z1  ) nên OAPM hình bình hành Mà z1  z2  z3  nên điểm biểu diễn cho ba số z1 , z2 , z3 nằm đường tròn đơn vị Ta có OA  OM  nên OAPM hình thoi Khi ta thấy M, A giao điểm đường trung trực đoạn OP với đường tròn đơn vị Tương tự P điểm biểu diễn z2  z3 , M’ A’ hai điểm biểu diễn số z2 , z3 ta có M’, A’ giao điểm đường trung trực OP đường tròn đơn vị File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Câu 25: Cho số phức z thỏa mãn: z   i  Gọi A B giá trị lớn nhỏ z  Khi A2  B có giá trị A 20 B 18 C 24 D 32 Hướng dẫn giải: Giả sử M điểm biểu diễn số phức z Xét điểm F  2;0  E 1; 1  EM  Tập hợp điểm M điểm không nằm ngồi đường tròn  C  tâm E bán kính R  Ta có: FE  EM  MF  FE  EM  10   MF  10   A2  B  24 Chọn C Câu 26: Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ z   i Giá trị T  M  m A T  50 B T  64 C T  68 D T  16 Hướng dẫn giải: Đặt w  z   i  z  w   i , z   2i  w   i   2i  w   3i  M  w  32  32     max Suy   M  m  68 m  w  32  32    Chọn C Câu 27: Cho số phức z thỏa mãn z   2i  10 Giá trị lớn z   4i A 10 B 10 C 10 D 10 Hướng dẫn giải:   Ta có z   2i  10  z   2i  10  z   2i z   2i  10    z   2i  z   2i   10  z   2i z   2i  10  z   2i  10 Đặt w  z   4i  z  w   4i , z   2i  w   6i  10 Vậy giá trị lớn w max  10  2   10  z   4i max  10 Chọn C Câu 28: Cho số phức z thỏa mãn   i  z   Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ z  A B 2 C D Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 69 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A   i z 1 Ta có   i  z    2i  Số Phức Nâng Cao 1 i  z  z   2i 2i 5 Đặt w  z   z  w  , 2 i i 1 7 1 z    w    w max         2 5 5 5 5 5 Và w max 1 7 1        2 Vậy w  w max  2 5  5 5 Chọn B Câu 29: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z   i  Giá trị lớn z  A 1 B 1 C D Đặt w  z   z  w  , z   i  w   i   w max  12  12    Chọn A Câu 30: Cho số phức z  x  yi  x, y    thỏa mãn điều kiện z   i  z   3i  Gọi M , m giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức P  x z Tổng M  2m A  54 B 27 C 18 D  Hướng dẫn giải: Đặt z  x  yi  x, y     M  z    x; y  A  1;1 , B   2;3 suy AB  Từ giả thiết ta có z   i  z   3i   x  1   y  1   x     y  3  MA  MB  AB  M thuộc đường thẳng  AB  : x  y    y   x  với x    2; 1 2 Khi P  x z  x  x   x  1   x  x  x Đặt f  x   x3  x  x   Xét hàm số f  x  đoạn   2; 1 , có f '  x   15 x  x   0; x    2; 1  M  f  1   Suy f  x  hàm số đồng biến   2; 1    M  2m   54 m  f      26 Chọn A Câu 31: Cho số phức z  x  yi  x; y    thỏa z  Tính tổng giá trị lớn nhỏ P  x y A B C  D Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 70 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Theo giả thiết ta có: 2 2 2  z   x  y   P  y   y   5 y  Py  P   *     x  P  y  P  x  y  x  P  y  x  P  y Để hệ có nghiệm phương trình * có nghiệm với y     '*  P   P  1   P2  5  P 2  max P  P  Câu 32: Cho số phức z  im  m    Gọi k  k    giá trị nhỏ cho tồn  m  m  2i  z   k Giá trị k thuộc khoảng sau 1 1 A  ;  3 2 Hướng dẫn giải: z 1 2 B  ;  2 3 2 4 C  ;  3 5 4  D  ;1 5  1  m   i im im 1    z 1   m  m  2i  i  2mi  m im m i 1  m   i a m2  m  a Ta có:    b   Áp dụng z   b b mi m2  k  m  2m    z   k   m  2m  Xét f m    m2   k2   m 1 Theo yêu cầu toán, tồn kmin để z   k  f  m   k  1   Ta có f  m   f     2   Vậy k    1 k 1 k  0 1 giá trị k cần tìm  B Cách biến đổi khác, bình thường hơn: z i m im 1 m i     2  m  m  2i  i  2mi  m i  m m 1 m 1  m  m2     m  m2  i  z 1    z       m2  m2   m 1   m 1  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 71 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao 2  m   m  1    m  2m  m  1   m  1  m  2m    z 1        2 m2   m    m    m2  1 Câu 33: Cho số phức z 2017   Gọi P  z Tính A  2017  max P   2017  P  A A  2017.2016 B A  2017.2017 C A  2017.2017 D A  2017 Hướng dẫn giải: Ta có: max P  z   max P 2017  z P  z   P 2017  z 2017 2017  z 2017  z 2017 Gọi z 2017  a  bi  a, b     Tập hợp điểm biểu diễn số phức z 2017 đường tròn tâm I  0;1 có bán kính R  2017  max P  2017.2017 max P    A  2017.2017 2017 0 min P min P  Câu 34: Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn z   i  z  2i P  z   3i  z  đạt giá trị nhỏ Tính P  a  2b : Hướng dẫn giải: Ta có: z   i  z  2i  a  b  P  P  z   3i  z    a     b  3   a  1  b2 Xét mặt phẳng phức Oab , xét điểm M  a; b  , A  2;3 , B  1;0  với M điểm biểu diễn số phức z  M   d  : a  b   Ta có: MA  MB   a     b  3   a  1  b Vậy ta tìm M  d cho  MA  MB min Do  x A  y A  1 xB  yB  1   A, B thuộc phía so với đường thẳng d  Gọi A ' điểm đối xứng A qua d MA  MB  MA ' MB  A ' B 3 1 M  A ' B  d  M  ;   P  a  2b  2 2 Ta có: Dấu "" xảy Câu 35: Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn z   i  z  2i P  z   3i  z   2i đạt giá trị nhỏ Tính P  a  2b : Hướng dẫn giải: Ta có: z   i  z  2i  a  b  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 72 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A P  P  z   3i  z    a     b  3 Số Phức Nâng Cao  a  1   b    Xét mặt phẳng phức Oab , xét điểm M  a; b  , A  2;3 , B 1; 2  với M điểm biểu diễn số phức z  M   d  : a  b   Ta có: MA  MB   a     b  3   a  1   b   Vậy ta tìm M  d cho  MA  MB min Do  x A  y A  1 xB  yB  1   A, B khác phía so với đường thẳng d 3 1 Ta có: MA  MB  AB Dấu "  " xảy M  AB  d  M  ;   P  a  2b   2 Câu 36: Cho số phức z  a  bi thỏa z   i  z  2i P  z  3i đạt giá trị nhỏ Tính A  a  2b Hướng dẫn giải: Gọi z  a  bi  a, b    Ta có: z   i  z  2i  a  b   Vậy tập hợp điểm M     : a  b   Trong mặt phẳng phức xét A  0;3  P  MA với M     Vậy MAmin  d  A;      2 Câu 37: Cho số phức z  a  2bi  a, b    đa thức: f  x   ax  bx  Biết f  1  Tính giá trị lớn z A B 2 C D Hướng dẫn giải: Ta có: z  a   2b  f  1   a  b    2a  2b   1 Đặt a  x ,  2b  y ta có 2 x  y   2 x  y   2  x  y     1  x  y      * 2  x  y   2 x  y  2 x  y  Miền nghiệm S * tứ giác ABCD (kể cạnh) Với A  0;0  , B  1;  , C  2;0  , D  1; 2  Dễ dàng nhận thấy ABCD hình thoi File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 73 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Gọi M  x; y  điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng Oxy  M chạy tung tăng miền S Ta có z  OM  z max  OM max Ta dễ nhận thấy OM max  OB  OD  z max  Nhưng nhóm muốn chứng minh thêm cho người xem, phần chữ màu đỏ CHỨNG MINH: Vì OBC ODC đối xứng qua trục Ox nên xét M chạy tung tăng OBC ( O  A ) Gọi N  OM  BC  OM  ON N thuộc cạnh BC  HN  HB H hình chiếu O BC    HN  HC Ta lại có HN hình chiếu ON BC HB hình chiếu OB BC HC hình chiếu OC BC ON  OB OM  OB Từ ta có    OM max  max OB; OC ON  OC OM  OC OB  Mà   OM max  OB   M  B OC   M  B  1;  Do tính đối xứng nên OM max    z max  M  D  1;     Câu 38: Cho hàm số phức f  z     i  z  az  b với a, b số phức Biết f 1 , f  i  số thực Tính giá trị nhỏ P  a  b Hướng dẫn giải:  a  x1  y1i Gọi:   x1 , x2 , y1 , y2    b  x2  y2 i Ta có: f  z     i  z  az  b  f 1   i  a  b    x1  x2    y1  y2  1 i  f  i      i    b   4  y1  x2    1  x1  y2  i  y  y2   Do f 1 , f  i  số thực    x1  y1    x1  y2   Vậy để thỏa yêu cầu tốn a     : x  y   mặt phẳng Oxy b số phức tự  Pmin  a  b  d O;       Câu 39: Cho số phức z thỏa z   2i  2 Tính tổng giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  z   2017 z   4i Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 74 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Gọi z  a  bi  a, b    Gọi M  a; b  điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức Trong mặt phẳng phức xét điểm A 1;0  , B  3;  MA2  MB  AB  py  ta  go  Ta ln có:    P  2017 MB   MB  AB   P  MA  2017 MB   2017  1 MB  2.P.2017 MB   P  AB   * Để phương trình * có nghiệm thì:  '*   2017 P   2017  1 P  AB    P  AB  2017  1  P  AB  2017  1 Câu 40: Cho số phức z thỏa mãn z    4i   Gọi M , m giá trị lớn giá trị 2 nhỏ P  z   z  i Tính giá trị A  M  m Hướng dẫn giải: Gọi z  a  bi  a, b    2 Ta có: z    4i     a     b     z thuộc đường tròn  C  có tâm I  3;4  bán kính R  2 Mặt khác: P  z   z  i  4a  2b   P  Vậy z thuộc đường thẳng    : 4a  2b   P   z   C  Ta có:   Để z  C       d  I ;      R  z      23  P   13  P  33  A  1258 Câu 41: Cho số phức z  thoả z  Họi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ P zi Tính A  M  m : z Hướng dẫn giải: Gọi T  zi  T  1 z  i T   Khơng có số phức thoả mãn z Xét T   z  i i  z    T 1  T 1 T 1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 75 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức T hình tròn tâm I 1;0  có bán kính R    M  OI  R    A m  OI  R   Câu 42: Cho số phức z thỏa z  Tìm giá trị nhỏ  4i z5 Hướng dẫn giải:  4i  A  4i  A  4i z  z  z 5 A A  A  4i     A  4i  A A Đặt A  Gọi A  x  yi  x, y      x  3   y    x2  y  6x  y   Vậy tập hợp điểm số phức A     : x  y    A  d O;      Câu 43: Cho số phức z thỏa z  Tìm giá trị nhỏ z  4i z 5 Hướng dẫn giải: Đặt A  z z  4i Xét A   khơng có số phức z thỏa Vậy A  z 5 A  4i A  4i A  4i  z     A  4i  A  A 1 A 1 A 1 Gọi A  x  yi  x, y     5 x   5 y  4 5  x  1  y2  50 x  40 y   Vậy tập hợp điểm số phức A     : 50 x  40 y    A  d O;      10 41 z2  z1 số thực Gọi M , m lần 1 i lượt giá trị lớn giá trị nhỏ z1  z2 Tính A  M  m Câu 44: Cho z1 số phức, z2 số thực thoả mãn z1  2i  Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 76 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Trong mặt phẳng phức Oxy : Gọi A, B điểm biểu điểm số phức z1 , z2  A   C  : x   y    B  Ox     z2  z1  OB  OA  AB  z1  z2  k  k     AB  k 1;1   2i Đường thẳng AB có véctơ pháp tuyến 1; 1 Ta có Ta có: AB tạo với trục Ox góc 450  max AB  AO  AB   sin 450 max AB   max AO  3 sin 45 sin 450  P  20 AO   sin 450 sin 450 Câu 45: Cho z1 , z2 nghiệm phương trình  3i  iz  z   9i thõa mãn z1  z2  Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ z1  z2 Tính P  M  m Hướng dẫn giải: 2 Đặt z  a  bi  a, b    Ta có:  3i  iz  z   9i   a  3   b     C  Trong mặt phẳng phức Oxy , gọi A, B điểm biểu diễn số phức z1 , z2 I , H tâm đường tròn  C  , trung điểm AB  A, B   C  :  x  32   y         z  z  OA  OB  OH  OH  Với điểm O, I , H ta có: OI  IH  OH  OH  HI  OI  IA2   44 56 AB AB   2OH  OI  IA2   2OH   P  20  4 5   Dấu "  " xảy ra: Khi OH đạt giá trị nhỏ O, H , I thẳng hàng theo thứ tự Khi OH đạt giá trị lớn O, I , H thẳng hàng theo thứ tự z1  z2 số thực Gọi M , m 2i giá trị lớn giá trị nhỏ z1  z2 Tính P  M  m Câu 46: Cho số phức z1 , z2 thoả mãn z1   4i  1, z2   z2  i Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 77 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Gọi A, B điểm biểu diễn số phức z1 , z2     z2  z1  OA  OB  AB  z2  z1  AB Ta có   z1  z2  k  k     AB  k  2; 1  2i Đường thẳng AB có véctơ pháp tuyến 1;2  Trong mặt phẳng phức Oxy ta có:  z1   C  :  x  32   y      z2   d  : x  y  Ta có góc AB d là:   nAB nd 10 cos  AB; d       sin  AB; d   10 10 nAB nd Ta có  C  không cắt  d   d  I ;  d    R C   Gọi H hình chiếu A  d   d  I ;  d    R C  max AH    10 max AB  sin  AB; d  sin  AB; d   AO  AB    P  14 sin  AB; d   d I d R  ;     AH   C    10 max AB  sin AB; d  sin AB; d      Câu 47: Cho số phức z thoả mãn z số thực w  z thực Giá trị lớn  z2 P  z   i là: Hướng dẫn giải: z  z2         z  Do z    z  Ta có: w  2 z w z z  Gọi z  a  bi  a, b      a  bi  2  2a    z  a  bi   a  bi    a  b  1 i 2 z a  bi a b  a b   a b  Do b   loai       b  2  1    2 w  a b   a  b  Vậy tập hợp điểm số phức z đường tròn  C  : a  b  mặt phẳng phức Trong mặt phẳng phức xét điểm A  1;1  P  MA  max P  OA  R C   2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 78 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Câu 48: Cho số phức z thỏa z   4i  P  z   i Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ P Tính A  M  m Hướng dẫn giải: Gọi z  a  bi  a, b    2 Ta có: z   4i    a  3   b    2 Vậy tập hợp điểm M   C  :  a  3   b    có tâm I  3;4  bán kính R  Trong mặt phẳng phức 2 xét A  2;1 , ta có: P  z   i  MA với M   C  :  a  3   b    MAmin  AI  R  34  Vậy:  MAmax  AI  R  34  Câu 49: Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn iz1   z2  iz1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức z1  z2 A  B  C 2 D 2 Hướng dẫn giải: y Bài toán này, thực chất dựa kiến thức “ Biểu diễn hình học số phức” Ta thấy đặt z1  x1  y1i  x1; y1    Khi điểm M  x1; y1  điểm biểu diễn số phức z1 thỏa mãn: 1  ix1  y1   2  x12  y1   Suy tập hợp điểm M biểu diễn z1 đường  C  có tâm I 0; i  x1  y1i       bán kính R   N I M M’ x O Khi N điểm biểu diễn số phức z2 việc tìm GTNN z1  z2 việc tìm GTNN MN Theo đề z2  iz1   y1  x1i  N   y1 ; x1  điểm biểu diễn z2 Ta nhận thấy rõ ràng   OM ON   x1 y1  x1 y1   OM  ON Dễ nhận thấy OM  ON  x12  y12 Ta có hình vẽ sau: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 79 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Do OMN tam giác vuông cân O nên MN  OM , để MN nhỏ OM nhỏ Dễ thấy, OM nhỏ M  M ' (M’ giao điểm OI với đường tròn 1 1   hình vẽ) Tức M  0;   Khi MN  OM       2 2   Câu 50: Xét số phức z số phức liên hợp có điểm biểu diễn M , M  Số phức w  z (4  3i) số phức liên hợp có điểm biểu diễn N , N  Biết M , M , N , N  bốn đỉnh hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ z  4i  A 34 B C D 13 Hướng dẫn giải: Gọi số phức z  a  bi  a, b     w   a  bi   3i    4a  3b    3a  4b  i  w   4a  3b    3a  4b  i Ta có: M M ' đối xứng qua trục Ox , N N ' đối xứng qua trục Ox  MM '  Ox   NN '  Ox Ta có: M , M , N , N  bốn đỉnh hình chữ nhật MM ' N ' N MM ' NN ' Trong mặt phẳng phức Oab , xét điểm A  5; 4   z  4i   MA Trường hợp 1: Với hình chữ nhật MM ' N ' N  MN  M ' N '  MN / / Ox  yM  y N  b   3a  4b   a  b   M   d1  : a  b  Vậy MAmin  d  A;  d1      4   Trường hợp 2: Với hình chữ nhật MM ' NN '  MN '  M ' M '  MN '/ / Ox  yM  yN '  b    3a  4b   3a  5b   M   d  : 3a  5b  Vậy MAmin  d  A;  d    Vì d  A;  d1    d  A;  d    MAmin  3.5   4  32  52  34 Câu 51: Cho số phức z1 thỏa z1   i  z1 , số phức z2 thỏa  35i số thực số phức w z2  23  4i thỏa điều kiện w   i  w   i  Cho P  w  z1  w  z  z1  z2 , gọi a giá trị nhỏ biểu thức P (nếu có) Đáp án sau đúng: 16 10 Hướng dẫn giải: A a  B a  10 C a  64 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D a  34 Trang 80 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Trong mặt phẳng phức Oxy gọi A, B, C điểm biểu diễn số phức w, z1 , z2 Gọi z1  a  bi  a, b     z1   i  z1  a  b    z1   1  : x  y   mặt phẳng phức Oxy Ta có:   35i  k  k     CD  1; 7  z2  23  4i k  23  với D  ;  Vậy z2 thuộc đường thẳng có véctơ phương 1; 7  qua điểm  5 23 D không lấy điểm D  z2     : x  y  33  z2   i 5 Ta có: w   i  w   i   AE  AF  với E 1; 1 F  2; 1 Mà AE  AF  2EF  dấu "  " xảy w   i  P  AB  BC  CA Ta có A thuộc góc nhọn tạo đường thẳng  1  ,     A1  2;3  AB  A1 B    38  Gọi A1 , A2 điểm đối xứng A qua  1  ,       AC  A2C  A2  ;       P  AB  BC  CA  A1 B  BC  A2C  A1 A2  16 10  Chọn A … ah mà thôi:v  B  A1 A2   1  Ta cần tìm tọa độ C để so sánh với điểm Dấu "  " xảy  C  A A      2  23  loại     C  ;   Không tồn điểm C  Không tồn Pmin  5 Câu 52: Cho số phức z1 , z2 thỏa z   i  z z1  z2  , số phức w1 , w2 thỏa điều kiện 1 i số thực w1  w2  , số phức u thỏa u   i  u   2i  Gọi w   2i giá trị nhỏ biểu thức sau (nếu có) P  u  z1  u  z2  u  w1  u  w2 Đáp án sau đúng: A  26 Hướng dẫn giải: B  C  26 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D  26 Trang 81 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Trong mặt phẳng phức gọi A, B điểm biểu diễn số phức z1 , z  z1  z2   AB  Gọi z  a  bi  a, b     z   i  z  a  b   Vậy z1 , z2     : x  y   mặt phẳng phức với z1  z2  Trong mặt phẳng phức gọi X , C , D là điểm biểu diễn số phức w, w1 , w2  w1  w2   CD   1 i  k  k     XY  k 1;1 w   2i với Y  4; 2  Ta có: Vậy w thuộc đường thẳng có véctơ phương 1;1 qua điểm Y  4; 2  w   2i  w     : x  y   loại điểm Y  4; 2  Trong mặt phẳng phức gọi M điểm biểu diễn số phức u Ta có E  2;1 , F 1; 2   u   i  u   2i   ME  3MF  Mà 2ME  MF  EF  Vậy dấu "  " xảy MF   M 1; 2   P  MA  MB  MC  MD với AB  2CD  Ta cần tìm Pmin Gọi E , F định thứ tư hình bình hành MCDE , MBAF Gọi E ' điểm đối xứng E qua    , F ' điểm đối xứng F qua  1  MC  DE  DE ' Ta có:   P   E ' D  DM    F ' A  AM   E ' M  F ' M MB  AF  AF '  D  ME '    Dấu "  " xảy  A  MF '      Gọi N hình chiếu M  1   MHA  ANF '  g  c  g  với N  FF '  1   MA  AF '  AF  MB  MAB cân M Chứng minh tương tự MCD cân M  Pmin  MA  MB  MC  MD   26 Kiểm tra lại tọa độ C , D Ta viết phương trình đường tròn tâm M bán kính R  MC File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 82 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao C  4; 2   C, D   C    2    Không tồn Pmin w   2i  D 1; 5 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 83 ... Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao B - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM DẠNG 1: TÍNH TỐN TRÊN SỐ PHỨC Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn A 13  z i z 1    i 1 Tính mơ đun số phức. .. Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A -   phương trình có hai nghiệm phức x1,2  Số Phức Nâng Cao b  i  2a Acgumen số phức z  ĐỊNH NGHĨA Cho số phức z  Gọi M điểm mặt phẳng phức. .. Trang 15 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Một phương trình bậc hai với hệ số thực, có nghiệm phức z nhận z lam nghiệm Vậy z   i nghiệm z   i nghiệm Theo định