Trường THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Tổ Toán - Tin VƯỢT VŨ MƠN TỐN ĐỀ SỐ A Phần trắc nghiệm (8 điểm) Câu 1: Cho tập hợp A = {0;1; 2;3; 4;5; 6;7} Hỏi từ tập A lập chữ số tự nhiên gồm chữ số đôi khác cho chữ số phải A 2802 B 65 C 2520 D 2280 Câu 2: Số giá trị nguyên m để phương trình ( cos x + 1)( cos x − m cos x ) = m sin x có  2π  nghiệm x ∈ 0;  :   A B C D Câu 3: Kết ( b; c ) việc gieo súc sắc cân đối đồng chất hai lần (trong b số chấm xuất lần gieo đầu, c số chấm xuất lần gieo thứ hai) thay vào phương trình x + bx + c = (*) Xác suất để phương trình (*) vơ nghiệm : x +1 A 17 36 B C D 19 36 Câu 4: Cho dãy hình vng H1 ; H ; ; H n ; Với số nguyên dương n, gọi un , Pn Sn độ dài cạnh, chu vi diện tích hình vng H n Trong khẳng định sau, khẳng định sai ? A Nếu ( u n ) cấp số cộng với cơng sai khác khơng ( Pn ) cấp số cộng B Nếu ( u n ) cấp số nhân với công bội dương ( Pn ) cấp số nhân C Nếu ( u n ) cấp số cộng với cơng sai khác khơng ( S n ) cấp số cộng D Nếu ( u n ) cấp số nhân với cơng bội dương ( S n ) cấp số nhân Câu 5: Một người muốn xây bể chứa nước, dạng khối hộp chữ nhật khơng nắp tích 288dm3 Đáy bể hình chữ nhật có chiều dài gấp đơi chiều rộng, giá th nhân công để xây bể 500000 đồng/ m Nếu người biết xác định kích thước bể hợp lí chi phí th nhân cơng thấp Hỏi người trả chi phí thấp để th nhân cơng xây dựng bể ? A 1, 08 triệu đồng B 0, 91 triệu đồng C 1, 68 triệu đồng D 0,54 triệu đồng Câu 6: Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, BC = a 3, góc hợp đường thẳng AA ' mặt phẳng ( A ' B ' C ') 45°, hình chiếu vng góc B ' lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' A 3 a B 3 a C a D a3 Câu 7: Tìm giá trị lớn hàm số y = x + + − x đoạn [ −1;3] A max f ( x ) = [ −1;3] B max f ( x ) = [ −1;3] C max f ( x ) = 2 [ −1;3] D max f ( x ) = [ −1;3] Câu 8: Tìm tất giá trị thực tham số m để đường thẳng y = m − x cắt đồ thị hàm số y = 2x + x +1 hai điểm phân biệt A m ≥ B m ≤ C m > D m < Câu 9: Cho hàm số y = x3 + x − x + có đồ thị ( C ) Gọi A, B giao điểm ( C ) trục hoành Số điểm M ∈ ( C ) không trùng với A B cho AMB = 90° : A B C D Câu 10: Cho tứ diện ABCD, M trung điểm cạnh BC Khi cos ( AB, DM ) bằng: A B C D D   1   Câu 11: Tính giới hạn : lim 1 −   −   −        n   A B C Câu 12: Hằng ngày, mực nước kênh lên xuống theo thủy triều Độ sâu h ( m ) mực nước  πt π  kênh tính theo thời gian t ( h ) cho công thức h = cos  +  + 12  3 Khi mực nước kênh cao với thời gian ngắn ? A t = 22 ( h ) B t = 15 ( h ) C t = 14 ( h ) D t = 10 ( h ) Câu 13: Có số tự nhiên có sáu chữ số khác đơi một, chữ số đứng liền hai chữ số 4? A 249 B 1500 C 3204 D 2942 Câu 14: Biết hàm số y = asin x + b cos x − x ( < x < π ) đạt cực trị điểm x = π x = π Tính giá trị biểu thức T = a − b A +1 −1 B C − D + 1 Câu 15: Cho đồ thị hàm số ( C ) : y = ; điểm M có hồnh độ xM = − thuộc (C) Biết tiếp tuyến x (C) M cắt Ox, Oy A, B Tính diện tích tam giác OAB A S∆OAB = B S ∆OAB = C S ∆OAB = Câu 16: Tìm tất giá trị thực m để hàm số y = A m ≥ B m > D S ∆OAB = + cos x − đồng biến cos x − m C −1 ≤ m ≤  π  0;   2 D m < Câu 17: Một sợi dây không dãn dài mét cắt thành hai đoạn Đoạn thứ thành đường tròn, đoạn thứ hai thành hình vng Tính tỉ số độ dài đoạn thứ độ dài đoạn thứ hai tổng diện tích hình tròn hình vng nhỏ A π π +4 B π C D π Câu 18: Trong mặt phẳng Oxy , tìm phương tình đường tròn ( C ') ảnh đường tròn ( C ) : x + y = qua phép đối xứng tâm I (1;0 ) A ( x + ) + y = B x + ( y + ) = C ( x − ) + y = D x + ( y − ) = Câu 19: Kim tự tháp Kê-ốp Ai Cập xây dựng vào khoảng 2500 năm trước Công nguyên Kim tự tháp khối chóp tứ giác có chiều cao 147m, cạnh đáy dài 230m Thế tích : A 7776300 m3 B 3888150 m3 C 2592100 m3 D 2592100 m  4x +1 −1 x ≠  Câu 20: Tìm a để hàm số f ( x ) =  ax + ( 2a + 1) x liên tục x =  x = 3 A B C − D Câu 21: Cho hình hộp chữ nhật có đường chéo d = 21 Độ dài ba kích thước hình hộp chữ nhật lập thành cấp số nhân có cơng bội q = Thể tích khối hộp chữ nhật : A V = C V = B V = D V =  π Câu 22: Cho x, y ∈  0;  thỏa cos x + cos y + 2sin ( x + y ) = Tìm giá trị nhỏ biểu thức  2 P= sin x cos y + y x A P = π B P = π C P = 3π D P = π Câu 23: Cho đa giác có 18 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O Gọi X tập tam giác có đỉnh đỉnh đa giác Tính xác suất để chọn tam giác từ tập X tam giác cân tam giác A 23 136 B Câu 24: Cho hàm số: y = − A a ≥ 12 144 136 C 4037 2019 D 816 x3 + ( a − 1) x + ( a + 3) x − Tìm a để hàm số đồng biến khoảng ( 0;3) B a < −3 C a ≤ −3 Câu 25: Cho hàm số f ( x ) = ln 2017 − ln A S = 17 B S = D a > 12 x +1 Tính tổng S = f ' (1) + f ' ( ) + f ' ( 3) + + f ' ( 2018 ) x 2018 2019 C S = 2017 2018 D S = 2018 Câu 26: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng B, AB = a, BC = a 3, biết SA = a vng góc với mặt phẳng đáy Một mặt phẳng (α ) qua A , vng góc với SC H , cắt SB K Tính thể tích khối chóp S AHK theo a A a3 30 B 5a 3 60 C a3 60 D a3 10 Câu 27: Cho hàm số y = x + (1 − 2m ) x + ( − m ) x + Với giá trị tham số m đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm hai phía trục hồnh ? m > A   m < −2 B −2 < m < m ≥ C   − ≠ m ≤ −2  m > D   − ≠ m < −2  Câu 28: Cho hình chóp tứ giác S ABCD , có cạnh đáy a tích V = a3 Gọi J điểm cách tất mặt hình chóp Tính khoảng cách d từ J đến mặt phẳng đáy A d = a B d = a C d = a D d = a Câu 29: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình sau có nghiệm x ∈ [1; 2] x4 + A −13 ≤ m ≤ 11 16  2   −  x +  − 12  x −  = m x x  x   B −15 ≤ m ≤ C −15 < m < D −16 ≤ m ≤ Câu 30: Cho tứ diện ABCD có AB = 2, AC = 3, AD = BC = 4, BD = 5, CD = Khoảng cách hai đường thẳng AC BD gần với giá trị sau A B C D 3 Câu 31: Tìm tất giá trị m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = x − x + 12 x điểm phân biệt A < m < B m ≤ C m ≥ D m = Câu 32: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có AB = a, AA ' = 2a Tính khoảng cách hai đường thẳng AB ' A ' C A a B 17 a 17 C a D a B Phần tự luận (2 điểm) Bài Viết ngẫu nhiên số tự nhiên chẵn gồm chữ số đôi khác lên bảng Tính xác suất để số vừa viết thỏa mãn số chữ số lớn chữ số đứng trước Bài Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số : f ( x) = 2sin x − cos x đoạn 2sin x + cos x +  π 0;  Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, mặt bên SAD tam giác vng S, hình chiếu vng Góc S lên mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc cạnh AD cho HA = 3HD Gọi M trung điểm AB Biết SA = 3a đường thẳng SC tạo với đáy góc 300 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC) Bài Tìm giá trị m cho phương trình sau có nghiệm thực (2   x + x −  m2 x + − x ( x − )  = 3x + x−2   ) Hết - II - BẢNG ĐÁP ÁN 1-D 2-C 3-B 4-C 5-A 6-B 7-C 8-C 9-A 10-A 11-B 12-D 13-B 14-B 15-C 16-B 17-D 18-C 19-C 20-C 21-B 22-B 23-A 24-A 25-B 26-C 27-D 28-C 29-B 30-C 31-A 32-B III - LỜI GIẢI CHI TIẾT A Phần trắc nghiệm (8 điểm) Câu 1: Đáp án D Phương pháp: Xét trường hợp: chữ số 1, chữ số thứ hai 1, chữ số thứ ba Cách giải: Gọi số abcde - TH1: a = + b có cách chọn + c có cách chọn + d có cách chọn + e có cách chọn Nên có: 7.6.5.4 = 840 số - TH2: b = + a ≠ b, a ≠ nên có cách chọn + c có cách chọn + d có cách chọn + e có cách chọn Nên có: 6.6.5.4 = 720 số - TH3: c = + a ≠ c, a ≠ nên có cách chọn + b có cách chọn + d có cách chọn + e có cách chọn Nên có 6.6.5.4 = 720 số Vậy có tất 840 + 720 + 720 = 2280 số Câu 2: Đáp án C Phương pháp: Biến đổi, đưa phương trình dạng phương trình tích, sử dụng công thức nhân đôi cos Cô lập m đưa phương trình dạng f ( x ) = m Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x ) đường thẳng y = m song song với trục hoành Cách giải: ( cos x + 1)( cos x − m cos x ) = m sin x ⇔ ( cos x + 1)( 4.cos x − m cos x ) = m (1 − cos x ) ⇔ ( cos x + 1)( 4.cos x − m cos x ) = m (1 + cos x )(1 − cos x ) ⇔ ( cos x + 1) ( 4.cos x − m cos x − m (1 − cos x ) ) =  x = π + k 2π cos x + = ⇔ ( cos x + 1)( 4.cos x − m ) = ⇔  ⇔ cos x = m (*)  cos x − m =   2π  Xét nghiệm x = π + k 2π ( k ∈ » ) ∉ 0;  ∀k ∈ »    2π  Để phương trình ban đầu có nghiệm thuộc 0;  phương trình (*)có nghiệm phân biệt    2π  thuộc 0;    kπ  2π  Xét hàm số y = cos x 0;  ta có: y ' = −2sin x = ⇔ sin x = ⇒ x = kπ ⇒ x = (k ∈ »)   π  2π  Mà x ∈ 0;  ⇒ x =   BBT: x y' y 2π π + − − −1 Để phương trình có nghiệm phân biệt −1 < m ≤ − ⇔ −4 < m ≤ −2 Mà m ∈ » ⇒ m ∈ {−3; −2} Câu 3: Đáp án B Phương pháp: Xác suất biến cố A nA nA số khả mà biến cố A xảy ra, nΩ nΩ tất khả xảy Cách giải: x + bx + c = (*) x +1 Để phương trình (*) vơ nghiệm phương trình x + bx + c = ( **) có trường hợp xảy ra: TH1: PT (**) có nghiệm x = −1  ∆ = b − 4c = b = 4c ⇒ ⇔ ⇔ b = 4b − ⇔ b − 4b + = ⇔ b = ⇒ c = 1 − b + c = c = b − ⇒ ( b; c ) = ( 2;1) TH2: PT (**) vô nghiệm ⇔ ∆ = b − 4c < ⇒ b < 4c ⇔ b < c Vì c số chấm xuất lần gieo thứ nên c ≤ ⇒ b ≤ ≈ 4,9 Mà b số chấm xuất lần giao đầu nên b ∈ {1; 2;3; 4} Với b = ta có: c > ⇒ c ∈ {1; 2;3; 4;5;6} ⇒ có cách chọn c Với b = ta có: c > ⇒ c ∈ {2;3; 4;5; 6} ⇒ có cách chọn c Với b = ta có: c > ⇒ c ∈ {3; 4;5;6} ⇒ có cách chọn c Với b = ta có: c > ⇒ c ∈ {5;6} ⇒ có cách chọn c Do có + + + = 17 cách chọn ( b; c ) để phương trình (**) vơ nghiệm Gieo súc sắc lần nên số phần tử không gian mẫu nΩ = 6.6 = 36 Vậy xác suất đề phương trình (*) vô nghiệm + 17 = 36 Câu 4: Đáp án C Phương pháp: Dãy số {un }n =1,2, cấp số cộng với công sai d un +1 = un + d ∀n = 1, 2,3, Dãy số {un }n =1,2, cấp số nhân với cơng bội k un +1 = kun ∀n = 1, 2,3, Cách giải +) Giả sử dãy un u1 ; u2 ; ; un CSC có cơng sai d ≠ ⇒ un = u1 + ( n − 1) d ⇒ 4un = 4u1 + ( n − 1) 4d Dãy Pn có dạng 4u1 ; 4u2 ; ; 4un CSC có cơng sai 4d ≠ ⇒ A +) Giả sử dãy un CSN có cơng bội k ≠ ⇒ un = k n −1u1 ⇒ un2 = k n − 2u12 = ( k ) n −1 u12 Dãy Sn có dạng u12 ; u22 ; ; un2 CSN có công bội k ≠ ⇒ D un = k n −1u1 ⇒ 4un = 4k n −1u1 = k n −1.4u1 ⇒ Dãy Pn có dạng 4u1 ; 4u2 ; ; 4un CSN với công bội k Suy B Câu 5: Đáp án A • Gọi x ( x > ) chiều rộng đáy bể Ta có: + Chiều dài đáy bể là: 2x + Chiều cao bể là: 0,144 x2 • Diện tích cần xây: x + Xét f ( a ) = x + 0,864 x 0,864 0,864 Ta có: f ′ ( x ) = x − ⇒ f ′ ( x ) = ⇔ x = 0, x x • Bảng biến thiên: x -∞ f'(x) 0.6 _ +∞ + +∞ +∞ f(x) 2,16 Từ bảng biến thiên ta có f ( x ) = 2,16 Vậy: chi phí thấp để thuê nhân công xây bể là: 2,16.500000 = 1080000 đồng Câu 6: Đáp án B C' A' 450 B' M A G a C a B • S ABC = a2 BA.BC = ; AC = BA2 + BC = 2a 2 • Gọi G trọng tâm tam giác ABC ⇒ B ' G ⊥ ( ABC ) Gọi M trung điểm AC ⇒ BG = • 2 2a BM = AC = 3 ( AA ', ( A ' B ' C ')) = 45 ⇒ B ' G = GB = ( ) ⇒ BB ', ( ABC ) = 450 ⇒ B ' BG = 450 ⇒ ∆B ' BG vuông cân G 2a Vậy VABC A ' B 'C ' = B ' G.S ABC = 2a a a 3 = 3 Câu 7: Đáp án C • Ta có: y′ = 1 − , cho y′ = ⇔ x = ∈ [ −1;3] x +1 − x • Tính được: y ( −1) = 2; y ( 3) = 2; y (1) = 2 Vậy max y = 2 [ −1;3] Câu 8: Đáp án C • Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị: 2x + = m − x ( x ≠ −1) ⇔ x − ( m − ) x − m + = (1) x +1 • Đường thẳng y = m − x cắt đồ thị hàm số y = 2x + hai điểm phân biệt phương x +1 trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác −1 ( m − ) − ( −m + ) > m − 16 > ⇔ ⇔ ⇔ m > 2 ≠ 2 − ( m − )( −1) − m + ≠ Câu 9: Đáp án A x = Xét PT: x3 + x − x + = ⇔ ( x + )( x − 1) = ⇔  ⇒ A (1;0 ) , B ( −5; )  x = −5 M ( x; y ) ∈ ( C ) ⇒ AM = ( x − 1; y ) , BM = ( x + 5; y ) ề u kiện góc AMB = 900 ⇔ AM BM = ⇔ ( x − 1)( x + ) + y = ⇔ ( x − 1)( x + ) + ( x − 1) ( x + ) = ⇔ ( x − 1)( x + ) 1 + ( x − 1) ( x + )  =   ⇔ + ( x − 1) ( x + ) = ( x ≠ 1, x ≠ −5 ) Xét hàm số f ( x) = + ( x − 1) ( x + ) có: f ' ( x ) = ( x − 1) ( x + ) + ( x − 1) = ( x − 1) ( x + 14 ) Dễ thấy hàm số có cực tiểu x = − với GTCT y < Do PT f ( x) = có hai nghiệm hay tồn hai điểm M thỏa mãn điều kiện Câu 10: Đáp án A A B D M C 1 1 DB + DC = AB − AD + AC − AD = AB − AD + AC 2 2 1 1 AB.DM = AB − AB AD + AB AC = a − a.a.cos 600 + a.a.cos 600 = a 2 2 a ⇒ a cos AB; DM = a 2 ⇔ cos AB; DM = ( DM = ) ( ( ( ) ) ) ⇒ cos ( AB; DM ) = Câu 11: Đáp án B  1                   S n =  −  −   −  = 1 −  1 −   −   1 +  1 +  1 +       n       n        n        n − 1 =  −  −  1 −  = n n     n        n +1 n +1 =  +   +  1 +  = n     n  n +1 n +1 ⇒ Sn = = n 2n 1+ n +1 n =1 lim S n = lim = lim 2n 2 Câu 12: Đáp án D  πt π  h = 3cos  +  + 12  3  πt π  Vì −1 ≤ cos  +  ≤ ⇒ ≤ h ≤ 15  3 πt π  πt π  max h = 15 ⇔ cos  +  = ⇔ + = k 2π ⇔ t = −2 + 12k (k ∈ »)  3 Thời gian ngắn ⇒ t = −2 + 12 = 10( h) Câu 13: Đáp án B Gọi số cần tìm có dạng abcdef • Số cần tìm có dạng 154def Khi d có cách chọn, e có cách chọn, f có cách chọn ⇒ có 210 cách chọn • Số cần tìm có dạng a154ef Khi a có cách chọn, e có cách chọn, f có cách chọn ⇒ có 180 cách chọn Hai khả ab154 f abc154 có số cách chọn a154ef Suy có tổng số cách chọn là: ( 210 + 180.3) = 750 Câu 14: Đáp án B Ta có y′ = 2a cos x − 2b sin x − Để hàm số đạt cực trị điểm x = π x =  π   a=−  y′   =  a − 3b − = −1     ⇔ ⇔ ⇒ a −b =  −2a − =  y′  π  = b = −       Câu 15: Đáp án C Phương pháp: - Viết phương trình tiếp tuyến với C M + Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm M x ; f x :y=f ' x o x-x o +f x o - Tìm tọa độ hai giao điểm A,B tiếp tuyến với trục tọa độ Ox, Oy - Diện tích tam giác OAB là: S ∆OAB = OA.OB Cách giải: y= 1 ⇒ y ' = Ta có: xM = − ⇒ yM = = + ⇒ M 2- 3; + x x 2− Phương trình tiếp tuyến với C M 2- 3; + là: d : y = − y ' x M x-x M + yM = − 2− ( 2 x − + + + = −2 + x + + Cho x = ⇒ y = + ⇒ B 0;4+2 Cho y = ⇒ x = ) 4+2 = = − ⇒ A − 3; 2+ 2+ ( ) 1 Vậy SOAB = OA.OB = + − = 2 Câu 16: Đáp án B Phương pháp: Đặt ẩn phụ, tìm điều kiện ẩn phụ, xét hàm Cách giải: Khi m = ta có: y = hàm nên m = không thỏa mãn  π Khi m ≠ Đặt t = cos x Vì x ∈  0;  nên t ∈ ( 0;1)  2 Xét hàm y = t −1 t − m − t +1 1− m có y ' = = t−m t − m2 t − m2 t −1  π Để hàm số cho đồng biến  0;  hàm số y = nghịch biến ( 0;1) t−m  2 π 1 − m < m >   ⇔  1 < − m ⇔   m < ⇔ m >  1 − m < m >   Câu 17: Đáp án D Phương pháp: - Công thức tính diện tích chu vi hình tròn: S = π R , C = 2π R - Cơng thức tính diện tích chu vi hình vng: S = a , C = 4a Cách giải: Gọi chiều dài đoạn uốn thành hình vng x mét chiều dài đoạn uốn thành hình tròn 1− x mét Cạnh hình vng x2 x nên diện tích hình vng 16 Bán kính hình tròn Xét hàm f ( x ) = 1− x  1− x  1− x nên diện tích hình tròn π  =  2π 4π  2π  x2 − x2 x x −1 có f ' ( x ) = + + =0⇔ x= 16 4π 2π π +4 Do f ( x ) đạt GTNN x = 4 π ⇒ 1− x = 1− = π +4 π +4 π +4 Vậy tỉ số đoạn thứ đoạn thứ hai π = π +4 π +4 π : Câu 18: Đáp án C (C ) : x2 + y2 = O ( 0;0 ) , R = ĐI ( O ) = O ' ⇒ O ' ( 2;0 ) ( C ') : ( x − ) + y = Câu 19: Đáp án C V = 230.230.147 = 2592100 Câu 20: Đáp án C Ta có lim f ( x ) = lim x →0 x →0 4x + −1 = lim = x → x ( ax + 2a + 1) ( ax + 2a + 1) x + + 2a + Hàm số liên tục x = ⇔ ( ) =3⇔ a=− 2a + Câu 21: Đáp án B Xét hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có độ dài kích thước ba cạnh AA ' = a, AB = b, AD = c có đường chéo AC ' b = 2a Theo ra, ta có a, b, c lập thành cấp số nhân có cơng bội q = Suy   c = 4a Mặt khác, độ dài đường chéo AC ' = 21 ⇒ AA '2 + AB + AD = 21 ⇔ a + b2 + c = 21 a = c = 2b = 4a c = 2b = 4a c = 2b = 4a  Ta có hệ  ⇔ ⇔ ⇔ b = 2 2 2 a + b + c = 21 a + ( 2a ) + ( 4a ) = 21 21a = 21  c = Vậy thể tích khối hộp chữ nhật VABCD A ' B 'C ' D ' = AA ' AB AD = abc = Câu 22: Đáp án B Ta có cos x + cos y + 2sin ( x + y ) = ⇔ sin x + sin y = sin ( x + y ) Suy ra: x + y = a2 b2 ( a + b ) + ≥ Áp dụng bđt: m n m+n ( sin Suy P ≥ Do P = x + sin y ) x+ y π = π 2 π Đẳng thức xảy ⇔ x = y = π Câu 23: Đáp án A Số tam giác n (ω ) = C183 Số tam giác 18 =6 Có 18 chọn đỉnh đa giác, đỉnh có chọn đỉnh lại để tam giác cân Số tam giác cân là: 18.8 = 144 Số tam giác cân không là: 144 − = 138 ⇒ n ( A ) = 138 Xác suất ⇒ P ( A ) = 138 23 = C183 136 Câu 24: Đáp án A x3 + ( a − 1) x + ( a + 3) x − y ' = − x + ( a − 1) x + ( a + 3) y=− ∆ ' >  Để hàm số đồng biến khoảng ( 0;3) ⇔  y '(0) ≥  y '(3) ≥  ( a − 1) + a + > a − a + > a ≥ −3  12   ⇔ a + ≥ ⇔  a ≥ −3 ⇔ 12 ⇔ a ≥ −9 + a − + a + ≥ 7 a − 12 ≥ a ≥ ( )   Câu 25: Đáp án B Ta có f ' ( x ) = − x −1 1 = = − ( x + 1) x ( x + 1) x x x + 1 1 1 2018 ⇒ S = − + − + − + − = 2 3 2018 2019 2019 Câu 26: Đáp án C S H a C K A a a B Ta có AC = AB + BC = a + 3a = 2a SC = SA2 + AC = a + 4a = a ; SH = ∆SHK ∼ ∆SBC ⇒ ⇒ SA2 a2 a = = ; SB = SA2 + AB = a + a = a SC a 5 SH SK SH SC a.a a = ⇒ SK = = = SB SC SB 5.a 2 a a3 1 1 1 = ⇒ VS AHK = VS ABC = SA.dt ABC = a a.a = 10 10 60 2a 10 VS AHK SH SK a = = VS ABC SC SB 5a Câu 27: Đáp án D Điều kiện để hai điểm cực trị nằm hai phía trục hồnh ⇔ PT y = có ba nghiệm phân biệt Xét PT x3 + (1 − 2m ) x + ( − m ) x + = ⇔ ( x + x ) − ( 2mx + 2mx ) + ( x + ) = ⇔ ( x + 1) ( x − 2mx + ) = m ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ( 2; +∞ ) ∆ ' = m − >  Để PT có ba nghiệm phân biệt  ⇔  −5 m ≠ ( −1) − 2m ( −1) + ≠  Câu 28: Đáp án C S J A D N B M O C Gọi O tâm hình vng ABCD Ta có đường cao hình chóp SABCD SO 1 3 VSABCD = SO.S ABCD ⇔ a = SO.a ⇒ SO = a 2    a 2 Xét tam giác SMO ta có SM = SO + OM =   a  +   = a   2 Gọi M , N trung điểm AB, CD Khi J tâm đường tròn nội tiếp tam giác SMN Khi ta có MJ đường phân giác tam giác SMN Suy : SJ MS a = = = ⇒ SJ = JO JO MO a Mà SO = SJ + JO = 3 a a ⇔ JO = a ⇔ JO = 2 Câu 29: Đáp án B (Học sinh hưởng điểm) 2 Đặt t = x − , x ∈ [1; 2] Đạo hàm t ′ = + > 0, ∀x ∈ [1; 2] x x Do t (1) ≤ t ≤ t ( ) , ∀x ∈ [1; 2] , suy −1 ≤ t ≤ Ta có x + 16   = t + 4, x + =  x +  − = ( t + ) − = t + 8t + x x  x  Phương trình cho trở thành t + 8t + − ( t + ) − 12t = m ⇔ t + 4t − 12t = m + ( *) Phương trình cho có nghiệm đoạn [1; ] phương trình (*) có nghiệm [ −1; 1] Xét hàm số y = f ( t ) = t + 4t − 12t [ −1; 1] Đạo hàm y′ = 4t + 8t − 12, t ∈ ( −1; 1) y′ = ( t − 1) ( t + t + 3) < 0, ∀t ∈ ( −1; 1) Bảng biến thiên: x y' -1 _ -7 y 17 Do để phương trình cho có nghiệm [1; 2] −7 ≤ m + ≤ 17 ⇔ −15 ≤ m ≤ Câu 30: Đáp án C D G A E C F B Ta có: AD + AC = DC nên tam giác ADC vuông A hay AD ⊥ AC AD + AB = DB nên tam giác ADB vuông A hay AD ⊥ AB Khi AD ⊥ ( ABC ) Dựng hình bình hành ACBE Khi AC // ( BDE ) Suy d ( AC , BD ) = d ( AC , ( BDE ) ) = d ( A, ( BDE ) ) Kẻ AF ⊥ BE Khi BE ⊥ ( DAF ) Kẻ AG ⊥ DF AG ⊥ ( DBE ) p ABE = 1 240 15 15 ⇒ S ABE = = AF BE ⇒ AF = = + ⇒ AG = 2 2 2 AG AF DA 79 Câu 31: Đáp án A y x -1 -2 O Để đường thẳng y = m cắt đồ thị y = x − x + 12 x điểm phân biệt < m < Câu 32: Đáp án B A' C' B' 2a I C A M a B • Gọi I , M trung điểm A′B, BC ⇒ IM //A′C ⇒ A′C // ( AB′M ) ⇒ d ( AB′, A′C ) = d ( A′C , ( AB′M ) ) = d ( C , ( AB′M ) ) = 3VB ' AMC S AB ' M 1 a a3 • VB ' AMC = BB '.S AMC = BB '.S ABC = 2a = 6 12 • B ' M = BM + BB '2 = a2 a 17 + 4a =  AM ⊥ BC •  ⇒ AM ⊥ ( BCC ' B ' ) ⇒ AM ⊥ B ' M  AM ⊥ BB ' • S ABM = 1 a a 17 a 51 = AM B ' M = 2 2 3 3VB ' AMC 3.a 12 2a 17 • d ( AB ', A ' C ) = = = S AB ' M 17 51 a B Phần tự luận (mỗi 0,5 điểm) Bài (0,5 điểm) Viết ngẫu nhiên số tự nhiên chẵn gồm chữ số đôi khác lên bảng Tính xác suất để số vừa viết thỏa mãn số chữ số lớn chữ số đứng trước Phân tích Gọi A biến cố số tự nhiên chẵn gồm chữ số viết thỏa mãn chữ số lớn chữ số đứng trước Khi Ω = {abcd : a ≠ 0, d ∈ {0, 2, 4, 6, 8}}; Ω A = {abcd : < a < b < c < d , d số chẵn} Để tính Ω ta xét trường hợp sau +) d = Trường hợp có A93 số +) d ∈ {2, 4, 6, 8} Trường hợp có ( A93 − A82 ).4 số Suy Ω = A93 + 4( A93 − A82 ) = 2296 Để tính Ω A ta xét trường hợp sau +) d = Trường hợp có số +) d = Trường hợp có C53 số +) d = Trường hợp có C73 số Suy Ω A = + C53 + C73 = 46 Do P ( A) = ΩA 46 = ≈ 0, 02 Ω 2296 Bài giải ♥ Số phần tử không gian mẫu là: Ω = A93 + 4( A93 − A82 ) = 2296 ♥ Gọi A biến cố: “số vừa viết thỏa mãn số chữ số lớn chữ số đứng trước nó” Số kết thuận lợi cho biến cố A là: Ω A = + C53 + C73 = 46 ♥ Vậy xác suất cần tính P ( A) = ΩA 46 23 = = Ω 2296 1148 Bài (0,5 điểm) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số : f ( x) = 2sin x − cos x đoạn 2sin x + cos x +  π 0;  Bài giải Xét hàm số f ( x ) = Ta có f ′ ( x ) = 2sin x − cos x liên tục đoạn 2sin x + cos x + + 4sin x + 8cos x ( 2sin x + cos x + )  π 0;   π > 0, ∀x ∈  0;   2  π Suy hàm số f ( x ) đồng biến đoạn 0;   2 Do f ( x ) = f ( ) = −  π x∈0;   2 π  ; max f ( x ) = f   = 2  π x∈ 0;   Bài (0,5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, mặt bên SAD tam giác vng S, hình chiếu vng Góc S lên mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc cạnh AD cho HA = 3HD Gọi M trung điểm AB Biết SA = 3a đường thẳng SC tạo với đáy góc 300 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC) Bài giải S H' C D K H A M a B Vì SH ⊥ ( ABCD ) nên SCH = ( SC , ( ABCD ) ) = 300 Trong tam giác vuông SAD ta có SA2 = AH AD ⇔ 12a = AD ⇒ AD = 4a; HA = 3a; HD = a ⇒ SH = HA.HD = a ⇒ HC = SH cot 300 = 3a ⇒ CD = HC − HD = 2a 6a Suy S ABCD = AD.CD = 2a Suy VS ABCD = SH S ABCD = 3 Vì M trung điểm AB AH // (SBC) nên 1 d ( M , ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) ) = d ( H , ( SBC ) ) 2 Kẻ HK ⊥ BC K, HH ' ⊥ SK H ' Vì BC ⊥ ( SHK ) nên BC ⊥ HH ' ⇒ HH ' ⊥ ( SBC ) Trong tam giác vng SHK ta có 1 11 6a 66 = + = ⇒ HH ' = = a 2 2 HH ' HK HS 24a 11 11 (1) (2) (3) Từ (1), (2) (3) suy d ( M , ( SBC ) ) = 66 a 11 Bài (0,5 điểm) Tìm giá trị m cho phương trình sau có nghiệm thực (2   x + x −  m2 x + − x ( x − )  = 3x + x−2   ) (1) Bài giải ♥ Điều kiện: x > (1) Khi đó: ⇔ m2 x + ⇔ m2 x + − 34 x ( x − 2) = x − x − x−2 ⇔ x−2 + − x ( x − ) = ( − m ) x x−2 ⇔ ♥ Đặt t = 3x + − x ( x − 2) = x−2 x + x−2 x x−2 − = − m2 x x−2 (2) x−2 với t ∈ ( 0;1) (do x > ) Phương trình (2) trở thành x − 3t = − m t2 (3) Phương trình (1) có nghiệm ⇔ phương trình (3) có nghiệm t ∈ ( 0;1) (Lưu ý: Nếu HS sai điều kiện t ∈ ( 0;1) khơng chấm phần lại) ♥ Xét hàm f ( t ) = − 3t với t ∈ ( 0;1) , ta có: t2 f '(t ) = − − < , ∀t ∈ ( 0;1) t2 Bảng biến thiên: t f '(t ) f (t ) − +∞ −2 Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra: Phương trình (3) có nghiệm t ∈ ( 0;1) ⇔ − m > −2 ⇔ − m > ⇔ −2 < m < ♥ Vậy phương trình cho có nghiệm −2 < m < Hết ... 138 Xác suất ⇒ P ( A ) = 138 23 = C1 83 136 Câu 24: Đáp án A x3 + ( a − 1) x + ( a + 3) x − y ' = − x + ( a − 1) x + ( a + 3) y=− ∆ ' >  Để hàm số đồng biến khoảng ( 0 ;3) ⇔  y '(0) ≥  y ' (3) ... Ω ta xét trường hợp sau +) d = Trường hợp có A 93 số +) d ∈ {2, 4, 6, 8} Trường hợp có ( A 93 − A82 ).4 số Suy Ω = A 93 + 4( A 93 − A82 ) = 2296 Để tính Ω A ta xét trường hợp sau +) d = Trường hợp... Câu 24: Cho hàm số: y = − A a ≥ 12 144 136 C 4 037 2019 D 816 x3 + ( a − 1) x + ( a + 3) x − Tìm a để hàm số đồng biến khoảng ( 0 ;3) B a < 3 C a ≤ 3 Câu 25: Cho hàm số f ( x ) = ln 2017 −