Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Nguyễn Thị Hồng Nhung Ngày 28 tháng năm 2018 Nguyễn Thị Hồng Nhung Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 28 tháng năm 2018 / 60 Ma trận-Các phép biến đổi ma trận Ma trận Định nghĩa ma trận Ma trận vng Ma trận vng Các phép tốn ma trận Các phép biến đổi ma trận Hạng ma trận- Ma trận nghịch đảo Ma trận bậc thang Định nghĩa Thuật toán Gauss Hạng ma trận Dạng tắc theo dòng ma trận Định nghĩa Thuật tốn Gauss-Jordan (thuật tốn tắc) Ma trận khả nghịch nghịch dảo ma trận Hệ phương trình tuyến tính Phương trình ma trận Hệ phương trình tuyến tính Nguyễn Thị Hồng Nhung Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 28 tháng năm 2018 / 60 Ma trận-Các phép biến đổi ma trận Ma trận Tìm nghiệm hệ phương trình tuyến tính Phép khử Gauss Phép khử Gauss-Jordan Hệ phương trình tuyến tính Định thức Định thức Định nghĩa Quy tắc Sarrus Công thức khai triển định thức theo dòng cột Cơng thức khai triển định thức theo dòng cột Ma trận phó Ứng dụng định thức Tìm ma trận nghịch đảo Giải hệ phương trình tuyến tính Nguyễn Thị Hồng Nhung Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 28 tháng năm 2018 / 60 Ma trận-Các phép biến đổi ma trận Ma trận Định nghĩa ma trận Định nghĩa ma trận Một ma trận cấp m × n R bảng chữ nhật gồm m dòng, dòng có n phần tử sau     a11 a12 a1n a11 a12 a1n  a21 a22 a2n   a21 a22 a2n     A=   A =   am1 am2 amn am1 am2 amn aij ∈ R phần tử dòng i, cột j (gọi vị trí (i,j)) ma trận A Nguyễn Thị Hồng Nhung Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 28 tháng năm 2018 / 60 Ma trận-Các phép biến đổi ma trận Ma trận Định nghĩa ma trận ♣ Khi ta ký hiệu A = (aij )1≤i≤m , hay đơn giản A = (aij ) ♣ Ta dùng ký hiệu [A]ij để phần tử vị trí (j, j) ma trận A ♣ Mỗi dòng A gọi vectơ dòng Ma trận có dòng gọi vectơ dòng ♣ Mỗi cột A gọi vectơ cột Ma trận có cột gọi vectơ cột ♣ Ma trận có phần tử gọi ma trận không Nguyễn Thị Hồng Nhung Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 28 tháng năm 2018 / 60 Ma trận-Các phép biến đổi ma trận Ma trận Định nghĩa ma trận Ví dụ Xét A = −1 −4 ♣ A ma trận cấp × ♣ Các dòng A (2, 1, −1) (0, 1, −4) −1 ♣ Các dòng A , −4 Nguyễn Thị Hồng Nhung Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 28 tháng năm 2018 / 60 Ma trận-Các phép biến đổi ma trận Ma trận Định nghĩa ma trận Ký hiệu ♣ Tập hợp ma trận cấp m × n ký hiệu Mm×n (R) ♣ Ma trận cấp n × n gọi ma trận vuông cấp n ♣ Tập hợp ma trận vuông cấp n ký hiệu Mn (R) (thay Mm×n (R)) Hai ma trận Nếu A = (aij ) B = (bij ) hai ma trận cấp cho aij = bij , ∀i, j ta nói A B nhau, kỳ hiệu A = B Ví dụ Tìm x, y , z để A = Nguyễn Thị Hồng Nhung x +1 2x − z B = 3y − y + 11 2z + Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 28 tháng năm 2018 / 60 Ma trận-Các phép biến đổi ma trận Ma trận Ma trận vuông Cho A = (aij ) ma trận vng cấp n Khi ♣ Đường chứa phần tử a11 , a22 , a33 , , ann gọi đường chéo hay đường chéo A ♣ Nếu phần tử nằm bên đường chéo A 0, nghĩa aij = 0, ∀i = j, A gọi ma trận đường chéo ♣ Ma trận đường chéo với phần tử thuộc đường chéo a1 , a2 , , an ký hiệu diag (a1 , a2 , , an ) Ví dụ  Cho A = 2 Đường chéo   8 B = 0 0 A đường chứa Nguyễn Thị Hồng Nhung  0 phần tử 1, 5, B = diag (1, 2, 3) Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 28 tháng năm 2018 / 60 Ma trận-Các phép biến đổi ma trận Ma trận Ma trận vuông Định lý ♠ αdiag (a1 , a2 , , an ) = diag (αa1 , αa2 , , αan ) ♠ diag (a1 , a2 , , an ) ± diag (b1 , b2 , , bn ) = diag (a1 ± b1 , a2 ± b2 , , an ± bn ) ♠ diag (a1 , a2 , , an )diag (b1 , b2 , , bn ) = diag (a1 b1 , a2 b2 , , an bn ) ♠ diag (a1 , a2 , , an )T = diag (a1 , a2 , , an ) Ví dụ ♠ ♠ ♠ ♠ Nguyễn Thị Hồng Nhung Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 28 tháng năm 2018 / 60 Ma trận-Các phép biến đổi ma trận Ma trận Ma trận vuông- Ma trận đơn vị Ma trận đường chéo cấp n với phần tử thuộc đường chéo gọi ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu In   0 I3 = 0  0 Nguyễn Thị Hồng Nhung Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 28 tháng năm 2018 / 60 Hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình tuyến tính Nếu A ∈ Mn (R) ma trận tam giác phần tử thuộc đường chéo A khác hệ AX = B gọi hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác (hay hệ tam giác) Ví dụ 26 Nhận xét Hệ tam giác ln có nghiệm Nghiệm xác định phép ngược phương trình từ lên Nguyễn Thị Hồng Nhung Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNHNgày 28 tháng năm 2018 46 / 60 Hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình tuyến tính Hệ AX = B gọi hệ phương trình tuyến tính dạng bậc thang (hay hệ bậc thang) A ma trận bậc thang hệ khơng chứa phương trình dạng 0x1 + 0x2 + + 0xn = a, với a = Định lý Giả sử AX = B hệ phương trình bậc thnag gồm m phương trình n ẩn Khi ♣ Nếu tất cột A chứa phần tử trụ hệ có dạng tam giác, nên hệ có nghiệm nghiệm xác định cách ngược phương trình từ lên ♣ Nếu A có k cột khơng chứa phần tử trụ (k ≤ 1) hệ có vơ số nghiệm với k ẩn tự Đồng thời, ẩn ứng với cột không chứa phần tử trụ ẩn tự do, ẩn lại xác định cách ngược phương trình từ lên Nguyễn Thị Hồng Nhung Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNHNgày 28 tháng năm 2018 47 / 60 Hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ 27 Nguyễn Thị Hồng Nhung Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNHNgày 28 tháng năm 2018 48 / 60 Hệ phương trình tuyến tính Tìm nghiệm hệ phương trình tuyến tính Dùng phép khử Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính Phép khử Gauss Để giải hệ phương trình tuyến tính dạng AX = B, ta thực sau: ♣ Thành lập ma trận hệ số mở rộng A = (A|B) ♣ Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa A dạng bậc thang Nếu q trình biến đổi xuất dòng có dạng 0 |a , với a = 0, hệ vơ nghiệm Nếu khơng xuất dòng có dạng thuật tốn kết thúc ta ma trận sở mở rộng hệ bậc thang Từ ta xác định nghiệm hệ Định lý NếuNguyễn hai Thị hệHồng phương trìnhChương tuyến tính có dạng ma trận hệ số mở rộng49 / 60 Nhung 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNHNgày 28 tháng năm 2018 Hệ phương trình tuyến tính Tìm nghiệm hệ phương trình tuyến tính Dùng phép khử Gauss Ví dụ 28 Nguyễn Thị Hồng Nhung Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNHNgày 28 tháng năm 2018 50 / 60 Hệ phương trình tuyến tính Tìm nghiệm hệ phương trình tuyến tính Định lý Kronecker-Capelli Định lý Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B gồm m phương trình, n ẩn, có dạng ma trận hệ số mở rộng A = (A|B) Khi đó, r (A) = r (A) r (A) = r (A) + Hơn nữa, ♣ Nếu r (A) < r (A) hệ vơ nghiệm ♣ Nếu r (A) = r (A) = n (bằng số ẩn) hệ có nghiệm ♣ Nếu r (A) = r (A) < n hệ có vô số nghiệm Hệ Cho A ma trận vng cấp n Hệ phương trình AX = B có nghiệm A khả nghịch Đồng thời, nghiệm hệ X = A−1 B Nguyễn Thị Hồng Nhung Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNHNgày 28 tháng năm 2018 51 / 60 Hệ phương trình tuyến tính Tìm nghiệm hệ phương trình tuyến tính Dùng phép khử Gauss-Jordan Ví dụ 29 Nguyễn Thị Hồng Nhung Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNHNgày 28 tháng năm 2018 52 / 60 Hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa Hệ phương trình tuyến tính tất hệ số tự hệ 0, nghĩa hệ có dạng AX = Nhận xét ♠ Hệ phương trình tuyến tính ln có nghiệm u = (0, 0, , 0), gọi nghiệm tầm thường hệ ♠ Hệ phương trình tuyến tính có trường hợp: nghiệm nghiệm nhât ( nghiệm tầm thường) vô số nghiệm ♠ Do hệ có cột hệ số tự cột nên không cần lập ma trận hệ số mở rộng giải mà ta cần lấy ma trện hệ số để biến đổi Nguyễn Thị Hồng Nhung Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNHNgày 28 tháng năm 2018 53 / 60 Định thức Định thức Định nghĩa Nguyễn Thị Hồng Nhung Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNHNgày 28 tháng năm 2018 54 / 60 Định thức Định thức Quy tắc Sarrus Nguyễn Thị Hồng Nhung Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNHNgày 28 tháng năm 2018 55 / 60 Định thức Định thức Công thức khai triển định thức theo dòng cột Nguyễn Thị Hồng Nhung Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNHNgày 28 tháng năm 2018 56 / 60 Định thức Định thức Công thức khai triển định thức theo dòng cột Nguyễn Thị Hồng Nhung Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNHNgày 28 tháng năm 2018 57 / 60 Định thức Định thức Ma trận phó Nguyễn Thị Hồng Nhung Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNHNgày 28 tháng năm 2018 58 / 60 Định thức Ứng dụng định thức Tìm ma trận nghịch đảo Nguyễn Thị Hồng Nhung Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNHNgày 28 tháng năm 2018 59 / 60 Định thức Ứng dụng định thức Giải hệ phương trình tuyến tính Nguyễn Thị Hồng Nhung Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNHNgày 28 tháng năm 2018 60 / 60 ... trận khả nghịch nghịch dảo ma trận Hệ phương trình tuyến tính Phương trình ma trận Hệ phương trình tuyến tính Nguyễn Thị Hồng Nhung Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 28 tháng năm 2018 / 60... Ma trận-Các phép biến đổi ma trận Ma trận Tìm nghiệm hệ phương trình tuyến tính Phép khử Gauss Phép khử Gauss-Jordan Hệ phương trình tuyến tính Định thức Định thức Định nghĩa Quy tắc Sarrus Công... trận phó Ứng dụng định thức Tìm ma trận nghịch đảo Giải hệ phương trình tuyến tính Nguyễn Thị Hồng Nhung Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 28 tháng năm 2018 / 60 Ma trận-Các phép biến