THPT Bình Quới – Bình Tân – Tỉnh Vĩnh Long Chun đề TÍCH PHÂN (Phần 1) CƠNG THỨC Bảng ngun hàm Nguyên hàm hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm hàm số thường gặp dx x  C  ax  b   1  ax  b  dx   C  1 a  1 dx  ln ax  b  C  x 0  ax  b a e ax b dx  e ax b  C a cos ax  b  dx  sin  ax  b   C a sin  ax  b  dx  cos ax  b   C a 1 dx  tan  ax  b   C a cos  ax  b  1 dx  cot ax  b   C a sin  ax  b         sin xdx  cos x  C cos x dx tan x  C    2 x   ax a dx   C   a 1 ln a cos xdx sin x  C x sin du u  C d  ax  b  a  ax  b  C x  1 x  dx   C  1  1 dx ln x  C  x 0 x e x dx e x  C  dx  cot x  C Nguyên hàm hàm số hợp u  1 u  du   C  1  1 du ln u  C  u 0 u e u du e u  C    au  C   a 1 ln a cos udu sin u  C a u dx    sin udu  cos u  C cos u du tan u  C sin u du  cot u  C I ĐỔI BIẾN SỐ TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Đổi biến số dạng b Để tính tích phân �f[u(x)]u (x)dx ta thực bước sau: / a Bước Đặt t = u(x) tính dt = u/ (x)dx Bước Đổi cận: x = a � t = u(a) = a, x = b � t = u(b) = b b Bước b �f[u(x)]u (x)dx = �f(t)dt / a a e2 Ví dụ Tính tích phân I = dx �x ln x e Giải dx x x = e � t = 1, x = e � t = Đặt t = ln x � dt = �I = dt �t = ln t 1 Vậy I = ln2 = ln2 THPT Bình Quới – Bình Tân – Tỉnh Vĩnh Long p Ví dụ Tính tích phân I = cosx �(sin x + cosx) dx Hướng dẫn: p I = p cosx �(sin x + cosx) �(tan x + 1) dx = dx Đặt t = tan x + cos2 x ĐS: I = Ví dụ Tính tích phân I = dx 2x + �(1 + x) Hướng dẫn: Đặt t = 2x + 3 ĐS: I = ln Ví dụ 10 Tính tích phân I = 3- x � + xdx Hướng dẫn: 3- x t2dt Đặt t = ; đặt t = tan u L � L 8� 2 1+ x (t + ) p ĐS: I = - + Chú ý: 3- x dx , đặt t = + x tính nhanh Phân tích I = � 1+ x Đổi biến số dạng b Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [a;b], để tính f ( x)dx � ta thực bước sau: a Bước Đặt x = u(t) tính dx  u / (t )dt Bước Đổi cận: x  a � t   , x  b � t   Bước b  f ( x )dx  � f [u (t )]u / (t )dt  � g (t )dt � a    Ví dụ Tính tích phân I = � 10 x dx Giải p p � - ; � � dx = costdt Đặt x = sin t, t �� � 2� � p x = � t = 0, x = � t = p �I = cost dt = � sin t p cost dt = � cost p p �dt = t 06 = p p - 0= 6 THPT Bình Quới – Bình Tân – Tỉnh Vĩnh Long Vậy I = p Ví dụ Tính tích phân I = � 4- x2 dx Hướng dẫn: Đặt x = 2sin t ĐS: I = p Ví dụ Tính tích phân I = dx �1 + x Giải � p p� - ; � � Đặt x = tan t, t �� � �� dx = (tan x + 1)dt � 2� � p x = � t = 0, x = � t = p �I = tan t + dt = t p Vậy I = �1 + tan 3- Ví dụ Tính tích phân I = �x p dx + 2x + Hướng dẫn: 3- dx I = � = x + 2x + 3- dx �1 + (x + 1) Đặt x + = tan t p ĐS: I = 12 Ví dụ Tính tích phân I = ĐS: I = p dx � 40 3- Ví dụ Tính tích phân I = p ĐS: I = 12 Các dạng đặc biệt 3.1 Dạng lượng giác �x x2 dx + 2x + Ví dụ 11 (bậc sin lẻ) Tính tích phân I = p �cos x sin3 xdx Hướng dẫn: Đặt t = cosx ĐS: I = 15 p �dt = THPT Bình Quới – Bình Tân – Tỉnh Vĩnh Long Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ) Tính tích phân I = p �cos xdx Hướng dẫn: Đặt t = sin x ĐS: I = 15 Ví dụ 13 (bậc sin cosin chẵn) Tính tích phân I = p �cos x sin2 xdx Giải p I = �cos p x sin2 xdx = p p 1 cos2 x sin2 2xdx = (1 - cos4x)dx + � cos2x sin2 2xdx � 4� 16 0 p p p 2 �x sin3 2x � p 1 � � = sin 4x + = = (1 cos4x)dx + sin 2xd(sin2x) � � � � � � 16 64 24 �0 32 16 p Vậy I = 32 Ví dụ 14 Tính tích phân I = p dx �cosx + sin x + Hướng dẫn: x ĐS: I = ln2 Đặt t = tan Biểu diễn hàm số LG theo t  tan 3.2 Dạng liên kết p Ví dụ 15 Tính tích phân I = a 2t 1 t2 2t ; cos a  ; tan a  : sin a  2 1 t  t2 1 t2 xdx �sin x + Giải x = p t � dx = - dt Đặt x = � t = p, x = p � t = 0 (p - t)dt � I =- � = sin(p - t) + p p p �( sin t + p ) t dt sin t + p dt p dt = p� - I �I= � sin t + sin t + p p dt = � t t sin + cos 2 ( ) �t p � p d� - � � p p � p dt � p � �t p � � p 4� = � � � = tan � - � cos2 t - p = � � � =p � � � � t p 2 4 cos2 � - � � � � � � � Vậy I = p ( ) Tổng quát: THPT Bình Quới – Bình Tân – Tỉnh Vĩnh Long p p p xf(sin x)dx = � f(sin x)dx � 0 Ví dụ 16 Tính tích phân I = �sin 2007 p Mặt khác I + J = ( p �dx = Tổng quát: sin2007 x dx 2007 2007 � sin x + cos x Giải p Đặt x = - t � dx = - dt p p x = 0� t = , x = � t = 2 p p sin2007 - t 2 cos2007 t dx = p p �sin2007 t + cos2007 t dx = J (1) - t + cos2007 - t 2 ( � I =- p ) ) ( ) p (2) Từ (1) (2) suy I = p p sin x dx = n n � sin x + cos x n Ví dụ 17 Tính tích phân I = p p cosn x p dx = , n �Z+ n n � sin x + cos x sin x dx J = � sin x + 3cosx p cos2 x dx � sin x + 3cosx Giải I - 3J = p (1) p dx � sin x + p 3cosx p Đặt t = x + � dt = dx  I + J = ln (2) 1- 1- Từ (1) (2) I = ln + , J = ln 16 16 ln(1 + x) dx Ví dụ 18 Tính tích phân I = � + x I +J = dx �sin x + dx = ( ) Giải Đặt x = tan t � dx = (1 + tan2 t)dt p x = � t = 0, x = � t = p �I = p ln(1 + tan t) ( + tan2 t ) dt = �ln(1 + tan t)dt t p Đặt t = - u � dt = - du p p t = 0� u = , t = � u = 4 �1 + tan THPT Bình Quới – Bình Tân – Tỉnh Vĩnh Long p �I = �ln(1 + tan t)dt = � �p � � � � � � ln + tan u du � � �� � � � � � � � p p � - tan u � � = �ln � 1+ du = � � � � + tan u � � p p 0 p � � � � ln du � � �� � � � + tan u p �ln2du - �ln ( + tan u ) du = ln2 - = Vậy I = p Ví dụ 19 Tính tích phân I = I p ln2 cosx dx x +1 �2007 - p Hướng dẫn: Đặt x = - t ĐS: I = Tổng quát: Với a > , a > 0, hàm số f(x) chẵn liên tục đoạn [ - a; a ] a a f(x) f(x)dx �ax + 1dx = � - a Ví dụ 20 Cho hàm số f(x) liên tục � thỏa f(- x) + 2f(x) = cosx p Tính tích phân I = �f(x)dx - p Đặt J = Giải �f(- x)dx , x = - t � dx = - dt - p p p p p � t= , x= � t=2 2 x=p �I = p �f(- t)dt = J p � 3I = J + 2I = p �[ f(- x) + 2f(x) ] dx - p = p p �cosxdx = 2�cosxdx = - p Vậy I = 3.3 Các kết cần nhớ THPT Bình Quới – Bình Tân – Tỉnh Vĩnh Long a i/ Với a > , hàm số f(x) lẻ liên tục đoạn [–a; a] �f(x)dx = - a a a �f(x)dx = 2�f(x)dx ii/ Với a > , hàm số f(x) chẵn liên tục đoạn [–a; a] - a iii/ Cơng thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm) (n - 1)!! � � , ne� un le� � � n n n!! �cos xdx = �sin xdx = � � (n - 1)!! p � 0 , ne� un cha� n � � � n!! p p Trong n!! đọc n walliss định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn Chẳng hạn: 0!! = 1; 1!! = 1; 2!! = 2; 3!! = 1.3; 4!! = 2.4; 5!! = 1.3.5; 6!! = 2.4.6; 7!! = 1.3.5.7; 8!! = 2.4.6.8; 9!! = 1.3.5.7.9; 10!! = 2.4.6.8.10 Ví dụ 21 Ví dụ 22 p �cos 11 xdx = 10!! 2.4.6.8.10 256 = = 11!! 1.3.5.7.9.11 693 �sin 10 xdx = 9!! p 1.3.5.7.9 p 63p = = 10!! 2.4.6.8.10 512 p II TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Công thức Cho hai hàm số u(x), v(x) liên tục có đạo hàm đoạn [a; b] Ta có / / / / ( uv ) / = u v + uv � ( uv ) / dx = u vdx + uv dx b � d ( uv ) = vdu + udv � b �d(uv) = �vdu + �udv a b � uv b a = a b a b b �vdu + �udv � �udv = uv a b a a b a - �vdu a Công thức: b �udv = uv b b a - a �vdu (1) a Cơng thức (1) cịn viết dạng: b b �f(x)g (x)dx = f(x)g(x) / b a - a �f (x)g(x)dx (2) / a Phương pháp giải tốn b Giả sử cần tính tích phân �f(x)g(x)dx ta thực a Cách Bước Đặt u = f(x), dv = g(x)dx (hoặc ngược lại) cho dễ tìm nguyên hàm v(x) vi phân b / du = u (x)dx không phức tạp Hơn nữa, tích phân �vdu phải tính a Bước Thay vào cơng thức (1) để tính kết Đặc biệt: THPT Bình Quới – Bình Tân – Tỉnh Vĩnh Long b i/ Nếu gặp b �P(x) sinaxdx, �P(x) cosaxdx, �e ax a b ii/ Nếu gặp b a P(x)dx với P(x) đa thức đặt u = P(x) a �P(x) ln xdx đặt u = ln x a Cách b Viết lại tích phân b �f(x)g(x)dx = �f(x)G (x)dx sử dụng trực tiếp công thức (2) / a a Ví dụ Tính tích phân I = �xe dx x Giải u = x du = dx � � � � Đặt � (chọn C = 0) �dv = ex dx � x � � � �v = e 1 �xe dx = xe x x � e Ví dụ Tính tích phân I = - �e dx = (x x 1)ex = �x ln xdx Giải dx � du = � u = ln x � � x �� Đặt � � � �dv = xdx � x � � v= � � e e e x e2 + � �x ln xdx = ln x - �xdx = 21 1 Ví dụ Tính tích phân I = p �e x sin xdx Giải �du = cosxdx �u = sin x � � Đặt � � � x x � � �dv = e dx �v = e p �I= �e x p �J = x sin xdx = e sin x p p - �e x p cosxdx = e - J u = cosx �du = - sin xdx � � � � Đặt �dv = ex dx � � �v = ex � � �e x cosxdx = ex cosx p p +� ex sin xdx = - + I p p e2 + � I = e - (- + I) � I = Chú ý: Đôi ta phải đổi biến số trước lấy tích phân phần THPT Bình Quới – Bình Tân – Tỉnh Vĩnh Long Ví dụ Tính tích phân I = p2 xdx �cos Hướng dẫn: Đặt t = p x L � I = 2�t costdt = L = p - e Ví dụ Tính tích phân I = �sin(ln x)dx ĐS: I = (sin1 - cos1)e + III TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp giải tốn Dạng b Giả sử cần tính tích phân I = �f(x) dx , ta thực bước sau a Bước Lập bảng xét dấu (BXD) hàm số f(x) đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD: a x f(x) b Bước Tính I = + x1 x1 x2 - + x2 b b �f(x) dx = �f(x)dx - �f(x)dx + �f(x)dx a a x1 x2 Ví dụ Tính tích phân I = �x - 3x + dx - Giải Bảng xét dấu x x - 3x + 2 - + I = �( x - 3x + 2) dx - - �( x p � 5- - 3x + 2) dx = Vậy I = p ĐS: I = - - Dạng 2 2 Ví dụ 10 Tính tích phân I = - 59 4cos2 x - 4sin xdx b Giả sử cần tính tích phân I = �[ f(x) � g(x) ] dx , ta thực a Cách 59 THPT Bình Quới – Bình Tân – Tỉnh Vĩnh Long b Tách I = b �[ f(x) b �f(x) dx � �g(x) dx sử dụng dạng � g(x) ] dx = a a a Cách Bước Lập bảng xét dấu chung hàm số f(x) g(x) đoạn [a; b] Bước Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối f(x) g(x) �( x Ví dụ 11 Tính tích phân I = - x - ) dx - Giải Cách I = � ( x - x - ) dx = - =- �x dx - 2 x =- + - 2 x dx �(x - 1)dx - �xdx + �xdx + �(x - �x - 1)dx - - 1 �x2 � +� - x� � � � �2 � - �x2 � � - x� � � � = �2 � Cách Bảng xét dấu x x x–1 –1 0 – – – I =  + + + �( - x + x - ( x + x - 1) dx + � ( x - x + 1) dx 1) dx + � =- x - 1 + ( x - x ) + x = Vậy I = 2 Dạng b Để tính tích phân I = b �max { f(x), g(x) } dx J = a �min { f(x), g(x) } dx , ta thực a bước sau: Bước Lập bảng xét dấu hàm số h(x) = f(x) - g(x) đoạn [a; b] Bước + Nếu h(x) > max { f(x), g(x) } = f(x) { f(x), g(x) } = g(x) + Nếu h(x) < max { f(x), g(x)} = g(x) { f(x), g(x) } = f(x) Ví dụ 12 Tính tích phân I = �max { x + 1, 4x - 2} dx Giải ( 4x - 2) = x2 - 4x + h(x) = x + ( ) Đặt Bảng xét dấu x h(x) + I = – �( x + ( 4x - 2) dx + � + 1) dx + � ( x2 + 1) dx = 10 80 THPT Bình Quới – Bình Tân – Tỉnh Vĩnh Long Vậy I = 80 Ví dụ 13 Tính tích phân I = �min { , x - x } dx Giải x Đặt h(x) = - ( - x ) = + x - x Bảng xét dấu x h(x) I = – + � x2 � � +� 4x = + � � � ln � �1 ln x �3x dx + �( - x ) dx = Vậy I = + ln 11 ... số trước lấy tích phân phần THPT Bình Quới – Bình Tân – Tỉnh Vĩnh Long Ví dụ Tính tích phân I = p2 xdx �cos Hướng dẫn: Đặt t = p x L � I = 2�t costdt = L = p - e Ví dụ Tính tích phân I = �sin(ln... dụ Tính tích phân I = �x p dx + 2x + Hướng dẫn: 3- dx I = � = x + 2x + 3- dx �1 + (x + 1) Đặt x + = tan t p ĐS: I = 12 Ví dụ Tính tích phân I = ĐS: I = p dx � 40 3- Ví dụ Tính tích phân I... lại) cho dễ tìm nguyên hàm v(x) vi phân b / du = u (x)dx không phức tạp Hơn nữa, tích phân �vdu phải tính a Bước Thay vào cơng thức (1) để tính kết Đặc biệt: THPT Bình Quới – Bình Tân – Tỉnh Vĩnh