Trường THCS Phước Sơn Sáng kiến kinh nghiệm PHÒNG GIÁO DỤC TUY PHƯỚC TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ PHƯỚC SƠN - SAÙNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: NÂNG CAO TƯ DUY VÀ SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH THÔNG QUA HỆ THỐNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN Người viết: TRẦN THIỆN TÀI Tổ: TOÁN – LÍ – CÔNG NGHỆ Năm học 2006 2007 GV: Trần Thiện Tài Trang Trường THCS Phước Sơn Sáng kiến kinh nghiệm I MỞ ĐẦU: Toán học mơn học địi hỏi người học nhiều yếu tố Một yếu tố giúp cho học sinh học tốt mơn Tốn khả tư sáng tạo Điều giúp giáo viên nâng cao khả học tập học sinh mà cịn phương pháp có hiệu nhằm chọn học sinh có chất lượng để bồi dưỡng học sinh giỏi cấp huyện cấp tỉnh cho Nhà Trường Để thực mục tiêu này, nhiệm vụ đặt cho giáo viên phải đổi phương pháp, hình thức tổ chức dạy học Cùng với việc đổi phương pháp giảng dạy lớp, việc hướng dẫn học sinh học tập nhà quan trọng, giúp cho học sinh có suy nghĩ cẩn thận, chắn tìm nhiều điều thú vị từ tập nhà, từ tài liệu mà giáo viên hướng dẫn, giúp cho học sinh hứng thú học tốn Trong lớp học thường có đầy đủ loại đối tượng học sinh Các học sinh khá, giỏi có khả tư sáng tạo tốt giải toán khả lập luận tương đối chặt chẽ Các đối tượng học sinh lại kĩ giải tốn chưa hồn thiện, tư sáng tạo cịn hạn chế Làm để hoàn thiện dần khả tư duy, sáng tạo học sinh, giúp em hứng thú học tập mơn tốn, tốn khó giáo viên trẻ Hôm nay, muốn đề cập đến khía cạnh vấn đề Đó việc nâng cao khả tư duy, sáng tạo học sinh khá, giỏi, nhằm tạo nguồn cho đội tuyển học sinh giỏi toán khối 8, khối lớp cấp III Tuy qua năm cơng tác ỏi thân rút số kinh nghiệm có hiệu tích cực giúp học sinh nói chung học sinh giỏi nói riêng, nâng cao dần khả tư sáng tạo giải toán Xin trình bày bạn bè đồng nghiệp tham khảo sáng kiến kinh nghiệm: “NÂNG CAO TƯ DUY VÀ SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH THÔNG QUA HỆ THỐNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN” Bản thân chân thành cảm ơn nhận ý kiến đóng góp tất bạn đọc để viết hồn thiện có giá trị II NỘI DUNG: THỰC TRẠNG TÌNH HÌNH HỌC TẬP CỦA HỌC SINH: Trong cơng tác giảng dạy mơn Tốn Trường trung học cở sở Phước Sơn có số thuận lợi khó khăn sau: a) Thuận lợi: - Nhà trường đầu tư đầy đủ sơ vật chất, thiết bị dạy học phục vụ tốt cho công tác giảng dạy học sinh - Được lãnh đạo sáng suốt, quan tâm chi Đảng, ban giám hiệu nhà trường, tạo điều kiện để bồi dưỡng cho học sinh kiến thức, kĩ năng, tư sáng tạo giải toán - Đội ngũ giáo viên giảng dạy đào tạo chuẩn hoá, bên cạnh giáo viên có bề dày kinh nghiệm, lớp giáo viên có tinh thần trách nhiệm, sức trẻ lịng nhiệt tình - Phụ huynh học sinh có quan tâm đến học tập mơn Tốn học sinh - Học sinh hầu hết em nơng dân, có ý thức, xác định động thái độ học tập, môn thi tuyển vào 10, có mơn Tốn - Trong lực lượng HS giỏi khả tư sáng tạo hạn chế định b)Khó khăn: - Đa phần học sinh em nơng dân, đời sống cịn khó khăn, điều kiện để học sinh học tập chưa thật tốt - Trường địa bàn rộng, học sinh xa trường khó khăn việc lại vào mùa lũ Học sinh thường nghỉ lụt kéo dài, phải dạy bù phần ảnh hưởng đến chất lượng học sinh GV: Trần Thiện Tài Trang Trường THCS Phước Sơn Sáng kiến kinh nghiệm - Sự phát triển trường lớp nhanh, sở vật chất chưa đáp ứng kịp thời Số học sinh lớp cịn đơng, khó khăn cho việc tổ chức dạy học - Một phận học sinh lười biếng, ham chơi, xác định động thái độ học tập không đúng, kiến thức từ lớp dưới, số ảnh hưởng trào lưu xấu xã hội Từ thuận lợi khó khăn trên, năm gần tỉ lệ học sinh giải tốt toán nâng cao đề thi tốt nghiệp, thi tuyển sinh vào 10 Nhà trường chưa cao: Năm 2003 – 2004: % Năm 2004 – 2005: % Năm 2005 – 2006: % Kết thấp so với tiềm khả học sinh Vì với sáng kiến kinh nghiệm thân mong muốn mang lại hiệu tích cực chất lượng HS giỏi Nhà trường MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN: Phương pháp 1: Phương pháp đưa phương trình “tích”(hay cịn gọi phương pháp phân tích thành thừa số vế phương trình) Đưa phương trình cho dạng vế tích biểu thức nguyên có giá trị nguyên chứa ẩn vế số nguyên Xét trường hợp xảy để tìm nghiệm thích hp Bài 1:Tì mnghiệm nguyên ph ơng trì nh sau: a) x +y =x.y b) xy = p( x + y) ( 1) ( p số nguyên tố cho tr í c) Gi¶i: a) x +y =x.y ⇔ xy - x - y +1 =1⇔ ( x - 1) ( y − 1) = Ta cã c¸c tr êng hỵ p sau: x - =1 x = ⇔  y - =1 y = TH1:   x − = −1  x = TH2:  ⇔  y − = −1  y = V Ëy ph ơng trì nh có nghiệm ( 2;2) ( 0;0) b) ( 1) ⇔ xy − p( x + y) = ⇔ xy − p( x + y) + p2 = p2 ⇔ ( x − p) ( y p) = p2 Vìp số nguyên tố, nên chỉcó thểphâ n tích p2thành tích hai số nguyên d i dạng: 1.p2;p.p;p2.1;( 1) ( p2 ) ;( − p) ( −p) ;( −p2 ) ( 1) ta có tr ờng hỵ p sau: x - p =1 x − p = p x = 2p x = p + 1)  ⇔ 2)  ⇔  y − p = p y = 2p y - p =p y = p( p+ 1) x − p = −1 x = p −  x − p = − p x = ⇔ 5)  ⇔ 2 y − p = − p y = p− p  y − p = − p y = 4)  GV: Trần Thiện Tài x − p = p x = p( p+ 1) 3)  ⇔ y − p =  y = p+ x − p = − p2 6)  y − p = −1 x = p− p2 ⇔ y = p − Trang Trường THCS Phước Sơn Bài 2: Giải ph ơng trì nh sau tËp sè nguyªn: Sáng kiến kinh nghiệm a)2x2 + xy − y2 − = 0.( 2) b)x2 + x − y2 = 0.( 3) c)x2 − y2 = 91.( 4) Gi¶i: a) ( 2) ⇔ ( x + y) ( 2x − y) = = 1.9 = 3.3= ( −1) ( −9) = ( −3) ( −3) x + y = TH1:  hƯkh«ng cã nghiƯm nguyªn 2x − y = x + y = x = TH2:  ⇔ 2x − y =  y = x + y = TH3: hệph ơng trì nh nghiệm nguyªn 2x − y = −9 x + y = −3 x = −2 TH4:  ⇔ 2x − y = −3  y = −1 x = −2 x = vµ   y = −1 y = Vậy ph ơng trì nh có nghiệm nguyªn  b) ( 3) ⇔ 4x2 + 4x + 1− 4y2 = 1⇔ ( 2x + 1) − ( 2y) = 1⇔ ( 2x + 2y + 1) ( 2x − 2y + 1) = 2x + 2y + 1= TH1:  x = ⇔ 2x − 2y + 1= y = 2x + 2y + 1= −1 x = −1 TH2:  ⇔ 2x − 2y + 1= −1  y = x = −1 x = ; y = y = VËy ph ơng trì nh có hai nghiệm nguyên c) ( 4) ⇔ ( x − y) ( x + y) = 91 V ì91 số nguyên tố nên ta có tr ờng hợ p sau: x y = x = 46 ⇔ x + y = 91  y = 45 TH1:  x − y = −1 TH2:  x = −46 ⇔ x + y = −91 y = −45 x − y = 91 x = 46 TH3:  ⇔ x + y =  y = −45 x − y = −91 x = −46 TH4:  ⇔ y = 45 x + y = −1 x = −46 x = −46 x = 46 x = 46 ; ; ; y = 45 y = − 45 y = 45    y = −45 VËy ph ơng trì nh có nghiệm GV: Trn Thiện Tài Trang Trường THCS Phước Sơn Sáng kiến kinh nghim Bài 3: Tì m hì nh chữnhật có cạnh nguyên cho số đo diện tích số đo chu vi Giải: Gọi x, y hai kích th c hì nh chữnhật ( x, y: nguyên d ơng) Theo đ ềbài, hì nh chữnhật cã sè ® o diƯn tÝch b»ng sè ® o chu vi nên ta có ph ơng trì nh: xy =2( x +y) ⇔ ( x − 2) ( y 2) = Từ đ â y suy hai kích th c hì nh chữnhật là: hoặ c Phng phỏp 2: Phương pháp đưa phương trình “tổng”: Đưa phương trình nghiệm nguyên dạng: k f1 ( x,y, ) + f2k ( x,y, ) + fnk ( x,y, ) = a1k + a2k + + ank, ( a1,a2, ,an ∈ ¢ ) f1k ( x,y, ) ,f2k ( x,y, ) , ,fnk ( x,y, ) ∈ ¢ Tõ tì m nghiệm thích hợ p Bài 1: Hà y tì m tất cặ p số nguyên x y thoả mà n 7x+14y =5x2 + 5xy + 5y2 x =0 Giải: Dễthấy x =0 y =0 thìph ơng trì nh có nghiệm y =0 Giả sử x y 0, ph ơng trì nh đà cho t ơng đơng vớ i ph ơng trì nh 28( x +2y) = 5( x + 2y) + 15x2 ( 1) Vìx nên x2 > 0, dođó tõ ( 1) suy + 2y > 0( 2) 28 ( v×theo ( 2) ) Vìx +2y nguyên nên x +2y Mặ t kh¸c ( 1) tacã ( x +2y) M5 ⇒ ( x + 2y) = Tõ ( 1) ta suy 5( x + 2y) < 28( x + 2y) ⇔ x + 2y < Thay vµo ( 1) , ta cã x2 = 1⇔ x = ±1 Ví i x =1, ta suy y =2 Ví i x =- 1, ta suy y =3 VËy ph ơng trì nh có nghiệm nguyên ( 0;0) , ( 1;2) , ( 1;3) Bài 2: Giải ph ơng trì nh sau tập số nguyên d ơng: x3 + 7y = y3 + 7x ( ví i x > y) Giải: Ph ơng trì nh ( x - y) ( x2 + xy + y2 7) = Vìx >y nên x2 + xy + y2 = Gi¶ sư y ≥ 2, ®ã x ≥ 3( v×x >y) ⇒ x2 + xy + y2 ≥ 9+ 6+ > § iỊu chứng tỏ vớ i y thìph ơng trì nh vô nghiệm Do y =1, x =2 Vậy ph ơng trì nh có nghiệm ( 2;1) Bài 3: Tì m nghiệm nguyên d ơng ph ơng trì nh: x3 + 7y = y3 + 7x Gi¶i: pt ⇔ x3 − y3 = 7( x − y) ⇔ ( x − y) ( x2 + xy + y2 − 7) = TH1:x = y ph ơng trì nh có nghiệm ( n,n) ví i n∈ ¢ + TH2:x2 + xy + y2 = ⇒ ( x − y) = 7− 3xy > 0⇒ xy < ⇒ x = 1,y = h c x =2, y =1 Vậy nghiệm nguyên d ơng ph ơng trì nh lµ ( 1;2) ; ( 2;1) vµ ( n;n) ví i n ∈ ¢ GV: Trần Thiện Tài Trang Trường THCS Phước Sơn Sáng kiến kinh nghiệm Bµi 4: Giải ph ơng trì nh sau tập số nguyªn: 5x − 4xy + y = 169 2 Gi¶i: pt ⇔ ( 2x − y) + x2 = 169 ⇔ 2x − y + x = 169( 2x − y ∈ ¥ ; x ∈ ¥ ) 2 Mµ 169 =132 + 02 = 122 + 52 Do ta có khả sau:  2x − y = 13 TH1: x = ⇔ x =0 h c y = 13 y =-13  x =  2x − y = x = 13 x=-13 TH2:  ⇔ h c  y = 26  y=-26  x = 13  2x − y = 12 x = x = x = −5 x = −5 TH3:  ⇒ ; ; ; y = − y = 22 y = − 22 x =    y =   2x − y = x = 12 x = 12 x = −12 x = −12 TH4:  ⇒ ; ; ;  y = 19 y = 29 y = −19 y = −29  x = 12 Bµi 5: 3( x2 + xy + y2 ) = x + 8y ⇔ 6x2 + 6xy + 6y2 − 2x − 16y =  Gi¶i: pt ⇔ ( x2 + y2 + 1+ 2xy − 2x − 2y) + ( 2x2 + 4xy + 2y2 ) +  2y2 − 14y +  49  2 51 +  3x + y − ÷ = 2÷ 2   2 7 51  ⇔ ( x + y − 1) + 2( x + y) + 2 y − ÷ + 3x2 + y2 = 2   51 51 ⇔ x≤ Do vËy x ∈ { -2, -1, 0, 1, } suy 3x2 Từ tì m đợ c nghiệm ph ơng trì nh ( 0;0) ( 1;1) Bài 6: Tì m x, y nguyên cho 12x2 + 6xy + 3y2 = 28( x + y) Gi¶i: Cách 1: Dễthấy x =y =0 nghiệm ph ơng trì nh Giả sử x y 0: ph ơng trì nh 3( x2 + 2xy + y2 ) + 9x2 = 28( x + y) ⇔ 3( x + y) + 9x2 = 28( x + y) ( 1) V×x ≠ nên 9x2 > 3( x+y) 0, suy 28( x + y) > ⇔ x + y > 0( 2) Mặ t khác từ ( 1) ⇒ 28( x + y) > 3( x + y) ⇔ 28 > 3( x + y) ( v×theo ( 2) ) 28 V ×x +y  nên x +y Từ ( 1) , suy ( x + y) M Do vËy x +y ∈ { 3;6;9} Suy x + y < C¸ch 2: 12x2 + 6xy + 3y2 = 28( x + y) ⇔ 3y2 + 2( 3x − 14) y + 12x2 − 28x = 0( *) Đ ểtồn x y thìph ơng tr× nh ( * ) cã nghiƯm ⇔ ∆'= ( 3x - 14) − 3( 12x2 − 28x) ≥ GV: Trần Thiện Tài Trang Trường THCS Phước Sơn 196 −14 14 ⇔ ≤ x≤ 27 3 3 Vìx  nên x { -2;-1;0;1;2} Sáng kiến kinh nghiệm ⇔ 196− 27x2 ≥ ⇔ x2 ≤ Ví i x =-2 vµ x =2: ' không ph ơng nên ph ơng trì nh nghiệm nguyên Vớ i x =0: ' =196 =142 số ph ơng 28 Ph ơng tr× nh ( * ) cã nghiƯm y = ( loại ) y =0 Vớ i x =1: ' =169 =13 số ph ơng -2 Ph ơng trì nh ( * ) có nghiệm y = ( loại ) y =8 Ví i x =-1: ∆' =169 =13 lµ sè ph ơng Ph ơng trì nh ( * ) có nghiệm y = ( loại ) y =10 Vậy ph ơng trì nh có nghiệm nguyên ( 0;0) ,( 1;8) ,( 1;10) Cách 3: Đ ểtồn x y nguyên thìph ơng tr×nh ( *) cã ∆'= ( 3x - 14) − 3( 12x2 28x) số ph ơng 196 - 27x2 số ph ơng 196 - 27x2 = a2 ( a∈ ¢ + ) x2 196 27 Từ đâ y thực t ơng tự nh cách Cách 4: 12x2 + 6xy + 3y2 = 28( x + y) ⇔ 3( x + y) − 28( x + y) + 9x2 = 2 14  14   14  ⇔ ( x + y) − ( x + y) +  ÷ + 3x2 =  ÷  3  3  ⇔  x+ y−  14  196 196 196 + 3x2 = ⇒ 3x2 ≤ ⇔ x2 ≤ ữ 9 27 Vìx  nên x { -2;-1;0;1;2} Thử tất tr ờng hợ p x ta đợ c nghiệm nguyên nh cách Phng phỏp 3: Phng phỏp dng tính chia hết số nguyên Vận dụng tính chia hết số nguyên để thu hẹp miền xác định nghiệm Trong nhiều trường hợp trực tiếp để tìm nghiệm Phương pháp thường dùng để chứng minh phương trình vơ nghiệm ngun Bµi 1: Chøng minh ph ơng trì nh x2 + 2002 = y2 nghiệm nguyên Giải: Ph ơng trì nh ( x +y) ( x − y) = −2002 Do ®ã ( x +y) ( x y) số chẵ n Suy x y đồng thời chẵ n hoặ c lẻ Do ( x +y) ( x − y) M4 ⇒ 2002M4( v« lÝ) VËy ph ơng trì nh đà cho nghiệm nguyên Bài 2: Chứng minh ph ơng trì nh sau không cã nghiƯm nguyªn: x2 + y2 + z2 + x + y + z = 2t + Gi¶i: Ph ¬ng tr× nh ⇔ x( x+1) + y( y + 1) + z( z + 1) = 2t + Ta thấy vếtrái số chẵ n ( vìtích hai số nguyên liên tiếp số chẵ n) , mà vếphải số lẻ Vậy ph ơng trì nh nghiệm nguyên Bài 3: 2x + 2y + 2z = 2336( x < y < z) GV: Trần Thiện Tài Trang Trường THCS Phước Sơn ⇔ ( 1+ x y−x z−x +2 Sáng kiến kinh nghiệm ) = 73 Do ( 1+ 2y−x + 2zx ) lẻ nên 2x = 25 x = vµ 2y−x + 2z−x = 72 = 239 = 2y−x ( 1+ 2z−y ) ⇒ 2y−x = 23 ⇒ y − x = 3⇒ y = x + 3= vµ 2z-y = 8⇒ z = 11.VËy nghiƯm ph ơng trì nh là:x =5, y =8, z =11 Bµi 4: 7z = 2x.3y − 1( ví i x, y, z ∈ ¢ +) ⇔ 7z − 1= 2x.3y 2.Dox, y, z  + nên vếtrái ph ơng trì nh chia hết cho vếphải ph ơng trì nh không chia hết cho Do ph ơng trì nh vô nghiệm Vậy ph ơng trì nh ban đầu vô nghiệm Phng phỏp 4: Phương pháp vận dụng tính chất số nguyên tố, số vơ tỉ: Có thể sử dụng (chứng minh vận dụng) số tính chất số nguyên tố, số vơ tỉ để giải phương trình nghiệm ngun - Với số nguyên a, số a2 + khơng có ước ngun tố dạng 4k + - Cho p nguyên tố dạng 4k + 3; a, b ∈ ¢ , a2 + b2 Mp thỡ aMp bMp Bài 1: Tì m nghiệm nguyên ph ơng trì nh: x2 y3 = Gi¶i: x2 − y3 = ⇔ x2 + 1= ( y + 2) ( y2 − 2y + 4) * Nếu y chẵ n thìx2 + 1M4( vô lí) ( bạn đọc có thểgiải thích?) * Nếu y lẻ thìy2 2y + = ( y 1) + 3có dạng 4k +3 nên phải có c nguyên tố dạng ( vìtích sè d¹ng 4k +1 sÏ cã d¹ng 4k +1) Do x2 +1 có c nguyên tố dạng 4k +3 ( vô lí) Vậy ph ơng trì nh đà cho nghiệm nguyên Bài 2: Giải ph ơng trì nh tập số nguyên: x2 + 2x + 4y2 = 37 Giải: Ph ơng trì nh ⇔ ( x +1) + ( 2y) = 38M 19 ( đâ y số nguyên tố dạng 4k +1) 2 Suy ( x + 1) M 19 vµ 2yM 19 ⇒ ( x +1) + ( 2y) M 192 ( v« lÝ) 2 VËy ph ơng trì nh nghiệm nguyên Bài 3: Giải ph ơng trình nghiệm nguyên: 19x2 + 28y2 = 729 Gi¶i: pt ⇔ ( 18x2 + 27y2 ) + ( x2 + y2 ) = 729 Mµ18x2 + 27y2 M 3;729M 3nên x2 + y2M xM yM Đặ t x =3u; y =3v ( u, v  ) ,thay vào ph ơng trì nh ®· cho ta cã: 19u2 + 28v2 = 81.LÝluËn t ¬ng tù ta suy u =3s, v =3r ( s,r ∈ ¢ ) ⇒ 19s2 + 28r2 = 9.T ¬ng tù ta suy s =3p, r =3q ( p, q ∈ ¢ ) ⇒ 19p2 + 28q2 = 1.Ph ơng trì nh vô nghiệm Vậy ph ơng trì nh ban đầu vô nghiệm Bài 4: 7x2 + 13y2 = 1820 Vì1820M 13và 13y2 M 13nên 7x2 M 13 Vì( 7,13) = 1nên x2 M 13 xM 13 GV: Trần Thiện Tài Trang Trường THCS Phước Sơn Sáng kin kinh nghim Đặ t x =13m ( m  ) Mặ t khác 1820M7và 7x M7,líluận t ơng tự ta có thểđặ t y =7n( n  ) Thayx = 13m,y = 7nvào ph ơng trì nh đà cho giản c ta đợ c: ( 1) ( ∗) 13m2 + 7n2 = 20 ⇒ m ≤ 1, n ≤ Ví i m, n tho¶ m· n ( ) ta chỉchọn đợ c m = 1, n = 1tho¶ m· n ( 1) VËy ph ¬ng tr× nh ( 1) cã nghiƯm:  m =1  m =1  m =-1  m =-1 ; ; ;   n =1  n =-1  n =1  n =-1 T ¬ng øng ví i nghiệm ph ơng trì nh ( 1) ta đợ c nghiệm x =13 x =13 x =-13 x =-13 ; ; ;  y =7 y =-7 y =7 y =-7 ph ơng trì nh ®· cho:  Phương pháp 5: Phương pháp vận dụng vai trị bình đẳng ẩn: (Phương pháp cực hạn) Nếu phương trình nghiệm nguyên mà ẩn x, y, z, … có vai trị bình đẳng nhau, ta giả sử x ≥ y ≥ z ≥ 1≤ x ≤ y ≤ z ≤ để thu hẹp miền xác định ẩn Từ đo tìm nghiệm phương trình cho.(Phương pháp thường dùng cho phương trình đối xứng) Bµi 1: Giải ph ơng trình nghiệm nguyên: x + y + z = x.y.z ( 1) (x, y, z ∈ ¢ +) Giải: Vìx, y, z có vai trò bì nh đẳ ng nh nhau, không tính tổng quát ta giả sử z y x C¸ch 1: Tõ ( 1) suy ra1= 1 + + ≤ ⇒ x2 ≤ 3⇒ x = xy yz zx x2 Thay x = 1vµo ph ơng trì nh( 1) ta đợ c +y +z =yz ⇒ ( y − 1) ( z − 1) = = 1.2 ⇒ y = 2,z = 3( vìy -1 z -1) Vậy ph ơng trì nh ( 1) có nghiệm hoán vịcủa ( 1,2,3) Cách 2: Đặ t z =1 +n, y =1 +m, x =1 +l ( n ≥ m≥ l 0) Ph ơng trì nh đà cho trở thành: +m +n +l = ( 1+ m) ( 1+ n) ( 1+ l ) = 1+ l + m+ n + mn + nl + ml + mnl suy mn + nl + ml + mnl = ( ∗) NÕu l ≥ th×mn+nl+ml+mnl ≥ ( m© u thn ví i ( ∗) ) VËy l =0, thay vµo ( ∗) ta suy ra:m− n = Vìn m nên n =2, m =1 Vậy ta đợ c ( x =1, y =2, z =3) nghiệm Vìvai trò x, y, z bì nh đẳ ng nên số hoán vịcủa ( x =1, y =2, z =3) nghiệm ph ơng trì nh GV: Trn Thin Ti Trang Trường THCS Phước Sơn Sáng kiến kinh nghiệm Bài tập tự luyện: Tì m nghiệm nguyên d ơng ph ơng trì nh:(bằng ph ơng pháp cực hạn) a)x +y +z +t =xyzt b) x +y +z +9 =xyz c) x +y +1 =xyz Bµi 2: 2x + 2y + 2z = 2t ( x,y,z,t∈ ¢ ) Ví i vai trò bì nh đẳ ng x, y, z, t ta cã thĨgi¶ sư: x ≤ y ≤ z t Ta chia hai vếcủa ph ơng trì nh cho 2x > Ta đợ c +2y-x + 2zx = 2tx Vìt >x nên 2t-x bội Vìz >x nên 2z-x bội +2y-x bội suy y =x Do vËy +2z-x = 2t−x ⇒ z − x = 1vµ t - x =2 ⇒ z =x +1, t =x +2 Vậy ph ơng trì nh cã nghiÖm ( x =k, y =k, z =k +1, t =k +2) ,vớ i k số nguyên d ¬ng Phương pháp 6: Phương pháp khử ẩn: Sử dụng tính chất, luỹ thừa bậc số nguyên liên tiếp tích số nguyên liên tiếp… để đưa phương trình về dạng phương trình khác có ẩn quen thuộc Từ tìm nghiệm phương trình cho Thường vận dụng nhận xét sau: NÕu X n ≤ Y n ≤ ( X + a) (a∈ ¢ + ) n ⇒ Y n = ( X + i) ( ví i i =0, 1, , a) n Vµ X n ≤ Y n ( X + 1) thìkhông tồn số nguyên Y n Bài 1: Giải ph ơng trì nh nghiƯm nguyªn sau: x2 = y( y + 1) ( y + 2) ( y + 3) Giải: Đ Æta =y2 + 3y Ta cã x2 = y( y + 3) ( y + 1) ( y + 2) = a( a+ 2) < ( a+ 1) NÕu a >0 th×a2 < x2 < ( a+ 1) ⇒ không tồn x  Nếu a ⇒ y2 + 3y ≤ ⇔ −3≤ y ≤ Từ tì m đợ c nghiệm ph ơng trì nh là: x=0 x = x = x = ; ; ;   y=0 y = −1 y = −2  y = Bài 2: Giải ph ơng trình nghiệm nguyên: a) x6 + 3x3 + 1= y4 b) ( x + 2) − x4 = y3 c) 1+ x2 + x3 + x4 = y4 Gi¶i: a) ví i x >0, ta cã: ( x3 + 1) = x6 + 2x3 + 1< x6 + 3x3 + 1= y4 < x6 + 4x3 + = ( x3 + 2) 2 hay ( x3 + 1) < y2 < ( x3 + 2) y  vô lÝ T ¬ng tù ví i x ≤ - 2, ta cịng cã y ∉ ¢ * ví i x =-1, thay vào ph ơng trì nh ta đợ c y4 = −1v« nghiƯm GV: Trần Thiện Tài Trang 10 Trường THCS Phước Sơn Sáng kiến kinh nghiệm * ví i x =0, thay vào ph ơng trì nh ta ®ỵ c y = 1⇔ y = ±1 VËy ph ơng trì nh đà cho có hai nghiệm nguyên ( 0;1) vµ ( 0;-1) b) Ta cã ( x+2) − x4 = y3 ⇔ 8x3 + 24x2 + 32x + 16 = y3 ( * ) Do y M2 Đ ặ t y =2.y1 ( y1 ∈ ¢ ) , ta suy ra: ( * ) ⇔ x3 + 3x2 + 4x + = y13 1) NÕu x ≥ th×( x+1) < y13 < ( x + 2) ,điều không xảy 3 2) NÕu x ≤ -2 th×x3 < x3 + 3x2 + 4x + = y13 < ( x + 1) , điều không xảy  x = −1 3) NÕu x=-1th×( * ) ⇔  y = x = −1 VËy ph ¬ng tr× nh cã nghiƯm nhÊt  y = c) Ta thÊy r»ng x =0, y = ± x =-1, y = nghiệm đ úng ph ơng trì nh Ta chứng minh nghiệm trên, ph ơng trì nh nghiệm khác ThËt vËy: 1) NÕu x >0: Ta cã x40 NgiƯm nguyªn d ¬ng cđa ph ¬ng tr× nh  ⇔ x =7 +4t >0 t< Vìt nguyên nên t =-1 hoặ c t =0 Ví i t =-1 th×x =3, y =5 nghiệm nguyên d ơng ph ơng trì nh Vớ i t =0 thìx =2, y =7 nghiệm nguyên d ơng ph ơng trì nh 120 23y 1− 2y b) Ta cã 7x + 23y = 120 ⇔ x = = 17− 3y + 7 t Muốn có x, y nguyên thì1 - 2y =7t( t∈ ¢ ) ⇔ y = −3t + Vìy, t nguyên nên - t =2k ( k ∈ ¢ ) ⇔ t = 1− 2k Suy y = 7k − vµ x =27 - 23k x =27 - 23k VËy   y =7k - 3( k  ) nghiệm nguyên ph ơng trì nh Muốn có nghiệm nguyên d ¬ng 27  k<  x =27 - 23k >0  23 ⇔ < k < 27 ⇔ k = V ìk số nguyên ta phải có  ⇔ ( ) 23 y =7k - >0 k >  x =4 Khi ®ã nghiệm ph ơng trì nh y =4 2) Dï ng tÝnh chÊt chia hÕt h c tÝnh chÊt phÐp chia cã d tËp sè nguyên đ ểtì m nghiệm Bài 1: Chứng minh ph ơng trì nh sau nghiệm nguyên: 2x +14y =73 Gi¶i: Ta cã 2x +14y =2( x +7y) M 73 không chia hết cho 2, ph ơng trì nh đà cho nghiệm nguyên Bài tập t ơng tự: Chứng minh ph ơng trì nh sau vô nghiệm: a) 3x +15y =52 b) 21x +12y =16 GV: Trần Thiện Tài Trang 13 Trường THCS Phc Sn Ph ơng pháp tì m nghiệm nguyên d ơng ph ơng trì nh: Sỏng kin kinh nghiệm a( x1+x2+ +xn ) +b =cx1.x2 xn ví i a,b,c Ơ ; n Vìx1,x2, ,xn có vai trò nh nên giả sử x1 x2 ≤ ≤ xn n 1  x + x + + x ≤ x  n Khi ®ã: 1  ≤ n  x1x2 xn x1 1.Tr êng hỵ p n =2: Ph ơng trì nh có dạng: a( x+y) + b = cxy ( 1) Cách 1: Phâ n tích a a2 ( 1) ⇔ cxy − ax - ay =b ⇔ y( cx - a) − c ( cx − a) = c + b ( cx − a) ( cy − a) = a2 + bc Ta cã ax, ay ≤ cxy ⇒ a ≤ cx, cy ⇒ 2: a( x1+x2+ +xn ) +b =cx1.x2 xn ⇔ c = a a a b na + + + ≤ n−1 x2.x3 xn x1.x3 xn x1.x2 xn−1 x1.x2 xn x1 na+ b c Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 5(x + y + z + t) + 10 = 2xyzt (1) Gi¶ sư x ≥ y ≥ z ≥ t ≥ 5 5 10 30 ( 1) ⇔ = xyz + xzt + xyt + yzt + xyzt ≤ t3 ⇒ t3 ≤ 15 ⇒ t = 1h c t =2 5 15 30 Ví i t =1 th×ptr× nh ⇔ = + + + ≤ ⇒ z2 ≤ 15 xy yz zx xyz z2 ⇒ x1 ≤ n−1 GV: Trần Thiện Tài Trang 14 Trường THCS Phước Sơn Sáng kiến kinh nghiệm ⇒ z = 1;2;3 x = 35 V í i z =1, ta cã 5( x +y) + 20 = 2xy ⇔ ( 2x − 5) ( 2y − 5) = 65⇔  y = x =9 h c y =5 Ta đợ c nghiệm ( 35;3;1;1) ( 9;5;1;1) hoán vịcủa chúng Vớ i z =2, z =3: Ph ơng trì nh nghiệm nguyên 5 20 35 Ví i t =2 th×5( x +y +z) + 20 = 4xyz ⇔ = + + + ≤ xy yz zx xyz z2 35 ⇒ z2 ≤ < ⇒ z = ( v×z ≥ t ≥ 2) ⇒ 5( x + y) + 30 = 8xy ⇔ ( 8x − 5) ( 8y − 5) = 265 Do x ≥ y ≥ z ≥ nªn 8x - ≥ 8y - 11, nên ph ơng trì nh nghiệm nguyên tr ờng hợ p Bài tập tự luyện: Bài 1: Hà y giải ph ơng trì nh nghiƯm nguyªn 4( x +y) = 3xy − b»ng nhiỊu c¸ch kh¸c H í ng dÉn: Mét số ph ơng pháp có thểdù ng đợ c: ph ơng pháp phâ n tích thành tích, ph ơng pháp cực hạn Bài 2: Tì m nghiệm nguyên d ơng ph ơng trì nh sau: a) 2( x +y +z) + = 3xyz b) 5( x + y + z + t) + = xyzt Bài 3: Giải ph ơng trì nh tập số nguyªn: a) x2 − 6xy + 13y2 = 100 HD: Dù ng ph ơng pháp bịchặn biến đổi ph ơng trì nh vềdạng: ( x-3y) = 4( 25 y) 2 ⇔ y ≤ vµ 25 - y2 số ph ơng Xét tr ờng hợ p y, ta có đợ c nghiệm ph ơng trì nh b) 6x2 + 5y2 = 74 HD: pt ⇔ 6( x2 − 4) = 5( 10− y2 ) ⇒ x2 − = 5u;10− y2 = 6v ⇒ u = v Dï ng ®iỊu kiƯn bịchặ n u u, ta suy ra: -4 ≤ u ≤ ⇒ u = v = hoặ c u =v =1 Từ suy nghiÖm c) 4xy − x − y = z2 ( vớ i x, y, z số nguyên d ơng) HD: Dù ng ph ơng pháp 4: Sử dơng tÝnh chÊt cđa sè nguyªn tè d) H· y tì m tất cặ p số nguyên x y thoả mà n 7x+14y =5x2 + 5xy + 5y2 HD: Có thểdù ng ph ơng pháp nh dạng Mt s chỳ ý giải phương trình nghiệm nguyên: Với phương trình mà vai trò ẩn (từ ba ẩn trở lên) bình đẳng ta thường dùng phương pháp cực hạn GV: Trần Thiện Tài Trang 15 Trường THCS Phước Sơn Sáng kiến kinh nghiệm Với phương trình mà luỹ thừa cao ẩn bậc hai, ta thường dùng phương pháp đưa phương trình dạng “tổng” dùng số phương pháp như: - Dùng tính chất có nghiệm phương trình bậc hai để thu hẹp miền xác định ẩn, từ tìm nghiệm ngun phương - Dùng phương pháp đưa dạng tổng, sau chọn biểu thức thích hợp để đánh giá, từ thu hẹp miền xác định ẩn, thử giá trị để tìm nghiệm nguyên phương trình Khi giải loại phương trình đối xứng, đưa số nhận xét tính chất đối xứng nghiệm, từ việc phân chia trường hợp đơn giản hơn, giải ngắn gọn KẾT QUẢ: Với phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên mà cá nhân tìm tịi trình bày trên, vận dụng vào giảng dạy từ năm 2004 đến nay, nhiên q trình giảng dạy khơng liên tục, chất lượng học sinh lớp học bồi dưỡng, lớp học tự chọn chưa đề thi tốt nghiệp THCS hay tuyển sinh vào lớp 10 có đề cập đến loại toán câu hỏi nâng cao chưa thường xuyên Vì việc đánh giá, kiểm định tính hiệu sáng kiến kinh nghiệm chưa đạt độ xác cao Năm học 2004 – 2005, kì thi tốt nghiệp THCS tỉ lệ học sinh nhà trường giải toán phương trình nghiệm nguyên đạt % Đây số khiêm tốn so với số lượng học sinh nhà trường Như để nâng cao khả tư sáng tạo học sinh mơn Tốn, người giáo viên phải rèn học sinh kĩ để giải tốn thơng qua tập cụ thể, đầy đủ dạng loại, hướng học sinh tìm tòi nét đặc trưng dạng loại để giải tốn dễ dàng Có bước nâng cao chất lượng mơn Tốn, giúp học sinh ham thích học tốn tạo điều kiện phát huy lực học sinh nghiên cứu khoa học Đồng thời giúp bồi dưỡng đội học sinh thi học sinh giỏi cấp huyện Nhà trường có hiệu so với năm trước  GV: Trần Thiện Tài Trang 16 Trường THCS Phước Sơn Sáng kiến kinh nghiệm III KẾT LUẬN: Giáo dục hình thức nữa, người giáo viên giữ vài trò quan trọng Là cầu nối cung cấp cho học sinh tri thức, người giáo viên phải biết kết hợp tốt kiến thức phương pháp giảng dạy đào tạo thân để tạo khối lượng kiến thức vừa dễ học, dễ hiểu chứa đựng bên kiến thức mang tính chất tìm tịi, nghiên cứu Như cho dù học sinh học tập hướng dẫn giáo viên hay tự học nhà em nắm vững kiến thức, có kĩ làm tập tăng cường khả tư việc tìm tịi, nghiên cứu thêm kiến thức nâng cao, mở rộng Trên số kinh nghiệm thân việc bồi dưỡng cho học sinh kiến thức nâng cao, đặc biệt phương trình nghiệm nguyên Mặc dù kinh nghiệm thân có hiệu định, xin đóng góp kinh nghiệm để quý đồng nghiệp tham khảo Trong trình thực “sáng kiến kinh nghiệm” có chưa hợp lí mong q đồng nghiệp góp ý, xây dựng để viết hồn thiện hơn, góp phần nâng cao chất lượng mơn Tốn, nhà trường xây dựng giáo dục toàn diện vững Phước Sơn, ngày 12 tháng 04 năm 2007 Người viết Trần Thiện Tài GV: Trần Thiện Tài Trang 17 ... bày bạn bè đồng nghiệp tham khảo sáng kiến kinh nghiệm: “NÂNG CAO TƯ DUY VÀ SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH THÔNG QUA HỆ THỐNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN” Bản thân chân thành cảm ơn nhận ý kiến... trường MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN: Phương pháp 1: Phương pháp đưa phương trình “tích”(hay cịn gọi phương pháp phân tích thành thừa số vế phương trình) Đưa phương trình... cường khả tư việc tìm tịi, nghiên cứu thêm kiến thức nâng cao, mở rộng Trên số kinh nghiệm thân việc bồi dưỡng cho học sinh kiến thức nâng cao, đặc biệt phương trình nghiệm nguyên Mặc dù kinh nghiệm