Giải toán hình học không gian phơng pháp toạ độ Ngời thực hiện:Lê Trung Tín Sở giáo dục & đào tạo hà tây Trờng THPT Chuyên Nguyễn Hụê Cộng hoà xà hội chủ nghĩa việt nam Độc lập Tự Do Hạnh Phúc đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2007 2008 I Sơ yếu lý lịch: - Họ tên: Lê Trung Tín - Ngày tháng năm sinh: 1/5/1976 - Năm vào ngành: 1998 - Chức vụ : Giáo viên , đơn vị công tác: Trờng THPT Chuyên Nguyễn Hụê - Trình độ chuyên môn: Thạc sĩ ngành Toán , Hệ đào tạo: Chính quy tập trung - Bộ môn giảng dạy: Toán Anh trình độ C Trình độ ngoại ngữ: Tiêng II Nội dung đề tài: 1- Tên đề tài: Giải toán hình học không gian phơng pháp toạ độ Lý chọn đề tài: Trong toán học nói chung hình học nói riêng phơng pháp chung để giải toán Mỗi phơng pháp có u, nhợc điểm riêng Với loại toán đòi hỏi phơng pháp cụ thể để giải cách đơn giản Sự đời phơng pháp toạ độ đà đơn giản hoá đợc phần lớn toán hình học không gian Thông qua phơng pháp toạ độ phơng pháp vectơ xây dựng thêm công cụ giải toán, cho phép đại số hoá hình học, hình học hoá đại số Giải toán hình học không gian phơng pháp toạ độ Ngêi thùc hiƯn:Lª Trung TÝn Víi häc sinh líp 12, em đà đợc làm quen với phơng pháp toạ độ, sử dụng phơng pháp toạ độ không gian để giải toán hình học không gian cách thuận tiện 3- Phạm vi , đối tợng, thời gian thực hiện: - Khách thể: Học sinh lớp 12 - Đối tợng nghiên cứu: Một số toán hình học không gian Phạm vi nghiên cứu: Các toán sơ cấp hình học không gian chơng trình PTTH - Thực đề tài tập học sinh lớp 12 chuyên Tin, 12 chuyên Pháp, 12 A4 năm học 2007 2008 III Quá trình thực đề tài: Tình trạng thực tế trớc thực đề tài: Trớc thực đề tài , đà khảo sát chất lợng học sinh thông qua kiểm tra viết sử dụng phơng pháp toạ độ không gian để giải toán hình học không gian Tôi đà tiến hành kiểm tra qua toán sau: Tìm lời giải phơng pháp toạ độ: Cho hình lập phơng ABCD ABCD cạnh a Tìm khoảng cách hai mặt phẳng (ABD) (CBD) 30% học sinh biết Dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ cho toạ độ điểm toán đợc thuận tiện 10% học sinh biết cách giải tập hoàn chỉnh tối u Chất lợng giải học sinh thấp, kĩ giải toán dạng yếu 2- Các biện pháp thực đề tài: Bíc 1: HƯ thèng ho¸ c¸c kiÕn thøc Bíc 2: Đa số ví dụ điển hình Bớc 3: Rèn luyện kĩ giải tập ứng cho học sinh thông qua số tập bổ sung nâng cao Gợi mở cho học sinh hớng phát triĨn, më réng – KÕt qu¶ thùc hiƯn đề tài: Tôi đà tiến hành kiểm tra qua toán sau: Tìm lời giải phơng pháp toạ độ: Cho hình vuông ABCD cạnh a Từ trung điểm H cạnh AB dung SH vuông góc với mp(ABCD) cho nhị diện cạnh AD hình chóp S.ABCD có số đo 600 a Tính SH khoảng cách từ H đến mp(SCD) Giải toán hình học không gian phơng pháp toạ độ Ngời thực hiện:Lê Trung Tín b Gọi K trung điểm cạnh AD Chứng minh CK SD tính số đo nhị diện (A, SD, C) c Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (SCK) Kết : 100% học sinh biết Dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ cho toạ độ điểm toán đợc thuận tiện 80% Phiên dịch từ toán hình học không gian sang ngôn ngữ toạ độ 75% học sinh biết cách giải tập hoàn chỉnh tối u III Những học kinh nghiệm kiến nghị sau thực đề tài Qua kết điểu tra khảo sát thực tiễn ta thấy giải toán hình học không gian, học sinh thờng không ý đến phơng pháp toạ độ tính u việt lúng túng giải phơng pháp toạ độ Do học sinh ngại giải toán không gian Vì vậy, để giúp học sinh có hứng thú học môn hình học không gian thấy đợc tính u việt phơng pháp toạ độ giải tập hình học không gian, thầy giáo cần đề giải pháp giải toán hình học không gian phơng pháp toạ độ - Lựa chọn toán quy toạ độ hệ toạ độ thích hợp - Dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ cho toạ độ điểm toán đợc thuận tiện - Phiên dịch từ toán hình học không gian sang ngôn ngữ toạ độ ngợc lại Nhận xét, đánh giá , xếp loại Hà Đông, ngày tháng năm 2008 Hội đồng khoa học sở Tác giả (Chủ tịch HĐ ký, đóng dấu) Giải toán hình học không gian phơng pháp toạ độ Ngời thực hiện:Lê Trung Tín Lê Trumg Tín Giải toán hình học không gian phơng pháp toạ độ Ngời thực hiƯn:Lª Trung TÝn Néi dung   - - - - - - Ch¬ng I Mét số kiến thức 1/ Hệ trục toạ độ Cho ba trục toạ độ xOx, z yOy, zOz vuông góc với đôi điểm O Gọi r r r i, j , k véctơ đơn vị tr r ơng ứng trục xOx, k j yOy, zOz rO Hệ ba trục toạ độ nh i gọi hệ trục toạ độ Đề vuông góc Oxyz x đơn giản toạ ®é Oxyz + Trơc Ox gäi lµ trơc hoµnh + Trơc Oy gäi lµ trơc tung + Trơc Oz gäi trục cao + Điểm O gọi gốc hệ toạ độ y 2/ Vectơ hệ toạ độ r + Cho hệ toạ độ Oxyz vectơ tuỳ ý v Vì ba r r r vectơ i, j , k không đồng phẳng nên có nhÊt bé ba sè x, r r r r y, z cho: v = xi + y j + zk r Bé ba sè (x; y; z) gäi toạ độ vectơ v , kí hiệu r r v( x; y; z ) hc v = ( x; y; z ) Sè x gäi lµ hoành độ, số y gọi tung r độ số z gọi cao độ vectơ v + Víi hai ®iĨm M ( x1 , y1 , z1 ) vµ M ( x2 , y2 , z2 ) th×: uuuuuur M 1M = ( x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) Giải toán hình học không gian phơng pháp toạ độ Ngời thực hiện:Lê Trung Tín ur uu r + NÕu cã hai vect¬ v1 = ( x1 , y1 , z1 ) vµ v2 = ( x2 , y2 , z2 ) th×: ur uu r (i) v1 + v2 = ( x + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ) ur uu r (ii) v1 − v2 = ( x − x2 , y1 − y2 , z1 − z2 ) ur (iii) kv1 = (kx1 , ky1 , kz1 ) ur uu r (iv) v1.v2 = x 1.x2 + y1 y2 + z1.z2 ur uu r (v) v1 ⊥ v2 ⇔ x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = ur (vi) TÝch cã híng cđa hai vect¬ v1 = ( x1 , y1 , z1 ) vµ uu r r v2 = ( x2 , y2 , z2 ) vectơ đợc xác định bởi: v ur uu r r y v1 , v2  = v     y2 z1 z1 , z2 z2 x1 x1 , x2 x2 y1  ữ y2 3/ Khoảng cách hai điểm Cho hai ®iĨm M ( x1 , y1 , z1 ) vµ M ( x2 , y2 , z2 ) , khoảng cách uuuuuur d M M độ dài vectơ M 1M : uuuuuur d = M 1M = ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) + ( z1 − z2 ) 2 4/ Chia đoạn thẳng cho trớc theo tỷ sè cho tríc §iĨm M ( x, y, x ) chia đoạn thẳng M 1M uuuuur uuuuur MM = k MM đợc xác định công thức: theo tØ sè k: x1 − kx2  x = 1− k  y1 − ky2  y = 1− k  z1 − kz2  z = 1− k Đặc biệt k= - 1, M trung điểm M 1M , toạ độ M là: Giải toán hình học không gian phơng pháp toạ độ Ngời thực hiện:Lê Trung TÝn x1 + x2  x =   y1 + y2  y =  z1 + z2  z =  5/ Gãc gi÷a hai vectơ ur uu r Góc hai vectơ v1 = ( x1 , y1 , z1 ) vµ v2 = ( x2 , y2 , z2 ) x¸c ®Þnh bëi: cos α = x1.x2 + y1 y2 + z1.z2 x11 + y11 + z11 x22 + y22 + z22 6/ Hai vect¬ cïng ph¬ng ur r uu r r Hai vect¬ v1 = ( x1 , y1 , z1 ) ≠ vµ v2 = ( x2 , y2 , z2 ) ≠ cïng ph¬ng với ukhi tồn số thực k cho: u r ur v2 = kv1 ⇔ ba định thức sau 0: y1 y2 z1 z1 , z z2 x1 x1 , x2 x2 y1 y2 7/ Phơng trình mặt phẳng a Khái niệm r r Một vectơ n đợc gọi vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( ) nằm đờng thẳng vuông góc với ( ) Mặt phẳng ( ) hoàn toàn xác định nÕu cho biÕt mét ®iĨm M ∈ (α ) vectơ pháp tuyến b Định lý Mỗi mặt phẳng tập hợp tất điểm có toạ độ thoả mÃn phơng trình dạng: Ax + By + Cz + D = ( A2 + B + C 0) Giải toán hình học không gian phơng pháp toạ độ Ngời thực hiện:Lê Trung Tín ngợc lại phơng trình dạng phơng trình mặt phẳng 8/ Phơng trình đờng thẳng r a Định nghĩa: Vectơ a vectơ phơng đờng thẳng (d) r r a ≠ ⇔ r a //(d ) b Phơng trình tổng quát đờng thẳng: Vì đờng thẳng (d) không gian xem giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) đó, nên phơng trình tổng quát (d) có dạng: A1 x + B1 y + C1 z + D1 = (d ) :   A2 x + B2 y + C2 z + D2 = ( 1) víi ®iỊu kiƯn ( 2) A1 : B1 : C1 ≠ A : B2 : C2 ®ã (1), (2) theo thứ tự phơng trình hai mặt phẳng (P) (Q) 9/ Phơng trình mặt cầu Trong hệ toạ độ Oxyz tập hợp điểm cách điểm I (a, b, c) cho trớc khoảng R>0 không đổi mặt cầu có phơng trình: ( x − a ) + ( y − b) + ( z − c ) = R Giải toán hình học không gian phơng pháp toạ độ Ngời thực hiện:Lê Trung Tín Chơng II Giải toán hình học không gian phơng pháp toạ độ I/ Hớng dẫn học sinh sử dụng ph ơng pháp toạ độ Để giải toán hình học nói chung hình học không gian nói riêng hải dựa vào yếu tố, quan hệ hình học, đồng phẳng, song song, vuông gãc, b»ng NÕu ta chän mét hÖ toạ độ thích hợp ta chuyển thể toán hình học sang toán đại số với số, chữ, vectơ với phép toán Với toán đại số có định hớng rõ ràng khả tìm đợc lời giải nhanh Để thực đợc điều đó, đòi hỏi học sinh phải có luyện tập, vận dụng kiến thức cần nắm đợc quy trình giải toán phơng pháp toạ độ thích hợp Bớc 1: Chọn hệ toạ độ thích hợp Bớc 2: Phiên dịch toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ Bớc 3: Dùng kiến thức toạ độ để giải toán Bớc 4: Phiên dịch kết toán từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữ hình học Trong bớc trên, bớc bớc học sinh hoàn toàn làm đợc nhờ kiến thức liên hệ hình học không gian hệ toạ độ đà biết, bớc học sinh sử dụng kiến thức hệ toạ độ cách sáng tạo để giải toán Buớc học sinh gặp khó khăn phơng pháp cụ thể Để khắc phục khó khăn đó, học sinh phải tập luyện phải biết dựa vào số dặc điểm toán Chọn hệ toạ độ cho gốc trùng với điểm cố định đà biết, dựa vào đờng thẳng vuông góc để gắn 10 Giải toán hình học không gian phơng pháp toạ độ Ngời thực hiện:Lê Trung Tín với trục toạ độ, điểm đà biết gắn với toạ độ đơn giản, thuận lợi II/Giải toán định lợng hình học không gian Đối với loại toán tính toán, không chuyển phơng pháp toạ độ khó khăn hầu hết sử dụng đến khoảng cách mà có phơng pháp toạ độ ta biểu diễn đợc khoảng cách cách đơn giản phơng pháp chung Ta thùc hiƯn theo c¸c bíc sau: Bíc 1: ThiÕt lËp hệ trục toạ độ thích hợp, từ suy toạ độ điểm cần thiết Bớc 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho giá trị cần xác định, thông thờng bao gồm: - Khoảng cách từ điểm đến đờng thẳng mặt phẳng - Góc, khoảng cách hai đờng thẳng chéo - Tính độ dài đoạn thẳng Chú ý: Với hình hộp chữ nhật ABCDABCD ta thờng thết lập hệ trục toạ độ dựa ba cạnh AB, AD AA tơng ứng với trục Ox, Oy, Oz Bài 1: Cho hình lập phơng ABCD ABCD cạnh a a Tính góc khoảng cách hai đờng thẳng AB AC b Gọi K trung điểm DD Tính góc khoảng cách đờng thẳng CK AD c Mặt phẳng (P) qua BB hợp với hai đờng thẳng BC, BD hai góc Tính góc z Giải A B Chọn hệ trục toạ độ Axyz với x B A C D D y11 C Giải toán hình học không gian phơng pháp toạ độ Ngêi thùc hiƯn:Lª Trung TÝn B ∈ Ax, D ∈ Ay A Az , đó: A ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0 ) , C ( a; a;0 ) , D ( 0; a;0 ) a A′ ( 0;0; a ) , B′ ( a;0; a ) , C ′ ( a; a; a ) , D′ ( 0; a; a ) uuur uuuu r Ta cã A′B ( a;0; −a ) & AC ′ ( a; a; a ) Gọi góc tạo bë A’B vµ AC’ ta cã: uuur uuuu r A′B AC ′ π cos α = uuuur uuuu r =0⇔α = A ' B AC ' Gäi d1 khoảng cách AB AC ta có: uuuur uuuur uuur  A ' B, A ' C  AA ' a   d1 = = uuuur uuuur  A ' B, A ' C    a  uuur  −a  uuuur  K 0; a ; , KC a ;0; b Ta cã:  ÷  ÷& A ' D ( 0; a; −a ) 2   Gọi góc tạo CK AD, ta cã: uuur uuuur KC A ' D cos β = uuur uuuur = 10 KC A ' D Gọi d2 khoảng cách CK A’D, ta cã: uuur uuuur uuur  KC , A ' D  , KD a   d2 = = uuur uuuur  KC , A ' D    c Ta cã BB’ lµ giao tuyÕn hai mặt phẳng (ABBA) (BCCB) nên: y = x − a = ⇔ ( BB ' ) :  x = a y = ( BB ') : Mặt phẳng (P) qua BB có d¹ng: r ( P ) : x − a + my = ⇔ ( P ) : x + my − a = ⇒ vtpt n ( 1; m;0 ) ur Vì (P) hợp với BC, BD (có vtcp lµ u1 ( 0;1;1) vµ gãc b»ng ( giả sử ) nên: sin = m ( m + 1) = 1− m ( m + 1) uu r u2 ( 1; −1;1) ) hai ⇔ m = − m ⇔ m + 4m − = ⇔ m = −2 ± Víi m = + ta đợc: 12 Giải toán hình học không gian phơng pháp toạ độ Ngời thực hiƯn:Lª Trung TÝn −2 sin γ = 2  ( ) − + 1  = −2 22 − 6 −2 = ( 4− 6) −1 = Víi m = ta đợc: sin = 6+2 ( )  − − + 1   = 6+2 22 + = 6+2 ( 4+ 6) = +1 Bµi 2: Cho tø diƯn ABCD cã gãc tam diƯn vu«ng đỉnh A, AB=a AC=b, AD=c a) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD b) Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mp(ABCD) Giải D Chọn hệ trục toạ độ Oxyz cho: A = (0;0;0); B = (a;0;0) C = (0; b;0); D = (0;0; c) g A I C y B a/ Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, giả sử toạ độ I I ( x; y; z ) a  x =  b Toạ độ điểm I là: Tacó  y =  c   z = * Xác định bán kính R z x a b c I = ( ; ; ) 2 2 a b c R = IA = + + = a + b2 + c 4 a b c VËy mỈt cầu ngoại tiếp tứ diện có tâm I = ( ; ; ) 2 2 a + b2 + c bán kính: R = 13 Giải toán hình học không gian phơng pháp toạ độ Ngời thực hiện:Lê Trung Tín b Phơng tr×nh mp(BCD): x y z x y z + + = ⇔ + + −1 = a b c a b c Gọi khoảng cách từ A đến mp(BCD) lµ h ta cã: 0 + + −1 abc a b c h= = = 1 1 1 a 2b + b c + c a ( )2 + ( )2 + ( )2 + + a b c a2 b2 c2 Vậy khoảng cách từ A đến mp(BCD) lµ: abc h= a 2b + b c + c a Bµi 3: Chøng minh hình lập phơng ABCD.ABCD có AC vuông góc với mặt phẳng (BCD) Giải z A Chọn hệ toạ độ nh hình vẽ B Giả sử hình lập phơng có cạnh a Ta có toạ độ điểm lµ: A A(0;0;0); B’(a;0;a); C(a;a;0); O D’(0;a;a); C’(a;a;a) B x Ta cã: uuuu r uuuu r AC ′ = ( a; a; a ) ; B′C = ( 0; a; − a ) uuuur D ' C = ( a;0; − a ) uuuu r uuuu r uuuu r uuuur AC ′.B′C = a.0 + a.a + a ( −a ) = ⇒ AC ' ⊥ B ' C ⇒ AC ' ⊥ B ' C uuuu r uuuur uuuu r uuuur AC '.D ' C = a.a + a.0 + a.(−a ) = ⇒ AC ' ⊥ D ' C ⇒ AC ' ⊥ D ' C Tõ (1) vµ (2) suy AC ' ⊥ ( B ' CD ') D’ C’ D y C (1) (2) Vậy suy điều phải chứng minh * Bài tập làm thêm Bài 1: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCDABCD đờng cao h Mặt phẳng (ABD) hợp với mặt bên (ABBA) góc Tính thể tích diện tích xung quanh hình lăng trụ 14 Giải toán hình học không gian phơng pháp toạ độ Ngời thực hiện:Lê Trung Tín Bài 2: Cho hình hộp ABCDABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, góc àA = 600 , BO vuông góc với đáy ABCD, cho BB=a a Tính góc cạnh bên đáy b Tính khoảng cách từ B, B đến mp(ACD) Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy Tính độ dài đoạn SA biết số đo góc nhị diện (B SC D) 1200 Bài 4: Cho hình vuông ABCD cạnh a Từ trung điểm H cạnh AB dung SH vuông góc với mp(ABCD) cho nhị diện cạnh AD hình chóp S.ABCD có số đo 600 d Tính SH khoảng cách từ H đến mp(SCD) e Gọi K trung điểm cạnh AD Chứng minh CK SD tính số đo nhị diện (A, SD, C) f Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (SCK) III/ Giải toán định tính hình học không gian phơng pháp chung Ta thực theo c¸c bíc sau: Bíc 1: ThiÕt lËp hƯ trơc toạ độ thích hợp, từ suy toạ độ điểm cần thiết Bớc 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho điểu kiện, từ suy kết cần chứng minh Bài 1: Cho tứ diện ABCD có cặp cạnh nhau: AB=CD=a; BC=AD=b; AC=BD=b Chứng minh đoạn thẳng nối hai trung điểm vủa z cạnh cặp cạnh đờng vuông góc chung cđa hai B g I Gi¶i A x C y gK D 15 Giải toán hình học không gian phơng pháp toạ độ Ngời thực hiện:Lê Trung Tín Gọi I, K lần lợt trung điểm AB CD  IK ⊥ AB Ta cÇn chøng minh:  IK CD Chọn hệ trục toạ độ Đề Oxyz cho A(0;0;0) Giả sử hệ trục toạ độ B = ( x1; y1; z1 ); C = ( x2 ; y2 ; z2 ); D = ( x3 ; y3 ; z3 ) Khi ®ã x y z x + x y + y3 z2 + z3 I = ( ; ; ); K =( 3; ; ) 2 2 2 uur x + x − x y + y − y z + z − z ⇒ IK = ( ; ; 1) 2 Theo gi¶ thiÕt, ta cã: uuu r AB = AB = a ⇔ x12 + y12 + z12 = a uuur AC = AC = b ⇔ x22 + y22 + z22 = b uuur AD = AD = c ⇔ x32 + y32 + z32 = c BC = c ⇔ BC = c ⇔ ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z2 − z1 ) = c Ta cã ⇔ a + b − 2( x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ) = c2 a2 + b2 − c2 ⇔ x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 2 T¬ng tù ta cịng cã: BD = b ⇔ BD = b a + b2 − c ⇔ x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 2 2 b +c −a vµ x2 x3 + y2 y3 + z2 z3 = uur uuu r x +x −x y + y3 − y1 z +z −z ⇒ IK AB = x1 + y + z1 2 16 Giải toán hình học không gian phơng pháp toạ độ Ngời thực hiện:Lê Trung TÝn x1 x2 + x1 x3 − x12 + y1 y2 + y1 y3 − y12 + z1 z2 − z12 2 2 2 a + b − c a + c − b2 × − a2 2 = =0 uur uuu r ⇒ IK ⊥ AB uur uuur Chøng minh t¬ng tù ta cã: IK ⊥ CD uur uuu r  IK ⊥ AB ⇒  uur uuur  IK ⊥ CD ⇒ IK đờng vuông góc chung cặp cạnh đối diện AB CD Chứng minh tơng tự ta có IK đờng vuông góc chung cặp đối diện lại ĐPCM = Bài 2: Cho hình lập phơng ABCD ABCD cạnh a Trên BD AD lần lợt lấy hai điểm thay đổi M,N cho DM = AN = x (0 ≤ x ≤ a 2) CMR: MN song song với mặt phẳng cố định Giải Chọn hệ trục toạ độ Oxyz cho: A = (0;0;0); B = (a;0;0) D = (0; a;0); A′ = (0;0; a) Khi ®ã z C = ( a; a;0) A’ D′ = (0; a; a) Gäi M = ( x1; y1; z1 ), N = ( x2 ; y2 ; z2 ) B’ A x B D C N M D y 17 C Giải toán hình học không gian phơng pháp toạ độ Ngêi thùc hiƯn:Lª Trung TÝn uuur uuu r BC = (0; a;0); BA = (−a;0;0); r Ta cã: uuuu MN = ( x2 − x1; y2 − y1; z2 − z1 ) Vặt khác theo giả thiết: DM = AN = x Đặt k = (0 x a 2) x a (0 ≤ k ≤ 1)  x1 − a = k (−a )  x1 = a − ka uuuur uuur   DM = k DB ⇔  y1 = ka ⇔  y1 = ka z = z =    x2 = ka uuur uuuu r  AN = k AD′ ⇔  y2 =  z = ka  uuur uuur uuuu r XÐt D ( BC , BA ', MN ) = a ( −a ) ( z2 − z1 ) + ( y2 − y1 ) + ( x2 − x1 ) 0.a − ( x2 − x1 ) ( −a ) − a ( y2 − y1 ) a − 0.0 ( z2 − z1 ) = −a ( z2 − z1 ) − a ( y2 − y1 ) = −a ( z2 − z1 − y2 + y1 ) = −a2 ( ka − − − ka ) uuur uuur uuuu r =0 Suy BC , BA ', MN luôn đồng phẳng Suy MN luôn song song với (ABCD) cố định Bài 3: Cho tứ diện DABC góc tam diện đỉnh D vuông Gọi O tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện Chứng minh ( ) mặt phẳng qua O khoảng cách từ D xuống ( ) tổng đại số khoảng cách A, B, C xuống ( ) z Giải Chọn hệ trục toạ ®é Oxyz A vu«ng gãc cho: D Gäi O tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện toạ ®é cđa O O C y B x 18 Gi¶i toán hình học không gian phơng pháp toạ độ Ngời thực hiện:Lê Trung Tín b c a là: O ; ; ữ 2 Mặt phẳng ( ) qua O có dạng: β x + γ y +η z + d = Không tính tổng quát giả sử d Do ( α ) qua O nªn: b c a + γ +η + d = 2 β b + γ c + η a + 2d = ( 1) β ⇔ KÝ hiÖu hD , hA , hB , hC tơng ứng khoảng cách từ D, A, B, C xuống mặt phẳng ( ) Theo công thức tính khoảng cách ta cã: hD = hB = hA = hC = d β + γ +η 2 βa + d β + γ +η ηa + d β + γ +η 2 γc+d β + γ +η 2 = ⇒ ⇒ ⇒ d β + γ +η 2 βa + d β + γ +η ηa + d β + γ +η γc + d β + γ +η 2 , ( 2) = hB Sgn ( β a + d ) , ( 3) = hA Sgn ( η a + d ) , ( ) = hC Sgn ( γ c + d ) , ( ) Céng trõ vế (3), (4), (5) ta đợc: b + c + η a + 3d β + γ +η = Sgn ( η a + d ) hA + Sgn ( β b + d ) hB + Sgn ( γ c + d ) hC ( 6) Tõ (1), (2), (6) suy ra: hD = Sgn ( η a + d ) hA + Sgn ( β b + d ) hB + Sgn ( c + d ) hC Điều chứng tỏ hD tổng đại số hA , hB , hC 19 Giải toán hình học không gian phơng pháp toạ độ Ngời thực hiện:Lê Trung Tín  Chó ý: Sgn( x) = 0  −1  x>0 x=0 x