Sáng kiến kinh nghiệm SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VÉCTƠ VÀ TỌA ĐỘ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP THƯỜNG GẶP A ĐẶT VẤN ĐỀ: Dựa vào phương pháp toạ độ phát minh Descartes sáng lập môn hình học giải tích Qua cho phép nghiên cứu hình học ngôn ngữ đại số thay cho ngôn ngữ hình học.Việc giúp ta bỏ thói quen tư cụ thể, trực quan, nhằm đạt tới đỉnh cao khái quát hoá trừu tượng toán học nhiều lónh vực khác Trong dạy học toán việc lựa chọn công cụ phù hợp để giải toán việc làm cần thiết, chọn công cụ thích hợp tất nhiên lời giải tốt Sau xin trình bày việc sử dụng“phương pháp vectơ toạ độ” để giải số toán sơ cấp ơ’ phổ thông B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ PHẦN I: LÝ THUYẾT Trang Sáng kiến kinh nghiệm I HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ DESCARTES VUÔNG GÓC TRONG MẶT PHẲNG Định nghóa: Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng x’ox, y’oy vuông góc với   nhau.Trên Ox, Oy chọn véc tơ đơn vị e1 , e2 Như ta có hệ trục toạ độ Descartes vuông góc Oxy Toạ độ điểm véc tơ: Cho điểm M mp Oxy Hạ MH vuông góc x’Ox MK vuông góc y’Oy Theo qui tắc hình bình hành, ta coù:    OM OH   OK  xe1  ye2 Bộ hai (x, y) hoàn toàn xác định điểm M gọi toạ độ điểm M, ký hiệu M(x, y)    Cho a hệ trục Khi tồn điểm M cho OM a Gọi (x,y) toạ độcủa điểm M Khi hai (x,y) gọi toạ độ véc tơ a hệ trục Oxy ký hiệu a = (x,y) Các phép tính véc tơ :   Cho hai véc tơ a (a1 , a2 ) ; b (b1 , b2 ) k số thực Các phép tính véc tơ phép cộng, phép trừ, phép nhân số với véctơ, tích vô hướng haivéc tơ xác định sau:  a  b (a1  b1 , a2  b2 )   a  b (a1  b1 , a2  b2 )  k.a (ka1 , ka1 )  a.b a1b1  a2b2 Các công thứ  c lượng: Cho hai véc tơ a (a1 ; a2 ) ; b (b1 ; b2 ) gọi  góc tạo hai véctơ      a.b  a b vaø a b hai véctơ hướng   a b a1.b1  a2 b2 cos      ab a12  a2 b12  b2 Khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến đường thẳng (D):Ax +By +C = : d ( M , D)  Axo  Byo  C A2  B Phương trình đường thẳng, đường tròn Trang Sáng kiến kinh nghiệm  * Phương trình đường thẳng (D) qua điểm M(x 0, y0) nhận véctơ n ( A, B ) làm véc tơ pháp tuyến là: A(x – x0) + B(y – y0) = * Phương trình đường tròn tâm I (a, b) bán kính R là: (x – a)2 + (y – b)2 = R II.HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ DESCARTES VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Định nghóa : Trong không gian cho ba đường thẳng x’ox, y’oy, z’Oz vuông góc với  đôi Trên Ox, Oy, Oz chọn véc tơ đơn vị e1 , e2 , e3 Như ta có hệ trục toạ độ Descartes vuông góc Oxyz Toạ độ điểm véc tơ Cho điểm M kh ông gian Oxyz Hạ MH vuông góc x’Ox, MK vuông góc y’Oy ML vuô  nggóc z’Oz  Theo qui tắc hình hộp, ta có : OM OH  OK  OL    xe1  ye2  ze3 Boä ba (x,y,z) hoàn toàn xác định điểm M gọi toạ độ điểm M, ký hiệu M(x,y,z)    Cho a Khi tồn điểm M cho OM a Gọi (x, y z) toạ độ củ  a điểm M Khi ba (x, y, z) gọi toạ độ véc tơ a hệ trục Oxyz ký hiệu a = (x,y,z) Các phép tính véc tơ :   Cho hai véc tơ a (a1 , a2 , a3 ) ; b (b1 , b2 , b3 ) vaø k số thực Các phép tính vectơ phép cộng, phép trừ, phép nhân số với vectơ, tích vô hướng, tích có hướng hai xác định sau:  vectơ  a  b (a1  b2 , a2  b2 )   a  b (a1  b1 , a2  b2 )  k.a (ka1 , ka1 )  a.b a1b1  a2b2  a a a a aa  a.b  ( , , )   b2 b3 b3 b1 b1 b2 Các công thức lượng :   Cho hai vectơ a (a1 , a2 , a3 ) ; b (b1 , b2 , b3 ) gọi  góc tạo hai vectơ       a.b  a b ch ỉ a b hai vectơ hướng Trang Sáng kiến kinh nghiệm   a b  a b  a b a.b cos      21 22 2 32 ab a1  a2  a3 b1  b2  b3  Cho (D) đường thẳng qua A có vectơ phương a (a1, a2 , a3 ) điểm  M Giả sử ta tính AM (b1,b2 , b3 ) Khi khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (D) tính : a2 a3 d ( M , D)  2 a a aa   b2 b3 b3 b1 b1 b2 a12  a2  a32 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng mặt cầu a Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(x 0,y0,z0) có cặp vectơ  phương a (a1 , a2 , a3 ) ; b (b1 , b2 , b3 ) laø :  a2 a3 a a aa ( x  x0 )  ( y  y0 )  ( z  z0 ) 0 b2 b3 b3 b1 b1 b2 b Phương trình tham số đường thẳng (D) qua điểm M(x 0,y0,z0) v nhận vectơ a (a1 , a2 , a3 ) làm vectơ phương là:   x x0  a1t   y  y0  a2t  z z  a t  (t tham số) c Phương trình mặt cầu t âm I (a, b,c) có bán kính R : (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R PHẦN II : CÁC BÀI TOÁN III CÁC BÀI TOÁN GIẢI BẰNG PPTĐ TRONG MẶT PHẲNG: CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ: Bài 1: Cho số thực x1, x2, x3, x4 chứng minh (x12 +y12)(x22 +y22) (x1 x2+ y1 y2)2 Giải:   Trên mặt phẳng toạ độ xét vectơ : a ( x1 , y1 ); b ( x2 , y2 )      2   Ta coù a b  a.b  a b (a.b) vaäy (x12 +y12) (x22 +y22) (x1 x2+ y1 y2)2 Trang Sáng kiến kinh nghiệm   đẳng thức xãy  a // b  x1 y2 x2 y1 Bài 2: Chứng minh x, y, z > x  xy  y  x  xz  z  y  yz  z Giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: y z y z 3 ( x  )2  ( y )  ( x  )2  ( z )  (  )2  ( y z ) (1) 2 2 2 2 Xeùt ñieåm A( x  y , 3 y z z) ; B(0, y  z ) ; C (  ,0) 2 2 2 (1)  AB + AC > BC Ta coù AB  AC BC với điểm A, B, C  y y)  AB ( x  ,  2   AC ( x  z ,  z )  2 Hai véctơ ngược hướng (vì hoành độ âm) xãy đẳng thức AB + AC > BC Vậy bất đẳng thức (1) chứng minh Bài Giải bất phương trình: x   x   2( x  3)  x  2(1) Giải Điều kiện x 1 Xét mặt phẳng toạ độ Oxy vectơ:  u ( x  3, x  1)  v (1,1)   u  ( x  3)  x     v    u.v  x   x      Suy bất phương trình (1) tương đương u.v  u v Trang Sáng kiến kinh nghiệm    u v  x 3 x Baøi  x  x  x    x 3  x  x  10 0   x 3   x 5     x 2  x 3   x 5 Vậy x=5 nghiệm Chứng minh raèng: cos x   sin x   cos x , x  R Giải Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, vectơ:  a (cos x,1)    a  b (cos x,0)  b  (sin x ,1)  Khi đó, từ     a  b a  b  cos x   sin x   cos x  (dpcm) Bài Tìm giá trị nhỏ hàm số: y  f ( x)  cos x  2cos x   cos x  4cos x  Giải Trong mặt phẳng toạ độ xét véctơ:  a (1  cos x,2)  b (2  cos x,2)   a  (1  cos x)  22  cos x  2cos x    2 Khi :  b  (2  cos x)   cos x  4cos x     a  b  32  42 5  Trang Sáng kiến kinh nghiệm     a  b a b từ y 5 Dấu “=” xảy (chẳng hạn) x  2 Vậy miny=5 Bài : T ìm giá trị nhỏ biểu thức y  x  px  p  x2  2qx  2q ( p q) Gi aûi Ta c où y  ( x  p)  p  ( x  q )  q Trên mp toạ độ lấy hai điểm A(p, q) : B(q,q) Bài toán trở thành: Tìm M(x,0) thuộc Ox cho (MA +MB) đạt giá trị nhỏ Xét hai trường hợp: - Nếu pq 0 A, B nằm phía O (đồng thời nằm phía Ox) Lấy A’ đối xứng với A qua Ox ta có A’(p, -p), đồng thời : MA  MB MA ' MB  A ' B Đẳng thức xãy  A’, M, B thẳng hàng    x  p k (q  p)  A ' M k A ' B    p k (q  p) p  k  p  q    x  pq  pq ymin  A ' B  ( p  q)2  ( p  q)2  2( p  q ) đạt x = 2pq/(p+q) B y A x O A ’ M Trang Sáng kiến kinh nghiệm Bài Giải phương trình: x  x   x  12 x  25  x  12 x  29 Giaûi Trong mặt phẳng toạ độ Oxy xét vectơ:    u ( x  1,1)  u  v (3x  2,5)  v (2 x  3, 4)   u  x2  2x      v  x  12 x  25    u  v  x  12 x  29  Suy phương trình (1) tương đương:     u v u  v    u kv( k  0)  x  k (2 x  3)  1 k  k    x   (2 x  3)   k   4 x  2 x   k   x 7  Vậy phương trình (1) có nghiệm x  Bài 8:Tìm m để phương trình sau có nghiệm 3 x   x  (3  x)(6  x) m Giải Đặt u   x ; v   x Phương trình cho trở thành Trang Sáng kiến kinh nghiệm u  v 1  10  2m (1)  2 (2) u  v 9  (3) u 0, v 0 - Phương trình (1) biểu thị đường thẳng thay đổi song song với đường phân giác thứ hai, phương trình (2) biểu diễn đường tròn có tâm góc toạ độ bán kính = u  v  uv m  2  u  v 9 u 0, v 0  Trang Saùng kiến kinh nghiệm Hệ có nghiệm đường thẳng (1) đường tròn (2) có điểm chung thoả điều kiện (3) 1  10  2m 3 Vậy Pt có nghiệm  2 m 3 Bài 9: Chứng minh rằng: a  a   a  a  2, a  R (Hướng dẫn) Xét hai vectô   3  x  a  ,  2      3   y   a  ,      2cos x   2sin x m Bài 10: Tìm giá trị nhỏ hàm số : y  f ( x)  cos x  6cos x  13  cos2 x  2cos x   2004 , 2006  (Hướng dẫn) Xét hai vectô   a (3  cos x, 2)  b (1  cos x,1) CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC : Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A, cạnh góc vuông bvà c, M điểm cạnh BC cho góc BAM =  Chứng minh rằng: AM = bc c.cos   b sin  Giải y Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ Khi A(0,0) , B(b,0), C(0,c) , M9x,y) c Từ định nghóa: x = AM cos  , y = AM sin  Neân M(AM cos  ,AM sin  )  Do M thuoäc BC  CM phương v ới CB M Trang 10 y O B x X Sáng kiến kinh nghiệm AM cos  AM sin  0 b c  AM (c cos   b sin  ) bc bc  AM  c cos   b sin   Bài 2: Cho tam giác ABC có độ dài trung tuyến va độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp ma , mb , mc , R 9R Chứng minh: ma  mb  mc  (Đại học y dược TPHCM năm2000) Giải A c B O a b C Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giac ABC.Ta có:    (OA  OB  OC ) 0     OA2  OB  OC  2(OA.OB  OB.OC  OC.OA) 0  3R  R (cos A  cos B  cos 2C ) 0   2(3  2sin A  2sin B  2sin C ) 0  sin A  sin B  sin C  Do theo bất đẳng thức Bunhiacopski: ma  mb  mc  3(ma2  mb2  mc2 ) Trang 11 Sáng kiến kinh nghiệm  (a  b2  c )  9(sin A  sin B  sin C ).R 9  .R  R  ma  mb  mc  R Dấu”=” xảy tam giác ABC Bài 3: (SGK HH 10) Cho tam giác ABC cân A Gọi H trung điểm BC, D hình chiếu H AC , M trung điểm HD Chứng minh AM vuông góc BD Giải Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ Khi đó: H(0,0), A(0,a), B(-c,0), D(x,y) Y A B Ta coù : M O=H D C x    DH  AC ( x,  y )(c,  a) 0     AD cung phuong AC   x y  a 0 c  a  Trang 12 Saùng kiến kinh nghiệm  a 2c x   a  c2   y  c a  a2  c2  cx  ay 0   ax  cy ac a 2c c2 a , ) , M trung điểm HD nên: Vậy D( a  c2 a2  c2 a 2c c2 a M( , ) 2(a  c ) 2(a  c )   2a 2c  c3 c2 a a 2c -c2 a  2a  BD AM ( 2 , 2 )( 2 , ) a  c a  c 2(a  c ) 2(a  c ) 2a 4c  a 2c -c4 a  2a 4c   0 2(a  c ) 2(a  c ) Vậy BD Vuông góc AM (đpcm) Bài (Đề thi HSG toàn quốc – Năm 1979) Điểm M nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh giá trị MA4 + MB4 + MC4 không phụ thuộc vào vị trí M Giải Gọi I,R tâm bán kính đường tròn (c) ngoại tiếp tam giác ABC Dựng hệ trục hình vẽ, ta có A(0,0); B( 3R R 3R  R , ); C ( , ); I ( R,0) 2 2 M ( x, y)  (C )  MI R  MI R  x  y 2 Rx  3R R 2 MA  MB MC ( x  y )   ( x  ) (y  )  2   Ta coù 4 2  3R R 2   (x  ) (y  ) 2   (2 Rx)2  (3R  Rx  R y)2  (3R  Rx  R y ) 6R x  R y 18R  12R x 6R ( x  y ) 18R  12R x 6R 2Rx 18R  12R x 18R Vậy giá trị MA4 + MB4 + MC4 không phụ thuộc vào vị trí M B ài (Đ ề thi v ô đ ịch Anh - n ăm 1981) Trang 13 Sáng kiến kinh nghiệm Cho tam giác ABC cân A D trung điểm cạnh AB, I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, E trọng tâm tam giác ACD Chứng minh IE vuông góc CD Gi ải Chọn hệ trục hình vẽ (O trung điểm BC) Khi : O(0,0); A(0,a); B(-c,0); C(c,0); D(-c/2, a/2); E(c/6,a/2),(a,c>0) Gọi I(x, y) Giả thiết suy   y c a   DI  BA ( x  , y  ).(c, a) 0   2   A OI  BC ( x, y ).(2c, o) 0  x 0 D   a2  c2 E y  2a  I a2  c2 ) V aäy I (0, 2a   c c 3c a c c  IE.DC ( , )( ,  )   0 2a 2 4  IE  DC (dpcm) B O IV CÁC BÀI TOÁN GIẢI BẰNG PP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CÁC BÀI ĐẠI SỐ: Bài 1:Giải hệ phương trình  x  y  z 1  2  x  y  z 1  3  x  y  z 1 Giaûi    2 Xét hai véc tơ u ( x0 , y0 , z0 ) ; v ( x0 , y0 , z0 ) u ( x0 , y0 , z0 ) Là nghiệm tuỳ ý(nếu có) hệ cho 3 Ta có u.v x0  y0 z0 1  2 2 2 Ngoài tính u 1 ; v   2( x0 y0  y0 z0  z0 x0 1     u v   u.v Vaäy    Do ñoù u.v  u v Trang 14 x C Sáng kiến kinh nghiệm  x0 y0 1  y z 1   0 Dấu xãy  z0 x0 1  x  y  z 1 0   x0 1  x0 0  x0 0    Từ suy  y0 0 ;  y0 1 ;  y0 0  z 0  z 0  z 1    Thử lại ta hệ cho có nghiệm (1,0,0) ; (0,1,0) : (0,0 ,1) Bài : Giải bất phương trình: x   x   50  x 12 Giaûi   x   3 50  Điều kiện:  x   x  2  50   x  Trong mặt phẳng Oxy xét vectơ:  u (1,1,1)  v ( x  1, x  3, 50  x )  u      u  x   x   50  3x  48 4   u.v  x   x   50  x     Suy ra(1)  u.v  u v Đẳng thức Vậy nghiệm bất phương trình cho Bài    Giải hệ:     x yz 3 x2  y2 z 3(1) x3 y3 z33 Trang 15 50  x  a2 Saùng kiến kinh nghiệm Giải Xét Không gian Oxyz vectô:  u ( x, y , z )  v (1,1,1)   u  x2  y2  z     u    u.v x  y  z 3      u.v  u v    u v x y z    0 1  x  y  z 1 (Thoả (1) Vậy: x=y=z=1 nghiệm hệ (1) Bài : Cho a, b hai số thực tuỳ ý Chứng minh  (a  b)(1  ab)   (1  a )(1  b2 ) Giải Trong không gian với hệ trục toạ độ Đề - vuông góc Oxyz, đặt  u (1, a,0)  v (1,  b,0)    ab cos(u, v)   a  b2    a b  sin(u, v)   a  b2        2(1  ab)(a  b) 1 ta coù sin 2(u, v)  2sin(u, v).cos(u, v)  2 (1  a )(1  b ) (a  b)(1  ab)     (1  a )(1  b ) Baøi CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Trang 16 Sáng kiến kinh nghiệm Cho tam diện oxyz A, B, C điểm di động ox, oy, oz cho: 1 1    OA OB OC 2005 Chứng minh rằng: (ABC)luôn qua điểm cố định Giải z o x y B A Chọn hệ trục toạ độ vuông góc oxyz (như hình vẽ ) Sao cho: A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)(với OA=a,OB=b,OC=c) Khi phương trình mặt phẳng (ABC) là: x y z   1 a b c Hơn nữa: 1 1    (Do giả thiết) a b c 2005  M (2005,2005,2005)  mp( ABC ) =>mp(ABC)luôn qua điểm cố định M(2005,2005,2005) Bài 2:Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với AB = a, BC = b, AA’ = c a/ Tính diện tích tam giác ACD’ theo a, b, c b/ Giả sử M N trung điểm AB BC Hãy tính thể tích tứ diện D’DMN theo a, b, c Giải a/ Ta lập hệ trục toạ độ vuông góc có gốc trùng với đỉnh A, trục có phương trùng   với AB ; AD ; AA ' Khi : A(0,0,0) , C(a,b,0) , D’(0,b,c)  Trang 17 Sáng kiến kinh nghiệm    AC (a, b,0); AD ' (0, b, c);[ AC , AD] (bc,  ca, ab)  S  [ AC , AD] ACD' A’  b c  c a  a 2b 2 b/ Dễ dàng tính B’ 3ab S  DMN B abc V  S DD '   DMN D’ C’ D C Baøi 3:Cho hai nửa mp (P) (Q) vuông góc với theo giao tuyến (d) Trên (d) lấy AB = a (a độ dài cho trước) Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với (d) a2 (Q) lấy điểm N cho BN = b a/ Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BMN) theo a, b b/ Tính MN theo a , b Với giá trị b MN có độ dài cực tiểu Tính độ dài cực tiểu Giải a/ Chọn hệ trục toạ độ Oxyz cho A trùng với gốc toạ độ (A(0,0,0)): B có toạ độ a2 (0,a,0); N có toạ độ ( , a, ) Ta coù b  BM (0, a, b)  a2 BN ( ,0,0) b b ab a b , [ BM , BN ] ( , ) (0, a ,  a ) a a 0 0 b b a (0,1,  1)  Do mp(BMN) qua B(0,a,0) có VTPT v (0,1,  1)  Phương trình mặt phẳng là: (y – a).1 – (z – 0) = hay y – z - a = Khoảng cách từ A(0,0,0,) đến mặt phẳng laø : z M a a  1  a2 a4 b/ Ta coù MN ( , a,  b)  MN   a  b b b b A b B N Trang 18 x Y Sáng kiến kinh nghiệm MN  a  2a (bất đẳng thức Côsi) a4 a  b  b a b MN có độ dài cực tiểu MinMN a b a Bài 4: Cho góc tam diện ba mặt vuông góc Oxyz Lấy Ox, Oy,Oz điểm P, Q, R khác điểm O Gọi A, B, C trung điểm PQ, QR, RP Chứng minh góc nhị diện cạnh OA tứ` diện OABC góc nhị diện vuông hai góc B C tam giác ABC thoả hệ thức tgB.tgC = Giải Chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxyz cho P(2a,0,0) ; Q(0,2b,0) ;R(0,0,2c) Khi đó: A(a,b,0) ; B(0,b,c) ; C(a,0,c) Pháp véc tơ mặt phẳng (OAB) (OAC) là:  n1 (bc,  ac, ab)  n2 (bc,  ac,  ab) Góc nhị diện cạnh OAvuô  ng khi: n1.n2 0  b2c  a c a 2b Trong tam giaùc ABC ta coù: b c  a c  a 2b a2 b c  a c  a 2b tgC  b2 b c  a c  a b 2a b  2 2(dpcm) Vaäy tgB.tgC  a 2b ab tgB  Bài 5: Cho tam giác vuông goc A.tìm quỹ tích điểm M không gian thoả mãn : MB  MC MA2 Giải z A,O x B C y Trang 19 Sáng kiến kinh nghiệm Chọn hệ trục toạ độ Đề Oxyz cho A trùng O, B(b,0,.0),C(0,c,0) ( Với AB =b>0,AC=c>0) Khi M(x, y, z) thoả : MB  MC MA2  ( x  b)  y  z  ( y  c )  z  x  y  z  ( x  b)  ( y  c)  z 0  x b    y c  z 0   M (b, c, 0) Vậy quỹ tích cần tìm có điểm M(b,c,0) C KẾT LUẬN Trên số toán đại số hình học mặt phẳng không gian Nếu khéo léo chọn hệ trục toạ độ phù hợp, vận dụng phương pháp vectơ toạ độ chuyển thành toán đại số giải tích tìm lời giải ngắn gọn, phần làm sáng tỏ vấn đề mà đưa Trong trình viết, thời gian kinh nghiệm giảng dạy có hạn nên không tránh khỏi nhiều thiếu sót, mong thầy cô góp ý Tôi xin chân thành cảm ơn Long Thành, tháng 12 năm 2005 Người viết Nguyễn Đức Năng Trang 20 ... trình đường thẳng, đường tròn Trang Sáng kiến kinh nghiệm  * Phương trình đường thẳng (D) qua điểm M(x 0, y0) nhận véctơ n ( A, B ) làm véc tơ pháp tuyến laø: A(x – x0) + B(y – y0) = * Phương... Trang 10 y O B x X Saùng kiến kinh nghiệm AM cos  AM sin  0 b c  AM (c cos   b sin  ) bc bc  AM  c cos   b sin   Bài 2: Cho tam giác ABC có độ dài trung tuyến va độ dài bán kính đường... nghiệm tu? ?? ý(nếu có) hệ cho 3 Ta coù u.v x0  y0 z0 1  2 2 2 Ngoài tính u 1 ; v   2( x0 y0  y0 z0  z0 x0 1     u v   u.v Vaäy    Do u.v  u v Trang 14 x C Sáng kiến kinh