Chuyên đề: SỐ PHỨC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỔNG QUÁT Phương pháp o Bước 1: Gọi số phức z cần tìm z  a  bi   a, b    o Bước 2: Biến đổi theo điều kiện cho trước đề (thường liên quan đến mơđun, biểu thức có chứa z, z, z , ) để đưa phương trình hệ phương trình ẩn theo a b nhờ tính chất số phức ( phần thực phần ảo ), từ suy a b suy số phức z cần tìm MỘT SỐ BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH Bài tốn Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp tính mơđun số phức z : a )  z  2  4i   2i 1  3i  b) z  2  4i 5  2i   Giải:  a) z  2  4i   2i 1  3i    4i  2i  6i   6i    6i  Phần thực: ; Phần ảo: ; Số phức liên hợp: z   6i Môđun z  82  62  10 4  5i 2  i   5i  10  i 20 i i2  2i 22  12  14i  93 94                                            18  16i    i 5 b)  z  2  4i 5  2i    Phần thực: 93 94 93 94 ; Phần ảo: ; Số phức liên hợp: z   i 5 5 2  93   94  17485 Môđun z            Bài toán Cho số phức z   2i Tìm môđun số phức w  zi  z 1  2i  Giải: w  zi  z 1  2i   (3  2i )i  (3  2i )(1  2i )                          3i    6i  2i    7i Vậy w  52  72  74 Trang  5i 2i Bài toán Gọi M, N hai điểm biểu diễn số phức z1, z2 mặt phẳng phức Mệnh đề sau đúng?    A z1  z  OM  ON                 B z1  z  MN     C z1  z  OM  MN                D z  z  OM  MN Giải: M, N hai điểm biểu diễn số phức z1, z2 mặt phẳng phức   nên OM biểu diễn số phức z ,ON biểu diễn số phức z     OM ON  NM biểu diễn số phức z1  z2    z1  z  NM  MN Chọn B Bài toán Cho ba số phức z 1,  z ,  z phân biệt thỏa mãn z  z  z  1   Biết z1 z2 z3 z 1,  z ,  z biểu diễn điểm A,  B,  C mặt phẳng phức Tính góc ? ACB A 60 B 90 C 120 D 150 Giải: Gọi M điểm biểu diễn số phức z , N điểm biểu diễn số phức z (z số phức liên hợp z ) Khi M N đối xứng qua Ox Gọi A ',  B ',  C ' điểm biểu diễn số phức z 1,  z ,  z Từ giả thiết z z z 1     2   z  z  z (do z  z  z  ) z1 z z3 z1 z2 z3    Suy OA  OB '  OC '  OA 'C ' B ' hình bình hành     Mà OA  OB '  OC '  OA 'C ' B ' hình thoi với A 'C ' B '  1200   120 (do ACB  A  Vậy ACB 'C ' B ' đối xứng qua Ox ) Chọn C Bài toán Tìm phần thực, phần ảo số phức sau:  1  i   1  i   1  i    1  i  Giải: Trang 20 1  i  21 P   1  i   1  i    1  i   20 1 i 20 2 10  1  i   1  i   1  i   2i  1  i   210 1  i    210 1  i   P   210  210  i i Vậy phần thực 210 phần ảo 210  21   Bài tốn Tính S  1009  i  2i  3i   2017i 2017 Giải: Cách 1: S  1009  i  2i  3i  4i   2017i 2017   2i     1009  4i  8i   2016i 2016  i  5i  9i   2017i 2017  10  6i  10i   2014i 2014   3i  7i  11i   2015i 2015 504 505 504 504 n 1 n 1 n 1 n 1 11   1009   4n   i  4n  3   4n  2  i  4n  1  1009  509040  509545i  508032  508536i  2017  1009i Cách 2: Đặt f x    x  x  x   x 2017  f  x    2x  3x   2017x 2016  xf  x   x  2x  3x   2017x 2017 1 Mặt khác: f x    x  x  x   x 2017   2018x 2017 x  1  x 2018  x 2018    f  x   x 1 x  1                                                               xf  x   x  x  1 Thay x  i vào 1 2 ta được: (1)  S  1009;  (1)=(2) , nên: S  1009  i    1009  i 2018  2018i   2017  1009i 2018i 2017 i  1  i 2018  2i i  1 Bài toán Cho số phức z     1  i Tính w  1  z   z  z  z 2017  Giải : Ta có z    z  z   1  i     z 1      Trang   2018x 2017 x  1  x 2018     2   z 3k    Do với k   , ta có z 3k 1  z    z 3k 2  z     z 3k    z 3k 1   z  z   z 3k 2   z  z Vì từ đến 2017 có: 673 số chia dư , 672 số chia dư , 672 số chia hết      w  1  z   z  z  z 2017  2672 z  672   z 673  2672.z 2018  2672.z 3.6722 1    2672.z  2672 1  z   2672   i   2671  3i  2    Bài tốn Tìm số z cho: z  (2  i)z   5i     (A,A1  2014) Giải: Gọi số phức z cần tìm z  a  bi   a, b    Ta có: z  (2  i )z   5i     a  bi  (2  i )(a  bi )   5i  a  bi  2a  2bi   bi   5i                                             3a  b  (a  b )i   5i 3a  b  a 2                                                  z   3i     a  b  b       Bài tốn Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: z  (2  i )  10 z z  25 Giải: Gọi số phức cần tìm z  a  bi   a, b    Ta có: z z  z  a  b  25     (1) Lại có: z  (2  i )  10  a  2  b  1  10  a  b  4a  2b   0   2 2 Thay (1) vào (2) ta được: 25  4a  2b   10  b  2a  10 a  Nên  a  b  25  a  (2a  10)2  25  5a  40a  75     a3  Vậy z  z   4i Bài tốn 10 Tìm số thực a, b, c cho hai phương trình az  bz  c  0,   cz  bz  a  16  16i  có nghiệm chung z   2i Giải Theo giả thiết phương trình az  bz  c  có nghiệm z   2i đó: Trang b   b   3a  b  c  a 1  2i   b 1  2i   c   3a  b  c  4a  2b i    4a  2b  Tương tự phương trình cz  bz  a  16  16i  có nghiệm z   2i đó: 1 c 1  2i   b 1  2i   a  16  16i   c 3  4i   b  2bi  a  16  16i   a  b  3c  16   a  b  3c  16  b  2c  8 i    2   b  2c     Từ 1, 2 suy a, b, c   1; 2;5 Bài toán 11 _ Cho z z số phức liên hợp z Biết z  z   z  z  Tìm z Giải : _    z  a  bi  a  bi   a  bi   2bi  Gọi z  a  bi a,b   Ta có : z  z _   z z    z z   Ta có: z  z  z     bi  Mà z  a  3a 2bi  3a bi z  3  b2  z z  z2 z3  z2 z z        z3    a  3ab  3a 2b  b i 2 3a b  b  3a  b  a      z  b  b  b  Bài tốn 12 Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện: z   2i  z   4i z  2i z i số ảo Giải : Đặt z  x  yi  (x , y ) Theo ta có : x   y  2i  x   4  y i  x  1  y  2  x  3  y  4  y  x  Số phức w  z  2i z i  x  y  2 i x  1  y i  2 x  y  2y  1  x 2y  3 i x  y  1    x  y  2y  1   12    x     Vậy z   12  23 i w số ảo   x  y  1    23 7   y y x 5         Trang Bài toán 13 Cho hai số phức z1,  z thỏa mãn z1  0,  z  0,  z1  z  trị biểu thức P  z1 1   Tính giá z1  z z1 z z2 Giải: Từ giả thiết z  2z1 1     z1  z z1 z z1  z z 1z  z 1z  z1  z  z  2z   Đặt t  z1 z2 z  z      11    z  z z   z1 , ta phương trình t  t  11  2t   t   i  2  t  P   2t  2t     2 t   i  2  Bài toán 14 Nếu số phức z thỏa mãn z  z  phần thực bằng? 1z Giải: Cách 1:   Đặt z  a  bi a,b   Từ z   a  b  Ta có: 1  a  bi  a  bi     z  a  bi  a  bi  a  bi  a  b2  Suy phần thực Ta có: 1a 1  a   b2      1a là: 1z  a  b2   1a 1a   2  2a a  2a   b Cách 2: Gọi A phần thực 2A  1z 1 1 1z 1z 2z z 2z z       1 a  2  z  z  z  z  z  z  z z  z  z  z 2z  z Trang Bài toán 15 Cho hai số phức z1,  z thỏa mãn điều kiện z  z  z  z  Tính giá trị biểu 2  z   z  thức P        z   z  Giải: Cách 1: 2  z   z  z z  Ta có P            1  z   z1   z z1  Mà z1 z2  z2 z1  z1 z z2  z2 z1 z1 2  z1 z  z z1    Theo giả thiết:  z  z  z1  z  z1  z  z1  z  z  z 2 2    3   z1  z  z1 z  z z1  z z  z z1  Từ 1 , 2 3 suy P  1 Cách 2: Chuẩn hóa Chọn z1  , z chọn cho thỏa mãn z  z  z  Ta chọn sau: Đặt z  a  bi ● z2   a  b2   z    a  1  bi   a  1  b  ● z1  z      a    Từ giải hệ     b     Thay z1  z   z2   i 2  i vào P bấm máy 2 3 Hoặc ta chọn z1    i z   i 2 2 Trang Bài toán 16 Cho số phức z có mơđun 2018 w số phức thỏa mãn biểu thức 1   z w z w Môđun số phức w bằng? Giải: z  w   zw 1 z w Từ giả thiết     0 0 z w z w zw z w zw z  w  2 2  i 3w       2     z  w  zw   z  zw  w  w   z  w    w  z  w    4       2  i 3w          z    i  w Từ z  w           i w  w  w  w  2018 Lấy môđun hai vế, ta z    2 Bài toán 17 Cho số phức z, w khác cho z  w  z  w Phần thực số phức u  Giải :   Cách : Gọi u  a  bi a, b     z    u       a  b2  w     Ta có : z  w  z  w     z w z w   a   b       u 1      w w     a  1  a  2a    a    Cách 2: Gọi w  a  bi a, b    a  b  *  Chọn z   z    w   w   a  2  a   b   Thay a   15 1 15 vào *  b  u    i 2 8 15  i 2  Trang z ? w Bài tốn 18 Tính môđun số phức z biết z  z có phần thực z z Giải: Cách 1: Giả sử z  a  bi a,  b    Ta có 1  2 z z a  b  a  bi  Theo giả thiết:   a  b  a  bi a 2 b a  a  b  2a a  b 2 a  b2  b  a 2 2 b a có phần thực nên z z a  b2  a  a  b2  a  4   a  b2   2 b a a  b2  a a 2 b a a  b2  a a  b2 b   b  a a  b2  a   b  b i 4 4 1  z  8 Cách 2: Nếu z  a  bi z  z  2a Áp dụng:   1 có phần thực   8 z z z z z z z z z z z z 1  8 8 8 z z z z z  z z  z   z z z  z z  z   z z z z z  z z  z  8 z z z  z z z z  8 1 8 z  z Nhận xét: Trong tốn tìm thuộc tính số phức z thỏa mãn điều kiện K cho trước, K z (tất z ) z tốn giải phương trình bậc (phép cộng, trừ, nhân, chia số phức) với ẩn z z Còn chứa hai loại trở lên ( z , z , z ) ta gọi z  a  bi   a, b    Từ sử dụng phép toán số phức để đưa hai số phức để giải Trang BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Cho hai số phức z   2i; z   3i Khi số phức w  3z1  z  z 1z có phần ảo bao nhiêu? A C 9 B 10 D 10 Câu Cho số phức z   2i , số phức w  2z  3z A 3  2i B 3  2i C 3  10i D 11  2i Câu Những số sau vừa số thực vừa số ảo? A B có C có số D.khơng có số Câu (Đề thử nghiệm 2017)Tìm số phức liên hợp số phức z  i 3i  1 A z   i B z  3  i C z   i D z  3  i Câu (Đề thử nghiệm 2017) Tìm mơđun số phức z thỏa mãn z 2  i   13i  A z  34 B z  34 C z  34 D z  34 Câu (Đề minh họa 2017) Cho số phức z   2i Tìm phần thực phần ảo số phức z A Phần thực 3 phần ảo 2i B Phần thực 3 phần ảo 2 C Phần thực phần ảo 2i D Phần thực phần ảo Câu (Đề minh họa 2017)Cho hai số phức z1   i z   3i Tính mơđun số phức z1  z A z1  z  13 B z1  z  C z  z  D z  z  Câu (Đề minh họa 2017)Cho số phức z   5i Tìm số phức w  iz  z A w   3i B w  3  3i C w   7i D w  7  7i Câu Môđun số phức z  A z  1  i  2  i   3i B z  C z  D z  Câu 10 Cho số phức z thỏa điều kiện 3  i  z  1  2i    17i Khi hiệu phần thực phần ảo z A B 3 C D 7 1  2i    8i Môđun số phức Câu 11 Cho số phức z thỏa mãn 1  2i  z  1i w  z  i  A B C D 13 Câu 12 Phần thực số phức z  A 29 13 B 11 13  2i 1  i  2  i   2i  3i C  Trang 10 29 13 D  11 13 ... sau kết luận sai? A.Môđun số phức z số thực dương B.Môđun số phức z số thực C Môđun số phức z số thực không âm D Môđun số phức z số phức C z  2016 1  i   Câu 25 Số phức z     i  A... HAI CỦA SỐ PHỨC I CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC LÝ THUYẾT Nội dung lý thuyết Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa mãn z  w gọi thức bậc w Mỗi số phức w  0 có hai bậc hai hai số phức đối z  và – z ...  2i , số phức w  2z  3z A 3  2i B 3  2i C 3  10i D 11  2i Câu Những số sau vừa số thực vừa số ảo? A B có C có số D.khơng có số Câu (Đề thử nghiệm 2017)Tìm số phức liên hợp số phức z