BÀI GIẢI XÁC SUẤT THỐNG KÊ P(A1A2A3) = P(A1)P(A2)P(A3) = 0, 7.0, 2.0, = 0, 07; P(A1A2A3) = P(A1)P(A2)P(A3) = 0, 3.0, 8.0, = 0,12; P(A1A 2A 3) = P(A )P(A 32)P(A ) = 0, 3.0, 2.0, = 0, 03 Suy P(A) = 0,22 b) Gọi B biến cố có trúng Ta có CHƯƠNG B = A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3 NHỮNG ĐỊ NH LÝ CƠ BẢ N TR ON G LÝ TH UY ẾT XÁ C SU ẤT Tính toán tương tự câu a) ta P(B) = 0,47 c) Gọi C biến cố có trúng Ta có Tính tốn tương tự câu a) ta P(C) = 0,28 d) Gọi D biến cố có trúng Ta có C= A1A2A3 D =A+ B + C Chú ý A, B, C xung khắc đôi, nên theo công thức Cộng xác suất ta có: P(D) = P(A) + P(B) + P(C) = 0,22 + 0,47 + 0,28 = 0,97 e) Gỉa sử có trúng Khi biến cố B xảy Do xác suất để thứ trúng trường hợp xác suất có điều kiện P(A2/B) Theo cơng thức Nhân xác suất ta có: Bài 1.1: Có ba súng I, II III bắn độc lập vào mục tiêu Mỗi bắn viên Xác suất bắn trúng mục tiêu cuả ba I, II III 0,7; 0,8 0,5 Tính xác suất để a) có bắn trúng b) có bắn trúng c) có bắn trúng d) bắn trúng e) thứ bắn trúng biết có trúng Lời giải P(A T ó P(A P( A Khẩu súng B ) Xác suất trúng P (B ) Gọ i Aj (j = 1, 2, 3) biế n cố khẩ u thứ j bắn trú ng Kh i A1, A2, A3 độc lập giả thi ết cho ta: I 0,7 M A B = A A A + A A A nê n lý lu ận tư ơn g tự nh trê n ta đư ợc P ( A B ) = , a) Gọ iA biế n cố có trúng II Ta có III 0,8 0,5 Vì biến cố A A A khắc đôi, nên theo công thức Cộng xác ta P P A A ) = P(A + P(A + P(A Vì biến cố A A lập nên theo công thức Nhân xác suất ta có Suy P(A2/B ) =0,851 Bài 1.2: Có hai hộp I II hộp chứa 10 bi, hộp I gồm bi đỏ, bi trắng; hộp II gồm bi đỏ, bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi a) Tín h xác suất để đượ c bi đỏ b) Tín h xác suất để đượ c bi đỏ bi trắn g c) Tín h xác suất để bi đỏ bi trắng d) Giả sử lấy bi đỏ bi trắng Hãy tìm xác suất để bi trắng có hộp I Lời giải Gọi Ai , Bi (i = 0, 1, 2) biến cố có i bi đỏ (2 - i) bi trắng có bi chọn từ hộp I, hộp II Khi - A0, A1, A2 xung khắc đơi ta có: P(A0) = 0; CC C B = A0B2 + A1B1 + A2B0 Do tính xung khắc đôi biến cố A0B2 , A1B1 , A2B0, công thức Cộng xác suất cho ta: P(B) = P(A0B2 + A1B1 + A2B0) = P(A0B2 ) + P(A1B1) + P(A2B0) Từ đây, tính độc lập , Cơng thức nhân xác suất thứ cho ta: P(B) = P(A0)P(B2 ) + P(A1)P(B1) + P(A2)P(B0) = 0,2133 c) Gọi C biến cố chọn bi đỏ bi trắng Ta có: P(A1) = 45 10 C 2C P(A2) = C = 36 - B0, B1, B2 10 xung khắc đơi ta có: CC P(B0) = = ; 45 ; C = A1B2 + A2 Lý luận tương tự ta P(C) = P(A1) P(B2 ) + P(A2) P(B1) = 0,493 d) Giả sử chọn bi đỏ bi trắng Khi biến cố C xảy Do xác suất để bi trắng có thuộc hộp I trường hợp xác suất có điều kiện P(A1/C) Theo Công thức nhân xác s u ấ t , t a c ó P(A C) = P(C)P(A / C) C1C1 C 24 Suy P(B1) = P(A1/C) = C 2C P(A C) C P(C) 15 M A C = = ; A 10 B n ê n P(B2) = C = 45 P( A C) = P( A B) = P( A) P( B) = 15 = 0, 06 67 - Ai Bj độc lập - Tổng số bi đỏ có bi chọn phụ thuộc vào biến cố Ai Bj theo bảng sau: 1 Do xác suất cần tìm là: P(A1/ C) = 0,135 45 45 B0 A0 A1 A2 B1 B2 a) Gọi A biến cố chọn bi đỏ Ta có: A = A B2 Từ đây, tính độc lập , Công thức nhân xác suất thứ cho ta: Bài 1.3: Một lô hàng chứa 10 sản phẩm gồm sản phẩm tốt sản phẩm xấu Khách hàng kiểm tra cách lấy sản phẩm sản phẩm tốt dừng lại a) Tính xác suất để khách hàng dừng lại lần kiểm tra thứ b) Tính xác suất để khách hàng dừng lại lần kiểm tra thứ b) Giả sử khách hàng dừng lại lần kiểm tra thứ Tính xác suất để lần kiểm tra thứ khách hàng gặp sản phẩm xấu Lời giải P(A) = 36 15 = Gọi Ti, Xi biến cố chọn sản phẩm tốt, xấu lần kiểm tra thứ i a) Gọi A biến cố khách hàng dừng lại lần kiểm tra thứ Ta có: b) Gọi B biến cố chọn bi đỏ bi trắng Ta có: P(A2 )P(B = 0, 2) 2667 45 45 A = T1T2T3 Lời giải Suy P(A) = P(T1T2T3) = P(T1) P(T2/T1) P(T3/ T1T2) = (6/10)(5/9)(4/8) = 0,1667 Gọi Di, Ti, Xi biến cố chọn bi đỏ, bi trắng, bi xanh lần rút thứ i a) Gọi A biến cố rút bi trắng, bi xanh bi đỏ Ta có: b) Gọi B biến cố khách hàng dừng lại lần kiểm tra thứ Ta có: ⎢ B = X1T2T3T4 + T1X2T3T4 + T1T2X3T4 ⎡T - T - X - D A xảy Rút T - X - T - D Suy P(B) = P(X1T2T3T4 ) + P(T1X2T3T4 ) + P(T1T2X3T4 ) = P(X1) P(T2/X1) P(T3/X1T2) P(T4/X1T2T3) + P(T1) P(X2/T1) P(T3/T1X2) P(T4/T1X2T3) + P(T1) P(T2/T1) P(X3/ T1T2) P(T4/ T1T2 X3) = (4/10)(6/9)(5/8)(4/7) + (6/10)(4/9)(5/8)(4/7)+(6/10)(5/9)(4/8)(4/7) = 3(4/10)(6/9)(5/8)(4/7) = 0,2857 ⎢ ⎣⎢X - T - T - D Suy A = T1T2X3D4 + T1X2T3D4 + X1T2T3D4 Từ đây, tính xung khắc đơi biến cố thành phần, ta có: P(A) = P(T1T2X3D4)+ P(T1X2T3D4) + P(X1T2T3D4 ) Theo Công thức Nhân xác suất, ta có P(T1T2X3D4) = P(T1)P(T2/T1)P(X3/T1T2)P(D4/T1T2X3) = (4/12)(3/11)(3/10)(5/9) = 1/66; c) Giả sử khách hàng dừng lại lần kiểm tra thứ Khi biến cố B xảy Do xác suất để lần kiểm tra thứ khách hàng gặp sản phẩm xấu trường hợp xác suất có điều kiện P(X3/B) Theo Cơng thức nhân xác suất , ta có P(T1X2T3D4) = P(T1)P(X2/T1)P(T3/T1X2)P(D4/T1X2T3) = (4/12)(3/11)(3/10)(5/9) = 1/66; P(X1T2T3D4) = P(X1)P(T2/X1)P(T3/X1T2 )P(D4/X1T2T3) = (3/12) (4/11) (3/10) (5/9) = 1/66 P( X3 B) = P( B) P( X3/ B) Suy Mà X3B = T1T2 X3T P(X P( /B) X = B) Suy P(A) = 3/66 = 1/22 = 0,0455 b) Gọi B biến cố khơng có bi trắng rút Ta có: P(B ) nên P(X3B) = P(T1T2X3T4 ) = P(T1) P(T2/T1) P(X3/ T1T2) P(T4/ T1T2 X3) = (6/10)(5/9) (4/8)(4/7) = 0,0952 Suy P(X3/B) = 0,3333 Bài 1.4: Một hộp bi gồm bi đỏ, bi trắng bi xanh có cỡ Từ hộp ta rút ngẫu nhiên khơng hòan lại đến đỏ dừng Tính suất a) b) khơng có bi trắng rút ⎢ X Suy B - x ả y X - r a R ú t đ ợ c ⎢ D ⎢ X-X-X-D B = D1 + X1D2 + X1X2D3+ X1X2X3 D4 Từ đây, tính xung khắc đơi biến cố thành phần, ta có: P(B) = P(D1)+ P(X1D2) + P(X1X2D3 ) + P(X1X2X3 D4) Theo Cơng thức Nhân xác suất, ta có ⎣ P(B) = P(D1) + P(X1)P(D2/X1) + P(X1)P(X2/X1)P(D3/X1X2) Suy P(B) = 0,66 = 66% Vậy tỉ lệ sản phẩm loại A nói chung nhà máy sản xuất 66% + P(X1)P(X2/X1)P(X3/X1X2)P(D4/X1X2X3) = 5/12+ (3/12)(5/11) + (3/12)(2/11)(5/10) + (3/12)(2/11)(1/10)(5/9) b) Chọn mua ngẫu nhiên sản phẩm X thị trường Giả sử mua sản phẩm loại A Theo bạn, sản phẩm có khả phân xưởng sản xuất nhiều nhất? = 5/9 Giả sử mua sản phẩm loại A Khi biến cố B xảy Do đó, để biết sản phẩm loại A có khả phân xưởng sản xuất nhiều ta cần so sánh xác suất có điều kiện P(A 1/B), P(A2/B) P(A3/B) Nếu P(Ai/B) lớn sản phẩm có khả phân xưởng thứ i sản xuất nhiều Theo công thức Bayes ta có: Bài 1.5: Sản phẩm X bán thị trường nhà máy gồm ba phân xưởng I, II III sản xuất, phân xưởng I chiếm 30%; phân xưởng II chiếm 45% phân xưởng III chiếm 25% Tỉ lệ sản phẩm loại A ba phân xưởng I, II III sản xuất 70%, 50% 90% a) Tính tỉ lệ sản phẩm lọai A nói chung nhà máy sản xuất b) Chọn mua ngẫu nhiên sản phẩm X thị trường Giả sử mua 1) T ín h x c s u ất đ ể c ó s ả n p h ẩ m lo ại A sản phẩm loại A Theo bạn, sản phẩm có khả phân xưởng sản xuất nhiều nhất? c) Chọn mua ngẫu nhiên 121 sản phẩm X (trong nhiều sản phẩm X) thị trường 2) Tín h xác suất để có từ 80 đến 85 sản phẩ m loại A P(AP(A1)P(B/A1) = 0, 3.0, 21 = ; P(A P(B) 0, 66 66 P(A2)P(B/A2) 0, = 45.0, 22, = ; P(B) 0, 66 66 P(A ) P(B/ A) 0, 25.0, 22, P(A3/B ) = 3 = = Tóm tắt: P(B) Lời giải 0, 66 Phân xưởng Tỉ lệ sản lượng Tỉ lệ loại A a) Để tính tỉ lệ sản phẩm loại A nói chung nhà máy sản xuất ta chọn mua ngẫu nhiên sản phẩm thị trường Khi tỉ lệ sản phẩm loại A xác suất để sản phẩm thuộc loại A Gọi B biến cố sản phẩm chọn mua thuộc loại A A1, A2, A3 biến cố sản phẩm phân xưởng I, II, III sản xuất Khi A1, A2, A3 hệ đầy đủ, xung khắc đôi P(A1) = 30% = 0,3; P(A2) = 45% = 0,45; P(A3) = 25% = 0,25 Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có: P(B) = P(A1)P(B/A1) + P(A2)P(B/A2) + P(A3)P(B/A3) I II III 30% 45% 25% 70% 50% 90% Theo giả thiết, P(B/A1) = 70% = 0,7; P(B/A2) = 50% = 0,5; P(B/A3) = 90% = 0,9 Vì P(A2/B) = P(A3/B) > P(A1/B) nên sản phẩm loại A có khả phân xưởng II III sản xuất nhiều 1) Xác suất để có 80 sản phẩm loại A 80 80 41 80 P121(80) = C p q = C 80 41 (0, 66) (0, 34) = 0, 076 121 2) Xác suất để có từ 80 đến 85 sản phẩm loại A 85 k=80 k=80 k= 80 c) Chọn mua ngẫu nhiên 121 sản phẩm X (trong nhiều sản phẩm X) thị trường 1) Tính xác suất để có 80 sản phẩm loại A 2) Tính xác suất để có từ 80 đến 85 sản phẩm loại A Ap dụng công thức Bernoulli với n = 121, p = 0,66, ta có: 85 85 P121 (0, 66) 121 12 b) Giả sử sản phẩm chọn có sản phẩm tốt Khi P(A 4 0 đó, biến cố A xảy Do đó, xác suất để 2 sản phẩm tốt xí nghiệp I xác suất có điều kiện P(A1/A) 13 14 = CC C - Bi Cj độc lập Suy P(A2/A) = 0,3243 Bài 1.11: Có hai hộp I II, hộp I chứa 10 bi trắng bi đen; hộp II chứa bi trắng bi đen Từ hộp rút ngẫu nhiên bi bỏ đi, sau bỏ tất bi lại hai hộp vào hộp III (rỗng) Lấy ngẫu nhiên bi từ hộp III Tính xác suất để bi lấy từ hộp III có trắng, đen Lời giải - Tổng số bi trắng có bi chọn phụ thuộc vào biến cố Bi Cj theo bảng C0 C1 C2 sau: B0 B1 B2 Gọi A biến cố bi lấy A0 = B0C0 Þ trắng, đen P(A0) = P(B0)P(C0) = 20/663 Aj (j = 0, 1, 2, 3, 4) A1 = B0C1 + B1C0 biến cố có j bi trắng (4-j) bi đen có bi bỏ (từ Þ P(A1) = P(B0)P(C1 ) + P(B1)P(C0) = 848/4641 A2 = hai hộp I II) Khi A0, B0C2 + B1C1 + B2C0 Þ P(A2) A1, A2 , A3, A4 hệ đầy = đủ, xung khắc đôi P(B0)P(C2)+P(B1)P(C1)+P(B Theo công thức xác 2)P(C0) =757/198 suất đầy đủ, ta có P(A) = P(A0)P(A/A0) A3 = B1C2 + B2C1 + P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2)+ Þ P(A3) = P(A3)P(A/A3) + P(B1)P(C2)+P(B2)P(C1) = P(A4)P(A/A4) 4400/13923 A4 = B2C2 C 8C 10 P(A/A ) = 1 = (Vì A xảy hộp III có 28 bi gồm Þ P(A4) = P(B2)P(C2) = 20/221 28 17 12 11 16 t r ắ n g , đ e n ) Từ suy P(A) = 0,5080 10 C 21 Tương = tự, P(A/A ) = C C 1 = 32 ; Bài 1.1 2: C Có thứhai chứa bi hộp trắng bi thứHộp hai chứa bi cỡ C trắng bi xanh Chọn ngẫu nhiên hộp từ hộp lấy bi bi trắng Tính xác suất để viên bi tiếp 63 28 P ( = A / A ) = C n 15 13 14 14 b i theo lấy từ hộp lại bi trắng ; P ( A / A b i t r ắ n g C C 28 Bây ta tính P(A0); P(A1); P(A2); P(A3); P(A4) Gọi Bi , Ci (i = 0, 1, 2) biến cố có i bi trắng (2 - i) bi đen có bi chọn từ hộp I, hộp II Khi - B0, B1, B2 xung khắc ta có: t r ắ n g Bài tóan u cầu tính P(A2/A1) Theo cơng thức nhân xác suất, ta có P(A1A2) = P(A1) P(A2/A1) Suy 27 A 28 C l b i 1 s a u l ) = C l ầ n t i ê n = 6 l ấ y đ ầ u b i l ấ y C C c ố 28 b i ế n c ố Lời giải Gọi l A l CC C 80 C C C P(A A) 1 P(B0) = b i ế 10 153 = P( )= 18 ; B1 10 = 153 P(B2) = 18 ; 10 18 17 P(A1 ) P(A = = C C - C0, C1, C2 xung khắc ta có: C 0C P(C0) = C C 15 8 = = Bây ta tính xác suất P(A1) P(A1A2) Gọi B1, B2 biến cố chọn hộp I, hộp II Khi B1, B2 hệ đầy đủ, xung khắc đơi ta có: P(B1) = P(B2) = 0,5 Theo cơng thức xác suất đầy đủ, ta có C C P(A = ) )/ P(B P(A B ) +)/ P(B P(A B ; P(C ) =2 C 14 ; P(C ) =2 91 91 C C 14 15 14 = 91 1 1 16 2 Mà CC C P(A / A) = a a-1 a + b a + b - a-1 = P(A1 / B1) = = ; 10 a+b1 C 2C Bài 1.14: Có 315 hộp phấn, hộp I chứa viên tốt viên xấu, hộp II chứa 10 viên tốt viên xấu, 61 hộp III chứa 20 viên =2 tốt 10 viên gieo xúc xắc cân đối Nếu thấy xuất mặt chấm Theo cơng thức ta chọn hộp xác suất đầy xuất đủ, ta có mặt chấm chọn P(A1A hộp II, P(B2) P(A xuất Mà mặt lại P(A A / B ) = P(Achọn / B )P(A A hộp /III B)= Từ hộp chọn lấy ngẫu nhiên viên phấn Tìm xác suất để viên tốt nênP(A P(A / 6B 1 1 a a-1 b b P(A A1 /B ) = P(A /B ) = P(A / A B )= 2 6 2 C nên P(A 2) 13/330 suất cần tìm P(A A1 =13/4 7= 0,2766 Bài 1.13 Một hàng gồm sản phẩm loạia b sản phẩm loại đóng gới để gửi cho khách hàng Nơi nhận kiểm tra lại thấy thất lạc sản phẩm Chọn ngẫu nhiên sản Gọi A biến cố chọn viên phấn tốt phẩm thấy sản phẩm loại I Tính xác suất để sản phẩm thất lạc thuộc loại I Gọi A biến cố sản phẩm chọn thuộc lọai I a b-1 /A A ú (j c P(A =1,2, x P(A Từ 3) ắ C C C C c, C C giả biến P(A / A ) = + + = thi cố x 4690 ; chọn u A1, A2 lần ất lượt hộp hi biến thứ j ệ cố sản Khi n phẩm m thất lạc A1, ặt thuộc A2, loại I, A3 c loại II hệ h Yêu cầu đầy ấ đủ, m tốn xung , tính xác khắc d suất có o điều kiện đơi đ P(A1/A) Ta thấylà ta ó A 1, A hệ đầy đủ, có: P xung khắc đơi - A1 ( x A ả 1) a )= P(A y = C r 1/ 2 a + + = k a + 2a h Tương b C i tự, C v a+b P(A2) = a+b c 2/6; Theo công thức h Bayes, ta có P(A3) = P(A ỉ P(A / A) = P(A / A1 ) 3/6 k = P(A1 )P(A / A1 ) h P(A) Theo i công Mà P(A 1)P(A / t A1) + P(A ) thức xác h P(A / A2 ) suất đầy đủ, ta có ả P(A) y = c C / A )A P(A = P(A o a0 - 1= ết ta có : j n x )P(A ; P(A / 2 15 P(A CC C4 ++C C C4 15 15 = C C C C0 ;1 0 10 10 10 444 14 14 14 C C C C C C 24795 04 2 CC Bài 1.15: Có hai kiện hàng I II Kiện thứ chứa 10 sản phẩm, = a trongthứ đóhai có 8chứa sản 20 phẩmsản loại phẩm, A Kiện có sản phẩm loại A Lấy từ kiện sản phẩm Sau đó, sản nê a+ n b- phẩm thu chọn ngẫu nhiên sản phẩm Tính xác suất để sản phẩm chọn sau có sản phẩm loại A a +2 ab C1 - + b 1 a + b Lời giải 18 CC C CC C C 120 Gọi C biến cố sản phẩm chọn sau có sản phẩm loại A Aj (j = 0, 1, 2, 3, ) biến cố có j sản phẩm lọai A (4-j) sản phẩm lọai B có sản phẩm lấy từ hai kiện I II Khi A0, A1, A A3, A4 hệ đầy đủ, xung khắc đôi Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có P(C) = P(A0)P( C/A0) + P(A1)P( C/A1) + P(A2)P( C/A2) + P(A3)P( C/A3) + P(A4)P(C /A4) P(C/A0) = 0; C B0 B1 B2 C0 C1 Ta C P(C/A ) = có: C C 1 16 = ; 190 = ; C C - BP(C 16 = ; 190 - Tổng số sp A sp chọ phụ thuộc vào biến cố Bi theo bảng sau P(C/A ) = = 2 C 2 P(C/A ) = C C 13 = C A1 = B0C1 + B1C0 C 24 P( C/ A4 ) =0 A2 = B0C2 + B1C1 + B2C0 A3 = B1C2 + B2C1 Từ đây, nhờ cơng thưc cộng nhân xác suất ta tính Bây ta tính P(A1); P(A2); P(A3) Gọi Bi , Ci (i = 0, 1, 2) biến cố có i sp A (2 - i) sp B có sp chọn từ kiện I, kiện II Khi - B0, B1, B2 xung khắc đơi ta có: CC được: P(A1) = 0,2320 ; P(A 2) = 0,5135 ; P(A3) = 0,2208 Suy xác suất cần tìm P(C) = 0,5687 P(B0) = = 10 C1C1 P(B1) = = ; 45 10 C 2C P(B2) = - C0, C1, C2 xung khắc đơi ta có: 10 ; 45 16 C 28 = 45 C C Bài 1.16: Một xạ thủ bắn 10 viên đạn vào mục tiêu Xác suất để viên đạn bắn trúng mục tiêu 0,8 Biết rằng: Nếu có 10 viên trúng mục tiêu chắn bị diệt Nếu có từ đến viên trúng mục tiêu bị diệt vơi xác suất 80% Nếu có viên trúng mục tiêu bị diệt với xác suất 20% a) Tính xác suất để mục tiêu bị diệt b) Giả sử mục tiêu bị diệt Tính xác suất có 10 viên trúng L i Tóm tắt: 19 - g i ả i Số viên bắn ra: 10 viên Xác suất trúng viên: 0,8 20 Lời giải Số viên trúng Xác suất mục tiêu bị diệt 2-9 10 20% 80% 100% a) Gọi A biến cố mục tiêu bị diệt A0, A1, A2, A3 biến cố có 0; 1; 2-9; 10 viên trúng Khi đó, A 0, A1, A2, A3 hệ đầy đủ, xung khắc đôi giả thiết cho ta: P(A/A0) = 0; P(A/A1) = 20% = 0,2; Gọi Aj (j = 0, 1, 2) biến cố có j sản phẩm loại A (2-j) sản phẩm không thuộc loại A có sản phẩm máy sản xuất Gọi Bj (j = 0, 1, 2, 3) biến cố có j sản phẩm loại A (3-j) sản phẩm khơng thuộc loại A có sản phẩm lấy từ lơ hàng Khi - A0, A1, A2 xung khắc đôi theo công thức Bernoulli với n = 2; p = 0,6; q = 0,4 ta có: 0 P(A/ A2) = 80%= P(A1) = p 0,8; P(A/ q A3) = 100% = C P ( A ) = C p q = ( , ) = , ; Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có: 1 P(A ) = C 2p q = (0, 6) = 0, 36 P(A) = P(A0)P(A/A0) + P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2) + P(A3)P(A/A3) 10 P(A0) = q = (0, 10 2) ; 9 P(A = C pq 10(0,1) 8)(0, 2) ;= P ( A ) = p = ( , ) ; P(A2) = P(A0) P(A1) P(A3) = - Suy P(A) = 0,8215 b) Giả sử mục tiêu bị diệt Khi biến cố A xảy Do xác (0, P(B 2) ) = 10 CC = = 120 ; 60 C C Theo thức Bayes,cơng ta có: suất có 10 viên trúng trường hợp xác suất có điều kiện P(A3/A) C P(B2 )= = -A độc lập P(A) Từ ta tính P(A 3/A) = 0,1307 C Bài 1.17: Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại A 60% Một lô hàng gồm 10 sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại A 60% Cho máy sản xuất sản phẩm từ lô hàng lấy sản phẩm a) Tính xác suất để số sản phẩm loại A có sản phẩm máy sản xuất số sản phẩm loại A có sản phẩm lấy từ lô hàng b) Giả sử sản phẩm thu có sản phẩm loại A Tính xác suất để sản phẩm loại A máy sản xuất 3 C ; C 3C C ) 120 10 P(A / A) = P(A C 10 2 - B0, B1, B2 , B3 xung khắc đơi theo cơng thức tính xác suất lựa chọn với N = 10, NA = 6, n= ta có (vì lơ hàng gồm 10 sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại A 60%, nghĩa lô hàng gồm sản phẩm loại A sản phẩm không thuộc loại A): 36 ; Theo công thức Bernoulli với n =10; p = 0,8, q = 0,2, ta có = 2(0, 6)(0, 4) = 0, 48; P ( B = 10 120 ) = a) Gọi C biến cố số sản phẩm loại A có sản phẩm máy sản xuất số sản phẩm loại A có sản phẩm lấy từ lơ hàng Ta có: C = A0B0 + A1B1 + A2B2 Từ đây, tính xung khắc độc lập, công thức cộng nhân xác suất cho ta: P(C) = P(A0)P( B0)+ P(A1)P( B1)+ P(A2)P( B2) = 0,3293 21 22 b) Gọi D biến cố có sản phẩm loại A sản phẩm có Giả sử sản phẩm có sản phẩm loại A Khi biến cố D xảy Do đó, xác suất để sản phẩm loại A máy sản xuất xác suất có điều kiện P(A2/D) Theo cơng thức nhân xác suất ta có: a) Gọi A biến cố lấy 1sp tốt, 1sp xấu từ lô I Theo cơng thức xác suất đầy đủ, ta có: P(A) = P(A0)P(A/A0) + P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2) + P(A3)P(A/A3) P(A2/D) = Nhận xét tổng số sản phẩm loại A có sản phẩm thu phụ thuộc vào biến cố Ai Bj theo bảng sau: A0 A1 A2 B0 B1 B2 B3 D = A0 B + A1B1 + A2B0 A2D = A2B0 Suy Từ giả thiết ta suy lơ I có 15.60% = sp tốt sp xấu Do theo cơng thức tính xác suất lựa chọn, ta có: P(A D ) P (D ) 9 C C 80 P(A / A ) = 110 81 = ; C1 153 C C 77 P(A / A ) = 11 = ; C P(A1 CC 1 C P( A2 D) = 0,0 50 Bài 1.18: Có hai lơ hàng, lơ chứa 60% sản phẩm tốt, lơ I chứa 15 sản phẩm, lô II chứa nhiều sản phẩm Từ lô II lấy sản phẩm bỏ vào lô I, sau từ lơ I lấy sản phẩm Tính xác suất lấy 1sp tốt, 1sp xấu từ lơ I Từ đây, ta tính P(D) = 0,236 ; P(A2D) = 0,012 Suy xác suất cần tìm a) C1 P(A / A ) C C = 1 81 = ; 153 = Suy xác suất cần tìm là: P(A) = 0,5035 b) Gọi B biến cố lấy 1sp tốt, 1sp xấu từ lô I, sp tốt có lơ I từ trước Theo cơng thức xác suất đầy đủ, ta có: P(B) = P(A0)P(B/A0) + P(A1)P(B/A1) + P(A2)P(B/A2) + P(A3)P(B/A3) Ta có: b) 1s p tố t, 1sp xấu từ lơ I, sp tốt có lơ I từ trước 23 24 C P(B 1 C ;1 c) Giả sử lấy 1sp tốt, 1sp xấu từ lơ I Tính xác suất lấy 2sp tốt, 1sp xấu từ lô II Lời giải P(B / A)= C C 1 72 = ; 153 C A)= C C 1 2 1 sản phẩm chọn từ lô II Khi A0, A1, A2, A3 hệ đầy đủ, xung khắc đơi Theo cơng thức Bernoulli ta có: P(A0) P(B / A ) = C9C6 18 = 153 63 ; = 54 153 Suy xác suất cần tìm là: P(B) = 0,4235 = 0 Cpq = (0, 4) = 0, 064; P(A11) =1C2 pq =1 3(0, 6)2 (0, 4) = 0, 288; P(A )= Cp q = 3(0, 6) (0, 4) 0, 432; P(A )= Cp q = (0, 6) 0, 216 C1 P(B / Gọi Aj (j = 0,1, 2, 3) biến cố có j sản phẩm tốt (3-j) sản phẩm xấu có C= 18 3 c) Giả sử lấy 1sp tốt, 1sp xấu từ lơ I Khi biến cố A xảy Do xác suất lấy 2sp tốt, 1sp xấu từ lơ II trường hợp XS có điều kiện P(A2/A) Theo cơng thức Bayes, ta có: C P(A2 / A) = P(A )P(A /A) P(A) 0, 432 77 153 = 0, 4318 = 0, 5035 * - 25