Đang tải... (xem toàn văn)
Về quy tắc Fermat trong bài toán cực trị từ toán sơ cấp đến toán cao cấp (Luận văn thạc sĩ)Về quy tắc Fermat trong bài toán cực trị từ toán sơ cấp đến toán cao cấp (Luận văn thạc sĩ)Về quy tắc Fermat trong bài toán cực trị từ toán sơ cấp đến toán cao cấp (Luận văn thạc sĩ)Về quy tắc Fermat trong bài toán cực trị từ toán sơ cấp đến toán cao cấp (Luận văn thạc sĩ)Về quy tắc Fermat trong bài toán cực trị từ toán sơ cấp đến toán cao cấp (Luận văn thạc sĩ)Về quy tắc Fermat trong bài toán cực trị từ toán sơ cấp đến toán cao cấp (Luận văn thạc sĩ)Về quy tắc Fermat trong bài toán cực trị từ toán sơ cấp đến toán cao cấp (Luận văn thạc sĩ)Về quy tắc Fermat trong bài toán cực trị từ toán sơ cấp đến toán cao cấp (Luận văn thạc sĩ)Về quy tắc Fermat trong bài toán cực trị từ toán sơ cấp đến toán cao cấp (Luận văn thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ THỦY VỀ QUY TẮC FERMAT TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ TỪ TOÁN SƠ CẤP ĐẾN TOÁN CAO CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ THỦY VỀ QUY TẮC FERMAT TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ TỪ TOÁN SƠ CẤP ĐẾN TOÁN CAO CẤP Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH LÊ DŨNG MƢU Thái Nguyên - 2015 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan: Bản luận văn tốt nghiệp cơng trình nghiên cứu cá nhân tôi, thực sở nghiên cứu lý thuyết, nghiên cứu khảo sát phân tích từ thực tiễn hướng dẫn khoa học GS.TSKH Lê Dũng Mưu Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu trình bày luận văn hoàn toàn trung thực chưa sử dụng để bảo vệ học vị nào, phần tài liệu tham khảo xếp thứ tự đủ thông tin theo yêu cầu Thái Nguyên, ngày 24 tháng 03 năm 2015 Tác giả Phạm Thị Thủy Mục lục Trang Lời cam đoan……………………………………………………………… i Mục lục…………………………………………………………………… ii Danh sách kí hiệu ……………………………………………………… iv Lời nói đầu……………………………………………………… Chương Kiến thức chuẩn bị…………………………………………… 1.1 Tập lồi……………………………………………………… 1.2 Hàm lồi……………………………………………………… 1.3 Các phép tốn bảo tồn tính lồi ……………………… …… 1.4 Bài tốn tối ưu……………………………………………… 1.5 Tính liên tục hàm số ……………………………….…… 1.6 Đạo hàm ma trận Hessian………………………….…… 10 1.7 Ma trận xác định dương, nửa xác định dương ………… … 11 1.8 Bổ đề Farkas ………………………………………………… 11 1.9 Nón pháp tuyến ……………………………………… …… 11 1.10 Dưới vi phân………………………………………………… 12 Chương Quy tắc Fermat toán cực trị………………………… 14 2.1 Quy tắc Fermat cho hàm số khả vi biến khơng có ràng buộc………………………………………………………… 18 2.2 Quy tắc Fermat cho hàm số khả vi biến có ràng buộc…… 22 2.3 Quy tắc Fermat cho hàm nhiều biến khả vi khơng có ràng buộc……………………………………………………………… 27 2.4 Mở rộng nguyên lý Fermat cho hàm nhiều biến có ràng buộc……………………………………………………… ……… 32 Chương Áp dụng giải số tốn phổ thơng…………… ….… … 39 3.1 Áp dụng cho toán cực trị hàm biến………………… 39 3.2 Áp dụng chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhỏ hàm số nhiều biến …………………… … … ……… 43 Kết luận ………………………………………………… … ………… 55 Tài liệu tham khảo……………………………………… … … 56 Danh sách ký hiệu n Không gian Euclid n chiều f ' x , f " x Đạo hàm (bậc bậc 2) hàm số f(x) lim f x n a Giới hạn hàm số f(x) x dần tới a [a,b] Đoạn thẳng nối hai điểm a b , Tích vơ hướng n f Gradient hàm f 2 f Ma trận Hessian f Dưới vi phân hàm f NC x nón pháp tuyến ngồi C x Lời nói đầu Trong việc ứng dụng toán học vào toán thực tiễn, toán cực trị dạng toán gần với ứng dụng thực tế Những yêu cầu đường ngắn nhất, đường nhanh nhất, góc nhìn lớn nhất, tổng thời gian chờ đợi nhất, tổng chi phí nhất, tổng lợi nhuận cao nhất, diện tích lớn … yêu cầu tự nhiên xuất phát từ toán sản xuất, đời sống khoa học Chính tốn cực trị cần có chỗ đứng xứng đáng chương trình tốn phổ thơng Các phương pháp giải tốn cực trị cần phải trình bày cách Trên phương diện phương pháp, có hai cách tiếp cận cho lời giải tốn cực trị, phương pháp sử dụng bất đẳng thức phương pháp hàm số Với phương pháp bất đẳng thức, sơ đồ là: Để chứng minh M giá trị lớn hàm số f(x) miền C, ta chứng minh i) f(x) M với x thuộc C ii) Tồn x0 thuộc C cho f(x0) = M Phương pháp hàm số khảo sát hàm f(x) C dựa vào định lý giải tích để tìm điểm cực trị giá trị M Fermat – luật sư, nhà tốn học người Pháp sử dụng cơng cụ đạo hàm để giải toán cực trị cách đưa toán cực trị từ cách giải đánh giá bất đẳng thức cần nhiều tư duy, mẹo mực cách giải tự nhiên tìm điểm nghi vấn nhờ giải phương trình (đối với hàm số biến) hệ phương trình (đối với hàm số nhiều biến) Quy tắc Fermat công cụ mạnh, cho phép tốn cực trị có lời giải tự nhiên Mục tiêu luận văn tìm hiểu quy tắc Fermat bước phát triển từ sơ cấp lên cao cấp, nhằm nâng cao kiến thức khả giảng dạy nghiên cứu tốn tối ưu, có nhìn tổng từ toán cao cấp vào toán sơ cấp Nội dung luận văn viết chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Một số kiến thức tập lồi, hàm lồi, hàm khả vi, điểm dừng… Chương Quy tắc Fermat Quy tắc Fermat ví dụ ứng dụng trường hợp hàm số biến, khả vi, khơng có ràng buộc, phát triển đến hàm biến khả vi, có điều kiện ràng buộc, nâng cao lên hàm nhiều biến, khả vi, không ràng buộc, tổng quát toán hàm nhiều biến, khơng khả vi có ràng buộc Sau bước phát triển ta quay trở tốn sơ cấp trước cách bổ sung thêm giả thiết Từ thấy bước phát triển quy tắc Fermat, đồng thời cho thấy nhìn Tốn cao cấp vào tốn sơ cấp Chương Ứng dụng quy tắc Fermat vào giải tốn phổ thơng Ứng dụng quy tắc Fermat vào giải tốn phổ thơng, từ tốn đơn giản đến toán nâng cao, từ cách giải áp dụng trực tiếp quy tắc đến việc sử dụng toán cao cấp định hướng cho cách giải chương trình phổ thơng Do thời gian kiến thức có hạn nên chắn luận văn nhiều thiếu sót, kính mong q thầy bạn đóng góp ý kiến để tác giả tiếp thu hoàn thiện luận văn Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TSKH Lê Dũng Mưu, Viện Toán học – Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam tận tình bảo, giúp đỡ tác giả trình làm luận văn Bên cạnh đó, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến ban giám hiệu trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, Khoa Toán Tin, trung tâm học liệu tạo điều kiện giúp tác giả trình học tập làm luận văn Thái Nguyên, ngày 24 tháng 03 năm 2015 Học viên Phạm Thị Thủy Chƣơng KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương chủ yếu nhắc lại số khái niệm hàm lồi, tập lồi, khái niệm cực tiểu cực đại, toán tối ưu, khái niệm đạo hàm, đạo hàm cấp hai Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1], [2], [3], [4], [5] 1.1 Tập lồi Định nghĩa 1.1 Một tập C n gọi tập lồi, C chứa đoạn thẳng qua điểm Tức C lồi x, y C, 0,1 x (1 ) y C Ta nói x tổ hợp lồi điểm (véc-tơ) x1, x2 , , xk k k j 1 j 1 x j x j , j 0j 1, , k , j Một điểm x C gọi điểm cực biên C x biểu diễn dạng tổ hợp lồi chặt hai điểm phân biệt C, tức khơng tồn y, z C, y z cho x y 1 z với Ví dụ 1.1 Trong 1 khoảng a, b a 1 b | 0,1 , ... KHOA HỌC PHẠM THỊ THỦY VỀ QUY TẮC FERMAT TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ TỪ TOÁN SƠ CẤP ĐẾN TOÁN CAO CẤP Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN... Quy tắc Fermat toán cực trị ……………………… 14 2.1 Quy tắc Fermat cho hàm số khả vi biến ràng buộc………………………………………………………… 18 2.2 Quy tắc Fermat cho hàm số khả vi biến có ràng buộc…… 22 2.3 Quy tắc Fermat. .. số nhiều biến) Quy tắc Fermat công cụ mạnh, cho phép tốn cực trị có lời giải tự nhiên Mục tiêu luận văn tìm hiểu quy tắc Fermat bước phát triển từ sơ cấp lên cao cấp, nhằm nâng cao kiến thức khả