PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG MŨI NHỌN. NĂM HỌC 2008-2009 MÔN THI: TOÁN 8 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1 (1,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x 2 – x – 12; b) x 2 + 2xy + 4y – 4; Bài 2: (2,5 điểm) Cho biểu thức: P = 4 2 2 3 4 1 1 1 ( 1) (1 ) ( ) 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x + − + − + + − + − + × − + − − a. Tìm x để P xác định. b. Rút gọn P. c. Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên? Bài 3: (2,5 điểm) a) Cho đa thức ( 3)( 5)( 7)( 9) 2014Q x x x x= + + + + + . Tìm số dư trong phép chia đa thức Q cho đa thức 2 12 32x x+ + . b) Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 4 a b a b + ≥ + . Với ;a b là các số dương. Áp dụng bất đẳng thức trên tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 2 3 M xy x y = + + . với ;x y dương và 1x y + = . Bài 4: (2,5 điểm) ABCD là hình chữ nhật có AB //CD, AB = 2CB. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với đường chéo BD tại H. Trên HB lấy điểm K sao cho HK = HA. Từ K kẻ đường thẳng song song với AH cắt AB tại E. a. Chứng minh E là trung điểm AB. b. Lấy M trung điểm DE, tia AM cắt DB tại N, cắt DC tại P Tính tỷ số diện tích tam giác AND với diện tam giác PMD? Câu 5:(1,5 điểm) Cho trước góc xOy; tỷ số m n và một điểm P nằm trong góc xOy. Dựng đường thẳng đi qua P cắt các cạnh Ox, Oy lần lượt tại C và D sao cho: PC m PD n = . (Chỉ trình bày cách dựng và chứng minh) Hết./. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG MŨI NHỌN. NĂM HỌC 2008-2009 MÔN THI: TOÁN 8 (Thời gian làm bài 120 phút) Câu Ý Nội dung cần đạt Điểm 1 HS Biết cách phân tích và đi đến kết quả: a (x + 3)(x – 4) b (x + 2)(x + 2y – 2) 2 a Giải và tìm được: P xác định khi: 1x ≠± b 4 2 2 2 2 3 4 1 2 1 2 1 1 . ( 1)( 1) 1 x x x x x x x x x x P x x x + − + − + − + + + + − − = − + − 4 2 2 2 2 1 1 1 ( 1)( 1) x x x x x x x + + − = × − − + + = 4 2 2 2 2 2 2 2 ( 2 1) ( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) x x x x x x x x x x x + + − + − = − + + − + + = 2 2 2 2 ( 1)( 1) 1 ( 1)( 1) 1 x x x x x x x x x x + + − + − + = − + + − c Với các giá trị: 1x ≠ ± ta có ( 1) 1 1 1 1 x x P x x x − + = = + − − Để P nhận giá trị nguyên x⇔ nguyên và x – 1 là ước của 1 1 1 0; 2x x x⇔ − = ± ⇔ = = (thoả mãn điều kiện của x) 3 Ta có 2 2 ( 12 27)( 12 35) 2014Q x x x x= + + + + + Đặt 2 12 32t x x= + + tao có ( 5)( 3) 2014Q t t= − + + a Lập luận để tìm số dư: chính là số dư trong phép chia : 2 ( 5)( 3) 2014 2 1999Q t t t t= − + + = − + cho t. ⇒ dư 1999 b Ta có: 2 2 2a b ab+ ≥ với mọi a,b ⇔ 2 2 2 2 4 ( ) 4a b ab ab a b ab+ + ≥ ⇔ + ≥ (1) Vì a,b dương ⇒ 0; . 0a b a b+ > > nên từ (1) suy ra: 4 . a b a b a b + ≥ + hay 1 1 4 a b a b + ≥ + Dấu “=” xẩy ra ⇔ a = b 2 2 1 3 3 ( ) 2 2 M xy xy x y = + + + Do x; y dương và x + y =1 ⇒ 1 = 2 ( ) 4x y xy+ ≥ ( được suy ra từ (x – y) 2 ≥ 0) 1 1 2 2 2 2 xy xy ⇔ ≤ ⇔ ≥ Dấu “=” xẩy ra ⇔ x = y = 1 2 (1) Mặt khác áp dụng bất đẳng thức trên: N P M H C B E A D K y x m n n m D C F E O P 2 2 2 2 2 3 3 4 4 ( ) 3 3 12 2 2 ( )xy x y xy x y x y + ≥ × = × = + + + + (2) Dấu “=” xẩy ra ⇔ 2 2 1 2 2 xy x y x y= + ⇔ = = Vậy từ (1) và (2) ta có : 2 12 14M ≥ + = . Giá trị bé nhất Min M = 14 đạt được khi x = y = 1 2 4 a BKE∆ : BAD∆ (hai tam giác vuông có chung góc nhọn) (1) BK BA BE BD ⇒ = Từ đó HS c/m được : ( . . )AKB DEB c g c∆ ∆: · · 0 135AKB DEB⇒ = = ( vì ∆ AHK vuông cân tại H) · 0 45AED⇒ = ( Kề bù với góc DEB). Vậy ∆ ADE vuông cân, suy ra : AD = AE mà AB = 2CB=2AD nên E là trung điểm AB b Theo câu a ⇒ AM là trung tuyến ⇒ AM là phân giác góc DAB. Theo tính chất phân giác trong tam giác DAB ta có : 1 2 DN AD NB AB = = 1 1 3 6 ADN ADB ABCD S S S ∆ ∆ ⇒ = = (2) Mặt khác : ∆ ADP vuông cân, lập luận tính được 1 4 ADP ABCD S S ∆ = (3)Từ (2) và (3) tao có : 1 2 6 1 3 4 ADN ADP S S ∆ ∆ = = 5 Cách dựng : - Dựng cung tròn tâm P bán kính n cắt Oy tại E. - Trên tia đối của tia PE dựng điểm F sao cho PF = m. - Từ F dựng đườn thẳng // Oy cắt Ox tại C. - Nối CP cắt Oy tại D ta có CD là đoạn cần dựng. ( Nếu bán kính n không đủ để (P ;n) cắt Oy thì ta có thể dựng (P ; 2n) và lấy PF = 2m 1,0 Chứng minh : Theo cách dựng ta có : PE = n ; PF = m và FC// DE theo định lý Ta-let : PC PF m PD PE n = = 0,5 . 1)( 1) x x x x x x x x x x x + + − + − = − + + − + + = 2 2 2 2 ( 1)( 1) 1 ( 1)( 1) 1 x x x x x x x x x x + + − + − + = − + + − c Với các giá trị: 1x ≠ ±. 1 x x x x x x x x x x P x x x + − + − + − + + + + − − = − + − 4 2 2 2 2 1 1 1 ( 1)( 1) x x x x x x x + + − = × − − + + = 4 2 2 2 2 2 2 2 ( 2 1) ( 1) (