Đang tải... (xem toàn văn)
Đa tạp quán tính đối với các phương trình vi phân có phần tuyến tính là toán tử quạt (Luận văn thạc sĩ)Đa tạp quán tính đối với các phương trình vi phân có phần tuyến tính là toán tử quạt (Luận văn thạc sĩ)Đa tạp quán tính đối với các phương trình vi phân có phần tuyến tính là toán tử quạt (Luận văn thạc sĩ)Đa tạp quán tính đối với các phương trình vi phân có phần tuyến tính là toán tử quạt (Luận văn thạc sĩ)Đa tạp quán tính đối với các phương trình vi phân có phần tuyến tính là toán tử quạt (Luận văn thạc sĩ)Đa tạp quán tính đối với các phương trình vi phân có phần tuyến tính là toán tử quạt (Luận văn thạc sĩ)Đa tạp quán tính đối với các phương trình vi phân có phần tuyến tính là toán tử quạt (Luận văn thạc sĩ)Đa tạp quán tính đối với các phương trình vi phân có phần tuyến tính là toán tử quạt (Luận văn thạc sĩ)Đa tạp quán tính đối với các phương trình vi phân có phần tuyến tính là toán tử quạt (Luận văn thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI XUÂN QUANG ĐA TẠP QUÁN TÍNH ĐỐI VỚI CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CĨ PHẦN TUYẾN TÍNH LÀ TỐN TỬ QUẠT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI XUÂN QUANG ĐA TẠP QUÁN TÍNH ĐỐI VỚI CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CĨ PHẦN TUYẾN TÍNH LÀ TỐN TỬ QUẠT Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN THIỆU HUY Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Lời cam đoan iii Tóm tắt nội dung iv Lời cảm ơn v Danh sách kí hiệu vi Mở đầu 1 Tốn tử quạt, Không gian hàm chấp nhận Đa tạp quán tính 1.1 Tốn tử quạt - Nửa nhóm giải tích 1.1.1 Toán tử quạt 1.1.2 Lũy thừa bậc phân số toán tử quạt 14 1.1.3 Đánh giá nhị phân nửa nhóm giải tích 15 1.2 Hàm Green 16 1.3 Không gian hàm chấp nhận 17 1.4 Đa tạp quán tính 22 1.5 Kết luận Chương 24 Đa tạp quán tính phương trình tương ứng với tốn tử tự liên hợp có giải thức compact 25 2.1 Đặt tốn 25 2.2 Đa tạp quán tính 27 2.3 Áp dụng vào mơ hình Fisher-Kolmogorov 34 2.4 Kết luận Chương 36 ii Đa tạp qn tính phương trình tương ứng với tốn tử quạt có kẽ hở phổ 37 3.1 Đặt toán 37 3.2 Đa tạp quán tính 38 3.3 Kết luận Chương 48 Kết luận Đề nghị 50 Danh mục cơng trình khoa học liên quan đến luận văn 51 Tài liệu tham khảo 52 Chỉ mục 55 iii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu viết luận văn Các kết luận văn chưa cơng bố cơng trình khác mà biết Thái Nguyên, ngày 01 tháng năm 2015 Học viên Bùi Xuân Quang iv Tóm tắt nội dung Trong luận văn này, nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình tiến hóa thơng qua tồn đa tạp quán tính Cụ thể, sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron đánh giá nhị phân kết hợp với tính chấp nhận không gian hàm, chứng minh tồn đa tạp quán tính phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có dạng du(t) + Au(t) = f (t, u(t)), t > s, dt u(s) = us , s ∈ R, tốn tử đạo hàm riêng tuyến tính −A tốn tử quạt khơng gian Banach có kẽ hở phổ đủ lớn sinh nửa nhóm giải tích số hạng phi tuyến f thỏa mãn điều kiện ϕ-Lipschitz, tức f (t, u) − f (t, v) ϕ(t) Aθ (u − v) , với ϕ thuộc vào khơng gian hàm chấp nhận Từ khóa Phương pháp Lyapunov-Perron, đa tạp qn tính, phương trình parabolic nửa tuyến tính, khơng gian hàm chấp nhận được, tốn tử quạt, nửa nhóm giải tích v Lời cảm ơn Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Thiệu Huy (Viện Toán ứng dụng Tin học - Đại học Bách Khoa Hà Nội) Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người hướng dẫn khoa học mình, người đặt tốn, truyền cảm hứng, tận tình bảo tác giả nghiên cứu dẫn dắt tác giả đến hướng nghiên cứu thời lĩnh vực Phương trình vi phân & Hệ động lực Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn đặc biệt đến Ban tổ chức thành viên Seminar “Asymptotic Behavior of Solutions to Differential Equations and Applications” PGS.TS Nguyễn Thiệu Huy điều hành Đại học Bách Khoa Hà Nội tạo cho tác giả môi trường học thuật nghiêm túc, sôi động giải đáp nhiều thắc mắc kiến thức chuyên môn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán Trường Đại học Hải Phòng anh chị đồng nghiệp Khoa tạo nhiều điều kiện thuận lợi để tác giả học tập nghiên cứu Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến cán giảng dạy Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, Trường ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt trình học tập Cuối cùng, tác giả xin dành lời cảm ơn đặc biệt đến bố mẹ, gia đình ln bên cạnh động viên để tác giả hoàn thành luận văn vi Danh sách kí hiệu C(Ω) khơng gian hàm số liên tục Ω C k (Ω) không gian hàm số khả vi liên tục cấp k Ω X →Y phép nhúng Re z, arg z phần thực argument số phức z ut (t, x), uxx (t, x) đạo hàm riêng hàm số u(t, x) dx(t) dt , đạo hàm bậc ca hm s x(t) x(t), xă(t) D (A) xác định toán tử A Aθ lũy thừa bậc phân số toán tử A Xθ := D (Aθ ) miền xác định lũy thừa bậc phân số Aθ ρ(A), σ(A) tập giải thức phổ toán tử A R(λ, A) giải thức toán tử A L1,loc (R) khơng gian hàm số khả tích địa phương R {e−tA }t nửa nhóm sinh tốn tử −A ω0 cận tăng trưởng nửa nhóm {e−tA }t (σ, ω) toán tử quạt kiểu (σ, ω) s(A) biên phổ toán tử A G(t, τ ) hàm Green P X, ker P không gian ảnh hạch X qua phép chiếu P u (·) quỹ đạo cảm sinh distX θ nửa khoảng cách Hausdorff sinh chuẩn X θ Bρ hình cầu bán kính ρ không gian Banach L (X) không gian tốn tử tuyến tính bị chặn X Mở đầu Xét tốn truyền nhiệt nửa tuyến tính kim loại có độ dài hữu hạn u (t, x) = uxx (t, x) + f (u(t, x)), t > 0, < x < π, t (1) u(t, 0) = u(t, π) = 0, t 0, u(0, x) = u (x), < x < π Để sử dụng lý thuyết Tốn học đại, ta chuyển toán thành phương trình tốn tử khơng gian trừu tượng Để làm điều ta giới thiệu khơng gian Hilbert X = L2 [0, π] đặt u(t, ·) = U (t), f (u(t, ·)) = F (U (t)), t Khi tốn (1) viết lại thành phương trình tiến hóa dU (t) = BU (t) + F (U (t)), t > 0, dt U (0) = u0 (2) với B toán tử đạo hàm riêng X xác định D (B) := ϕ ∈ X : ϕ ϕ˙ liên tục tuyệt đối, ϕ˙ ∈ X, ϕ(0) = ϕ(π) = , B := ă Trong khụng gian Hilbert X với tích vơ hướng π ϕ, ψ = ϕ(x)ψ(x)dx với ϕ, ψ ∈ X, tốn tử tuyến tính không giới nội A := −B xác định dương, tự liên hợp, có phổ rời rạc Một cách tổng quát, toán Cauchy trừu tượng du(t) + Au(t) = f (t, u(t)), t > s, dt u(s) = us , s ∈ R, (3) với A tốn tử khơng giới nội không gian Hilbert tách vô hạn chiều, xác định dương, tự liên hợp, có giải thức compact f tốn tử phi tuyến, mơ hình nhiều tốn thực tế Chẳng hạn mơ hình q trình truyền nhiệt (như phân tích trên), trình phản ứng-khuếch tán (xem [12]), hay mơ hình Fisher-Kolmogorov mơ tả lan truyền lớp gene trội quần thể sinh thái (xem [27, 28]), Việc xét phương trình dạng trừu tượng không gian hàm tổng quát cho phép sử dụng cơng cụ tìm hiểu vấn đề mang tính chất nghiệm Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình thời gian đủ lớn việc làm quan trọng Nó cho phép hiểu sâu sắc trình biến đổi vật chất theo thời gian, từ đưa ước lượng đánh giá quy mô hệ thống tương lai Một nhánh nghiên cứu sôi động thời nghiên cứu dáng điệu nghiệm thông qua tồn đa tạp khả vi, lý cho ta biết tranh hình học tổng thể dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình tiến hóa với nhiễu phi tuyến Tìm điều kiện để phương trình có đa tạp tích phân (chẳng hạn, đa tạp ổn định, không ổn định hay đa tạp trung tâm) vấn đề trọng tâm hướng nghiên cứu (lịch sử vấn đề bước phát triển tìm hiểu cơng trình [10, 11, 15, 16, 17, 18, 19] Nguyễn Thiệu Huy cộng đạt kết đại nhiều lớp phương trình nửa tuyến tính tổng qt không gian hàm chấp nhận với điều kiện tổng quát) Trong lớp đa tạp không ổn định, đa tạp qn tính cơng cụ lý tưởng để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình tiến hóa Khái niệm đa tạp qn tính giới thiệu năm 1985 Foias C., Sell G R., Temam R [7] cố gắng để giảm bớt nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình Navier-Stokes đến đa tạp Lipschitz hữu hạn chiều Kể từ đó, đa tạp qn tính phương trình tiến hóa nghiên cứu cách hệ thống nhiều cơng trình (xem [4, 5, 24, 31, 32] tài liệu tham khảo đó) Đặc tính quan ... KHOA HỌC BÙI XUÂN QUANG ĐA TẠP QUÁN TÍNH ĐỐI VỚI CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CĨ PHẦN TUYẾN TÍNH LÀ TỐN TỬ QUẠT Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN... tồn đa tạp khả vi, lý cho ta biết tranh hình học tổng thể dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình tiến hóa với nhiễu phi tuyến Tìm điều kiện để phương trình có đa tạp tích phân (chẳng hạn, đa tạp. .. nhị phân kết hợp với tính chấp nhận không gian hàm, chứng minh tồn đa tạp quán tính phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có dạng du(t) + Au(t) = f (t, u(t)), t > s, dt u(s) = us , s ∈ R, tốn tử