Đang tải... (xem toàn văn)
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức hình học (Luận văn thạc sĩ)Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức hình học (Luận văn thạc sĩ)Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức hình học (Luận văn thạc sĩ)Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức hình học (Luận văn thạc sĩ)Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức hình học (Luận văn thạc sĩ)Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức hình học (Luận văn thạc sĩ)Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức hình học (Luận văn thạc sĩ)Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức hình học (Luận văn thạc sĩ)Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức hình học (Luận văn thạc sĩ)Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức hình học (Luận văn thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HẬU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN, NĂM 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HẬU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN NGỌC THÁI NGUYÊN, NĂM 2015 i Mục lục Mục lục Lời cảm ơn Danh mục kí hiệu Danh mục hình Lời mở đầu Các phương pháp chứng minh thường dùng 1.1 Phương pháp túy hình học 1.1.1 Một số định lý 1.1.2 Một số tốn bất đẳng thức hình học phẳng 1.2 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức đại số 1.2.1 Các bất đẳng thức 1.2.2 Các toán áp dụng bất đẳng thức AM-GM 1.2.3 Các toán áp dụng véc tơ bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 1.2.4 Các toán áp dụng bất đẳng thức xếp lại i ii iii iv 3 13 13 15 18 23 Phương pháp ứng dụng hàm lồi 27 2.1 Khái niệm hàm lồi tính chất 27 2.2 Một số tính chất khác hàm lồi 28 2.3 Các toán áp dụng hàm lồi 34 Phương pháp ứng dụng số phức 44 3.1 Khái niệm số phức tính chất 44 3.1.1 Định nghĩa số phức 44 3.1.2 Dạng đại số số phức 45 3.1.3 Dạng lượng giác số phức 46 3.2 Các toán áp dụng 48 3.2.1 Bất đẳng thức tam giác bất đẳng thức Ptolemy 48 3.2.2 Bất đẳng thức Hyashi mở rộng 49 3.2.3 Một số bất đẳng thức tam giác có trọng khác 51 Kết luận 59 Tài liệu tham khảo 60 ii Lời cảm ơn Lời khóa luận này, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới người thầy kính mến TS Nguyễn Văn Ngọc, tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình làm hồn thiện luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo khoa Toán, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học, người trực tiếp giảng dạy giúp đỡ tơi q trình học tập trường tồn thể bạn bè người thân đóng góp ý kiến, giúp đỡ, động viên tơi q trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tuy nhiên, hiểu biết thân khuôn khổ luận văn thạc sỹ nên luận văn trình bày phần Do thời gian có hạn lực có phần hạn chế nên chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót Kính mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn bè đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh Xin chân thành cảm ơn Thái Nguyên, ngày tháng .năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Hậu iii Danh mục kí hiệu Giả sử tam giác ABC có: ❼ BC = a, CA = b, AB = c; ❼ S diện tích tam giác; ❼ p nửa chu vi tam giác; ❼ ma , mb , mc , la , lb , lc , , hb , hc độ dài trung tuyến, phân giác đường cao tương ứng với cạnh a, b, c; ❼ r, R, , rb , rc bán kính đường trịn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp, đường tròn bàng tiếp với cạnh a, b, c tam giác ABC ❼ ∑ a = a + b + c ❼ Πa = abc iv Danh mục hình ❼ Hình 1.1; ❼ Hình 1.2; ❼ Hình 1.3; ❼ Hình 1.4; ❼ Hình 1.5; ❼ Hình 1.6; ❼ Hình 1.7; ❼ Hình 1.8; ❼ Hình 1.9; ❼ Hình 1.10; ❼ Hình 1.11; ❼ Hình 1.12 Lời mở đầu Bất đẳng thức nói chung bất đẳng thức hình học nói riêng sử dụng nhiều lĩnh vực tốn học Chúng có số đặc tính thú vị nhiều ứng dụng Bất đẳng thức hình học thường khó giải khơng phải lúc tìm lời giải đẹp Hiện có lượng đáng kể tài liệu tiếng Anh tiếng Việt bất đẳng thức hình học Nhận xét rằng, có luận văn bất đẳng thức hình học, chẳng hạn [4] Tuy nhiên, theo biết, tài liệu phân loại phương pháp chứng minh bất đẳng thức hình học chưa có nhiều, ngồi chủ yếu tài liệu tiếng Anh Vì lý chọn đề tài luận văn " Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức hình học" Tìm hiểu phương pháp chứng minh bất đẳng thức nói chung bất đẳng thức hình học nói riêng cần thiết giúp giải pháp tiếp cận tốn đó, cơng cụ nghiên cứu vấn đề Luận văn trình bày số phương pháp chứng minh bất đẳng thức hình học mà sử dụng để giải tốn bất đẳng thức hình học cực trị từ đến nâng cao thường xuất kỳ thi vào trường, thi học sinh giỏi khu vực hay quốc gia, quốc tế Tuyển chọn phân loại tốn bất đẳng thức hình học theo đặc điểm phương pháp giải chúng Luận văn có bố cục: Mở đầu, ba chương nội dung chính, Kết luận Tài liệu tham khảo Chương 1: Các phương pháp chứng minh thường dùng Chương trình bày tốn giải phương pháp túy hình học, bất đẳng thức tam giác, quan hệ cạnh góc tam giác tốn giải phương pháp sử dụng bất đẳng thức đại số, bất đẳng thức AM-GM, bất đẳng thức CauchySchwarz, v.v Chương 2: Phương pháp ứng dụng hàm lồi Chương trình bày khái niệm tính chất hàm lồi việc sử dụng hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức hình học Đặc biệt hai định lí quan trọng sử dụng rộng rãi chứng minh bất đẳng thức nói chung bất đẳng thức hình học nói riêng bất đẳng thức Jensen bất đẳng thức Karamata liên quan đến hàm lồi Chương 3: Phương pháp ứng dụng số phức Số phức xuất từ kỷ XIX nhu cầu phát triển tự nhiên Tốn học giải phương trình đại số, chẳng hạn phương trình x2 + = Từ đời đến nay, số phức phát triển mạnh mẽ, thúc đẩy phát triển Toán học, nhiều ngành Khoa học, Kỹ thuật khác Số phức biểu thị điểm mặt phẳng phức Khoảng cách hai điểm phức khoảng cách hai điểm không gian Euclid hai chiều có tọa độ phần thực phần ảo điểm phức vị trí Mơ đun (modul) số phức độ dài véc tơ có điểm gốc gốc tọa độ, điểm điểm phức Vì vậy, số phức hình học có mối quan hệ mật thiết Số phức công cụ hữu hiệu giải nhiều toán, đặc biệt bất đẳng thức hình học phẳng Nội dung chương trình bày tốn chứng minh bất đẳng thức hình học phương pháp số phức bất đẳng thức tam giác mở rộng, bất đẳng thức Ptolemy, bất đẳng thức Hyashi bất đẳng thức tam giác có trọng khác Kỹ thuật chủ yếu phương pháp áp dụng bất đẳng thức tam giác mở rộng cho đồng thức Học sinh bậc THPT làm quen với số phức, thực phép tốn số phức cịn chưa thục, nên việc áp dụng số phức vào hình học việc khó Chương Các phương pháp chứng minh thường dùng Chương trình bày tốn giải phương pháp túy hình học, bất đẳng thức tam giác, quan hệ cạnh góc tam giác toán giải phương pháp sử dụng bất đẳng thức đại số, bất đẳng thức AM-GM, bất đẳng thức CauchySchwarz, v.v Nội dung chủ yếu chương hình thành từ tài liệu [1, 2, 5, 11 - ??, 7] 1.1 1.1.1 Phương pháp túy hình học Một số định lý Trong mục tác giả trình bày số định lý hình học phẳng Nội dung mục trích từ tài liệu [1] Định lý 1.1 (Bất đẳng thức tam giác) Trong tam giác chiều dài cạnh nhỏ tổng chiều dài hai cạnh lại Tổng quát hơn, cho ba điểm A, B, C ta có: AC + BC ⩾ AB với đẳng thức xảy C nằm đoạn AB Đây bất đẳng thức hình học Trong phần chủ yếu đưa toán giải nhờ sử dụng bất đẳng thức đơn giản Định lý 1.2 Giả sử O điểm bên tam giác ABC ( Điểm O nằm cạnh, không trùng với đỉnh tam giác ABC ) Khi có bất đẳng thức AO + OC < AB + BC (1.1) Hình 1.1 Chứng minh Ký hiệu M giao điểm AO với BC Sử dụng kép bất đẳng thức tam giác ta có AO + OC < AO + OM + M C = AM + M C < AB + BM + M C = AB + BC ta có điều phải chứng minh Định lý 1.3 Trong tam giác ứng với góc lớn cạnh dài ngược lại Hình 1.2 ̂ > ACB, ̂ ta chứng minh Chứng minh Xét tam giác ABC Giả sử ABC ̂ kẻ tia Bx,cắt cạnh AC AC > AB ngược lại Thật vậy, góc ABC ̂ = DCB ̂ Ta có BD = DC, BD + DA = AC > AB D cho DBC ̂ > ACB ̂ Thật vây, Ngược lại, giả sử AC > AB, ta chứng minh ABC ̂ ≤ ACB ̂ Khi theo chứng minh ta có AC ≤ AB, mâu giả sử ABC thuẫn Định lý chứng minh Định lý 1.4 Cho trước hai tam giác ABC A′ B ′ C ′ có hai cặp cạnh ′ A′ C ′ ̂ > B̂ AB = A′ B ′ , AC = A′ C ′ Ta có bất đẳng thức BAC chi BC > B ′ C ′ ... đề tài luận văn " Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức hình học" Tìm hiểu phương pháp chứng minh bất đẳng thức nói chung bất đẳng thức hình học nói riêng cần thiết giúp giải pháp tiếp cận... tốn chứng minh bất đẳng thức hình học phương pháp số phức bất đẳng thức tam giác mở rộng, bất đẳng thức Ptolemy, bất đẳng thức Hyashi bất đẳng thức tam giác có trọng khác Kỹ thuật chủ yếu phương. .. tiếng Việt bất đẳng thức hình học Nhận xét rằng, có luận văn bất đẳng thức hình học, chẳng hạn [4] Tuy nhiên, theo biết, tài liệu phân loại phương pháp chứng minh bất đẳng thức hình học chưa có