PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN 12 ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn: Toán Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu (3 điểm ): Giải phương trình hệ phương trình: a )5 x + x − = b) ( x − 1) + x = 31 c) x ( x − 6) + 18 = 5 x + y =  d) −2 6 x − y = x2 Câu (1,5 điểm ): Cho hàm số: y = có đồ thị (P) a) Vẽ đồ thị (P) b) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng (D) y = − x + cắt (P) điểm có hồnh độ Câu (2 điểm): Cho phương trình x − (m − 1) x + 2m − = a) Chứng tỏ phương trình ln có nghiệm với giá trị m b) Tính tổng tích hai nghiệm theo m c) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Tìm m để phương trình có hai 2 nghiệm thỏa ( x1 − 1) + ( x2 − 1) = Câu (3,5 điểm): Từ điểm A nằm (O), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C hai tiếp điểm), gọi H giao điểm OA BC a) Chứng minh tứ giác OBAC nội tiếp OA ⊥ BC b) Kẻ đường kính BK (O), AK cắt (O) E Chứng minh: AB 2=AE.AK tứ giác OHEK nội tiếp c) Chứng minh: CE ⊥ HE OKH = OAE d) Tia BK tia AC cắt F, kẻ CI ⊥ BK (I ∈ BK), AK CI cắt M Gọi N trung điểm AB Chứng minh: ba điểm F, M, N thẳng hàng Hết ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN HKII NĂM HỌC 2016 – 2017 Bài 1: Giải phương trình hệ phương trình sau: a)5x2 + 2x − = b) ( x − 1) + 3x = 31 ∆ ' = 12 − 5.(−7) = 36 > (0,25đ) ⇔ x2 − 2x + 1+ 3x − 31= ⇔ x2 + x − 30 = ∆' = Phương trình có nghiệm phân biệt x1 = (0,25đ) −7 x2 = (0,25đ) ∆ = 12 − 4.1.( −30) = 121> ∆ = 11 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = x2 = −6 c) x ( x − 6) + 18 = ⇔ x4 − 6x2 + = Đặt t = x2 (t ≥ 0) Pt trở thành t2 − 6t + = (0,25đ)) ⇔ ( t − 3) = ⇔ t− 3= ⇔ t = 3(n) (0,25đ)) (0,25đ) t = 3⇒ x = ⇔ x = ± { } S= ± (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) 5x + 3y =  d)  −2 6x − 4y =  20x + 12y = 24 (0,25đ)  ⇔ 18x − 12y = −    114 38x = x = (0,25đ) ⇔ ⇔ 5x + 3y = 3+ 3y =    x = (0,25đ) ⇔ y =  Nghiệm hệ phương trình ( ;1) Bài 2: (1,5 điểm) a) BGT x -4 -2 x y= 0 4 (0,25đ) Vẽ đồ thị (P) (0.5đ) b) Gọi phương trình đường thẳng (d) có dạng y=ax + b Vì (d) song song với đường thẳng (D) y = − x + nên a = -1, b≠ (0,25đ) ⇒pt (d) có dạng y = -x+b Vì (d) cắt (P) điểm có hồnh độ nên thay x =2 vào pt (P) y = Thay x=2, y =1 vào pt (d) y = -x+b ⇒ b = 3(n) Vậy phương trình đường thẳng (d) y = -x+3 (0,25đ) Bài 3: (2,0 điểm) a) x − (m − 1) x + 2m − = (m tham số) x2 ⇒ y =1 (0,25đ) ∆ =  − ( m− 1)  − 4.1.(2m− 6) (0,25đ) =m2 − 2m+ 1− 8m+ 24 =m2 − 10m+ 25 =( m− 5) ≥ 0,∀m (0,25đ) Vậy phương trình ln có nghiệm với m (0,25đ) b) Theo hệ thức Vi-ét (0,25đ) S = x1 + x2 = m− P = x1.x2 = 2m− (0,25đ) c)( x1 − 1) + ( x2 − 1) = 26 2 ⇔ x12 − 2x1+1+ x22 − 2x2 + 1= 26 ( ) ⇔ x12 + x22 − 2( x1+ x2 ) + = 26 ⇔ S2 − 2P − 2S + = 26 ⇔ ( m− 1) − 2( 2m− 6) − 2(m− 1) + = 26 (0,25đ) ⇔ m2 − 2m+ 1− 4m+ 12 − 2m+ + − 26 = (0,25đ) ⇔ m2 − 8m− = Ta có a –b +c = 1+8-9=0 Phương trình có hai nghiệm m = -1(n), m = 9(n) (0,25đ) Bài 4: (3,5 điểm) a) Chứng minh : tứ giác OBAC nội tiếp OA ⊥ BC · · OBA = OCA = 900 (AB, AC làtiế p tuyế n củ a(O)) · · ⇒ OBA + OCA = 1800 (0,25đ) Vậy tứ giác OBAC nội tiếp (t/g có tổng hai góc đối 1800) (0,25) OB = OC (bán kính (O)) ; AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (0,25) ⇒OA đường trung trực BC ⇒ OA ⊥ BC (0,25) b) Chứng minh: AB2=AE.AK tứ giác OHEK nội tiếp (0,25đ) · BEK = 900 (góc nội tiếp chắn nửa (O)) ⇒ BE ⊥ AK Xét ∆ABK vuông B, có đường cao BE: (0,25) AE.AK = AB2 (hệ thức lượng tam giác vuông) Xét ∆ABO vuông B, có đường cao BH: AH AO = AB2 (hệ thức lượng tam giác vuông) ⇒ AH AO = AE.AK (= AB2 ) Xét ∆AHE ∆AKO có: góc OAK chung; ⇒ ∆AHE (c.g.c) AH AE = (vì AH AO = AE.AK ) AK AO ∆AKO (0,25đ) · ⇒ ·AHE = AKO Vậy tứ giác OHEK nội tiếp (tứ giác có góc ngồi góc đối trong) (0,25đ) · · c) Chứng minh: CE ⊥ HE OKH = OAE (0,25đ) (0,25đ) ·AHE + EHC · = 900 (OA ⊥ BC ) · Maø·AHE = EKB (cmt) · · EKB = ECB (gó c nộ i tiế p chắ n cung BE cuû a(O) · · ⇒ ECB + EHC = 900 ⇒ ∆EHC vuô ng E ⇒ EH ⊥ EC Xét ∆ABO vng B, có đường cao BH: OH AO = OB2 (hệ thức lượng tam giác vng) Mà OB = OK ( bán kính (O)) ⇒ OH AO = OK ⇒ OH OK = OK OA Xét ∆OHK ∆OKA có: góc KOA chung; OH OK = (cmt) OK OA ⇒ ∆OHK ∆OKA (c.g.c) (0,25đ) · · ⇒ OKH = OAE d) Chứng minh: ba điểmF, M, N thẳng hàng Gọi S giao điểm KC BA · BCK = 900 (góc nội tiếp chắn nửa (O)) ⇒ BC ⊥ SK ∆BKS có O trung điểm BK; OA // KS (cùng ⊥ BC) (0,25đ) ⇒A trung điểm BS ⇒AB = AS IM KM = (hệquảTalet ∆K BA) BA KA CM KM CM / / AS(⊥ BK ) ⇒ = (hệquảTalet ∆KSA) AS KA IM CM KM ⇒ = (= ) BA AS KA MàBA = AS(cmt) Nê n IM =CM ⇒ M làtrung điể m củ a IC (0,25đ) IM / / AB(⊥ BK ) ⇒ Gọi FM cắ t BA taïi N' IM FM IM / / N' B(⊥ BK ) ⇒ = (hệquảTalet ∆FBN') BN ' FN ' CM FM CM / / AN '(⊥ BK ) ⇒ = (hệquảTalet ∆FN'A) AN ' FN ' IM CM FM ⇒ = (= ) BN ' AN ' FN ' MàIM =CM(cmt) Nê n BN'=AN' ⇒ N ' làtrung điể m củ a BA MàN làtrung điể m củ a BA(gt) ⇒ N trù ng N' MàN',F, M thẳ ng hà ng (0,25đ) Vậ y N,F, M thẳ ng hà ng Hết HS làm cách khác đạt điểm tối đa ... x2 = m− P = x1.x2 = 2m− (0 ,25 đ) c)( x1 − 1) + ( x2 − 1) = 26 2 ⇔ x 12 − 2x1+1+ x 22 − 2x2 + 1= 26 ( ) ⇔ x 12 + x 22 − 2( x1+ x2 ) + = 26 ⇔ S2 − 2P − 2S + = 26 ⇔ ( m− 1) − 2( 2m− 6) − 2( m− 1) + = 26 ...ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN HKII NĂM HỌC 20 16 – 20 17 Bài 1: Giải phương trình hệ phương trình sau: a)5x2 + 2x − = b) ( x − 1) + 3x = 31 ∆ ' = 12 − 5.(−7) = 36 > (0 ,25 đ) ⇔ x2 − 2x + 1+... 1) + = 26 (0 ,25 đ) ⇔ m2 − 2m+ 1− 4m+ 12 − 2m+ + − 26 = (0 ,25 đ) ⇔ m2 − 8m− = Ta có a –b +c = 1+8 -9= 0 Phương trình có hai nghiệm m = -1(n), m = 9( n) (0 ,25 đ) Bài 4: (3,5 điểm) a) Chứng minh : tứ giác