Đang tải... (xem toàn văn)
Phương trình vi phân tổng quát của dao động Ta hãy nghiên cứu dao động của một khối lượng tập trung M, đặt trên dầm AB. Dầm này được xem là vật thể đàn hồi không có khối lượng (khối lượng p
Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-1 Chương 1. DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO 1.1 Phương trình vi phân tổng quát của dao động Ta hãy nghiên cứu dao động của một khối lượng tập trung M, đặt trên dầm AB. Dầm này được xem là vật thể đàn hồi không có khối lượng (khối lượng phân bố của dầm xem như không đáng kể và tạm thời chưa xét tới). Giả sử hệ chịu tác động của lực kích thích thay đổi theo thời gian là P(t) (hình 1-1a). Vị trí của khối lượng M khi dao động được xác định bởi hàm số y(t). Giả thiết chuyển vị đứng y(t) hướng xuống dưới là dương và vị trí xuất phát của khối lượng M là vị cân bằng ban đầu tương ứng với khi y = 0. Dưới tác dụng của lực kích thích P(t), khối lượng M dao động và trên dầm chịu tác dụng của những lực sau đây : 1. Lực tác dụng P(t) 2. Lực quán tính của khối lượng yM.Z&&−=. Lực này đặt tại khối lượng M và có chiều hướng theo chiều của chuyển động tức là hướng xuống dưới, vì chiều của gia tốc y&& của khối lượng M luôn luôn hướng về vị trí cân bằng. 3. Lực cản R. Lực này phụ thuộc môi trường chuyển động (chất khí, chất lỏng .), ma sát của các liên kết tựa, hiện tượng ma sát trong của vật liệu, độ chuyển dời của khối lượng, và vận tốc của chuyển động. Đa số các trường hợp trong thực tế có thể xem lực cản R tỷ lệ bậc nhất với vận tốc chuyển động:yβ&=R, R có chiều ngược với chiều chuyển động tức là hướng lên trên. Trong đó : y& - vận tốc của khối lượng M ; β - hệ số tỷ lệ đặc trưng cho sự cản, có đơn vị là scmKN. Gọi 1Pδ - chuyển vị tại điểm đặt khối lượng M do lực đơn vị tác dụng tĩnh tại điểm đặt của lực kích thích (hình 1-1b) gây ra; b, Rδ1Pc, 1δ11a, M P(t)y(t)y > 0 Z = -M.y x1 Hình 1-1. Hệ có một bậc tự do. Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-2 11δ - chuyển vị theo phương chuyển động tại điểm đặt khối lượng M do lực đơn vị tác dụng tĩnh tại M (hình 1-1c) gây ra. Nếu coi chuyển vị của hệ là nhỏ thì ta có thể áp dụng được nguyên lý cộng tác dụng. Lúc này chuyển vị y(t) của khối lượng M là tổng các chuyển vị do lực quán tính Z, lực kích thích P(t) và lực cản R cùng tác dụng gây ra. Do đó ta có phương trình sau: .Rδ.Zδ.P(t)δy(t)11111P−+= hay: yβδδδ&&&.y.M.P(t)y(t)11111P−−= Chia cả hai vế cho 11δM và sau khi biến đổi ta được: .P(t).y2y1P22δωωyα=++&&& (1-1) trong đó 112Mδ1ω =; Mβ2α = (1-2) Đó là phương trình vi phân tổng quát của dao động cưỡng bức có kể đến lực cản của hệ có một bậc tự do. Trong các mục dưới đây ta sẽ vận dụng phương trình vi phân tổng quát để nghiên cứu dao động của hệ có một bậc tự do tương ứng với các trường hợp cụ thể khác nhau. 1.2 Dao động tự do không có lực cản Như ta đã biết, dao động tự do của hệ là dao động sinh ra bởi một lực kích động bất kỳ tác dụng trên hệ rồi cất đi tức thời. Theo (1-1) phương trình vi phân của dao động tự do không có lực cản có dạng: 0.yy2=+ ω&& (1-3) Đây là phương trình vi phân cấp hai không có vế phải và có hệ số là hằng số. Nghiệm của phương trình (1-3) có dạng: ()ωtBsinωtAcosty+= (1-4) Trong đó : A, B là những hằng số tích phân. Đạo hàm bậc nhất của chuyển vị y(t) (hình 1-2) theo thời gian, chính là vận tốc của khối lượng M t.cosB.t.sinA.v)t(yωωωω+−==& (1-5) Các hằng số A và B trong (1-4) và (1-5) được xác định theo các điều kiện ban đầu: Khi 0=t; 0yy= và 00vyy ==&&. Thay các điều kiện này vào các phương trình (1-4) và (1-5) ta xác định được : 0yA=; ω0vB =. Như vậy phương trình dao động có dạng : Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-3 My(t)yxaHình 1.2 Hệ một bậc tự do y tttTy02ωπωπ2ω2πT/4 T/4 T/4 T/4v /ω0ωπ2ω2πa,b,c,ε/ωT/4 T/4 T/4t my + ( )vω02Hình 1-3. Các dao động thành phần1ACBBOA1yv /ω0y0εωtλ Hình 1-4. Véc tơ quay. tvtyy .sin.cos00ωωω+= (1-6) Ta thấy trong trường hợp này, dao động của hệ gồm hai thành phần: dao động tỷ lệ với hàm coswt, phụ thuộc vào chuyển vị ban đầu y0 của khối lượng (hình 1-3a); dao động tỷ lệ với hàm sinwt phụ thuộc vào vận tốc ban đầu v0 (hình 1-3b). Chuyển vị của khối lượng M ở mỗi thời điểm bằng tổng các tung độ của hai đường cong ở thời điểm tương ứng. Đường biểu diễn của chuyển động của khối lượng M theo thời gian t có dạng như trên (hình 1-3c). Người ta còn dùng véc tơ quay để biểu diễn dao động. Xét véc tơ OA(hình1-4) có độ lớn bằng y0, quay quanh điểm cố định 0 với vận tốc góc ω không đổi, véc tơ OB có độ lớn là ω0v vuông góc với véc tơ OA. Hình chiếu của véc tơ OA và OB lên trục y cho ta các số hạng của biểu thức (1-6). Cũng được kết quả như vậy, nếu thay cho hai véc tơ OA và OB, ta khảo sát véc tơ OC là tổng hình học của chúng và lấy hình chiếu của OC trên trục y. Theo hình (1-4) véc tơ OC có độ lớn là a bằng : 2020)(ωvya +=, (1-7) và hợp với trục y một góc bằng : )t.(εω−, trong đó :00.yvarctgωε=. Vậy phương trình (1-6) có thể viết dưới dạng : ).cos(εω−=tay (1-8) Nếu gọi l là góc hợp giữa véc tơ OC và OB thì ta có thể biểu diễn (1-8) dưới dạng: Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-4 )]2(.cos[λπω−−= tay hay ).sin(λω+= tay (1-9) Trong đó: )(00vyarctgωλ= (1-10) Các đại lượng a và l xác định theo biểu thức (1-7) và (1-10) là các hằng số phụ thuộc điều kiện ban đầu của chuyển động. Ta cần xác định chu kỳ và tần số của dao động : + Chu kỳ dao động là thời gian cần thiết để khối lượng M thực hiện một dao động toàn phần và được ký hiệu là T và bằng:)(2sTωπ= + Tần số dao động là số lần dao động trong một giây :)/1(21sTfπω==. Do đó suy ra : f.2πω= là số lần dao động trong π2 giây vàω còn được gọi là tần số vòng của dao động riêng. Trong thực tế ta hay dùng tần số vòng nên thường gọi tắtω là tần số dao động riêng. Từ biểu thức (1-2) ta dễ dàng xác định được các đại lượng trên như sau : 1. Tần số vòng của dao động riêng được xác định như sau: )/1(.11111sygPgMt ===δδω (1-11) Trong đó : g - gia tốc trọng trường; ty - chuyển vị của khối lượng M do lực P = M.g tác dụng tĩnh tại vị trí đặt khối lượng M, theo phương dao động gây ra (hình 1-5a, b). Đối với hệ trên (hình 1-5b), nếu kể đến hiện tượng uốn dọc ta có : gMPMgEJltyleO.)1(3)('3−= a,ytP = MgP = Mglytb, Hình 1-5. Sơ đồ xác định chuyển vị tĩnh yt. Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-5 2. Tần số dao động riêng :tygfππω212== (1-12) 3. Chu kỳ dao động : gyTtπωπ22== (1-13) Từ biểu thức (1-9) ta có thể xác định giá trị tuyệt đối lớn nhất của chuyển vị, vận tốc và gia tốc của khối lượng M. ).sin(λω+= tay; do đó ay =max (1-14) )t.sin(avyλωω+==&; do đó ω.maxav = (1-15) )t.sin(ay2λωω+−=&&; do đó 2max.ayω=&& (1-16) Ngoài ra ta còn có thể tìm được giá trị tm xác định toạ độ thời gian đầu tiên xảy ra chuyển vị lớn nhất của khối lượng M (hình 1-3c). Theo (1-9): ataym=+= ).sin(maxλω do đó : 2.πλω=+mt Vậy: ωελπω=−= )2(1mt 1.3 Dao động tự do có lực cản Theo (1-1) phương trình vi phân của dao động tự do có lực cản có dạng : 0yy2y2=++ωα&&& (1-17) Trong đó : Mβα=2 và 1121δωM= Phương trình đặc trưng của phương trình vi phân (1-17) có dạng : 0.222=++ωαss Nghiệm của phương trình đặc trưng này là: 221sωαα−+−=, 222sωαα−−−= Vậy nghiệm của phương trình (1-17) có dạng tổng quát : )eCeC(eyt2t1t.2222ωαωαα−−−−+= (1-18) Ta thấy nghiệm của phương trình vi phân phụ thuộc quan hệ tỷ lệ giữa α và ω. Nếu a < ω (lực cản nhỏ) thì nghiệm của phương trình đặc trưng có số ảo, nếu a >ω (lực cản lớn) thì nghiệm là số thực . Ta lần lượt khảo sát các trường hợp sau : a) Trường hợp lực cản nhỏ (a <ω): Các nghiệm của phương trình đặc trưng có dạng: 221αωα−+−= is và 222αωα−−−= is. Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-6 Nếu gọi 221αωω−= thì phương trình (1-18) có dạng : )(11.2.1.tititeCeCeyωωα−−+= Hay có thể viết dưới dạng khác như sau : ).sin.cos(11.tBtAeytωωα+=− (1-19) Để xác định các hằng số tích phân, A và B, ta có các điều kiện ban đầu : Khi 0=t; 0yy = và 00vyy ==&&. Biểu thức vận tốc của chuyển động: )t.cosBt.sinA(e)t.sinBt.cosA(e.yv11t.11t.ωωωωααα+−++−==−−& hay: )cossin(.11 1tBtAeyvtωωαωα+−+−=−. Từ các điều kiện ban đầu ta xác định được : 0yA = và 100.ωαyvB+=. Vậy: ]sin)sin(cos[1101110.tvttyeytωωωωαωα++=− hay: )sin.cos(110010.tyvtyeytωωαωα++=− (1-20) Số hạng thứ nhất của biểu thức này tỷ lệ với hàm cosw1t và chỉ phụ thuộc chuyển vị ban đầu y0, còn số hạng thứ hai tỷ lệ với hàm sinw1t, phụ thuộc cả chuyển vị ban đầu y0 và vận tốc ban đầu v0. Từ (1-20) ta thấy dao động có lực cản là dao động tắt dần. Tương tự, ở đây ta cũng có thể dùng véc tơ quay để biểu thị chuyển động của dao động tắt dần. Xét véc tơ OA (hình 1-6) biểu thị đại lượng thay đổi t.0eyα− quay quanh tâm 0 với vận tốc 1ω không đổi. Nếu tính góc quay từ trục y theo chiều ngược chiều kim đồng hồ ω t1Α1Β1SSNMCAOB1ϕarctg( )αωy1Hình 1-6. Biểu diễn bằng véc tơ quay Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-7 thì hình chiếu OA1 của véc tơ đó lên trục y bằngtcoseyy1t.0ωα−= và biểu diễn số hạng thứ nhất của (1-20). Cũng tương tự, xét véc tơ OB biểu thị đại lượng thay đổi bằng )y.v(e100t.ωαα+− và vuông góc với véc tơ OA; hình chiếu OB1 của véc tơ này lên trục y là số hạng thứ hai của nghiệm (1-20). Biểu thức chung sẽ là hình chiếu trên trục y của véc tơ OC tức là véc tơ tổng của hai véc tơ OA và OB. Độ lớn của véc tơ OC đó bằng C : 210020.22).(ωααyvyeOBOACt++=+=−. Nếu gọi góc hợp giữa véc tơ OB và véc tơ OC là ϕ thì góc hợp giữa véc tơ OC với trục y là: )2(t1ϕπω−−. Do đó biểu thức (1-20) có thể viết dưới dạng : )sin()]2(cos[11ϕωϕπω+=−−= tCtCy hay: )sin(.).(12120020.ϕωωαα+++=−tyvyeyt (1-21) trong đó : 0010.yvytgαωϕ+= hay 0010.yvyarctgαωϕ+=. (1-22) Khi véc tơ OC quay (hình 1-6), điểm C vẽ đường xoắn ốc lôgarít, tiếp tuyến của nó hợp với phương vuông góc với véc tơ OC một góc không đổi )(1arctgωα−. Qua biểu thức (1-21) ta thấy dao động có lực cản ở đây là dao động tắt dần có dạng như trên (hình 1-7). nn+1nn+1T1T1CCyyyy1m,m3,2m,y = c.e sin( t + )α.t ω ϕ 1y = -c.e−α.t1y = +c.e−α.t1m1m23myHình 1-7. Dạng dao động tắt dần. Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-8 Chu kỳ của dao động này là : )(222211sTαωπωπ−==. Tần số dao động : )/1(2212211sTfπαωπω−===. Tần số vòng : )/1(2.1sfωπ=. Qua biểu thức (1-21) và đồ thị ta thấy dao động là điều hoà nhưng biên độ thay đổi theo thời gian tCe.α−, với 2120020).(ωαyvyOCC++==. Vậy dao động tắt dần theo quy luật số mũ âm. Ta cũng có thể dùng đường cong hình sóng vẽ trên hình 1-8 biểu diễn phương trình (1-21). Đường cong này tiếp xúc với đường cong tCey.α−−= tại các điểm 1m′, 2m′. Để nghiên cứu độ tắt dần, ta xét tỷ số giữa hai tung độ chuyển vị của khối lượng cách nhau một chu kỳ T1 : )(.11)(1.111])(sin[)sin(TttTttnneeTtCetCeyy+−−+−−+=+++==ααααϕωϕωη; 11Tnneyyαη==+. Từ đó suy ra : χα==+)ln(.11nnyyT, trong đó χ là hệ số biểu thị tốc độ tắt dần, gọi là giảm lượng lôga của dao động. Hệ sốχ có một ý nghĩa quan trọng, vì thông qua giá trị của nó xác định bằng thí nghiệm (đo yn và yn+1) ta có thể tìm được đại lượngα và từ đó suy ra hệ số cảnβ. Sau đây là một số kết quả thí nghiệm đo1.Tαχ= 1. Đối với các kết cấu thép : 5,01,02)08,0016,0(.1÷≈÷=παT 2. Đối với các kết cấu gỗ : 15,003,02)022,0005,0(.1÷≈÷=παT 3. Đối với kết cấu bê tông cốt thép : 20,008,02)032,0016,0(.1÷≈÷=παT 4. Đối với cầu thép : )15,001,0(.1÷=Tα trung bình 08,0 5. Đối với cầu bê tông cốt thép : 31,0.1=Tα 6. Đối với dầm bê tông cốt thép : )39,017,0(.1÷=Tα trung bình 28,0 7. Đối với khung bê tông cốt thép : )16,008,0(.1÷=Tα trung bình 12,0 Tần số góc 1ω thường xấp xỉ bằng tần sốω. Giả sử cứ sau mỗi chu kỳ, biên độ sau nhỏ hơn biên độ trước một nửa; có nghĩa là hiện tượng tắt dần xảy ra rất nhanh. Lúc này ta có : 5,01.==Teαη, nên : 693,05,0ln.1==Tα. Do đó : 11111,02693,0693,0ωωπα===T, ωωωαωω994,0)11,0(212221=−=−=. Ta thấy trường hợp hiện tượng tắt dần xảy ra rất nhanh, tần số 1ω giảm không đáng kể. Vì vậy trong thực tế tính toán người ta thường chọn 1ωω=. Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-9 Bây giờ ta nghiên cứu ảnh hưởng của lực cản đến chu kỳ dao động. Chu kỳ dao động tự do : ωπ20=T Chu kỳ dao động khi có lực cản : 22211)(11222ωαωπαωπωπ−=−==T Ta thấy : 1)(11201>−=ωαTT. Như vậy lực cản làm cho chu kỳ dao động dài hơn; tất nhiên khi đó tần số sẽ giảm, nghĩa là dao động xảy ra chậm hơn dao động tự do không có lực cản. Trong thực tế η thường lớn, nhưng ωα thường lại nhỏ nên ta thấy: dao động tắt đi rất nhanh, nhưng chu kỳ dao động lại tăng rất ít so với chu kỳ dao động tự do. Vì vậy khi làm thí nghiệm để tìm chu kỳ dao động, ta bỏ qua lực cản của môi trường (khi lực cản yếu); điều đó có lợi vì hệ số cản thường chưa biết. b) Trường hợp lực cản lớn (ωα>): Ta đặt 2222ωωα=− Theo (1.18) nghiệm của phương trình (1-17) có dạng : )()(2221.21.22tshCtchCeeeeyttttωωγγαωωα+=+=−−− hay có thể viết khác như sau : ).22.1θωαα+−=−tsheayt (1-23) sau khi xác định C1 và C2 theo các điều kiện ban đầu ta được : tshyvtchyeyt220020 (ωωαωα++=− . (1-24) Ta thấy chuyển động của khối lượng không tuần hoàn. Tuỳ theo điều kiện ban đầu, có thể xảy ra một trong ba dạng chuyển động sau : ytymMyv100M1tyv0y0ytmmy0yooo0v = 0Hình 1-8. Các dạng dao động tự do có lực cản lớn tuỳ thuộc điều kiện ban đầu. a) b) c) Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-10+ Khối lượng bắt đầu dao động từ y0 với vận tốc v0 hướng ra ngoài vị trí cân bằng (hình 1-8a). Do lực cản lớn khối lượng chuyển động đến M1 rồi quay trở lại và tiệm cận dần tới vị trí cân bằng ban đầu; + Khối lượng bắt đầu dao động từ y0 với vận tốc v0 hướng về vị trí cân bằng. Khối lượng M chuyển động qua vị trí cân bằng tới M1 thì quay lại và tiệm cận dần tới vị trí cân bằng (hình 1-8b); + Khối lượng được thả từ y0 không có vận tốc ban đầu, lúc này chuyển động sẽ giảm nhanh và tiệm cận dần tới vị trí cân bằng (hình 1-8c). c) Trường hợp ωα=: Phương trình đặc trưng có nghiệm kép α−==21ss. Vậy nghiệm của bài toán có dạng : )(24.CtCeyt+=−α. Chuyển động cũng không tuần hoàn, ta cũng có thể gặp một trong ba dạng chuyển động như trên. 1.4 Dao động cưỡng bức trong trường hợp tổng quát Trong mục này chúng ta sẽ nghiên cứu trường hợp dao động có lực cản, chịu lực kích thích bất kỳ P(t). Theo (1-1) phương trình vi phân thiết lập cho trường hợp tổng quát có dạng: )t(Pyy2yP122δωωα=++&&&. Trước tiên ta nghiên cứu trường hợp lực cản yếu )(βα<- là trường hợp hay gặp trong thực tế. Tương tự như ở Đ3, nghiệm của phương trình vi phân trên, nhưng không có vế phải có dạng (xem 1.20) : tevtteyytt1.1011.0sin)sin(cosωωωωαωαα−−++=. (1-26) Phương trình chuyển động (1-26) gồm hai số hạng : số hạng đầu là do chuyển vị ban đầu y0 so với vị trí cân bằng, số hạng sau là do ảnh hưởng của vận tốc ban đầu v0. Ngoài chuyển vị do dao động riêng, hệ còn chịu ảnh hưởng của lực kích thích P(t) nên chuyển vị tổng cộng có thêm một số hạng nữa. Ta xét tại thời điểm t bất kỳ ở giữa các thời điểm 0 và t, trong khoảng thời gian rất ngắn dt, do tác dụng của lực kích thích vận tốc v có số gia là dv. Số gia dv sẽ làm cho số gia dy của chuyển vị tổng cộng tại thời điểm t có thêm một lượng tương tự như số hạng thứ hai của biểu thức (1-26) tức là : { })(sinsin)sin(cos1)(11.10111.0τωωωωωωαωτααα−+++=−−−−tedvtevtteyddyttt (1-27) Sau đây ta đi tìm số gia của vận tốc dv Theo giáo trình Cơ lý thuyết, ta đã biết: xung lượng của lực tác động trong thời gian dt bằng độ biến thiên động lượng tại thời điểm đó: ).()(vMddPS==ττ (1-28) [...]... 19 1 chuyển vị do lực tác dụng tĩnh. 1.8 Một vài ứng dụng trong kĩ thuật của lí thuyết dao động Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-25 - Hệ số động là giá trị lớn nhất của K(t): K đ = K(t)max. (1.84) K đ phụ thuộc vào quy luật thay đổi của tải trọng động theo thời gian (dạng tải trong động) , tỷ số giữa thời gian duy trì tải trọng và chu kỳ dao động riêng của hệ (θ/T, θ - là thời... thấy phương trình dao động (1-48) gồm hai phần: một phần dao động với tần số của lực kích thích r và một phần với tần số của dao động tự do. Khi có lực cản thì dao động tự do mất dần, lúc đó là chuyển sang thời kỳ bình ổn, hệ sẽ dao động theo chu kỳ và tần số hoàn toàn như chu kỳ và tần số của lực kích thích : rt r yy t sin 1 1 2 2 * ω − = (1-49) 1.5.2 Hệ số động. Cơng thức (1-48) có thể viết dưới... 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-3 M y(t) y x a Hình 1.2 Hệ một bậc tự do y t t t T y 0 2ω π ω π 2ω 2π T/4 T/4 T/4 T/4 v / ω 0 ω π 2ω 2π a, b, c, ε/ω T/4 T/4 T/4 t m y + ( ) v ω 0 2 Hình 1-3. Các dao động thành phần 1 A C B B O A 1 y v / ω 0 y 0 ε ω t λ Hình 1-4. Véc tơ quay. t v tyy .sin.cos 0 0 ω ω ω += (1-6) Ta thấy trong trường hợp này, dao động của hệ gồm hai thành phần: dao động. ..Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-26 v 0 - là vận tốc ban đầu của khối lượng. - Khi xét đến ảnh hưởng của lực cản, phương trình đao động của hệ khi chịu tác dụng của tải trọng xung được viết như sau: () t M S ety t 1 1 sin ω ω α − = , (1.93) trong đó 22 1 αωω −= , với M2 β α = - là hệ số tắt dần; b - là hệ số cản; - Phương trình dao động của hệ trong trường hợp tổng... vào hệ, là diện tích của biểu đồ tải trọng theo thời gian; T – là chu kỳ dao động tự do; θ - là khoảng thời gian tải trọng tác dụng. P tđ = S.ω.ε, khi θ/T > 0,5 (1.88) trong đó ε - là hệ số xung, 2 sin 2 ωθ ωθ ε = . 1.9.3 Chuyển vị và nội lực của hệ - Các giá trị chuyển vị động lớn và nội lực động lớn nhất đối với hệ có một bậc tự do được tính qua hệ số động, nghĩa là các giá trị này do. .. thích. Số hạng sau là phần ảnh hưởng của lực kích thích )( τ P . Dựa vào điều kiện ban đầu, ta có thể tìm được trị số của A và B như trong phần dao động tự do ta có : 0 yA = ; 1 00 . ω α yv B + = . (1-44) Thay các trị số của A và B vào (1-43) ta lại tìm được kết quả hoàn toàn giống như nghiệm (1-30) của cách giải trên. Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-22 tyyy tt .cos ω −=− . (1-75)... Hay có thể viết : ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ++ +− + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = − t r te rt rr y y t t 1 1 1 . 4 22 2 2 2 * sin cossin cossin )sin( 4 1 ω ω λλα ωλ λ ω α ω α (1-65) Ta thấy phương trình dao động gồm hai thành phần, một phần dao động riêng với tần số 1 ω , còn một phần dao động cưỡng bức với tần số r của lực kích thích. Vì tồn bộ ảnh Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do. .. phương trình đặc trưng có dạng: 22 1 αωα −+−= is và 22 2 αωα −−−= is . Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-20 Nếu 0= α thì ∞= d K . Trong thực tế có những cơng trình bị cộng hưởng nhưng chưa bị phá hỏng ngay, vì có hệ số cản 0≠ α , nên ∞≠ d K . Tuy vậy, hệ số d K cũng rất lớn nên phải hết sức tránh thiết kế cơng trình có tần số dao động riêng xấp xỉ tần số của lực kích thích.... này sẽ gây ra dao động cưỡng bức trong cơng trình và có thể dùng dao động ký để ghi lại dao động ấy. Từ từ thay đổi vận tốc quay của đĩa thì ứng với một vận tốc quay nào đó, cơng trình sẽ có biên độ dao động cưỡng bức cực đại tức là xảy ra hiện tượng cộng hưởng. Khi đó tần số dao động tự do của cơng trình sẽ bằng vịng quay tương ứng c ủa đĩa. d) Tốc kế Phơram: Tốc kế Phơram (Frame) là một dụng cụ... OD và OB có thể thay bằng hình chiếu của véc tơ tổng OC lên trục y. Từ tam giác ODC ta tìm được độ lớn của véc tơ đó và ký hiệu là a: r.t r.t- λ π/2 -r t λ O B y P C D M r.t Hình 1-11. Véc tơ quay Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-5 2. Tần số dao động riêng : t y g f ππ ω 2 1 2 == (1-12) 3. Chu kỳ dao động : g y T t π ω π 2 2 == (1-13) Từ biểu thức (1-9) ta có thể xác . 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-1 Chương 1. DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO 1.1 Phương trình vi phân tổng quát của dao động Ta hãy nghiên cứu dao. dao động của hệ có một bậc tự do tương ứng với các trường hợp cụ thể khác nhau. 1.2 Dao động tự do không có lực cản Như ta đã biết, dao động tự do của hệ