PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP BN MA THUỘT ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2017-2018 MƠN: TỐN Thời gian: 150 phút (khơng tính giao đề) Ngày thi: 06/03/2018 Bài 1: (4,0 điểm) a) Cho biểu thức K  x x  26 x  19 x x 3   Tìm điều kiện để K có nghĩa x  x 3 x 1 x 3 rút gọn K b) Cho B  2018x  2019  x  2020 Tìm giá trị nhỏ B 1 x Bài 2: (4,5 điểm) a) Chứng minh n số nguyên dương thì: A  5n (5n  1)  6n (3n  2n )91 b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x  8y  3(x  xy  y ) c) Giải phương trình: x  3x    x  x Bài 3: (3,5 điểm) a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm giá trị tham số m để hai đường thằng (d): y  x  (d’): y   mx cắt điểm có tọa độ dương 1   3 b) Cho a, b, c số dương thỏa mãn  a b c Tìm a, b, c a  b  c  12 Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A có AB = AC = a Gọi D trung điểm BC, E điểm di động đoạn thẳng AD Gọi H K hình chiếu E lên cạnh AB AC Kẻ HI vng góc với DK (với I  DK ) Đường thẳng DK cắt đường thăng vng góc với AB B F a) Chứng minh năm điểm A, H, E, I, K thuộc đường tròn b) Tính số đo góc HIB c) Chứng minh ba điểm B, E, I thẳng hàng d) Tìm vị trí E AD để diện tích tam giác ABI lón Tính giá trị lớn theo a Bài 5: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O,R) vẽ tứ giác ABCD có đỉnh thuộc đường tròn (O) a) Chứng minh AB.DC + AD.BC = BD.AC b) Gọi D điểm cung lớn BC có chứa đỉnh A Trên BC chọn I cho BI = 2IC, DI cắt đường tròn (O;R) điểm thứ hai E Chứng minh AB  2AE  AE.BC CE Hết G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii –– TTH HC CSS N Ngguuyyễễnn C Chhíí TThhaannhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ttrraanngg 11 BÀI GIẢI SƠ LƯỢC Bài 1: (4,0 điểm) x   x  x  x   a) K có nghĩa    x 1  x 1    x 3 K     x  x x  x  16 x  16    x  x        x  3 x  1  x  1  x  16  x  16  x 3 x  1 x   x x  26 x  19 x x  x x  26 x  19  x x      x  x 3 x 1 x 3 x 1 x  x x  26 x  19  2x  x  x    x 1 x 3  2018x  2019  x  2020 Tìm giá trị nhỏ B 1 x  a  1 x  a  x   a  1   a  1 x   a  1  a  M  a (ĐK: 1  x  ) Đặt a  2019 , ta có B  1 x2 1 x2 b) Cho B  M   a  1 x   a  1 x   a  1 1 x2 2  4a 1  x    a  1 x   a  1 x   a  1 1 x2  a  1 x   a  1  4a    4a  x  0,  a  1 x  a  1   1 x  M  a  B  a  a  2019  2019 a 1 2018 1009 Đẳng thức xảy   a  1 x   a  1   x     (TMĐK) a 1 2020 1010   Bài 2: (4,5 điểm) a) A  5n (5n  1)  6n (3n  2n )  25n  5n  18n  12n   25n  18n   12n  5n 7 lại có A  25n  5n  18n  12n   25n  12n   18n  5n 13 ; mặt khác  7;13   A  13  91 b) x  8y  3(x  xy  y )  3x   3y  1 x  3y  8y  * Ta có    3y  1  12  3y  8y   27y  90y  15  57 15  57 y  y  0;1; 2;3 9 +) y   3x  x   x  3x  1   x  (vì x  Z ) Do * có nghiệm    27y  90y    +) y   3x  2x     x  1 3x     x  (vì x  Z ) 5  73 (loại, x  Z ) 4  +) y   3x  8x    x  (loại, x  Z ) Vậy cặp số nguyên  x; y  cần tìm  0;  ; 1;1 +) y   3x  5x    x  0  x   x  c) ĐKXĐ:  G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii –– TTH HC CSS N Ngguuyyễễnn C Chhíí TThhaannhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ttrraanngg 22 x  3x    x  1  x  3x   x    x  3x   x    x  2x  x x x x 1         x    2 x  1    x   2 x    x  x x x     1  x 0     x  1   x  x      x   1  0  x  3 x (TMĐK)   1   Bài 3: (3,5 điểm) a) (d) cắt (d’)    m  m  1 Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (d’) là: x    mx   m  1 x   x  Khi y  (do m  1 ) m 1  2m 2 m 1 m 1   m    m 1  Tọa độ giao điểm (d) (d’) dương     1  m  (TMĐK) 3  2m    2m   m  a2 b2  a  b  b) Với a, b, x, y số dương ta chứng minh minh   x y x y 1   a y  b x   x  y   xy  a  b  2 1  a xy  a y  b x  b xy  a xy  b xy  2abxy   a y  b x  2abxy    ay  bx   a b Dấu “=” xảy ay  bx    x y  Luon dung voi moi a, b, x, y  a2 b2 c2  a  b  c  Dựa vào (1) ta chứng minh    x y z xyz 2   với a, b, c, x, y, z số dương a b c a2 b2 c2  a  b  c2  a  b  c  Thật      Dấu “=” xảy   x y z x y z xy z xyz 1   3 36 36 Áp dụng (2), ta có:       (vì  a  b  c  12 ) a b c a bc a  b  c 12 a  1     Dấu ”=” xảy  a b c  b  a  b  c  12 c   Bài 4: (4,5 điểm) a) Chứng minh năm điểm A, H, E, I, K thuộc đường tròn Dễ dàng chứng minh tứ giác AHEK hình vng  A, H, E, K thuộc đường tròn đường kính HK   900  I thuộc đường tròn đường kính HK Lại có HIK G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii –– TTH HC CSS N Ngguuyyễễnn C Chhíí TThhaannhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ttrraanngg 33 Vậy A, H, E, K, I thuộc đường tròn đường kính HK b) Tính số đo góc HIB BDF  CDK  g.c.g   BF  CK , lại có A BH  AB  AH  AC  AK  CK  BF  BH   900  BF  AB  nên BHF vuông cân mà HBF   45 B  HFB   HBF   900  gt   tứ Tứ giác BHIF có HIF K H I E B C D   HFB   45 giác BHIF nội tiếp  HIB c) Chứng minh ba điểm B, E, I thẳng hàng   45 (do tứ giác AHEK hình F Ta có HAE vng) Vì A, H, E, K, I thuộc đường tròn đường kính HK (câu a)   HAE   45 , mặt khác HIB   45 (cmt)  B, E, I thẳng hàng  HIE d) Tìm vị trí E AD để diện tích tam giác ABI lón Tính giá trị lớn theo a 1 AI  BI 1 AI  BI    AB2  a 2 2 4 Đẳng thức xảy  AI  BI  I  D  E  D Vậy max SABI  a  E  D D ABI vuông I (gt), nên SABI  C O K Bài 5: (4,0 điểm) a) Chứng minh AB.DC + AD.BC = BD.AC   CBD  Trên đoạn thẳng AC lấy điểm K cho ABK A B   CBD   ABD   DBK   KBC   DBK   ABD   KBC  Ta có: ABK )   KBC  (cmt), ADB   KCB  (góc nội tiếp chắn cung AB Xét ABD KBC: ABD AD KC Vậy ABD KBC (g.g)    AD  BC  KC.BD  a  BD BC   DBC  (gt), BAK   BDC  (góc nội tiếp chắn cung BC ) Xét ABK DBC: ABK AB DB Vậy ABK DBC (g.g)    AB  DC  AK BD  b  AK DC Từ a) b)  AB  DC  AD  BC  AK BD  KC  BD  BD   AK  KC   BD  AC b) Chứng minh AB  2AE  AE.BC CE Cần xem lại đề !!!!!! (Kiểm nghiệm sketpad đây) G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii –– TTH HC CSS N Ngguuyyễễnn C Chhíí TThhaannhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ttrraanngg 44 Trường hợp C I E O D m CB = 5,43 cm m CE = 1,93 cm m AC = 7,82 cm B A m CI = 1,81 cm m BI = 3,62 cm m BI-2m CI = 0,00 cm m BA = 6,34 cm m AE = 7,82 cm m BAD = 136,46 m CGD = 136,46 m AEm CB = 0,00 cm m BA+2m AEm CE Trường hợp sai C E I O D A B m CI = 3,07 cm m BI = 6,14 cm m BI-2m CI = 0,00 cm m BA = 8,56 cm m AE = 10,61 cm m CB = 9,20 cm m CE = 3,48 cm m AC = 9,75 cm m BAD = 120,08  m CGD = 120,08 m BA+2m AE- m AEm CB m CE = 1,70 cm G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii –– TTH HC CSS N Ngguuyyễễnn C Chhíí TThhaannhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ttrraanngg 55 Bàn luận: Đẳng thức cần chứng minh  AB  CE  2AE  CE  AE  BC * Áp dụng kết câu a) tứ giác ABEC nội tiếp đường tròn (O) nên ta có: AB  CE  BE  AC  AE.BC , để chứng minh * ta cần chứng minh CE AC  ** BE 2AE   BAD   CED   BED   EI phân giác BCE  CE  IC   IB  2IC  Lại có CD BE IB AC Nên để chứng minh ** ta chứng minh   AC  AE !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 2AE 2AE  CE  BE  AC  Cần thêm điều kiện có AC = AE ! (Mời bạn suy nghĩ nhé, tui đau đầu rồi) G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii –– TTH HC CSS N Ngguuyyễễnn C Chhíí TThhaannhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ttrraanngg 66 ... 1 x   x x  26 x  19 x x  x x  26 x  19  x x      x  x 3 x 1 x 3 x 1 x  x x  26 x  19  2x  x  x    x 1 x 3  2018x  20 19  x  2020 Tìm giá trị nhỏ B 1 x  a ... 1  4a    4a  x  0,  a  1 x  a  1   1 x  M  a  B  a  a  20 19  20 19 a 1 2018 10 09 Đẳng thức xảy   a  1 x   a  1   x     (TMĐK) a 1 2020 1010   Bài...  1  12  3y  8y   27y  90 y  15  57 15  57 y  y  0;1; 2;3 9 +) y   3x  x   x  3x  1   x  (vì x  Z ) Do * có nghiệm    27y  90 y    +) y   3x  2x   