Đang tải... (xem toàn văn)
5 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi hình học lớp 7 5 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi hình học lớp 7 5 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi hình học lớp 7 5 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi hình học lớp 7 5 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi hình học lớp 7 5 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi hình học lớp 7 5 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi hình học lớp 7
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI HÌNH HỌC LỚP CHUYÊN ĐỀ 1: GÓC TRONG TAM GIÁC I.Cơ sở lí thuyết Để giải tốt tốn tính số đo góc học sinh tối thiểu phải nắm vững kiến thức sau: • Trong tam giác: oTổng số ba góc tam giác oBiết hai góc ta xác địn góc cịn lại oMỗi góc ngồi tam giác tổng hai góc khơng kề với • Trong tam giác cân: biết góc ta xác định hai góc cịn lại • Trong tam giác vng: oBiết góc nhọn, xác định góc cịn lại oCạnh góc vng nửa cạnh huyền góc đối diện với cạnh góc vng có số đo • Trong tam giác vng cân: góc nhọn có số đo • Trong tam giác đều: góc có số đo • Đường phân giác góc chia góc hai góc có số đo • Hai đường phân giác hai góc kề bù tạo thành góc có số đo • Hai đường phân giác hai góc kề phụ tạo thành góc có số đo • Hai góc đối đỉnh • Tính chất góc so le trong, so le ngồi, đồng vị, hai góc cung phía, … Khi giải tốn tính số đo góc cần ý: Vẽ hình xác, với số liệu đề để có hường chứng minh Phát tam giác đều, “nửa tam giác đều”, tam giác vng cân, tam giác cân hình vẽ Page Chú ý liên hệ góc tam giác, liên hệ cạnh góc tam giác, phát cặp tam giác Vẽ đường phụ hợp lí làm xuất hiệ góc đặc biệt, cặp góc Trong đường phụ vẽ thêm, vẽ đường phân giác, đường vng góc, tam giác đều, … Có thể dùng chữ để diễn đạt mối quan hệ góc Xét đủ trường hợp số đo góc xảy (ví dụ góc nhọn, góc tù, …) (Tham khảo toán nâng cao lớp 7, tập – Vũ Hữu Bình) Trong thực tế, để giải tốn tính số đo góc ta thường xét góc nằm mối liên hệ với góc hình đặc biệt nêu xét góc tương ứng suy kết Tuy nhiên, đứng trước tốn khơng phải lúc gặp thuận lợi, đưa trường hợp mà có nhiều đòi hỏi người đọc phải tạo "điểm sáng bất ngờ" đường kẻ phụ, hình vẽ phụ… từ mối quan hệ giả thiết, kết luận kiến thức, kỹ học trước giải Chúng ta xem “đường kẻ phụ”, “hình vẽ phụ” “chìa khố “ thực thụ để giải dạng tốn II Một số dạng toán hướng giải Dạng Tính số đo góc qua việc phát tam giác Bài tốn Cho có có , lấy cho Tính số đo Nhận xét Ta cần tìm thuộc có Ta thấy có liên hệ rõ nét góc mà góc , mặt khác Từ đây, ta thấy yếu tố xuất hiệ liên quan đến tam giác Điều giúp ta nghĩ đến việc dựng hình phụ tam giác Hướng giải Cách (Hình 1) Vẽ (D, A phía so với BC) Nối A với D Page Ta có (c.c.c) => Lại có (c.g.c) => => Cách (Hình 2) Vẽ (M, D khác phía so với AC) Ta có => (c.g.c) => cân D, Từ (1) (2) suy (1) => (2) Từ hướng giải thử giải Bài toán1 theo phương án sau: • Vẽ (C, D khác phía so với AB) • Vẽ (B, D khác phía so với AC) • Vẽ (D, C khác phia so với AB) ………………………… Lập luận tương tự ta có kết Page Bài toán Cho cân A, Đường cao AH, điểm E, F theo thứ tự thuộc đoạn thẳng AH, AC cho Tính Hướng giải Vẽ (B, D khác phía so với AC) cân A, (gt) => => => mà , (gt) => , mặt khác cân F , FD chung Do AH đường cao tam giác cân BAC => => , (g.c.g) => (vì => đều), (gt) cân A mà Nhận xét Vấn đề suy nghĩ vẽ tam giác xuất phát từ đâu? Phải xuất phát từ giả thiết suy từ mối liên hệ cân F Với hướng suy nghĩ giải Bài tốn theo cách sau: • Vẽ đều, F, D khác phía so với AB (H.1) • Vẽ đều, F, D khác phía so với AB (H.2) Page ………………… (H.1) (H.2) Bài tốn (Trích tốn nâng cao lớp – Vũ Hữu Bình) Cho , Điểm E nằm cho Tính Nhận xét Xuất phát từ biết, ta có E Với yếu tố giúp ta nghĩ đế việc dựng hình phụ tam giác Hướng giải Vẽ (I, B phía so với AE) Ta có (c.g.c) mà => ( đều) Khai thác Chúng ta giải Bài toán theo cách sau: Page cân Vẽ (D, E khác phía so với AC) • Một số toán tương tự Bài toán 3.1 Cho , Kẻ tia Kẻ AD cho (B, D phía so với AC) Tính Bài tốn 3.2 Cho , (B, H khác phía so với AC) Tính Bài toán 3.3 Cho Điểm M nằm tam giác cho Tính Bài tốn Cho M điểm nằn tam giác cho Tính Nhận xét Xuất phát từ giả thiết liên hệ góc với Từ nghĩ đến giải pháp dựng tam giác Hướng giải Cách (H.1) Vẽ Dễ thấy (A, D phía so với BC) (c.g.c) (g.c.g) Page ta có cân B, Cách (H.2) Vẽ (D, A khác phía so với BC) cân A Từ có hướng giải tương tự Bài toán Cho Kẻ tia lấy điểm D cho (A, D khác phía so với BC) Tính Nhận xét Ta thấy xuất góc , đồng thời với mà Điều làm nảy sinh suy nghĩ vẽ hình phụ tam giác Hướng giải Cách Vẽ Ta thấy cho (I, A phía so với BC) (c.g.c) (c.g.c) Page Trên tia Cách Vẽ (E, B khác phía so với AC) Từ ta có cách giải tương tự Dạng Tính số đo góc qua việc phát tam giác vng có cạnh góc vng nửa cạnh huyền Bài tốn Tính góc tam giác ABC biết đường cao AH, trung tuyến AM chia góc BAC thành ba góc Phân tích +/ Đường cao AH, trung tuyến AM chia thành ba góc cân A (Đường cao đồng thời phân giác) đồng thời trung tuyến +/ Có thể vẽ thêm đường phụ liên quan đến liên quan đến HM = HB = BM = Kẻ MK MC AC K Khi có sơ sơ đồ phân tích Page Hướng giải Vì K Xét có AH đường cao ứng với BM AH đường phân giác ứng với cạnh BM (vì Nên ) cân đỉnh A => H trung điểm BM Xét có AM cạnh huyền chung (gt) (cạnh huyền – góc nhọn) (hai cạnh tương ứng) Xét có , KM = MC Page ta tính Vậy Bài toán Cho Đường cao AH AH = BC D trung điểm AB Tính Hướng giải cân C => CD phân giác => Nhận xét Suy nghĩ chứng minh vng có cân xuất phát từ đâu? Phải xuất phát từ AH = giác vng có góc Bài tốn Cho BC Thực hai yếu tố giúp ta nghĩ đến tam có ba góc nhọn Về phía ngồi giác ABD ACE I trực tâm ta vẽ tam , H trung điểm BC Tính Phân tích nửa tam giác =>, vẽ thêm đường phụ để xuất nửa tam giác (còn lại) => Trên tia đối tia HE lấy điểm F cho HE = HF Hướng giải Page 10 92 c) Chứng minh MQ NM NP PQ Theo cách dựng ta có: M ' Q ' = N ' M ' = N ' P ' = P ' Q ' ◊M'N'P'Q' hình vng; N'M'P' = 900 ⇒ MN = NP = PQ = MQ & NMP = 900 ⇒ ◊MNPQ hình vng d) Biện luận Bài tốn có nghiệm hình Các phương pháp khác Các phương pháp dựng hình khơng thể đầy đủ Vì phải tìm tịi, sáng tạo phương pháp tích cực khác Những phương pháp hình thành làm tốn dựng hình sở vận dụng, phân tích tổng hợp phương pháp cách thông minh linh hoạt Bài tập dựng hình Cho hai đường tròn (O1, R1) (O2, R2) phương ∆ Dựng đoạn AB = a song song với ∆ cho A ∈ (O1, R1), B ∈ (O2, R2) Cho hai đường tròn (O1, R1) (O2, R2) đường thẳng d Dựng hình vng ABCD cho A ∈ (O1, R1), C ∈ (O2, R2); B, D ∈ d Dựng ∆ cho diện tích diện tích ∆ cho trước Cho hai điểm A, B nằm phía với đường thẳng d Dùng đường tròn qua A, B tiếp xúc với d Cho hai điểm A, B ∉ đường thẳng d cho trước Dựng đường tròn qua hai điểm A, B tiếp xúc với đường thẳng d Dựng hai đường thẳng qua A chia hình bình hành thành phần diện tích 92 93 Cho ∆ABC, dựng đường thẳng song song với BC chia ∆ABC thành hai phần có diện tích Cho đường trịn (O, R) hai điểm A, B ∈ (O, R) đoạn thẳng biết l Dựng hai dây cung song song qua A B cho tổng chúng l Cho điểm A (O, R) Dựng cát tuyến qua A cắt (O, R) B C cho AB = BC 10 Cho đường tròn (O) dây cung AB cố định Dựng ∆ MNP thoả mãn: M & P ∈ (O); N ∈ AB MN ⊥ AB 11 Cho hình vng ABCD có giao điểm hai đường chéo dựng ảnh điểm A, B, C, D phép quay tâm O góc 450 ngược chiều kim đồng hồ 12 Dựng hình vng nội tiếp đường trịn bán kính R, dựng lục giác tam giác nội tiếp đường tròn bán kính R CHUN ĐỀ : TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC 1.Nhắc lại kiến thức 93 94 -Đường trung tuyến tam giác:Đoạn thẳng AM nối đỉnh A tam giác ABC với trung điểm M cạnh BC gọi đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A ứng với cạnh BC ) tam giác ABC.Đường thẳng AM gọi đường trung tuyến tam giác ABC Mỗi tam giác có đường trung tuyến -Tính chất đường trung tuyến tam giác: Định lý: Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm ,điểm ccahs đỉnh khoảng độ dài đường trung tuyến qua đỉnh Điểm gọi trọng tâm tam giác 2.Ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân A có AB = AC= 34cm, BC = 32cm Kẻ đường trung tuyến AM Chứng minh : AM vng góc BC Tính AM GIẢI *Phân tích tốn: a) để chứng minh AM vng góc với BC ta cần chứng minh ˆ = AMB ˆ = 900 AMC Ta sử dụng giả thiết cho để chứng minh góc nhau,đồng thời góc lại kề bù +tam giác ABC cân +AM đường trung tuyến b) Để tìm độ dài AM,ta cần gắn vào tam giác AMC chứng minh tam giác AMC vng vì: +sử dụng giả thiết cho để chứng minh tam giác AMB=tam giác AMC ˆ = AMC ˆ AMB + góc AMB AMC kề bù 94 95 ˆ = AMC ˆ = 900 AMB Áp dụng định lý pitago tam giác vng AMC để tính AM AM vng góc BC : Xét ΔAMB ΔAMC, ta có : AB =AC (gt) MB = MC (AM đường trung tuyến) AM cạnh chung => ΔAMB = ΔAMC (c – c – c) => Mà : (hai góc kề bù) => Hay AM BC 2.Tính AM : Ta có : BM = BC : = 16cm (AM đường trung tuyến) Xét ΔAMB vuông M ta có : AB2 = AM2 + BM2 (pitago) 342 = AM2 + 162 =>AM = 30cm Ví dụ 2:Cho tam giác DEF cân D có đường trung tuyến DI a) Chứng minh : ΔDEI = ΔDFI 95 96 b) c) Các góc DIE góc DIF góc ? DE = DF = 13cm, EF = 10cm Tính DI Giải • Phân tích tốn: a) Để chứng minh tam giác DEI=DFI Ta nhận thấy tam giác theo trường hợp c-c-c Sử dụng giả thiết cho để chứng minh b) Từ chứng câu a ta có : góc DIE=DIF Lại nhận thấy góc kề bù,từ ta sử dụng để chứng minh góc hai góc vng c) Ta sử dụng giả thiết DI đường trung tuyến EI=IF Mặt khác sử dụng định lý pitago chứng câu b Từ tìm độ dài cạnh DI • a) Chứng minh : ΔDEI = ΔDFI Xét ΔDEI ΔDFI, ta có : DE = DF (gt) IE = IF ( DI trung tuyến) DI cạnh chung => ΔDEI = ΔDFI (c – c – c) b) Các góc DIE góc DIF : (ΔDEI = ΔDFI) Mà : (E, I,F thẳng hàng ) => c) tính DI : IE = EF : = 10 : = 5cm Xét ΔDEI vuông I, ta có : DE2 = DI2 + IE2 => DI2 = DE2 – IE2 =132 – 52 = 144 => DI = 12cm 96 97 Ví dụ 3:Cho tam giác ABC vuông A, đường trung tuyến AM Trên tia đối MA lấy điểm D cho MD = MA a) Tính số đo góc ABD b) Chứng minh : ABC = BAD c) So sánh độ dài AM BC Giải • Phân tích tốn: a) Để tính số đo góc ABD ta cần tính tổng Bˆ1 + Bˆ Sử dụng giả thiết tam giác ABC vng A ta có Bˆ1 + Cˆ = 900 Sử dụng giả thiết cạnh để chứng minh tam giác AMC =BMD Bˆ = Cˆ Bˆ1 + Bˆ = 900 ˆ = 900 ABD b) Sử dụng câu b để chứng minh(AC=BD) c) Để so sánh AM BC ta so sánh AM AD( AD=BC) GIẢI a) Tính số đo góc ABD b) Xét ΔAMC ΔDMB, ta có : MA = MD (gt) (đối đỉnh) MC = MB (gt) => ΔAMC = ΔDMB => (góc tương ứng); Mà : (ΔABC vuông A) => Hay b)Chứng minh : ABC = BAD Xét ABC BAD, ta có : 97 98 AB cạnh chung AC = BD (AMC = ΔDMB) => ΔABC =Δ BAD c)So sánh độ dài AM BC : AM = AD (gt) Mà : AD = BC (ΔABC =Δ BAD) => AM = BC 3.Bài tập áp dụng: BÀI : Hai đường trung tuyến AD BE tam giác ABC cắt G kéo dài GD thêm đoạn DI = DG Chứng minh : G trung điểm AI BÀI : Trên đường trung tuyến AD tam giác ABC, lấy hai điểm I G cho AI = IG = GD Gọi E trung điểm AC Chứng minh B, G, E thẳng hàng so sánh BE GE CI cắt GE O điểm O tam giác ABC chứng minh BE = 9OE BÀI : Cho tam giác ABC vng A có AB = 8cm, BC = 10cm lấy điểm M cạnh AB cho BM = 4cm lấy điểm D cho A trung điểm DC Tính AB Điểm M tam giác BCD Gọi E trung điểm BC chứng minh D, M, E thẳng hàng BÀI 4: Giả sử hai đường trung tuyến BD CE tam giác ABC có độ dài cắt G Tam giác BGC tam giác ? So sánh tam giác BCD tam giác CBE Tam giác ABC tam giác ? BÀI 5:Cho tam giác ABC vng A có AB = 8cm, BC = 10cm lấy điểm M cạnh AB cho BM = 16/3cm lấy điểm D cho A trung điểm DC Tính AC 98 99 Điểm M tam giác BCD Gọi E trung điểm BC chứng minh D, M, E thẳng hàng D CHỦ ĐIỂM 2: TÍNH CHẤT TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC 1.Nhắc lại kiến thức -Định lý 1: Điểm nằm tia phân giác góc cách hai cạnh góc x B t O A y -Định lý 2: (định lý đảo) Điểm nằm bên góc cách hai cạnh góc nằm tia phân giác góc x 2.Các dạng tập Dạng 1:chứng minh tia tia phân giác góc t Cách giải: chứng minh tia Ot tia phân giác góc xOy + Cách 1: chứng minh: O Tia Ot nằm tia Ox Oy ˆ = tOy ˆ xOt + Cách 2: Chứng minh 99 y 100 ˆ = tOy ˆ = xOy ˆ xOt ˆ = 1300 ; xOt ˆ = 650 Ví dụ :Trên nửa mặt phẳng chứa tia Ox,vẽ tia Oy,Ot cho xOy ˆ Chứng minh : Ot tia phân giác xOy *Phân tích toán: Để chứng minh Ot tia phân giác góc xOy ta cần áp dụng cách chứng minh ta sử dụng cách chưa có điều kiện tia Ot nằm Ox Oy t Chứng minh: x Trên nửa mặt phẳng bở chứa tia Ox ˆ < xOy ˆ (650 < 1300 ) Ta có: xOt =>tia Ot nằm Ox Oy (1) ˆ + tOy ˆ = xOy ˆ => xOt ˆ = 1300 ; xOt ˆ = 650 (gt) Thay xOy ˆ = 1300 Ta được: 650 + tOy ˆ = 1300 − 650 => tOy ˆ = 650 => tOy ˆ = tOy ˆ (2) xOt ˆ xOt = 65 ( gt ) Mà y O ˆ Từ (1)và (2)=> Ot tia phân giác xOy DẠNG 2: Sử dụng tính chất tia phân giác góc để giải tốn khác ˆ = 300 ; xOz ˆ = 1200 Ví dụ: tia Oy Oz nằm nửa mặt phẳng có bở tia Ox xOy ˆ Om tia phân giác xOy ˆ On tia phan giác yOz ˆ ˆ Tính yOz mOn Giải: *Phân tích tốn: 100 101 Sử dụng tính chất kề bù tia phân giác góc để tính góc ˆ + yOz ˆ = xOz ˆ (vì tia Oy nằm Ox Oz) Ta có: xOy ˆ = 300 ; xOz ˆ = 1200 (gt) Thay xOy ˆ = 1200 ta được: 300 + yOz z 0 ˆ = 120 − 30 hay yOz n y ˆ = 90 yOz ˆ =? b)Tính mOn ta có: m ˆ = mOy ˆ = xOy ˆ = 300 = 150 xOm 2 ˆ ) (vì Om tia p/g xOy O Lại có: ˆ = nOz ˆ = yOz ˆ = 900 = 450 yOn 2 ˆ ) (vì On tia p/g yOz ˆ = mOy ˆ + yOn ˆ (vì tia Oy nằm Om On) Mà mOn ˆ = 150 ; yOn ˆ = 450 ta được: Thay mOy ˆ = 150 + 450 = 600 mOn 3.Bài tập áp dụng BÀI :Cho hình thoi ABCD Trên tia đối tia CD lấy điểm E, gọi F giao điểm AE BC Đường thẳng song song AB kẻ từ F cắt BE P Chứng minh CP phân giác góc CBE BÀI :Cho hình bình hành ABCD phân giác góc A cắt đường chéo BD E phân giác góc B cắt đường chéo AC F Chứng minh : EF // AB BÀI :Cho tam giác ABC có AB = 4cm, BC = 6cm, CA = 8cm Đường phân giác AD BE cắt I Tính : BD CD 101 x 102 BÀI 4:Gọi G trọng tâm tam giác ABC chứng minh : IG // BC tính IG cho tam giác ABC có AB= 5cm, AC = 6cm BC =7cm Tia phân giác góc BAC cắt cạnh BC E Tính EB EC ˆ = 1000 Gọi Ot tia phân giác góc BÀI 5:Vẽ hai góc kề bù xOy,yOx’,biết xOy xOy,Ot’là tia phân giác góc x’Oy ˆ ; xOt ˆ '; tOt ˆ ' Tính x ' Ot Chủ điểm 6: TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG 1.Kiến thức cần nhớ +Định lý 1(định lý thuận):điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng cách hai đầu mút đoạn thẳng + Định lý 2(định lý đảo): điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng nằm đường trung trực đoạn thẳng Nhận xét: Tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng đường trung trực đoạn thẳng Ứng dụng: Ta vẽ đường trung trực đoạn thẳng AB thước compa sau: -Lấy A làm tâm vẽ cung trịn bán kính lớn AB -Lấy B làm tâm vẽ cung trịn có bán kính cho hai cung trịn có điểm chung ,gọi C D -Dùng thước vẽ đường thẳng CD Đường thẳng CD đường trung trực đoạn thẳng AB 2.Các dạng tập Dạng 1: Chứng minh đường thằng đường trung trực đoạn thẳng 102 103 Cách giải: Cách 1:chứng minh đường thẳng vng góc với đoạn thẳng tai trung điểm đoạn thẳng Cách 2: chứng minh điểm thuộc đường thẳng cách đầu mút đoạn thẳng Ví dụ 1:cho tam giác ABC cân đỉnh C,tam giác ABD cân đỉnh D C Chứng minh CD đường trung trực đoạn thẳng AB Giải: *Phân tích tốn: để chứng minh CD đường trung trực AB Ta chứng minh C D nằm đường trung trực đoạn thẳng AB Tam giác ABC cân đỉnh C (gt) B A => CA=CB =>C nằm đường trung trực đoạn thẳng AB Tương tự D nằm đường trung trực đoạn thẳng AB D =>CD đường trung trực đoạn thẳng AB Dạng 2: sử dụng tính chất đường trung trực đoạn thẳng để giải toán khác Ví dụ 1:Tam giác ABC cân A Đường trung trực cạnh AC cắt AB D Biết ˆ ,Tính góc tam giác ABC CD tia phân giác góc ACB A Giải: Ta có: DA=Dc => tam giác ADC cân D Aˆ = Cˆ => Cˆ = Aˆ (1) Tam giác ABC cân A => Cˆ = Bˆ (2) DS Tam giác ABC có Aˆ + Bˆ + Cˆ = 180 (3) Từ 1,2,3 suy Aˆ = 36 B Bˆ = Cˆ = 720 103 C 104 3.Bài tập áp dụng BÀI : Cho tam giác nhọn ABC , đường cao AH Vẽ điểm D, E cho đường AB, AC lần lược đường trung trực DH, EH Chứng minh tam giác ADE tam giác cân Đường thẳng DE cắt AB, AC M N chứng minh tia HA phân giác góc NHM Chứng minh : BÀI : Cho tam giác ABC cân A hai tia phân giác góc B C cắt I Chứng minh tam giác BIC cân I Chứng minh AI đường trung trực BC BÀI : Cho tam giác ABC cân A gọi M trung điểm BC hai đường trung trực AB AC cắt D chứng minh : DB = DC A, M, D thẳng hàng BÀI 4: Cho d đường trung trực AC Lấy điểm B cho A B bên đường thẳng d BC cắt d I điểm M di động d So sánh MA + MB với BC Tìm vị trí M d để MA + MB nhỏ BÀI : Cho tam giác ABC, tia đối tia BC lấy điểm M cho BM = AB tia đối tia CB lấy điểm N cho CN = AC Vẽ đường cao BH tam giác ABM đường cao CK tam giác ACN, hai đường cao cắt O chứng minh : Điểm O nằm đường trung trực MN 104 105 AO phân giác góc BAC 105 ... ( trích sách “ ơn tập hình học 7? ??_ tác giả Nguyễn Ngọc Đạm Và sách “ Nâng cao phát triển tốn 7? ?? _ tác giả Vũ Hữu Bình Và sách : “Cẩm nang vẽ thêm hình phụ giải tốn hình học phẳng”_ tác giả Nguyễn... ABC hình vẽ sau tam giác vng cân (trích sách “ ơn tập hình học 7? ??_ tác giả Nguyễn Ngọc Đạm Và sách “ Nâng cao phát triển tốn 7? ?? _ tác giả Vũ Hữu Bình Page 50 Và sách : “Cẩm nang vẽ thêm hình. .. số chuyên đề Toán 7) Bài 7: Cho tam giác ABC Các điểm D M di động cạnh AB cho AD = BM Qua D M vẽ đường thẳng song song với BC cắt AC E N Chứng minh tổng DE + MN không đổi (bài tập nâng cao số chuyên