Đang tải... (xem toàn văn)
Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 tỉnh hưng yên năm học 2017 2018 có đáp án
HƯỚNG DẪN Câu 1 1 1 1 a 2018 a b 2018 a 2018 b 2018 a) với a, b số dương ta có tương tự b > 2018 1 ab 2018a 2018b ab 2018a 2018b 20182 20182 a b 2018 a b 2018 2018 b 2018 20182 a 2018 b 2018 20182 mà a 2018 b 2018 2018 a 2018 b 2018 2.2018 a 2018 a 2018 b 2018 b 2018 a b a 2018 b 2018 a b a 2018 b 2018 a b b) với a nghiệm dương pt 6x 3x 6a 3a 6a 1 a 36a a 2a 1 36a 36a 72 3a 30a 75 36 a a a a a 3a Mặt khác ta có a2 A= a a a a 2 a4 a a2 a2 a4 a a2 6A a a 6a 6A 3a 6a 6a 3a A Câu a) ĐK: x pt trở thành: x 2x x 1 1 x * ta thấy x = nghiệm pt Xét x khác 0, chia hai vế cho x ta được: 2x 1 x 1 1 x 1 1 x Đặt x a a x a x Ta có pt a a a a 1 a a 1 a 1 a 1 a2 a 1 a 1 a a a *) a a x x 1(t / m) * a a a a a a a (vô nghiệm) Vậy pt cho có nghiệm x = 0; x = b) y 6y3 11y 6y y 3y y 3y Đặt y 3y a pt trở thành: x 2018 a 1 2 1 x 2018 a 1 x 2018 a 1 1 x 2018 a x 2018 a 1 x 2018 a 1 x 2018 a x 2018 x 2018 a 2x 2.2018 x 2018 *) x 2018 a 1 x 2018 a a y 3y => x 2018 x; y 2018;0 ; x; y 2018;3 y y x 2018 x 2018 a 1 x 2018 x 2018 x 2018 a x 2018 a 1 a 2 y 3y 2 *) x 2018 y x; y 2018;1 ; x; y 2018;2 y Vậy cặp số nguyên(x;y) thỏa mãn đề là: 2018;0 ; 2018;3 ; 2018;1 ; 2018;2 Câu 1 Từ pt 3x 2y y 1 x 3xy 3x 2y 2y x a) x; y x x y 1 2y x y 1 x y 1 x y 1 x 2y 1 => x 2y nên x y = y = – x thay vào pt (1) ta 2 2x 1 4x 4x 2x 2x 2x 2x 2 1 x Đặt 2x 2x = t > => ĐKXĐ: 2 Do x; y t2 t2 t 2x 1 2x 4x 4x 4x 4x 2 4x 4x t 8t Do ta có pt: t 8t t t 8t 8t t t t 2t Vì t > => t = t = 1 1 1 *) Với t = ta có pt: 2x 2x x1 ; x y1 ; y 2 2 * Với t = 1 => 2x 2x 4x 4x (vô lý) 1 1 Vậy hệ pt cho có nghiệm ; ; ; 2 2 b) ta có: 3yz 4zx 5xy yz zx 2yz 2xy 3zx 3xy 2z 4y 6x x y z x y x z y z 4 x Mà 2z 4y 6x 2z 2x 4y 4x xz xy x y z x Do 3yz 4zx 5xy 4 x y z Dấu ‘=’ xảy x = y = z = Câu B D K A M J I O N E C a) Chứng minh: AK.AI = AE.AC ta có tứ giác BDEC nội tiếp => góc B = góc AED mà góc B = góc AIC (góc nội tiếp chắn cung AC) => góc AED= góc AIC => tg AKE đồng dạng với tg ACI => AK/AC = AE/AI => AK.AI = AE.AC b) Tính AK theo R Trong (O) có cát tuyến ACE nên có hệ thức : AC.AE = OA2 – R2 = 4R2 – R2 = 3R2 (đều bình phương tiếp tuyến vẽ từ A tới (O)) Mặt khác Dễ thấy tg AOB đồng dạng tg COI => OA/OC = OB/OI => OA.OI = OB.OC = R2 (1) => OI = R2/OA = R2/2R = R/2 => AI = OA + OI = 2R + R/2 = 5R/2 => AK = AC.AE/AI = 3R2/(5R/2) = 6R/5 c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE thuộc đường thẳng cố định OA cắt (O) M, N (M nằm A K) => MK = AK - AM = 6R/5 - R = R/5 NK = AN - AK = 3R - 6R/5 = 9R/5 Vì EMDN nội tiếp (O) nên tương tự (1) ta có : DK.EK = MK.NK = 9R2/25 Mặt khác gọi J giao đường tròn ngoại tiếp tam giác AED AO ta có: AK.KJ = EK.DK =>JK = ED.EK/AK = (9R2/25)/( 6R/5) = 3R/10 => J cố định => tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE ln chạy đường thẳng trung trực đoạn AJ cố định Câu Ta chia thành nhóm Nhóm từ đến 312, nhóm từ 313 đến 625 Giả sử khơng có số phương 312 số chọn Giả sử ta chọn k số nhóm Để ý số nhóm ln tồn số nhóm cho tổng chúng 625 nhóm ta chọn thêm 312 - k số ( tổng cặp khơng 625 ) Do có số 92 nhóm số 122 nhóm có tổng 125 nên ta lại cách chọn số nhóm Vậy tóm lại số cách chọn nhóm 311 - k nên tổng số số nhóm 311 - k +k =311 ( vơ lí ) => đpcm Cách khác: Ta chia 625 số thành 313 tập hợp {1;624},{2;623}, ,{625} Giả sử 312 số ta chọn khơng có số phương, 312 số phải thuộc 312 tập hợp {1;624},{2;623}, {312;313} 625 số phương, đồng thời khơng có số thuộc 312 tập hợp có, có số có tổng 625, số ta chọn nằm tập hợp khác 312 tập trên, có số thuộc tập {225;400} mà số SCP=>đpcm Hết - ... a 2018 a b 2018 a 2018 b 2018 a) với a, b số dương ta có tương tự b > 2018 1 ab 2018a 2018b ab 2018a 2018b 20182 20182 a b 2018 a b 2018 2018 b 2018 20182 ... a 2018 b 2018 20182 mà a 2018 b 2018 2018 a 2018 b 2018 2 .2018 a 2018 a 2018 b 2018 b 2018 a b a 2018 b 2018 ... 2018 a x 2018 a 1 x 2018 a 1 x 2018 a x 2018 x 2018 a 2x 2 .2018 x 2018 *) x 2018 a 1 x 2018 a a