BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG - CAO QUANG CƯỜNG - MÃ HỌC VIÊN: C00322 MỘT SỐ BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG GIẢI TÍCH VÀ ỨNG DỤNG TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC CHUN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60460113 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN Hà Nội – Năm 2016 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC ii TÓM TẮT LUẬN VĂN iii MỞ ĐẦU Chương CỰC TRỊ HÀM MỘT BIẾN VÀ ỨNG DỤNG 1.1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1.1 Cực trị hàm số (cực trị địa phương) 1.1.2 Giá trị lớn (GTLN), giá trị nhỏ (GTNN) hàm số (Cực trị toàn cục) 1.2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CỰC TRỊ HÀM MỘT BIẾN 1.2.1 Ứng dụng cực trị vào giải phương trình, bất phương trình 1.2.2 Ứng dụng vào tìm cực trị hàm nhiều biến 1.2.3 Ứng dụng cực trị vào chứng minh BĐT 1.3 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Chương MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG THỰC TIỄN 2.1 CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC 2.1.1 Các cơng thức hình học sử dụng 2.1.2 Một số tốn hình học phẳng 2.1.3 Một số tốn hình không gian 12 2.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG VẬT LÝ 15 2.2.1 Các toán học 16 2.2.2 Các toán quang học 17 2.3 MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG KINH TẾ 19 2.3.1 Các tốn tối đa hóa lợi nhuận 19 2.3.2 Bài tốn tối đa hóa doanh thu 20 2.4 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 21 KẾT LUẬN CHƯƠNG 21 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 22 Kết luận 22 Kiến nghị 22 DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO 23 Thang Long University Library TĨM TẮT LUẬN VĂN Đề tài: “Một số tốn cực trị giải tích ứng dụng’’ Tác giả luận văn: Cao Quang Cường Khóa: Người hướng dẫn: PGS.TS Hà Tiến Ngoạn, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Cơng nghệ Việt Nam Nội dung tóm tắt: Luận văn gồm hai chương: Chương trình bày lý thuyết cực trị hàm số biến cực trị địa phương cực trị toàn cục Phần chương giới thiệu số ứng dụng cực trị hàm biến vào tìm cực trị hàm nhiều biến, giải phương trình, bất phương trình chứng minh bất đẳng thức Chương hai giới thiệu số toán cực trị giải tích thực tiễn thể lĩnh vực Hình học, Vật lý, Kinh tế, áp dụng để giải vấn đề sống Đây chương mà tác giả muốn nhấn mạnh vai trò tốn học nói chung tốn giải tích nói riêng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong giảng dạy mơn tốn trường phổ thơng chưa coi trọng khai thác toán mang ứng dụng thực tế ứng dụng liên mơn Vì học sinh thường đặt câu hỏi học toán để làm khơng thấy hay vẻ đẹp chứa bên toán học mà toán cực trị thuộc vào dạng toán gần với ứng dụng thực tiễn Những toán đường ngắn nhất, đường nhanh nhất, góc nhìn lớn nhất, tổng thời gian chờ đợi nhất, tổng chi phí nhất, tổng lợi nhuận cao nhất, diện tích lớn nhất, … Hình học, Vật lý Kinh tế, … yêu cầu tự nhiên, xuất phát từ toán sản xuất, đời sống xã hội nghiên cứu khoa học Chính tốn cực trị cần có chỗ đứng xứng đáng chương trình tốn phổ thơng Các phương pháp giải tốn cực trị cần phải trình bày cách có hệ thống, cách giải đơn giản Trên phương diện phương pháp, có hai cách tiếp cận cho lời giải tốn cực trị, phương pháp sử dụng BĐT phương pháp hàm số (giải tích) Với phương pháp BĐT, sơ đồ là: để chứng minh M giá trị lớn hàm số f(x) miền D (x véc-tơ), ta chứng minh: i) f(x)  M với x thuộc D, ii) Tồn x0 thuộc D cho f(x0) = M Phương pháp hàm số khảo sát hàm f(x) D dựa vào định lý giải tích để tìm điểm cực trị giá trị M Chú ý rằng, chương trình phổ thơng khái niệm hàm nhiều biến chưa đề cập nên bắt gặp tốn nhiều biến cơng cụ chủ yếu công cụ đạo hàm hàm số biến cách đặt ẩn phụ dồn biến để giải Phương pháp BĐT thường khó làm thể rời rạc có điểm chung nào, vẻ nên học sinh thường khó khăn sợ làm tốn cực trị Trái với điều phương pháp giải tích cho ta mạnh có đường hướng rõ ràng cách tư đơn giản Với ý tưởng để giúp học sinh tháo gỡ gặp toán cực trị thấy vai trò tốn học đời sống, sản xuất khoa học công cụ môn học khác để thấy yêu toán phần trả lời câu hỏi đưa nội dung tốn giải tích vào trường phổ thơng Với ý tưởng thúc làm luận văn đề tài “Một số tốn cực trị giải tích ứng dụng’’ Thang Long University Library Trong Luận văn chủ yếu đề cập đến phương pháp giải tích để giải tốn cực trị Chúng ta bắt đầu lý thuyết cực trị hàm biến ứng dụng vào giải toán cực trị hàm nhiều biến, chứng minh BĐT giải phương trình, bất phương trình Sau số toán cực trị thực tiễn lĩnh vực Hình học, Vật lý, Kinh tế, Mục đích nghiên cứu - Hệ thống phương pháp đưa tốn điển hình để giải tốn cực trị cơng cụ giải tích - Giới thiệu số tốn cực trị có ứng dụng lĩnh vực như: Hình học, Vật lý, Kinh tế Qua thấy ý nghĩa: “Học đôi với hành”, biết vận dụng tốn cực trị nói riêng tốn học nói chung vào thực tiễn sống Chương CỰC TRỊ HÀM MỘT BIẾN VÀ ỨNG DỤNG 1.1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT Do mục đích đề tài luận văn hệ thống giới thiệu hai loại ứng dụng lớn cực trị giải tích hàm biến mảng lý thuyết thực tiễn Vì mục tác giả trình bày lý thuyết theo sách giáo khoa phổ thơng Các tính chất chủ yếu công nhận không chứng minh 1.1.1 Cực trị hàm số (cực trị địa phương) 1.1.2 Giá trị lớn (GTLN), giá trị nhỏ (GTNN) hàm số (Cực trị toàn cục) Tiếp theo phần nêu số ứng dụng cực trị hàm số biến toán học Ở mục tác giả dựa theo tài liệu [3], [6], [7] 1.2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CỰC TRỊ HÀM MỘT BIẾN 1.2.1 Ứng dụng cực trị vào giải phương trình, bất phương trình Khi giải phương trình, bất PT ta có phương pháp đánh giá Đối với cách thường sử dụng BĐT nên khó Với số tốn dạng ta dụng cực trị hiệu Sau ví dụ điển hình minh họa cho tốn cụ thể Bài toán 1.1 Giải PT dạng f ( x )  k với k GTLN GTNN hàm số f ( x) ta làm sau: Bước Khảo sát hàm số y  f ( x) Bước Tìm GTLN GTNN hàm số đồng thời chứng tỏ k GTLN GTNN Bước Tìm giá trị x mà f(x) đạt GTLN GTNN k Khi giá trị x nghiệm phương trình cho Ví dụ 1.1 Giải PT x   4  x  Bài toán 1.2 Cho phương trình dạng f ( x)  m Tìm m để PT có nghiệm Xuất phát từ toán tương giao hai đồ thị số nghiệm PT hoành độ ngược lại Để biện luận số nghiệm PT f ( x)  m việc biện luận số giao điểm đồ thị hàm số y  f ( x) với đường thẳng y  m Ta giải toán PT chứa tham số theo định hướng sau: Thang Long University Library Biến đổi PT tham số m dạng : f ( x)  m với hàm số y  f ( x) có GTLN - GTNN tập xác định D Khi đó: PT f ( x)  m có nghiệm D m inf (x)  m  max f ( x) Trong trường hợp hàm số y  f ( x) D D khơng có GTLN GTNN tập D ta phải kết hợp với bảng biến thiên đồ thị để có kết luận thích hợp Sau ví dụ điển thể điều Ví dụ 1.2 Tìm m để PT sau có nghiệm : x x  x  12  m( 2013  x  2012  x ) Ví dụ 1.3 (Đề thi Đại học khối A – 2008) Tìm tất giá trị tham số thực m cho PT x  x   x  24  x  m có nghiệm thực phân biệt Qua ví dụ ta thấy rõ vai trò cực trị, vào tốn tương đối phức tạp khó định hình phép suy luận biến đổi đại số Tiếp theo ta tiếp cận với phải sử dụng ẩn phụ để giải Ví dụ 1.4 Tìm tham số m để PT: cos2 x  mcos x  tan x có nghiệm  với x  0;   4 Ví dụ 1.5 Tìm m để PT sau có nghiệm thực: (1.1) 91 1 x  (m  3)31 1 x  2m   Tiếp theo ta làm bất phương trình Với bất PT làm tương tự phương trình Bài tốn 1.3 Giải bất PT có dạng f  x   k với k GTLN GTNN hàm số f ( x) miền xác định Chú ý: Nếu k GTLN miền xác định tập nghiệm miền xác định Còn k GTNN nghiệm bất PT nghiệm phương trình f  x   k Đối dấu bất PT lại làm tương tự 2 324 25 Ví dụ 1.6 Giải phương trình: 24 3x    5x  9x2  24  Bài toán 1.4 Tìm m để bất PT f  x   m có nghiệm với giá trị thuộc tập D cho trước Cách làm: Đầu tiên ta tìm GTLN hàm số f  x  max f  x  Vậy để bất PT có nghiệm m  max f  x  Đối dấu bất PT lại làm tương tự Ví dụ 1.7 Tìm m để bất phương trình: x 2x  x  x  mx.2 x  m2 x 2x  x có nghiệm x > 1.2.2 Ứng dụng vào tìm cực trị hàm nhiều biến Để giải toán nhiều biến số xét cơng cụ phổ thơng làm giảm dần biến số, cách tìm cực trị theo biến Ý tưởng phương pháp minh hoạ hình ảnh sau: để tìm người cao nhóm người xếp thành m hàng, ta tìm người cao hàng so sánh người cao để tìm người cao tuyệt đối Việc giải toán dạng gồm bước sau: Bước 1: Đưa vào biến t xác định hàm f(t) để khảo sát Bước 2: Từ giả thiết, tìm miền giá trị t Bước 3: Đưa việc tìm GTLN, GTNN biểu thức cần xét việc tìm GTLN, GTNN hàm f(t) miền giá trị t Bài toán 1.5 (Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2009) Cho x , y thỏa mãn  x  y   xy  Tìm GTNN A   x  y  x y    x  y   Bài tốn 1.6 (Đề thi mơn tốn đại học khối B năm 2012) Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x  y  z  x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x5  y  z Bài toán 1.7 (Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm 2004) x  y  x  Cho x, y, z >0 thỏa mãn  Tìm GTNN, GTLN biểu xyz   4 thức P  x  y  z Bài toán 1.8 (Đề thi chọn học sing giỏi quốc gia THPT bảng B, 1999) Xét PT ax3  x  bx   với a, b số thực, a  , a  b cho 5a  3ab  nghiệm số thực dương Tìm GTNN P  a2 b  a  Bài toán 1.9 (Đề thi Đại học khối B, 2008) Cho x, y số thực thoả mãn điều kiện x  y  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức 2( x  xy ) P  xy  y Có ta xét hàm theo biến biến lại coi tham số Nhưng giá trị cực trị biểu thức chứa tham số lại tìm Đây ý tưởng chọn người cao từ người cao hàng Sau số ví dụ Bài tốn 1.10 (Đề thi học sinh giỏi bảng A, 2001) Tìm GTNN, GTLN hàm số: f  x, y, z   xy  yz  zx  xyz biết x, y , z  0, x  y  z  Thang Long University Library Bài toán 1.11 (Đề thi chọn đội tuyển Quốc gia, 2001) Xét số thực dương a, b, c thỏa mãn 21ab + 2bc + 8ac  12 Tìm GTNN biểu thức: P  a , b, c     a b c 1.2.3 Ứng dụng cực trị vào chứng minh BĐT Qua toán cực trị hàm biến cực trị hàm nhiều biến ta nhận thấy rằng, từ kết luận f  x   m, f  x   M ta ln thu BĐT hàm biến Cũng tư tưởng với hàm nhiều biến ta thu BĐT hàm nhiều biến Từ cách suy luận ta nhận thấy rằng, BĐT tạo xét cực trị hàm số với ý nghĩ ta chứng minh BĐT cách tìm cực trị hàm số Với lý luận ta chứng minh số toán BĐT theo hai phần BĐT biến BĐT nhiều biến a) Dạng BĐT biến số Tiếp nối tư tưởng phần tìm cực trị Đó ta phải khảo sát hàm số tức ta phải tìm hàm số Hàm số biến trực tiếp biến gián tiếp đại diện cho biểu thức chứa biến ta gọi hàm đặc trưng Vậy để chứng minh BĐT chứa biến số ta làm sau Bước 1: Đưa BĐT dạng f  x   m f  x   M Bước 2: Khảo sát hàm f  x  tìm GTLN GTNN Bước 3: Kết luận Bài toán 1.12 (Thi học sinh giỏi Quốc gia, 1992) Chứng minh với số tự nhiên n > ta có n  n n n n n  1 2 n n Đối với ví dụ ta rễ dàng tìm hàm đặc trưng Nhưng nhiều a  b  a  c Vậy để có a  c ta b  c ta phải nhờ tính chất làm trội sau ta có  a  b Ý tưởng áp dụng nhiều để tìm hàm đặc b  c chứng minh  trưng ví dụ Bài tốn 1.13 Chứng minh  x   2sinx  2tanx  x1 Bài toán 1.14 (Olympic 30-4-1999) Chứng minh rằng:  sinx       cos x, x   0;   x   2 b) BĐT nhiều biến số Để chứng minh BĐT nhiều biến ta làm tương tự tìm cực trị hàm nhiều biến tức ta đưa vào biến t hàm số tương ứng f  t  sau chứng minh BĐT với hàm f  t  Điếu đáng ý BĐT có tính chất đối xứng biến có tính chất tương tự Lợi dụng điều ta tìm hàm theo biến t hàm f  t  gọi đặc trưng Tiếp theo số toán minh họa Bài toán 1.15 Chứng minh x 1 a)  2, x  R x  x 1 b) x  x   y  y   z  z   3, x, y, z thỏa mãn: x  y  z  Bài toán 1.16 (Đề thi đại học Quốc gia Hà Nội, 2000) Cho a + b + c = Chứng minh 8a  8b  8c  2a  2b  2c Ở hai ví dụ tính tương tự biến tính độc lập chúng mà ta chọn hàm đặc trưng Nhưng nhiều tốn khơng có tính độc lập biến ta chuyển cụm biến đặt ẩn phụ chọn biến đại diện ta chuyển biến để hàm đặc trưng Bài toán 1.17 Cho số x, y , z   0;1 thỏa mãn xyz  1  x 1  y 1  z  Chứng minh x  y  z  Bài toán 1.18 (Đề thi tuyển sinh Đại học Vinh, 2001) Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi 3a  3b  3c  4abc  13 Trong số toán, việc biến đổi, ước lượng để đưa toán từ nhiều biến trở biến sử dụng đạo hàm khơng đơn giản chút Trong tình thế, có lẽ ta phải làm quen với việc coi biến BĐT làm biến số hàm lựa chọn biến số khác tham số, sử dụng đạo hàm Dưới ta xem xét số toán để làm sáng rõ vấn đề Bài toán 1.19 Cho ba số thực a, b, c  thỏa mãn Chứng minh 1.3 1    ab  bc  ca  1 1    1 a 1 b 1 c BÀI TẬP CÙNG DẠNG Thang Long University Library Lời bình: Với tốn lời giải đơn giản đưa vào thực tiễn thể lợi ích to lớn Đó ta gắn toán xây dựng xây xăng chẳng hạn, xây trạm biến nghành điện, xây trạm phát sóng truyền hình, sóng di động, chuồng trại chăn nuôi, reo mạ mà phải dung giấy bóng bao quanh… Tất cơng việc người ta xây dựng theo hình vng cần có diện tích sử dụng lớn tiết kiệm chi phí th mặt Bài tốn 2.2 Người ta muốn rào quanh khu đất với số vật liệu cho trước a mét thẳng hàng rào Ở người ta tận dụng bờ giậu có sẵn để làm cạnh hàng rào Vậy làm để rào khu đất theo hình chữ nhật cho có diện tích lớn nhất? Lời giải: Hình 2.1 Lời bình: Qua hai ví dụ ta đặt câu hỏi với hình tứ giác lồi có chu vi khơng đổi diện tích lớn dựa vào đâu để xác định Để trả lời câu hỏi ta vào ví dụ Bài tốn 2.3 Một người nơng dân có bốn đoạn hàng rào thẳng với chiều dài 1m, 2m, 3m, 4m Hãy xác định diện tích đất lớn mà định hình xếp bốn đoạn hàng rào Lời giải: A A d D x D C B E B C Hình 2.3 Hình 2.2 Thang Long University Library Dựa tốn ta tổng qt sau Hãy xếp bốn đoạn thẳng có độ dài a, b, c, d với  a  b  c  d thành hình có diện tích ta làm sau : Bước Kiểm tra điều kiện bốn xem tạo hình tứ giác khơng d  a  b  c ? Bước Xếp đoạn thẳng thành tứ giác lồi tính diện tích tứ giác theo đường chéo tốn bên Bước Khảo sát hàm số diện tích theo biến đường chéo tìm GTLN diện tích từ ta độ dài đường chéo lúc ta cách xếp Bài toán 2.4 Trong tam giác nội tiếp đường tròn cho trước, tìm tam giác có diện tích lớn Lời giải: A O B H C Hình 2.4 Bài tốn 2.5 Từ khúc gỗ tròn hình trụ, cần xẻ thành xà có thiết diện ngang hình vng miếng phụ có thiết diện hình chữ nhật Hình 2.5 Hãy xác định kích thước miếng phụ để sử dụng khối gỗ cách tốt (tức diện tích sử dụng theo tiết diện ngang lớn nhất) Lời giải: Hình 2.5 Bài tốn 2.6 Cần phải làm cửa sổ mà, phía hình bán nguyệt, phía hình chữ nhật, có chu vi a mét (a chu vi hình bán nguyệt cộng với chu vi hình chữ nhật trừ độ dài cạnh hình chữ nhật dây cung hình bán nguyệt) Hãy xác định kích thước để diện tích cửa sổ lớn nhất? 10 Lời giải: S1 S2 2x Hình 2.6 Bài tốn 2.7 Người ta muốn làm cánh diều hình quạt cho với chu vi cho trước diện tích hình quạt cực đại Dạng quạt phải nào? Lời giải: Hình 2.7 Bài tốn 2.8 Một ảnh chữ nhật cao 1,4m đặt độ cao 1,8m so với tầm mắt người nhìn (tính đầu mép ảnh) Để nhìn rõ phải xác định vị trí đứng cho góc nhìn lớn Hãy xác định vị trí đó? Lời giải: Hình 2.8 Bài tốn 2.9 Hãy xác định độ dài tối thiểu cánh tay nâng cần cẩu bánh dùng để xây dựng tòa nhà cao tầng mái có chiều cao h chiều rộng  ? (Biết cần cẩu thỏa mãn u cầu sau đây: Có thể xê xích cẩu góc nghiêng cánh tay nâng để cho điểm cuối 11 Thang Long University Library cánh tay nâng chiếu xuống theo phương thẳng đứng trùng với trung điểm bề rộng Hình 2.9 Ta giả sử nhà xây dựng miếng đất rộng, cần cẩu di chuyển thoải mái) Hình 2.9 Lời giải: 2.1.3 Một số tốn hình khơng gian Bài tốn 2.10 Chi phí thấp Khi xây nhà, chủ nhà cần làm hồ nước gạch xi măng có dạng hình hộp đứng đáy hình chữ nhật có chiều dài d gấp hai lần chiều rộng r   khơng nắp, có chiều cao h tích cho chi phí xây dựng thấp  m Hãy tính kích thước hồ nước Lời giải: h 2x Hình 2.10 x Bài tốn 2.11 Gia cơng vật liệu Một bác thợ hàn muốn làm mội bồn tắm từ vật liệu nhơm hình chữ nhật vói chiều rộng 1m chiều dài 2m Bác thợ cắt bốn hình vng cạnh x từ bốn góc củ hình chữ nhật, sau gấp hàn Hình 2.11 Hãy xác định x để bồn tắm đựng nhiều nước 12 Hình 2.11 Lời giải: Bài tốn 2.12 Cần phải thiết kế thùng dạng hình trụ có nắp đậy để đựng sản phẩm chế biến, có dung tích V(cm3) Hãy xác định kích thước để tiết kiệm vật liệu nhất? h h f'(x) 2x Hình 2.12 x Lời bình: Qua hai ví dụ ta tìm được0 kích thước hợp lý để tiết kiệm nguyên liệu hình hộp hình trụ Vậy câu hỏi đặt thể tích hình tiết kiệm Sau đay ví dụ trả lời câu hỏi Bài tốn 2.13 Thiết kế hộp đựng bột cho trẻ0 Một nhà sản xuất bột trẻ em cần thiết kế bao bì cho loại sản phẩm nhà máy với thể tích 1dm3 Theo thơng thường bao bì hình hộp chữ nhật hình trụ đứng Như ta cần tính xem hai hình hình tốn vật liệu _ Lời giải: + Phương án : Làm bao bì theo hình hộp chữ nhật có đáy hình vng cạnh x, chiều cao h 2,4 + f(x) 13 x Thang Long University Library x h Hình 2.13 Phương án 2: Làm theo dạng hình trụ bán kính x, chiều cao h Hình 2.14 Theo tính tốn hai hộp thể tích hình trụ có diện tích tồn phần nhỏ hình hộp Vậy để kinh tế ta nên chọn hình trụ Trong thực tế sữa bột ta thường thấy hình trụ sữa tươi hình hộp sữa tươi thường sử dụng giấy tính vận chuyển xếp nhiều Bài toán 2.14 Trong lĩnh vực thuỷ lợi, cần phải xây dựng nhiều mương dẫn nước dạng "Thuỷ động học" (Ký hiệu diện tích tiết diện ngang mương S,  độ dài đường biên giới hạn tiết diện này,  - đặc trưng cho khả thấm nước mương; mương đựơc gọi có dạng thuỷ động học với S xác định,  nhỏ nhất) Cần xác định kích thước mương dẫn nước để có dạng thuỷ động học? (nếu mương dẫn nước có tiết diện ngang hình chữ nhật) Lời giải: Hình 2.15 Bài tốn 2.15 Với đĩa tròn thép trắng phải làm phễu cách cắt hình quạt đĩa gấp phần lại thành hình nón Hình 2.16 Cung tròn hình quạt bị cắt phải độ để hình nón tích cực đại? 14 Hình 2.16 Lời giải:  r h R Hình 2.17 Bài tốn 2.16 Cần phải đặt điện phía bàn hình tròn có bán kính a Hỏi phải treo độ cao để mép bàn nhiều ánh sáng Biết cường độ sáng C biểu thị sin  công thức C  k (  góc nghiêng tia sáng mép bàn, k - r số tỷ lệ phụ thuộc vào nguồn sáng, r chiều dài đỉnh vị trí đặt đèn xuống mép bàn) Lời giải: Hình 2.18 2.2 MỘT SỐ BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG VẬT LÝ Vai trò tốn học với vật lý Vật lý tốn học hai mơn khoa học tưởng trừng riêng rẽ thực tế lại Từ buổi sơ khai hai môn chúng đôi với thường nhà vật lý gắn với nhà toán học ngược lại Nhưng phát triển hai môn lớn nhiều lý thuyết mà lồi người phân chia chúng thành hai mơn khoa học khác mà chúng bổ xung cho tách rời để thấy rõ 15 Thang Long University Library vai trò lớn toán học vào vật lý Tiếp theo ứng dụng tốn học vật lý ''Bài tốn tìm cực trị giải tích ứng dụng vật lý'' Trong mục tác giả dựa vào tài liệu [1], [4], [7], [8] Cơng thức tính qng đường Biết S quãng đường được, v vận tốc trung bình, t thời gian ta có S=v.t 2.2.1 Các tốn học Bài toán 2.17 Phương án di chuyển nhanh nhà địa chất Một nhà địa chất điểm A cách trạm nghiên cứu B 70km sa mạc Ơng di chuyển mơ-tơ đất xa mạc với vận tốc 30km/h Song song với AB cách AB khoảng cách 10km có đường (d) Nếu chạy đường (d) nhà địa chất chạy mơ-tơ với vận tốc 50km/h Bài tốn quan tâm đến tìm phương án di chuyển từ A đến B với thời gian Hình 2.19 B A C x Y X Hình 2.19 D Bài toán 2.18 Phối hợp chèo thuyền chạy đến mục tiêu nhanh Một người lái thuyền từ điểm A bờ sông (biết chiều rộng sông km) muốn đến điểm B vùng hạ lưu bờ sông bên (cách điểm C theo phương chèo ngang qua bên sông km) nhanh tốt Xem Hình 2.20 để hiểu rõ vấn đề tốn Anh ta chèo thuyền ngang qua bên sông để đến điểm C sau chạy bờ để đến B, hay chèo thuyền trực tiếp qua sông để đến điểm B, hay chèo đến điểm D nằm C B chạy đến B Nếu chèo thuyền với tốc độ km/h chạy với tốc độ km/h nên chọn cách để đến điểm B sớm có thể? Biết vận tốc dòng chảy nước khơng đáng kể so với tốc độ chèo thuyền 16 A 1km x B 8km D C Hình 2.20 Bài tốn 2.19 Chọn vị trí đặt trạm trung chuyển hàng ngắn Từ cảng A dọc theo đường sắt AB cần phải xác định trạm trung chuyển hàng hóa C xây dựng đường từ C đến D Hình 2.21 Biết vận tốc đường sắt v1 đường v2 (v1 < v2) Hãy xác định phương án chọn địa điểm C để thời gian vận chuyển hàng từ cảng A đến cảng D ngắn nhất? Lời giải: Hình 2.21 Lưu lượng xe ô tô vào đường hầm Lưu lượng xe ô tô (là số lượng xe ô tô vào đường hầm với vận tốc) 290,4v cho công thức : f  v   (xe/giây) Trong đó, v (km/h) 0,36v  13,2v  264 vận tốc trung bình xe vào đường hầm Tính vận tốc trung bình xe vào đường hầm cho lưu lượng xe lớn tính giá trị lớn Bài tốn 2.20 Chi phí nguyên liệu đường nhỏ Chi phí nhiên liệu tàu chia làm hai phần Trong phần thứ khơng phụ thuộc vào vận tốc 480 ngàn đồng/giờ Phần thứ hai tỷ lệ thuận với lập phương vận tốc, vận tốc v = 10km/h phần thứ hai 30 ngàn đồng/giờ Hãy xác định vận tốc tàu để tổng chi phí nguyên liệu km đường nhỏ nhất? 2.2.2 Các toán quang học Bài tốn khơn ngoan ánh sáng - Ngun lý Fermat 17 Thang Long University Library Vào khoảng năm 1660, nhà toán học người Pháp P Fermat đưa nguyên lý quang hình học mà gọi nguyên lý Fermat Theo nguyên lý này, tất đường nối hai điểm với nhau, ánh sáng theo đường thời gian Từ nguyên lý rút tất định luật khác quang hình học Thực vậy, mơi trường đồng tính ánh sáng cần phải truyền theo đường thẳng, đường thẳng khoảng cách ngắn hai điểm, thời gian ánh sáng truyền theo đường thẳng nhỏ Nếu ánh sáng đến mặt phân cách hai mơi trường (có chiết suất khác nhau, hay có vận tốc truyền ánh sáng khác nhau) chúng tuân theo định luật phản xạ khúc xạ ánh sáng, mà ta suy trực tiếp từ nguyên lý Fermat Một cách phát biểu chặt chẽ hơn, nguyên lý Fermat thực tế trường hợp riêng nguyên lý tổng quát sử dụng rộng rãi vật lý, lý thuyết đại, có tên nguyên lý tác dụng tối thiểu Theo nguyên lý này, ánh sáng truyền từ điểm đến điểm khác theo đường có thời gian truyền đạt cực trị, nghĩa cực tiểu, cực đại hay so với tất đường khác Dưới xem xét số ví dụ cụ thể để minh họa cho nguyên lý Fermat i) Trường hợp môi trường phản xạ Bài toán 2.21 Sự phản xạ ánh sáng từ gương phẳng Xét phản xạ ánh sáng từ gương phẳng Hình 2.22 : D chắn không cho ánh sáng truyền trực tiếp từ A đến B) Hãy rút định luật phản xạ ánh sáng từ nguyên lý cho ánh sáng phản xạ từ gương phẳng truyền theo khoảng thời gian ngắn Hình 2.22 Hình 2.23 ii) Trường hợp mơi trường khúc xạ ánh sáng Bài toán 2.22 Chứng minh thời gian truyền ánh sáng hai mặt phân cách hai môi trường Từ điểm A (nằm môi trường có vận tốc truyền ánh sáng v1) đến điểm B (nằm mơi trường có vận tốc truyền ánh sáng v2) theo quỹ đạo ACB Hình 2.24 khoảng thời gian ngắn Từ rút định luật khúc xạ 18 α1 α1 α2 α2 Hình 2.25 Hình 2.24 Lời giải: 2.3 MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG KINH TẾ Mở đầu Trong kinh tế biết tốn học có vai trò quan trọng Toán học giúp từ bà nội chợ đến cửa hàng bán rau cần phải biết phép tính Nhưng tốn học khơng có thế, mà vai trò ngày lớn kinh tế thị trường, với cạnh tranh liệt việc tối ưu sản xuất kinh doanh nói riêng kinh tế nói chung đặt nên hàng đầu Để thể phần vai trò toán học với kinh tế Sau tác giả giới thiệu số toán kinh tế ứng dụng cực trị giải tích để phân tích giải Trong mục tác giả dựa vào tài liệu [2], [4], [7] 2.3.1 Các tốn tối đa hóa lợi nhuận Lợi nhuận phần tài sản mà nhà đầu tư nhận thêm nhờ đầu tư sau trừ chi phí liên quan đến đầu tư Nếu gọi P đơn giá, hàm sản lượng Q = Q(P), hàm doanh thu R = P.Q, hàm chi phí C = C(Q), hàm lợi nhuận N = R – C Theo cơng thức hàm lợi nhuận N hàm biến Q Vậy để tối đa hóa lợi nhuận ta tìm cực trị hàm số N Bài tốn 2.23 Tối đa hóa lợi nhuận doanh nghiệp khơng độc quyền Ví dụ 2.1 Cho hàm cầu Q  300  P (nhu cầu thị trường sản phẩm) hàm chi phí C  Q3  19Q  333Q  10 Tìm Q để lợi nhuận lớn Bài tốn 2.24 Tối đa hóa lợi nhuận doanh nghiệp độc quyền Giả sử doanh nghiệp sản xuất độc quyền loại hàng hóa Biết hàm cầu Q D  D  P  , Q = Q(P), hàm tổng chi phí C  C  Q  Trong QD : lượng cầu hàng hóa doanh nghiệp; Q : sản lượng sản xuất thời gian 19 Thang Long University Library Hãy xác định mức sản lượng mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại Phương pháp giải: Biết Q mức sản lượng sản mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại Để doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng Q  QD Ví dụ 2.2 Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy loại Hiện nay, doanh nghiệp tập trung chiến lược vào kinh doanh xe honda Future Fi với chi phí mua vào 27 (triệu đồng) bán với giá 31 (triệu đồng) Với giá bán số lượng xe mà khách hàng mua năm 600 Nhằm mục tiêu đẩy mạnh lượng tiêu thụ dòng xe ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán ước tính giảm (triệu đồng) số lượng xe bán năm tăng thêm 200 Vậy doanh nghiệp phải định giá bán để sau thực giảm giá, lợi nhuận thu cao nhất? Ví dụ 2.3 Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 ti vi năm Chi phí gởi kho 10$ năm Để đặt hàng chi phí cố định 20$ cộng thêm 9$ Cửa hàng nên đặt hàng lần năm lần để chi phí hàng tồn kho nhỏ nhất? Theo hàm lợi nhuận chi phí nhỏ lợi nhuận lớn mà cửa hàng lợi nhuận bán hàng nên lợi nhuận chủ yếu phụ thuộc vào chi phí 2.3.2 Bài tốn tối đa hóa doanh thu Doanh thu doanh nghiệp toàn số tiền thu tiêu thụ sản phẩm, cung cấp dịch vụ, hoạt động tài hoạt động khác doanh nghiệp Trong kinh tế học, doanh thu thường xác định giá bán nhân với sản lượng Nếu gọi P đơn giá, hàm sản lượng Q = Q(P), hàm doanh thu R = P.Q Theo cơng thức hàm doanh thu hàm biến Q P Vậy để tối đa hóa doanh thu ta tìm cực trị hàm số R Ví dụ 2.4 Giá vé tối đa trận bóng chày Một đội bóng chày chơi sân vận động có sức chứa 55000 khán giả Với giá vé 10 la, trung bình bán cho khán giả 27000 vé Khi giá vé giảm xuống la, số khán giả mua tăng lên 33000 vé a.Tìm hàm số cầu, giả định đường thẳng b.Giá vé để đạt tối đa hóa doanh thu? Ví dụ 2.5 Nên giảm giá bán đến mức Một cửa hàng bán trung bình 200 đầu máy đĩa CD tuần với giá 350 đô-la máy Một khảo sát thị trường giảm giá 10 đô-la đầu máy cho người mua số lượng đầu máy bán tăng lên 20 tuần Hãy tìm hàm số nhu cầu hàm số 20 doanh thu trường hợp Hỏi mức giảm cửa hàng nên thực để mức doanh thu họ đạt giá trị cao nhất? Qua ví vụ ta nhận thấy tốn học đóng vai trò quan trọng nói khơng thể thiếu ứng dụng thực tiễn vai trò có xu hướng tăng lên theo năm tháng Toán học giúp cho nhiều lĩnh vực tiến triển nhanh Tốn học có ảnh hưởng lớn đến truyền đạt ý niệm đề xuất nhà nghiên cứu với nhau, mà nhà nghiên cứu với dân chúng, nhà làm kinh tế với nhà làm sách Vì người giới dù muốn hay không cần phải đạt đến trình độ tốn định (tốn giải tích) để tham gia, theo dõi, vào phát triển xã hội mức 2.4 BÀI TẬP CÙNG DẠNG KẾT LUẬN CHƯƠNG Chương chương chủ đạo luận văn nội dung chủ yếu khai thác cung cấp toán cực trị mang tính thực tiễn Giúp người đọc thấy vai trò quan trọng việc đưa mơn giải tích vào chương trình tốn học phổ thơng việc khai thác tính thực tiễn quan trọng người học tốn Nói chung luận văn tác giả đề cập đến số tốn cực trị giải tích, để người thấy vai trò quan trọng tốn học Còn ứng dụng khơng có nhiều tốn khác mà nhiều lĩnh vực không vài lĩnh vực mà tác giả nêu 21 Thang Long University Library KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Trong luận văn nội dung thể vấn đề sau: Chương trình bày lý thuyết cực trị hàm số biến theo chương trình phổ thơng, làm rõ cực trị địa phương cực trị toàn cục Đưa quy tắc tìm cực trị Ngồi đưa số ứng dụng tốn tìm cực trị nội mơn tốn giải PT, bất PT, tìm cực trị hàm nhiều biến, chứng minh BĐT Chương khai thác số tốn cực trị giải tích thực tiễn lĩnh vực Hình học, Vật lý, Kinh tế Thể vai trò ý nghĩa cần thiết cực trị thực tiễn Tóm lại tổng thể luận văn nhằm thể quan trọng việc hiểu biết cực trị giải tích sau áp dụng vào giải hai loại ứng dụng ứng dụng mặt lý thuyết ứng dụng thực tiễn gắn với đời sống xã hội Kiến nghị Mở rộng toán cực trị phương pháp khác Giới thiệu nhiều tốn có ứng dụng thực tiễn theo chương trình phổ thơng thuộc nhiều lĩnh vực khác 22 Tài liệu tiếng việt [1] TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Ngọc Anh (2000), Ứng dụng phép tính vi phân (phần đạo hàm) để giải tập cực trị có nội dung liên mơn thực tế dạy học Toán lớp 12 THPT , Luận án Tiến sĩ giáo dục học, Viện Khoa học Giáo dục, Hà Nội [2] Trần Thị Tuấn Anh, Bài toán ứng dụng cực trị Kinh tế Đại học Kinh tế TPHCM [Trực tuyến] Địa chỉ: https://www.ngoaithuong2.files.wordpress.com/2012/04/ungdungkinhte_vb2.pdf [Truy cập: 20/11/2015] [3] Trần Nam Dũng, Giải tích cực trị Diễn đàn toán học [trực tuyến] Địa chỉ: http://www.diendantoanhoc.net [Truy cập: 21/9/2015] [4] Ngơ Nhật Hồng, Ứng dụng tốn học vào thực tiễn [Trực tuyến] Địa chỉ: http://www 360.Ungdungtoan.vn [Truy cập: 25/5/2016] [5] Trần Kiều (1978), Suy nghĩ bước đầu "Toán ứng dụng" Chương trình Tốn phổ thơng, Tạp chí Nghiên cứu giáo dục, (4), tr 15 - 17 [6] Nguyễn Văn Mậu (2006), BĐT - Định lý áp dụng, Nhà xuất Giáo dục [7] Các nguồn tài liệu Internet, tạp chí, Tốn học Tuổi trẻ, đề thi Olympic Toán nước, đề thi Đại học số năm, Đề thi học sinh giỏi Quốc gia Tài liệu tiếng anh [8] V.M.Tikhomirov(1990), Stories about Maxima and Minima, Volume 1,American Mathematical Society, Mathematical Association of America 23 Thang Long University Library