Hội sinh viên NEU phát cuồng tốn cao cấp 1, Hè 2015 Bài tập mẫu phần Toán kinh tế P2 Sản phẩm vật cận biên 1.1 Tập đồn TOMMY có hàm sản xuất Q  f  K , L   120 K L2 Giá thuê đơn vị lao động ngày 10$, giá thuê đơn vị tư ngày 12$ Tính: a Sản phẩm vật cận biên theo tư lao động mức sử dụng K  36 , L  64 nêu ý nghĩa b Để thu sản lượng cao ngày nên thuê tư hay lao động lợi hơn? 1.2 Lời giải: a (*) Sản phẩm vật cận biên theo tư là: 60 L2 60.16  MPPK  36;64    160 K Ý nghĩa: Tại mức sử dụng K  36 , L  64 giữ nguyên L  64 tăng sử dụng thêm đơn vị tư sản lượng tăng xấp xỉ 160 đơn vị sản lượng (*) Sản phẩm vật cận biên theo lao động là: MPPK  Q 'K  80 K 80.6  MPPL  36;64    120 L Ý nghĩa: Tại mức sử dụng K  36 , L  64 giữ nguyên K  36 tăng sử dụng thêm đơn vị lao động sản lượng tăng xấp xỉ 120 đơn vị sản lượng MPPK  36;64  160 40   b Sản phẩm cận biên đồng chi phí vốn wK 12 MPPL  Q 'L  Sản phẩm cận biên đồng chi phí lao động là: MPPL  36;64  120   12 wL 10 So sánh ta thấy sử dụng thêm đơn vị vốn lợi ích thu cao Tối ưu người tiêu dùng 2.1 Bài cực trị thuận a Đề bài: Một người tiêu dung loại hàng hóa với lượng tiêu dung tương ứng x,y Hàm lợi ích người U  x, y   100.x 0,5 y 0,4 Với thu nhập dành cho tiêu dùng $360, tìm kết họp hàng hóa đêm lại lợi ích tối đa điều kiện giá hai loại hàng hóa tương ứng $10 $8 Nếu chi cho tiêu dùng tăng 1$ tăng 1% lợi ích tối đa thay đổi nào? b Giải: Ta cần tìm kết hợp (x,y) cho tối đa U điều kiện: g  x, y   10 x  y  360 Hàm Lagrange: L  100 x0,5 y 0,4    360  10 x  y  Hội sinh viên NEU phát cuồng tốn cao cấp 1, Hè 2015  L 'x  50 x 0,5 y 0,6  10    x 0,5 y 0,4  x0,5 y 0,6   x  y  20   Điều kiện cần:  L ' y  40 x 0,5 y 0,6  8    x  y 0,1   5.20  10 x  y  360 L '  360  10 x  y     Ta có điểm dừng M  20; 20;5.200,1  Điều kiện đủ: g1  g 'x  10 ; g2  g ' y  ; L11  L''xx  25x1,5 y 0,4  L22  L''yy  24 x0,5 y 1,6  ; L21  L12  L''xy  30 x 0,5 y 0,6  Xét định thức: 10 10 L11 L12    80 L12  80 L21    64 L11   100 L22   160L12  64L11  100L22  L21 L22 Nên điểm dừng M cực đại U x = y = 20 kết hợp tiêu dung cần tìm (1) Theo ý nghĩa nhân tử Lagrange, thu nhập cho tiêu dùng tăng $1 lợi ích cực đại U0 tăng xấp xỉ   5.200,1 đơn vị sản lượng (2) Hệ số co giãn lợi ích cực đại U0 theo thu nhập cho tiêu dùng I0 là: dU I I 360   0,9  IUoo  0  0 Với I0 = 360  IUo o  5.200,1 0,9 100.20 10 dI U U0 Vậy, chi cho tiêu dùng tăng 1% lợi ích cực đại tăng 0,9% 2.2 Bài cực trị đối a Đề bài: Một người tiêu dung loại hàng hóa với lượng tiêu dung tương ứng x,y Hàm lợi ích người U  x, y   100.x 0,8 y 0,4 Hãy tìm kết tối thiểu chi phí tiêu dùng mà đạt đực mức lợi ích U  400 điều kiện giá hai loại hàng hóa tương ứng $10 $8 b Giải: Hàm chi phí tiêu dùng: C  10 x  y Ta cần tìm kết hợp (x,y) nhằm tối thiểu chi phí tiêu dùng đạt mức lợi ích g ( x, y )  100 x 0,8 y 0,4  400 Hàm Lagrange: L  10 x  y    400  100 x0,8 y 0,4  (*)Điều kiện cần:  5/6  x 0,2 y 0,4 x 0,8 y 0,6  x   4.(8 / 5)0,4   x0 0,2 0,4      L 'x  10  80 x y    5x   0,8 0,6   y   y0  L ' y   40 x y   5 x  y   x 0,8 y 0,4   0,8 0,4 L '  400  100 x y      x00,2 y00,4  0     Vậy ta có điểm dừng M  x0 ; y0 ; 0  Hội sinh viên NEU phát cuồng tốn cao cấp 1, Hè 2015 (*)Điều kiện đủ: 0,8 0,6 '' 1,2 0,4 g1  g 'x  80 x0,2 y 0,4  ; g2  g ' y  40 x y  L11  Lxx  M   160 x0 y0  L22  L''yy  M   240 x00,8 y01,6  ; L21  L12  L''xy  M   320 x00,2 y00,6  Xét định thức: g1 g g1 L11 L12    g1 g L12  g g1L21    g 22 L11   g12 L22   g1 g L12  g 22 L11  g12 L22  g L21 L22 Nên M cực tiểu hàm chi tiêu C, đó, kết hợp tiêu dùng cần tìm Tối ưu cho doanh nghiệp 3.1 Doanh nghiệp cạnh tranh a Đề bài: Một doanh nghiệp cạnh tranh sản xuất loại hàng hóa Q1; Q2 với hàm tổng chi phí kết hợp TC  5Q12  2Q1Q2  5Q22  50 Giá loại hàng hóa tương ứng $80, $160 Tìm kết hợp sản lượng mang lại lợi nhuận tối đa cho doanh nghiệp b Giải: Hàm tổng doanh thu: TR  80Q1  160Q2 Hàm lợi nhuận:   TR  TC  80Q1  160Q2  5Q12  2Q1Q2  5Q22  50  'Q  80  10Q1  2Q2  Q   Điều kiện cần:  => ta có điểm dừng M  5;15    '  160  Q  10 Q  Q  15 Q    Điều kiện đủ: a11   Q'' 1Q1  10  ; a22   Q'' 2Q2  10 ; a12  a21   Q'' 2Q1  2 Xét định thức: 10 2  100   96  nên suy M cực đại hàm lợi nhuận 2 10 Vậy mức sản lượng kết hợp cần tìm  Q1; Q2    5;15 3.2 Doanh nghiệp độc quyền a Sản xuất mặt hàng khác (1) Đề bài: Tập đoàn TOMMY sản xuất loại quần sịp loại I, II tương ứng Q1; Q2 với hàm tổng chi phí kết hợp TC  Q12  5Q1Q2  Q22 Hàm cầu loại sịp là: Q1  14  0, 25 p1 Q2  24  0,5 p2 Hãy xác định mức sản lượng giá tối ưu cho loại sịp (2) Giải: Đảo ngược hàm cầu ta được: p1  56  4Q1 p2  48  2Q2 Hàm tổng doanh thu: TR  p1Q1  p2Q2   56  4Q1  Q1   48  2Q2  Q2  56Q1  48Q2  4Q12  2Q22 Hàm lợi nhuân:   TR  TC  56Q1  48Q2  5Q1Q2  5Q12  3Q22  Q  96 / 35  'Q  56  5Q2  10Q1   96 40  Điều kiện cần:  => Điểm dừng M  ;    35  Q2  40 /   'Q2  48  5Q1  6Q2  Hội sinh viên NEU phát cuồng tốn cao cấp 1, Hè 2015 Điều kiện đủ: a11   Q'' 1Q1  10  ; a22   Q'' 2Q2  6 ; a12  a21   Q'' 2Q1  5 Xét định thức: 10 5  60  25  35  nên M cực đại hàm lợi nhuận 5 6 Vậy mức sản lượng sịp kết hợp cần tìm là:  Q1; Q2    96 / 35; 40 /  b Sản xuất mặt hàng sở, bán thị trường (1) Đề bài: Một doanh nghiệp độc quyền sản xuất sở với hàm chi phí cận biên là: MC1  TC '  Q1   20  0, 75Q1 MC2  10  0,5Q2 Đường cầu hàng hóa doanh nghiệp là: Q  320  p  Q  Q1  Q2  Tìm mức sản lượng tối ưu cho sở doanh nghiệp (2) Giải: Đảo ngược đường cầu ta có: p  D1  Q   40  0,125Q Hàm tổng doanh thu: TR  pQ   40  0,125Q  Q  40Q  0,125Q2  40 Q1  Q2   0,125 Q1  Q2  Hàm lợi nhuận:   TR  TC1  TC2  40  0, 25Q1  20  0, 75Q1  Q  20  'Q  TR 'Q1  MC1  Điều kiện cần:    40  0, 25Q2  10  0,5Q2  Q2  40   'Q2  TR 'Q2  MC2  Ta có điểm dừng M  20; 40  Điều kiện đủ:  Q'' 1Q1  1  ;  Q'' 2Q2  0,75 ;  Q'' 1Q2   Q'' 2Q1  Xét định thức: 1  0,75   0,75  => M cực đại hàm lợi nhuận 0,75 Vậy, mức phân chia sản lượng tối ưu là: Q1  20 Q2  40 c Sản xuất mặt hàng, bán hai thị trường khác (1) Đề bài: Một công ty độc quyền sản xuất loại sản phẩm bán hai thị trường khác Cho biết hàm chi phí cận biên MC  10,5  0,3Q  Q  Q1  Q2  Và cầu thị trường sản phẩm: p1  72  0,9Q1 p2  54  0, 45Q2 Hãy xác định giá bán thị trường để công ty thu lợi nhuận tối đa (2) Giải: Hàm tổng doanh thu: TR   79  0,9Q1  Q1   54  0, 45Q2  Q2  79Q1  54Q2  0,9Q12  0, 45Q22 Hàm lợi nhuận:   TR  TC (*) Trường hợp doanh nghiệp phân biệt giá thị trường: 79  1,8Q1  10,5  0,3  Q1  Q2   TR 'Q1  MC  Điều kiện tối đa hóa lợi nhuân:    TR 'Q2  MC 54  0,9Q2  10,5  0,3  Q1  Q2    Hội sinh viên NEU phát cuồng tốn cao cấp 1, Hè 2015 2,1Q1  0,3Q2  68,5 Q  2303 / 81   0,3Q1  1, 2Q2  43, Q2  2374 / 81 Điều kiện đủ: a11   Q'' 1Q1  1,8  0,3  2,1  ; a22   Q'' 2Q2  0,9  0,3  1, ; a12  a21  0,3 Xét định thức: 2,1 0,3  2,1.1,  0,3.0,3  2, 43  0,3 1, Nên  Q1; Q2    2303 / 81; 2374 / 81 cực đại hàm lợi nhuận Từ ta có giá bán thị trường tương ứng là: p1  4117 / 90 p2  3673 / 81 (*) Trường hợp doanh nghiệp khơng thể phân biệt giá: Lúc ta có ràng buộc p1  p2  72  0,9Q1  54  0, 45Q2  0,9Q1  0, 45Q2  18 Đặt g  Q1; Q2   0,9Q1  0, 45Q2 , ta có hàm Lagrange: L  TR  TC   18  0,9Q1  0, 45Q2  Điều kiện cần: 72  1,8Q1  10,5  0,3  Q1  Q2   0,9   L 'Q1  TR 'Q1  MC  0,9     L 'Q2  TR 'Q2  MC  0, 45   54  0, 45Q2  10,5  0,3  Q1  Q2   0, 45    0,9Q  0, 45Q  18 18  0,9Q1  0, 45Q2   2,1Q1  0,3Q2  0,9  61,5 Q1  35   0,3Q1  0, 75Q2  0, 45  43,5  Q2  30 0,9Q  0, 45Q  18   70 /   Điều kiện đủ: '' '' g1  g 'Q1  0,9 ; g2  g 'Q2  0, 45 ; L11  LQ1Q1  2,1 ; L22  LQ2Q2  0,75 L12  L21  L''Q2Q1  0,3 Xét định thức: 0,9 0, 45 0,9 2,1 0,3    0,1215  0,1215   0, 42525   0, 6075  1, 27575  0, 45 0,3 0, 75 Nên  Q1; Q2    35;30  cực đại hàm lợi nhuận Thay tương ứng vào hàm cầu ta có đươc giá thị trường p1  p2  40,5 ... (1) Đề bài: Tập đoàn TOMMY sản xuất loại quần sịp loại I, II tương ứng Q1; Q2 với hàm tổng chi phí kết hợp TC  Q12  5Q1Q2  Q22 Hàm cầu loại sịp là: Q1  14  0, 25 p1 Q2  24  0,5 p2 Hãy... 5.200,1 0,9 100.20 10 dI U U0 Vậy, chi cho tiêu dùng tăng 1% lợi ích cực đại tăng 0,9% 2.2 Bài cực trị đối a Đề bài: Một người tiêu dung loại hàng hóa với lượng tiêu dung tương ứng x,y Hàm lợi ích... giá tối ưu cho loại sịp (2) Giải: Đảo ngược hàm cầu ta được: p1  56  4Q1 p2  48  2Q2 Hàm tổng doanh thu: TR  p1Q1  p2Q2   56  4Q1  Q1   48  2Q2  Q2  56Q1  48Q2  4Q12  2Q22 Hàm