SỞ GD&ĐT BẮC GIANG CỤM TÂN YÊN Ngày thi: 28/01/2018 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017 - 2018 MƠN: TỐN 10 Thời gian làm 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1: (6 điểm) Cho phương trình x  x  3m   (m tham số) a) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm b) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x12 x2 �x12  x2  c) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn  3;4 Câu 2: (2 điểm) Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m tham số): x   m  1 x  m3   m  1  có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1  x2 �4 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ 3 biểu thức sau: P  x1  x2  x1 x2  3x1  3x2   Câu 3: (2 điểm) Giải phương trình 81x   x3  x  x2;  x �� 2 � �x  y  y   2 y   Câu 4: (2 điểm) Giải hệ phương trình � ( x  y )( x  xy  y  3)  3( x  y )  � Câu 5: (2 điểm) Cho số dương a, b, c có a+b+c=3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a a b b c c   2c  a  b 2a  b  c 2b  c  a Câu 6: (2 điểm) Khơng dùng máy tính tính tổng P = cos 00  cos 210  cos2 20  cos 30  cos 40   cos 21800 Câu 7: (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A  1;  B  4;3 Tìm tọa độ điểm M nằm trục hồnh cho góc 450 uuuu r uuur Câu 8: (2 điểm) Cho tam giác ABC điểm M , N , P thỏa mãn BM  k BC , uuur uuu r uuu r uuu r CN  CA , AP  AB Tìm k để AM vng góc với PN 15 …………………Hết………………… Họ tên thí sinh:…………………………… …………Số báo danh:……………… CỤM TÂN YÊN ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Năm học 2017 – 2018 Mơn thi: Tốn – Lớp 10 (Thời gian làm bài: 150 phút) Câu Nội dung Cho phương trình x  x  3m   (m tham số) Điểm a) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm b) Tìm m để pt có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x12 x2 �x12  x2  a) c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn  3;4 Để phương trình có hai nghiệm 12  (3m  4) �0 KL �x1  x2  2 Khi m � � (Khơng có bước không trừ điểm) �x1 x2  3m  ۣ m b) 1 0.5 x12 x2 �x12  x2  � (3m  4) �(2)  2(3m  4)  � 9m  18m �0 � m � 0;2 � � 0; KL Kết hợp với m � m �� � 3� � Nghiệm pt x  x  3m   hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số y  x  x y  3m  Vẽ bảng biến thiên hàm số y  x  x đoạn  3;4 Từ bảng biến thiên để phương trình x  x  3m   có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn  3;4 1  3m  �3 0.5 5� � � m �� ; � KL 3� � 0.5 c) Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m tham số): x   m  1 x  m3   m  1  có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1  x2 �4 Tìm giá trị lớn 3 giá trị nhỏ biểu thức sau: P  x1  x2  x1 x2  3x1  3x2   0.5 0.5 0.5 2 m3   m  1 � m3  4m  m  m    m   Trước hết xét biệt thức  '   m  1  � � � Phương trình có hai nghiệm x1 , x2 nên  ' �0 � m  m    m   �0 (1) Khi đó, theo Vi-ét ta có x1  x2   b   m  1 với điều kiện  m  1 �4 a 0,5 (2) x1 x2  c  m3   m  1 Điều kiện (1) (2) giải 2 �m �0 �m �3 a Như x13  x23   x1  x2   3x1 x2  x1  x2  nên biểu thức 3 � P   x1  x2   x1 x2  �  m  1 �  m3   m  1 � 16m  40m � � � � Bài tốn trở thành: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  m   16m  40m với m � 2;0 � 2;3 Ta lập bảng biến thiên hàm số P  m   16m  40m với m � 2; 0 � 2;3 m � 2 16 P  m 144 Từ ta kết luận được: Giá trị lớn biểu thức P  16 m  , Giá trị nhỏ biểu thức P  144 m  2 Giải phương trình 81x   x3  x  � 0,5 0,5 24 0,5 x2;  x �� � � 46 � � 46  �x  � PT cho tương dương với 3 �x  � � � 27 � � 27 � 46 � u  x  u  v  � � � � 27 Đặt � ta có hệ: � 46 46 46 � � � � 3v  u  v  3 �x  �  3u  � � 27 27 � � 27 � 0.5 Trừ hai phương trình cho theo vế ta có: � u v  0,  1  u  v    v  u  v  uv  u � �2 v  uv  u  3,   � � Dễ thấy v  uv  u �0 nên (2) vô nghiệm  1 � u  v � 3x   x  � x  x  x  27 3 x0 � � � �2 kết luận � x � �x  y  y   2 y   (1) � Giải hệ phương trình � ( x  y )( x  xy  y  3)  3( x  y )  (2) �   0,5 0.5 0.5 ĐKXĐ: y �1,5 x  y  3x  y   x  y 3 2   �  x  1   y  1 (2) � � x 1  y 1 � y  x  Thay vào pt thứ ta được: 2 � �2x 1   x � 1� � x  x    x  � �x  � � x   �� � � �2x 1  x � 2� � 0.5 (Có thể bình phương pt:  x  1 ( x  x  2)  ) Giải hai pt ta x  1, x   Vậy hệ có hai nghiệm  x; y    1; 1 ,   2,   Cho số dương a, b, c có a+b+c=3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 0.5 a a b b c c   2c  a  b 2a  b  c 2b  c  a P a a a3 a3 a3 c 3 c 3   (   ) 16 2c  a  b c  (a  b  c ) c  c3 a3 a c  c  3a c     16 16 c3 c3 a a 3a c  �  Suy ra: 16 2c  a  b b b 3b a  c c 3c b  �  �  Tương tự 16 16 2a  b  c 2b  a  c � 33 0.5 Cộng vế tương ứng ba BĐT chiều ta P � , 0.5 a=b=c=1 KL Tính P=cos2 00  cos 210  cos 20  cos 30  cos2 40   cos 21800 cos00 =-cos1800 � cos2 00 =cos 21800 P … 0,5 cos890 =-cos910 � cos 890 =cos 910 � P=2cos 00  2(cos 210  cos 20  cos 30  cos 40   cos 890 )  cos 900 =2  2(cos 210  cos 20  cos 30  cos 40   cos 890 ) 0 0,5 cos89 =sin1 � cos 89 =sin … 0,5 0 2 cos46 =sin44 � cos 46 =sin 44 � P=2  2(cos 210  sin 210  cos 20  sin 20   cos 440  sin 440  cos 450 ) =2  2(44  cos 450 )  91 0,5 KL A  1;  B  4;3 Tìm M nằm trục hồnh cho góc 450 Điểm M mằm trục hoành nên gọi M(m;0) , 0.5 uuur uuur MA  (1  m;2) , MB  (4  m;3) (1  m)(4  m)  2.3 cos450  (1  m)  22 (4  m)  32 0.5 � m4  10m3  44m  110m  75  � (m  6m  5)(m2  4m  15)  m=1 m=5 KL: M(1;0) M(5;0) uuuu r uuur uuur r uuu Cho tam giác ABC điểm M , N , P thỏa mãn BM  k BC , CN  CA uuu r r uuu AB Tìm k để AM vng góc với PN uuuu r 15 uuur uuuu r uuu r uuur uuu r +) BM  k BC � AM  AB  k ( AC  AB ) , AP  uuuu r uuu r uuur � AM  (1  k ) AB  k AC r uuur uuur uuur uuu r uuu +) PN  AN  AP   AB  AC 15 uuuu r uuur Để AM vuông góc với PN AM PN  uuu r uuur � uuu r uuur � � �� (1  k ) AB  k AC  AB  AC � � � � � 15 � r uuur 4(1  k ) k  k k uuu 2 � AB  AC  (  ) AB AC  15 3 15 4(1  k ) k  k 4k �  (  )cos600  15 3 15 �k KL: k  0.5 0.5