CHUYÊN ĐỀ - NGUYÊN HÀM, HÀM HỮU TỈ, HÀM LƯỢNG GIÁC KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Nguyên hàm Cho K khoảng ( a; b ) , nửa khoảng ( a; b ] , [ a; b ) hay đoạn [ a; b ] Hàm số F ( x ) gọi nguyên hàm hàm số f ( x ) K nếu: F ' ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ K Neesu F ( x ) nguyên hàm f ( x ) họ nguyên hàm f ( x ) là: ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C , C số - Phương pháp đổi biến số: Nếu x = u ( t ) có đạo hàm liên tục K thì: ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( u ( t ) ) u ' ( t ) dt Nếu t = v ( x ) có đạo hàm liên tục K thì: f ( x ) dx = g ( t ) dt thì: ∫ f ( x ) dx = ∫ g ( t ) dt - Phương pháp nguyên hàm phần: Nếu u ( x ) , v ( x ) có đạo hàm liên tục K udv = uv − vdu ∫ ∫ Tích phân: Giả sử f ( x ) liên tục khoảng K a, b ∈ K F ( x ) nguyên hàm f ( x ) thì: ∫ b a f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) = F ( x ) b a - Phương pháp tích phân đổi biến số: ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( u ( t ) ) u ' ( t ) dt b β a α Nếu t = v ( x ) có đạo hàm liên tục f ( x ) dx = g ( t ) dt thì: ∫ b a f ( x ) dx = ∫ v( b ) v( a ) g ( t ) dt - Phương pháp tích phân phần: Nếu u ( x ) , v ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ a; b ] ∫ b a b udv = u.v a − ∫ v.du b a Tổng tích phân Trang http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải liên hệ để nhận tài liệu hay Cho f hàm số xác định [ a; b ] ( a < b ) Phân hoạch T đoạn [ a; b ] thành n đoạn nhỏ điểm chia tùy ý a = x0 < x1 < < xn = b , đoạn  xi −1 , x j  ta lấy điểm ξi lập tổng tích phân n σ T = ∑ f ( ξ j ) ( x j − xi −1 ) i =1 ( ) x j − xi −1 Kí hiệu d ( T ) = max 1≤i ≤ n Nếu tồn giới hạn I = lim d ( T ) →0 n ∑ f (ξ ) ( x j i =1 đoạn [ a; b ] kí hiệu là: I = Ta chọn phân hoạch xi = a + j − xi −1 ) giới hạn gọi tích phân xác định hàm f b ∫ f ( x ) dx a i ( b − a ) , tổng tích phân n n S n = ∑ f ( ξ j ) ( x j − xi −1 ) lim S n = ∫ f ( x ) dx b a i =1 Nguyên hàm đa thức phân thức: ∫ dx = x + C ∫ kdx = kx + C với k số ∫ x dx = ln x + C u' ∫ u dx = ln u + C xα +1 u α +1 α Với α ≠ −1 ∫ x dx = + C ; ∫ u u '.dx = +C α +1 α +1 α Các biến đổi: chia tách, thêm bớt, khai triển tích số, đẳng thức, phân tích thành phân số đơn giản,… Tổng quát với hàm hữu tỉ, bậc tử lớn bậc mẫu phải chia tách phần đa thức, lại hàm hữu tỉ với bậc tử bé mẫu ( Nếu bậc tử bé bậc mẫu phân tích mẫu thừa số bậc ( x + a ) hay x + px + q bậc hai vô nghiệm đồng hệ số theo phần tử đơn giản: ) A Bx + C ; ; Đồng hệ số tử x + a x + px + q thức tính số A, B, C, … Kết hợp với biến đổi sai phân, thêm bớt đặc biệt để phân tích nhanh Các dạng tích phân đa thức, phân thức hữu tỉ: Trang b ∫ P ( x ) dx : Chia miền xét dấu P ( x ) , a b ∫ x ( mx + n ) α dx : Đặt u = mx + n phân tích, a b ∫ ( mx + n ) ( px + qx + r ) α dx : Đặt u = px + qx + r , a b ∫ ( x + m ) ( x + m ) α β dx : Nếu α < β đặt u = x + n a b - Dạng ∫ px a dx : Lập ∆ = q − pr + qx + r b ∆=0⇒∫ a b ∆0⇒∫ a b - Dạng ∫ px a dx ( mx + n ) : Dùng công thức dx : Đặt x = k tan t x + k2 dx 1  1  = −  ÷ : Biến đổi x −k x − k 2k  x − k x + k  mx + n dx : Lập ∆ = q − pr + qx + r ∆ ≥ ⇒ Phân tích dùng công thức A ( px + qx + r ) ' mx + n B ∆ 0, n > ∫ n Hướng dẫn giải Đặt u = ( − x ) , dv = x m dx Khi du = − n ( − x ) n −1 n ,v = x m+1 m +1 x m+1 n n n n −1 = x m+1 ( − x ) dx = I ( m+1,n−1) ( 1− x) + ∫ m +1 m + m + 0 I ( m,n) a Bài toán 7.42: Đặt I n = ∫ Chứng minh I n = (x dx + a2 ) , với a > 0, n ∈ ¥ , n ≥ n 1 2n − + .I n−1 n n −1 a 2n − ( n − 1) a Hướng dẫn giải a x2 + a2 − x2 1 In = ∫ = I n−1 − n a ( x2 + a2 ) a a Đặt u = x, dv = (x xdx +a a ∫ (x x dx + a2 ) n −1 Khi du = dx, v = n − ( ) x + a2 ) n ( ) n −1 a a ∫ (x x dx +a ) n = −x ( n − 1) ( x + a Bài toán 7.43: Đặt I n = ∫(1− x ) n ) + n −1 I n −1 ⇒ đpcm ( n − 1) dx, n ∈ ¥ Tính I n suy hệ thức: 1 1 ( −1) C n = 2.4 ( 2n ) Cn − Cn + Cn − Cn + + n 2n + 3.5 ( 2n + 1) n Hướng dẫn giải ( Với n ≥ , đặt u = − x ) n dv = dx thì: I n = ∫ ( − x ) dx = x ( − x ) n n 1 + ∫ 2nx ( − x ) n −1 dx Trang 25 = − + 2n ∫ ( x − + 1) ( − x ) n −1 dx = −2nI n + 2nI n −1 nên In = 2n 2n 2n − 2n n − 2 I n−1 = I n−2 = = I 2n + 2n + 2n − 2n + 2n − Mà I = nên có: I n = 2.4 ( 2n ) 3.5 ( 2n + 1) Khai triển nhị thức dấu tích phân: n I n = ∫ ∑ C ( − x k n k =0 ) k n dx = ∑ ( −1) C ∫ x k dx k k n k =0 n  x k +1  ( −1) C k = ∑ ( −1) C  = ÷ ∑ n k =0  k +  k =0 2k + n k k k n So sánh ta có điều phải chứng minh: 1 1 ( −1) C n = 2.4 ( 2n ) Cn − Cn + Cn − Cn + + n 2n + 3.5 ( 2n + 1) n Bài toán 7.44: Đặt I n = π /2 ∫ cos xdx, n ∈ ¥ * Tính I n theo I n −2 , n ≥ suy n π π < In < ( n + 1) 2n Hướng dẫn giải In = π /2 ∫ cos n −1 x.cos xdx = π /2 ∫ cos = x cos x.d ( sin x ) n −1 x π /2 = + ( n − 1) + ( n − 1) π /2 ∫ cos n−2 x.sin xdx π /2 ∫ cos Do đó: I n = n −1 n− x ( − cos x ) dx = ( n − 1) ( I n− − I n ) n −1 4 I n −2 Suy ra: I = I = I1 = n 5 15 n = 2m ⇒ I m = 2m − 2m − 2m − π I m−2 = = 2m 2m m − 2 n = 2m + ⇒ I m+1 = 2m 2m 2m − 2 I m−1 = = 2m + 2m + 2m − 1 Xét dãy f ( n ) = ( n + 1) I n I n +1 f ( n + 1) = f ( n ) ⇒ f ( n ) = f ( ) = π Trang 26 Do ( n + 1) I n I n +1 = π π , nI n −1.I n = 2 Mà I n > I n +1 ⇒ π π < ( n + 1) I n2 ⇒ I n > 2 ( n + 1) Và I n −1 > I n ⇒ π π > nI n2 ⇒ I n < ⇒ đpcm 2n [ a; b] Bài toán 7.45: Cho hàm số f liên tục Chứng minh tồn điểm c ∈ [ a; b ] cho b f ( x ) dx = f ( c ) b − a ∫a Hướng dẫn giải Giả sử m M tương ứng giá trị bé lớn hàm số f [ a; b] Ta có m ≤ f ( x ) ≤ M ∀x ∈ [ a; b ] nên: b b b b a a a a ∫ mdx ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ ∫ Mdx ⇒ m ( b − a ) ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ M ( b − a ) b f ( x ) dx Vì f hàm liên tục nên tồn c ∈ [ a; b ] để f ( c ) = b − a ∫a Bài toán 7.46: Chứng minh: Nếu f, g liên tục [ a; b ] thì: b b  b 2  ∫ f ( x ) g ( x ) dx ÷ ≤ ∫ f ( x ) dx.∫ g ( x ) dx a a  a Hướng dẫn giải Ta có ( yf ( x ) + g ( x ) ) ≥ 0, ∀y ⇒ y f ( x ) + y f ( x ) g ( x ) + g ( x ) ≥ 0, ∀y nên b y b b ∫ f ( x ) dx + y ∫ f ( x ) g ( x ) dx + ∫ g ( x ) ≥ 0, ∀y a a a b b  b Do ∆ ' =  ∫ f ( x ) g ( x ) dx ÷ − ∫ f ( x ) dx.∫ g ( x ) dx ≤ ⇒ đpcm a a  a Bài toán 7.47: Chứng minh rằng: Trang 27 11 a) 54 ≤ ∫( ) x + + 11 − x dx ≤ 108 −7 b) < ∫ e − x sin x π dx < x +1 12e Hướng dẫn giải x + + 11 − x [ −7;11] a) Xét f ( x ) = Với −7 < x < 11 f ' ( x ) = 1 11 − x − x + − = x + 11 − x ( x + ) ( 11 − x ) f ' ( x ) = ⇔ x = Lập BBT ≤ f ( x ) < 6, ∀x ∈ [ −7;11] 11 Do ∫3 2dx ≤ −7 11 11 −7 −7 ∫ f ( x ) dx ≤ ∫ 6dx ⇒ đpcm e − x sin x e −1   ∀ x ∈ 1; ⇒ < < = b) 2   x +1 x + e ( x + 1) Do < ∫ e − x sin x dx < x +1 e ∫x 1 π dx = +1 12e Bài toán 7.48: Chứng minh: a) e x > + x + m b) x2 xn + + , ∀x > 2! n! ∑ n ( n + 1) n =1 n < − ln 2, ∀m ∈ ¥ , m > Hướng dẫn giải a) Ta chứng minh quy nạp x x Khi n = BĐT: e > + x, ∀x > : Đúng e > 1, ∀y ∈ ( 0; x ) ⇒ e dy > dy ⇒ e x − > x x y ∫ y ∫ Giả sử BĐT n = k Ta chứng minh BĐT n = k + Vì e x > + x + x2 xk + + , ∀x > 2! k! y2 yk nên e > + y + + + , ∀y ∈ ( 0; x ) 2! k! y Trang 28  y2 yk  ⇒ ∫ e dy > ∫  + y + + + ÷dy 2! k!  0 x x y x x3 x k +1 ⇒ e − > x + + + + : đpcm 2! 3! ( k + 1) ! x − x k +1 b) Với k ∈ ¥ , x ∈ ( 0;1) : + x + x + + x = < 1− x 1− x * k Do với y ∈ ( 0;1) , ta có: y dx ∫ ( + x + + x ) dx < ∫ − x ⇒ y + y k + + k +1 y < − ln ( − y ) k +1 Tiếp tục với z ∈ ( 0;1) ta có: z z k +1   ∫0  y + y + + k + y ÷dy < ∫0 ( − ln ( − y ) ) dy ⇒ z + z + + z k + < z + ( − z ) ln ( − z ) 1.2 2.3 k ( k + 1) Chọn z = k = m − đpcm Bài tốn 7.49: Xác định đa thức f ( x ) = n ∑a k =1 k cos kx biết f ( x ) = 0, ∀x ∈ [ 0;2π ] Hướng dẫn giải Với số nguyên p, q ta có: 2π I = ∫ cos px.cos qxdx = 2π ∫ cos ( p + q ) x + cos ( p − q ) x dx p ≠ q I = , p = q I = π n Vì f ( x ) = ∑ ak cos kx = 0, ∀x ∈ [ 0;2π ] k =1 ⇒0= 2π ∫ f ( x ) cos pxdx = a π k với p = k , k = 1, 2, , n Do tất hệ số ak = Vậy f ( x ) = BÀI LUYỆN TẬP Bài tập 7.1: Tìm: Trang 29 b) B = x ( ax + b ) dx , a ≠ a) A = x ( x − 3) xdx ∫ ∫ 11 Hướng dẫn giải ( x − 3) a) Đổi biến t = x − Kết 13 13 ( x − 3) + 12 +C b) Đổi biến t = ax + b Kết Khi α = −2 B = Khi α = −1 B = 1  + ln ax + b ÷+ C  a  ax + b  ( ax + b − ln ax + b ) + C a2 α +2 α +1 ax + b )   ( ax + b ) ( + ÷+ C Khi α ≠ −2, −1 B =  a  α + α +1 ÷  Bài tập 7.2: Tính a) I = ∫ x 2001dx (x + 1) 1002 b) I = ( x − 3) dx ∫ x( x + 3x + ) Hướng dẫn 1001  x2  a) Đổi biến t = x + Kết  ÷ 2002  x +  +C ( ) ( ) 2 b) Kết − ln x + 4ln x + − Bài tập 7.3: Tính: a) ∫ ( x + 1) ln ( x + ) + C dx b) ∫ x ( + x ) dx Hướng dẫn giải a) Đổi biến t = x + Kết b) Kết 10 ( x + 1) + C 20 1 + x4 ) + C ( 16 Bài tập 7.4: Tính: a) ∫ (x 5x + 4) 2 dx b) B = ∫ x9 dx x10 + x5 + Hướng dẫn a) Đổi biến t = x + Kết Trang 30 b) Kết  34 31   ln − ÷  51  ∫ ∫ Bài tập 7.5: Tính: a) I = cos5 x cos xdx b) J = cos xdx Hướng dẫn a) Biến đổi tích thành tổng Kết b) Kết 11   sin12 x + sin x ÷+ C 46  sin x + sin x + C 12 sin x ∫ Bài tập 7.6: Tính a) cos x dx b) ∫ sin x cos x a sin x + b cos x 2 2 dx, a ≠ b Hướng dẫn a) Đổi biến t = cos x dt = − sin xdx Kết −3 cos x + C b) Kết a sin x + b cos x + C 2 a −b ∫ sin Bài tập 7.7: Tính a) x dx b) x ∫ sin x dx Hướng dẫn a) Nhân chia thêm sin x đổi biến t = cos x Kết x cos x ln tan − +C 2 2sin x b) Kết − x cot x + ln sin x + C π /3 ∫ tan Bài tập 7.8: Tính: a) π /3 xdx b) π /4 ∫ sin x tan xdx Hướng dẫn a) Tách tan x.tan x Kết − b) Kết ln − ln 2 Bài tập 7.9: a) A = π /2 ∫ sin xdx ( + cos x ) b) B = π /2 ∫ sin xdx + 4sin x − cos x Trang 31 Hướng dẫn a) Đổi biến t = cos x Kết b) Kết ln − 15 64 Bài tập 7.10: Tính a) C = 5π /4 ∫ π sin x − cos x dx + sin x b) D = π /2 ∫ 2sin x cos x + 4sin x dx Hướng dẫn a) Để ý + sin x = ( sin x + cos x ) đổi biến t = sin x + cos x Kết b) Kết ln 2 Bài tập 7.11: Chứng minh rằng: π π /2 dx π ≤ ∫ ≤ b) 14 + 3cos x x −1 2x −1 dx ≤ ∫ dx a) ∫ x x +1 1 Hướng dẫn a) Chứng minh ∀x ∈ [ 1;2] : x −1 2x −1 ≤ x x +1 1  π : ≤ ≤   + 3cos x b) Chứng minh ∀x ∈ 0; Bài tập 7.12: Tính J = ∫ (x dx + x + 3) lập công thức truy hồi: Jn = ∫ (x dx + x + 3) n Hướng dẫn J3 = − x+2 ( x + x + 3) + 3( x + 2) ( x + x + 3) + x +1 ln +C 16 x + Trang 32 Và tách J n+1 = ∫ (x dx + x + 3) n +1 =∫ (x + x + 3) n dx x + 4x + Trang 33 ...http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải liên hệ để nhận tài liệu hay... y ∈ ( 0;1) , ta có: y dx ∫ ( + x + + x ) dx < ∫ − x ⇒ y + y k + + k +1 y < − ln ( − y ) k +1 Ti p tục với z ∈ ( 0;1) ta có: z z k +1   ∫0  y + y + + k + y ÷dy < ∫0 ( − ln ( − y ) ) dy