TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN LÝ THUYẾT Hệ trục tọa độ không gian Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy , Oz vng góc với đôi chung điểm r r r gốc O Gọi i, j , k vectơ đơn vị, tương ứng trục Ox, Oy , Oz Hệ ba trục gọi hệ trục tọa độ vng góc khơng gian rr rr r r r2 r r Chú ý: i  j  k  i j  i.k  k j  Tọa độ vectơ r r r r r a) Định nghĩa: u   x; y; z  � u  xi  y j  zk r r b) Tính chất: Cho a  (a1 ; a2 ; a3 ), b  (b1 ; b2 ; b3 ), k �� r r  a �b  (a1 �b1 ; a2 �b2 ; a3 �b3 ) r  ka  (ka1 ; ka2 ; ka3 ) �a1  b1 r r � a2  b2  ab � � �a  b �3 r r r r   (0;0;0), i  (1;0; 0), j  (0;1;0), k  (0;0;1) r r r r r r  a phương b (b �0)  a  kb (k ��) a1  kb1 � a a a � �� a2  kb2 �   , (b1 , b2 , b3 �0) b1 b2 b3 � a3  kb3 � r r rr  a.b  a1.b1  a2 b2  a3 b3  a  b � a1b1  a2b2  a3b3  r2 r 2  a  a1  a2  a3  a  a12  a22  a22 rr a1b1  a2b2  a3b3 a.b r r r r r  cos(a , b )  r r  (với a , b �0 ) a b a12  a22  a32 b12  b22  b32 Tọa độ điểm uuuu r r r r a) Định nghĩa: M ( x; y; z ) � OM  x.i  y j  z.k (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ) Chú ý:  M � Oxy  � z  0; M � Oyz  � x  0; M � Oxz  � y   M �Ox � y  z  0; M �Oy � x  z  0; M �Oz � x  y  b) Tính chất: Cho A( x A ; y A ; z A ), B( xB ; yB ; z B ) uuu r  AB  ( xB  x A ; yB  y A ; z B  z A )  AB  ( xB  xA )  ( yB  y A )  ( zB  z A ) �x  x y  yB z A  z B � ;  Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB : M � A B ; A � � 2 �  Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC : �x  x  x y  yB  yC z A  z B  zC � G �A B C ; A ; � 3 � �  Toạ độ trọng tâm G tứ diện ABCD : �x  x  x  xD y A  yB  yC  yD z A  zB  zC  zC � G �A B C ; ; � � 4 � Tích có hướng hai vectơ r r a) Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a  (a1 ; a2 ; a3 ) , b  (b1 ; b2 ; b3 ) Tích có hướng hai r r r r � a vectơ a b, kí hiệu � �, b �, xác định �a2 a3 a3 a1 a1 a2 � r r � a, b � ; ; �  a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  � � � b b b b b b 3 1 � � Chú ý: Tích có hướng hai vectơ vectơ, tích vơ hướng hai vectơ số b) Tính r r chất: r r r r  [ a , b ]  a; [a , b ]  b r r r r �  � � a , b b  � � � �, a � r r r r r r r r r � � � � j � � i , j  k ; j , k  i ; k ,i � � � � � � r r r r r r  [a, b]  a b sin  a , b  (Chương trình nâng cao) r r r r r  a, b phương � [a, b]  (chứng minh điểm thẳng hàng) c) Ứng dụng tích có hướng: (Chương trình r rnâng rcao) r r r  Điều kiện đồng phẳng ba vectơ: a, b c đồng phẳng  [a, b].c  uuu r uuur  Diện tích hình bình hành ABCD : SY ABCD  � AB, AD � � � u u u r u u u r S ABC  � AB, AC �  Diện tích tam giác ABC : � � uuu r uuur uuur VABCD A ' B ' C ' D '  [ AB, AD ] AA� BCD :  Thể tích khối hộp ABCDA���� uuur uuur uuur VABCD  [ AB, AC ] AD  Thể tích tứ diện ABCD : Chú ý: – Tích vô hướng hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vng góc, tính góc hai đường thẳng – Tích có hướng hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh vectơ phương r r rr a  br� a.b  r r r r  a va� b cu� n g ph� � ng � a , b  r r r r r r a, b, c � o� ng pha� ng �  a, b c  Một vài thao tác sử dụng máy tính bỏ túi (Casio Fx570 Es Plus, Casio Fx570 Vn Plus, Vinacal 570 Es Plus ) Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A  x A ; y A ; z A  , B  xB ; y B ; z B  , C  xC ; yC ; z C  , D  xD ; y D ; z D  uuur w 1 (nhập vectơ AB ) uuur q 2 (nhập vectơ AC ) uuur q (nhập vectơ AD ) uuu r uuur C q53q54= (tính � AB, AC � � �) uuur uuur uuur C q53q54q57q55= (tính [ AB, AC ] AD ) uuu r uuur uuur Cqc(Abs) q53q54q57q55= (tính [ AB, AC ] AD ) C1a6qc(Abs) q53q54q57q55= r uuur uuur uuu (tính VABCD  [ AB, AC ] AD BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM r r r r r Câu 1: Gọi  góc hai vectơ a b , với a b khác , cos  rr rr rr r r a.b a.b a.b ab A r r B r r C r r D r r a.b a b a.b a.b r r Câu 2: Gọi  góc hai vectơ a   1; 2;0  b   2;0; 1 , cos  2 A B C D  5 r r r Câu 3: Cho vectơ a   1;3;  , tìm vectơ b phương với vectơ a r r r r A b   2; 6; 8  B b   2; 6;8  C b   2;6;8  D b   2; 6; 8  r r Câu 4: Tích vơ hướng hai vectơ a   2; 2;5  , b   0;1;  không gian A 10 B 13 C 12 D 14 Câu 5: Trong không gian cho hai điểm A  1; 2;3 , B  0;1;1 , độ dài đoạn AB A C 10 D 12 rr r uuuu r Câu 6: Trong không gian Oxyz , gọi i, j , k vectơ đơn vị, với M  x; y; z  OM r r r r r r r r r r r r A  xi  y j  zk B xi  y j  zk C x j  yi  zk D xi  y j  zk r r r r Câu 7: Tích có hướng hai vectơ a  (a1 ; a2 ; a3 ) , b  (b1 ; b2 ; b3 ) vectơ, kí hiệu � a, b � � �, xác định tọa độ A  a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  B  a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  B  a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  D  a2b2  a3b3 ; a3b3  a1b1 ; a1b1  a2b2  r r rr Câu 8: Cho vectơ u   u1 ; u2 ; u3  v   v1 ; v2 ; v3  , u.v  C A u1v1  u2 v2  u3v3  C u1v1  u2 v2  u3v3  r r Câu 9: Cho vectơ a   1; 1;  , độ dài vectơ a B u1  v1  u2  v2  u3  v3  D u1v2  u2 v3  u3v1  1 A B C  D Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trục Ox cho M không trùng với gốc tọa độ, tọa độ điểm M có dạng A M  a;0;0  , a �0 B M  0; b;0  , b �0 C M  0;0; c  , c �0 D M  a;1;1 , a �0 Câu 11: Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm mặt phẳng  Oxy  cho M không trùng với gốc tọa độ không nằm hai trục Ox, Oy , tọa độ điểm M ( a, b, c �0 ) A  0; b; a  B  a; b;0  C  0;0; c  D  a;1;1 r r r r Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho a   0;3;  b  a , tọa độ vectơ b A  0;3;  B  4;0;3 D  8;0; 6  r r r r � u Câu 13: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ u v , � �, v �bằng r r r r r r r r rr r r rr r r A u v sin u , v B u v cos u , v C u.v.cos u, v D u.v.sin u, v r r r ur r r r Câu 14: Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a   1; 1;  , b   3;0; 1 , c   2;5;1 , vectơ m  a  b  c có tọa độ A  6;0; 6  B  6;6;0  C  6; 6;0  D  0;6; 6    C  2;0;1       Câu 15: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A  1;0; 3 , B  2; 4; 1 , C  2; 2;0  Độ dài cạnh AB, AC , BC tam giác ABC A 21, 13, 37 B 11, 14, 37 C 21, 14, 37 D 21, 13, 35 Câu 16: Trong không gian Oxyz giác ABC �5 � A � ; ;  � �3 3 � Câu 17: Trong khơng gian Oxyz phẳng tọa độ điểm D A D  2;5;0  cho ba điểm A  1;0; 3 , B  2; 4; 1 , C  2; 2;0  Tọa độ trọng tâm G tam �5 � �5 � B � ; ; � C  5; 2;  D � ;1; 2 � �3 3 � �2 � cho ba điểm A  1; 2;0  , B  1;1;3 , C  0; 2;5  Để điểm A, B, C , D đồng B D  1; 2;3 C D  1; 1;6  D D  0;0;  r r r Câu 18: Trong không gian Oxyz , cho ba vecto a  (1; 2;3),b  (2; 0;1), c  (1; 0;1) Tìm tọa độ vectơ r r r r r n ra  b  2c  3i r r r A n   6; 2;6  B n   6; 2; 6  C n   0; 2;6  D n   6; 2;6  Câu 19: Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A(1;0; 2), B ( 2;1;3), C (3; 2; 4) Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC �2 � �1 � 2; ;3 � A G � ;1;3 � B G  2;3;9  C G  6;0; 24  D G � � � �3 � Câu 20: Cho điểm M  2;0;0  , N  0; 3;0  , P  0;0;4  Nếu MNPQ hình bình hành tọa độ điểm Q A Q  2; 3;  B Q  2;3;  C Q  3; 4;  D Q  2; 3; 4  Câu 21: Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm M  1;1;1 , N  2;3;  , P  7;7;5  Để tứ giác MNPQ hình bình hành tọa độ điểm Q A Q  6;5;  B Q  6;5;  C Q  6; 5;  D Q  6; 5; 2  Câu 22: Cho điểm A  1;2;0  , B  1;0; 1 , C  0; 1;2  Tam giác ABC A tam giác có ba góc nhọn B tam giác cân đỉnh A C tam giác vuông đỉnh A D tam giác Câu 23: Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A  1; 2;  , B  0;1;3 , C  3; 4;0  Để tứ giác ABCD hình bình hành tọa độ điểm D A D  4;5; 1 B D  4;5; 1 C D  4; 5; 1 D D  4; 5;1 r r r r r r Câu 24: Cho hai vectơ a b tạo với góc 600 a  2; b  Khi a  b A  20 B C D Câu 25: Cho điểm M  1; 2; 3 , khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  Oxy  A B 3 C D Câu 26: Cho điểm M  2;5;0  , hình chiếu vng góc điểm M trục Oy điểm  2;5;0  A M �  0; 5;0  B M �  0;5;0  C M �  2; 0;0  D M �  1; 2;  A M �  1;0; 3 B M �  0; 2; 3 C M �  1; 2;3 D M � Câu 27: Cho điểm M  1; 2; 3 , hình chiếu vng góc điểm M mặt phẳng  Oxy  điểm Câu 28: Cho điểm M  2;5;1 , khoảng cách từ điểm M đến trục Ox A 29 B C D 26 Câu 29: Cho hình chóp tam giác S ABC với I trọng tâm đáy ABC Đẳng thức sau đẳng thứcuu rđúng uur uur uu r uur uur r uu r uur uur r uu r uur uur r A IA  IB  IC B IA  IB  CI  C IA  BI  IC  D IA  IB  IC  � � � Câu 30: Trong không gian Oxyz , cho vectơ a   1;1;  ; b   1;1;0  ; c   1;1;1 Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai: r r A b  c uu r B a  ur C c  r r D a  b Câu 31: Cho điểm M  3; 2; 1 , điểm đối xứng M qua mặt phẳng  Oxy  điểm  3; 2;1  3; 2; 1  3; 2;1  3; 2;0  A M � B M � C M � D M �  a; b; c  đối xứng M qua trục Oy , a  b  c Câu 32: Cho điểm M  3; 2; 1 , điểm M � A B C D r r r r Câu 33: Cho u   1;1;1 v   0;1; m  Để góc hai vectơ u , v có số đo 450 m A � B � C � D Câu 34: Cho A  1; 2;0  , B  3;3;  , C  1; 2;  , D  3;3;1 Thể tích tứ diện ABCD A B C D Oxyz ABCD Câu 35: Trong không gian cho tứ diện Độ dài đường cao vẽ từ D tứ diện ABCD cho công thức sau đây: uuur uuur uuur uuur uuur uuur � � � AB , AC AD AB, AC � AD � � � � A h  uuu r uuur B h  uuu r uuur � � AB AC AB AC � � uuu r uuur uuur uuur uuur uuur � � � � AB AD AB , AC AD � , AC � � � C h  D h  uuu r uuur uuu r uuur � � AB AC AB AC � � Câu 36: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A  1; 2;0  , B  3;3;  , C  1; 2;  , D  3;3;1 Độ dài đường cao tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng  ABC  9 9 A B C D 7 14 Câu 37: Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(1;0; 2), B(2;1;3), C (3; 2; 4), D(6;9; 5) Tìm tọa độ trọng tâm G tứ diện ABCD � 18 � � 14 � 3;3; � A G �9; ; 30 � B G  8;12;  C G � D G  2;3;1 � � � 4� Câu 38: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 2;1), B(2; 1; 2) Điểm M trục Ox cách hai điểm A, B có tọa độ �1 � �1 � �3 � � 3� 0; ; � A M � ; ; � B M � ;0;0 � C M � ;0;0 � D M � �2 2 � �2 � �2 � � 2� Câu 39: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 2;1), B(3; 1; 2) Điểm M trục Oz cách hai điểm A, B có tọa độ � 3� �3 � 0;0; � A M  0;0;  B M  0;0; 4  C M � D M � ; ; � �2 2 � � 2� � Câu 40: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1; 2;3), B(0;3;1), C (4; 2; 2) Cosin góc BAC 9 9 A B C  D  35 35 35 35 r r r Câu 41: Tọa độ vecto n vng góc với hai vecto a  (2; 1; 2), b  (3; 2;1) r r r r A n   3; 4;1 B n   3; 4; 1 C n   3; 4; 1 D n   3; 4; 1 r r r r r r r r r r r 2 r Câu 42: Cho a  2; b  5, góc hai vectơ a b , u  ka  b; v  a  2b Để u vng góc với v k 45 45 A  B C D  45 6r 45 uu r r Câu 43: Cho u   2; 1;1 , v   m;3; 1 , w   1; 2;1 Với giá trị m ba vectơ đồng phẳng 3 8 A B  C D  8 3 r r r r Câu 44: Cho hai vectơ a   1;log 5; m  , b   3;log 3;  Với giá trị m a  b A m  1; m  1 B m  C m  1 D m  2; m  2 Câu 45: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2;5;3), B(3;7; 4), C ( x; y;6) Giá trị x, y để ba điểm A, B, C thẳng hàng A x  5; y  11 B x  5; y  11 C x  11; y  5 D x  11; y  Câu 46: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;0;0), B (0;0;1), C (2;1;1) Tam giác ABC A tam giác vuông A B tam giác cân A C tam giác vuông cân A D Tam giác Oxyz Câu 47: Trong không gian cho tam giác ABC có A(1;0;0), B (0;0;1), C (2;1;1) Tam giác ABC có diện tích 6 A B C D Câu 48: Ba đỉnh hình bình hành có tọa độ  1;1;1 ,  2;3;  ,  7;7;5  Diện tích hình bình hành 83 C 83 D r r r r r r Câu 49: Cho vecto a   1; 2;1 ; b   1;1;  c   x;3x; x   Tìm x để vectơ a, b, c đồng phẳng A B 1 C 2 D r r � � Câu 50: Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a   3; 2;  , b   5;1;6  , c   3;0;  Tìm vectơ x cho r r r r vectơ x đồng thời vng góc với a, b, c A  1;0;0  B  0;0;1 C  0;1;0  D  0;0;0  A 83 B 83 Câu 51: Trong không gian Oxyz , cho điểm B (1; 2; 3) , C (7; 4; 2) Nếu E điểm thỏa mãn đẳng thức uuu r uuu r CE  EB tọa độ điểm E 8� � 8� � 8� � � 1� 3; ;  � 3; ; � 3;3;  � 1; 2; � A � B � C � D � 3� � 3� � 3� � 3� � Câu 52: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1; 2; 1) , B (2; 1;3) , C ( 2;3;3) Điểm M  a; b; c  đỉnh thứ tư hình bình hành ABCM , P  a  b  c có giá trị A 43 B 44 C 42 D 45 Câu 53: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1; 2; 1) , B (2; 1;3) , C ( 2;3;3) Tìm tọa độ điểm D chân đường phân giác góc A tam giác ABC A D(0;1;3) B D(0;3;1) C D(0; 3;1) D D(0;3; 1) Câu 54: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A(1;3;5) , B(4;3;2) , C(0;2;1) Tìm tọa độ điểm I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 8 8 8 8 A I ( ; ; ) B I ( ; ; ) C I ( ; ; ) D I ( ; ; ) 3 3 3 3 3 3 ur r r Câu 55: Trong không gian Oxyz , cho vectơ  a   1;1;0  , b   1;1;0  , c   1;1;1 Cho hình hộp uuu r r uuu r r uuuu r r OABC O � A��� B C thỏa mãn điều kiện OA  a, OB  b , OC '  c Thể tích hình hộp nói bằng: A B C D 3 Câu 56: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho tọa độ điểm A  2; 1;1 , B  1;0;0  , C  3;1;0  , D  0;2;1 Cho mệnh đề sau: 1- Độ dài AB  2- Tam giác BCD vuông B 3- Thể tích tứ diện ABCD Các mệnh đề là: A 2) B 3) C 1); 3) D 2), 1) r r r Câu 57: Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ a   1,1,  ; b  (1,1, 0); c   1,1,1 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng: r r r r r r A cos b, c  B a  b  c  r r r rr A a, b, c đồng phẳng D a.b    Câu 58: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD , biết A(1;0;1) , B (1;1; 2) , C (1;1;0) , D(2; 1; 2) Độ dài đường cao AH tứ diện ABCD bằng: 13 13 A B C D 13 13 13 Câu 59: Cho hình chóp tam giác S ABC với I trọng tâm đáy ABC Đẳng thức sau đẳng thức uu r uur uur uuu r uu r uur uur uuu r A SI  SA  SB  SC B SI  SA  SB  SC uur uur uur uuu r uu r uur uur uuu r r C SI  SA  SB  SC D SI  SA  SB  SC      Câu 60: Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(1;0;0), B(0;1;0), C (0;0;1), D( 2;1; 1) Thể tích tứ diện ABCD A B C D 2 �  600 , CSA �  900 Gọi G trọng tâm tam Câu 61: Cho hình chóp S ABC có SA  SB  a, SC  3a, � ASB  CSB giác ABC Khi khoảng cách SG a 15 a a A B C D a 3 Câu 62: Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A  2;5;1 , B  2; 6;  , C  1; 2; 1 điểm M  m; m; m  , uuur uuur để MB  AC đạt giá trị nhỏ m A B C D Câu 63: Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A  2;5;1 , B  2; 6;  , C  1; 2; 1 điểm M  m; m; m  , để MA2  MB  MC đạt giá trị lớn m A B C D Câu 64: Cho hình chóp S ABCD biết A  2;2;6  , B  3;1;8  , C  1;0;7  , D  1; 2;3  Gọi H trung điểm 27 CD, SH   ABCD  Để khối chóp S ABCD tích (đvtt) có hai điểm S1 , S thỏa mãn u cầu tốn Tìm tọa độ trung điểm I SS A I  0; 1; 3 B I  1; 0;3 C I  0;1;3 D I  1;0; 3 Câu 65: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2; 1;7), B(4;5; 2) Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oyz ) điểm M Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số 1 A B C D 3 Câu 66: Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(2;1; 1), B(3;0;1), C(2; 1;3) D thuộc trục Oy Biết VABCD  có hai điểm D1  0; y1 ;0  , D2  0; y2 ;0  thỏa mãn u cầu tốn Khi y1  y2 A B C D Câu 67: Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A(1; 2; 4), B(3;0; 2), C(1;3;7) Gọi D chân uuur đường phân giác góc A Tính độ dài OD 207 203 201 205 C D B 3 3 Câu 68: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC , biết A(1;1;1) , B (5;1; 2) , C (7;9;1) Tính độ dài phân giác AD góc A 74 74 A B C 74 D 74 A Câu 69: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A(2; 4; 1) , B (1; 4; 1) , C (2; 4;3) D(2; 2; 1) Biết M  x; y; z  , để MA2  MB  MC  MD đạt giá trị nhỏ x  y  z A B C D Câu 70: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(2;3;1) , B (1; 2;0) , C (1;1; 2) H trực tâm tam giác ABC , đó, độ dài đoạn OH 870 870 870 870 A B C D 12 14 16 15 Câu 71: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A(3;1;0) , B nằm mặt phẳng (Oxy ) có hồnh độ dương, C nằm trục Oz H (2;1;1) trực tâm tam giác ABC Toạ độ điểm B , C thỏa mãn yêu cầu toán là: �3  177 17  177 � �  177 � �3  177 17  177 � �  177 � A B � ; ;0 � ,C � 0;0; B B � ; ;0 � ,C � 0;0; � � � � � � � � � � �3  177 17  177 � �  177 � �3  177 17  177 � �  177 � C B � ; ;0 � ,C � 0;0; D B � ; ;0 � ,C � 0;0; � � � � � � � � � � Câu 72: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình vng ABCD , B (3;0;8) , D(5; 4;0) Biết đỉnh A uuu r uuu r thuộc mặt phẳng ( Oxy ) có tọa độ số nguyên, CA  CB bằng: A 10 B 10 C 10 D 10 Câu 73: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC , biết A(5;3; 1) , B (2;3; 4) , C (3;1; 2) Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng: A  B  C  D  Câu 74: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm M  3;0;0  , N  m, n,  , P  0;0; p  Biết 2 � MN  13, MON  600 , thể tích tứ diện OMNP Giá trị biểu thức A  m  2n  p A 29 B 27 C 28 D 30 Oxyz A (2;3;1) B (  1; 2;0) Câu 75: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm , , C (1;1; 2) Gọi I  a; b; c  tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tính giá trị biểu thức P  15a  30b  75c A 48 B 50 C 52 D 46 BẢNG ĐÁP ÁN 1.A 11.B 21.B 31.C 41.B 51.A 61.A 71.A 2.B 12.D 22.A 32.C 42.D 52.B 62.A 72.B 3.A 13.A 23.A 33.B 43.D 53.A 63.B 73.B 4.C 14.C 24.B 34.C 44.C 54.C 64.C 74.A 5.A 15.C 25.D 35.D 45.A 55.D 65.A 75.B 6.D 16.A 26.C 36.A 46.A 56.A 66.B II –HƯỚNG DẪN GIẢI 7.A 17.A 27.A 37.D 47.C 57.A 67.D 8.C 18.D 28.D 38.C 48.A 58.B 68.A 9.A 19.A 29.D 39.A 49.A 59.B 69.A 10.A 20.B 30.A 40.A 50.D 60.D 70.D r r r r r  góc hai vectơ a b , với a b khác , cos  rr rr rr r r a.b a.b a.b ab A r r B r r C r r D r r a.b a.b a.b a.b r r Câu 2: Gọi  góc hai vectơ a   1; 2;0  b   2;0; 1 , cos  2 A B C D  5 r r r Câu 3: Cho vectơ a   1;3;  , tìm vectơ b phương với vectơ a r r r A b   2; 6; 8  B b   2; 6;8  C b   2;6;8  r r Câu 4: Tích vơ hướng hai vectơ a   2; 2;5  , b   0;1;  không gian Câu 1: Gọi A 10 B 13 Câu 5: Trong không gian cho hai điểm C 12 D r b   2; 6; 8  D 14 A  1; 2;3  , B  0;1;1 , độ dài đoạn AB C 10 D 12 rr r uuuu r Câu 6: Trong không gian Oxyz , gọi i, j , k vectơ đơn vị, với M  x; y; z  OM r r r r r r r r r r r r A  xi  y j  zk B xi  y j  zk C x j  yi  zk D xi  y j  zk r r r r , xác định tọa độ Câu 7: Tích có hướng hai vectơ a  ( a1 ; a2 ; a3 ) , b  (b1 ; b2 ; b3 ) vectơ, kí hiệu � a, b � � � A B B  a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2 b1   a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  C  a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  D  a2b2  a3b3 ; a3b3  a1b1 ; a1b1  a2b2  r r rr Câu 8: Cho vectơ u   u1 ; u2 ; u3  v   v1 ; v2 ; v3  , u.v  A u1v1  u2 v2  u3v3  C u1v1  u2 v2  u3v3  r r Câu 9: Cho vectơ a   1; 1;  , độ dài vectơ a u1  v1  u2  v2  u3  v3  D u1v2  u2 v3  u3 v1  1 A B D  Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trục Ox cho M không trùng với gốc tọa độ, tọa độ điểm M A B C có dạng A M  a;0;0  , a �0 B M  0; b;0  , b �0 C M  0;0; c  , c �0 D M  a;1;1 , a �0 Oxyz , cho điểm M nằm mặt phẳng  Oxy  cho M không trùng với gốc tọa độ không nằm hai trục Ox, Oy , tọa độ điểm M ( a, b, c �0 ) A  0; b; a  B  a; b;0  C  0;0; c  D  a;1;1 r r r r Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho a   0;3;  b  a , tọa độ vectơ b Câu 11: Trong không gian D  8;0; 6  r r r r u, v� Câu 13: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ u v , � � �bằng r r r r r r r r rr r r rr r r A u v sin u , v B u v cos u , v C u.v.cos u , v D u.v.sin u, v r r r ur r r r Câu 14: Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a   1; 1;  , b   3;0; 1 , c   2;5;1 , vectơ m  a  b  c có tọa độ A  0;3;  B  4;0;3 C         D  0;6; 6   6; 6;0  Câu 15: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A  1;0; 3  , B  2; 4; 1 , C  2; 2;0  Độ dài cạnh A  6;0; 6  B  6;6;0   2;0;1 giác ABC 21, 13, 37 C AB, AC , BC tam C 21, 14, 37 D 21, 13, 35 11, 14, 37 Câu 16: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A  1;0; 3  , B  2; 4; 1 , C  2; 2;0  Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC A B A �5 � � ; ;  � �3 3 � B �5 � � ; ; � �3 3 � C  5; 2;  D �5 � � ;1; 2 � �2 � Câu 17: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A  1; 2;0  , B  1;1;3 , C  0; 2;5  Để điểm A, B, C , D đồng phẳng tọa D A D  2;5;0  độ điểm B D  1; 2;3 C D  1; 1;6  D D  0; 0;  Hướng dẫn giải uuu r uuur uuur � AB AD  Cách 1:Tính � � , AC � Cách 2: Lập phương trình (ABC) toạ độ D vào phương trình tìm Câu 18: Trong khơng gian r r r r r n r a  b  2c  3i r r r Oxyz , cho ba vecto a  (1; 2;3),b  (2; 0;1), c  (1;0;1) Tìm tọa độ vectơ r r r n   6; 2; 6  C n   0; 2;6  D n   6; 2;6  Câu 19: Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A(1;0; 2), B ( 2;1;3), C (3; 2; 4) Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC �2 � �1 � 2; ;3 � A G � ;1;3 � B G  2;3;9  C G  6;0; 24  D G � � � �3 � Câu 20: Cho điểm M  2;0;0  , N  0; 3;0  , P  0;0;4  Nếu MNPQ hình bình hành tọa độ điểm Q A n   6; 2;6  B A Q  2; 3;  B Q  2;3;  C Q  3; 4;  D Q  2; 3; 4  Hướng dẫn giải �x2 uuuu r uuu r � Gọi Q ( x; y; z ) , MNPQ hình bình hành MN  QP � � y  �z   � Câu 21: Trong không gian tọa độ tọa độ điểm A Oxyz cho ba điểm M  1;1;1 , N  2;3;  , P  7;7;5  Để tứ giác MNPQ hình bình hành Q Q  6;5;  B Q  6;5;  C Q  6; 5;  D Q  6; 5; 2  Hướng dẫn giải Q  x; y; z  uuuu r uuu r MN   1; 2;3 , QP    x;7  y;5  z  uuuu r uuu r Vì MNPQ hình bình hành nên MN  QP � Q  6;5;  Điểm A  1;2;0  , B  1;0; 1 , C  0; 1;2  Tam giác ABC A tam giác có ba góc nhọn B tam giác cân đỉnh A C tam giác vuông đỉnh A D tam giác Hướng dẫn giải uuu r uuur uuu r uuur AB  (0; 2; 1); AC  ( 1; 3;2) Ta thấy AB AC �0 � ABC không vuông Câu 22: Cho điểm uuu r uuur AB �AC � ABC không cân Câu 23: Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm tọa độ điểm D A D  4;5; 1 B A  1; 2;  , B  0;1;3 , C  3; 4;0  Để tứ giác ABCD hình bình hành D  4;5; 1 C D  4; 5; 1 D D  4; 5;1 D Hướng dẫn giải D  x; y ; z  uuu r uuur AB   1; 1;1 , DC   3  x;  y;  z  uuur uuur Vì ABCD hình bình hành nên AB  DC � D  4;5; 1 r r r r r r Câu 24: Cho hai vectơ a b tạo với góc 600 a  2; b  Khi a  b Điểm A  20 B C Hướng dẫn giải r r2 r2 r2 r r r r r r Ta có a  b  a  b  a b cos a, b   16   28 � a  b    M  1; 2; 3  , khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  Oxy  B 3 C D Câu 25: Cho điểm A Hướng dẫn giải M  a; b; c  � d  M ,  Oxy    c Với M  2;5;0  , hình chiếu vng góc điểm M trục Oy điểm A M � B M � C M �  2;5;0   0; 5;   0;5;0  Câu 26: Cho điểm D M�  2;0;0  Hướng dẫn giải M  a; b; c  � hình chiếu vng góc M lên trục Oy M  0; b;0  Với M  1; 2; 3  , hình chiếu vng góc điểm M mặt phẳng  Oxy  điểm A M � B M � C M � D M �  1; 2;0   1;0; 3  0; 2; 3  1; 2;3 Câu 27: Cho điểm Hướng dẫn giải M  a; b; c  � hình chiếu vng góc M lên mặt phẳng  Oxy  M  a; b;0  Với Câu 28: Cho điểm 29 A M  2;5;1 , khoảng cách từ điểm M đến trục Ox B C 26 D Hướng dẫn giải M  a; b; c  � d  M , Ox   b  c Câu 29: Cho hình chóp tam giác S ABC với I trọng tâm đáy ABC Đẳng thức sau đẳng thức uu r uur uur uu r uur uur r uu r uur uur r uu r uur uur r A IA  IB  IC B IA  IB  CI  C IA  BI  IC  D IA  IB  IC  Với Câu 30: Trong không gian � � � Oxyz , cho vectơ a   1;1;0  ; b   1;1;0  ; c   1;1;1 Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai: r A r b  c B uu r a  C ur c  D r r a  b D M�  3; 2;0  Hướng dẫn giải rr Vì b.c  �0 M  3; 2; 1 , điểm đối xứng M qua mặt phẳng  Oxy  điểm A M � B M � C M �  3; 2;1  3; 2; 1  3; 2;1 Câu 31: Cho điểm Hướng dẫn giải M  a; b; c  � điểm đối xứng M qua mặt phẳng  Oxy  M  a; b; c  Câu 32: Cho điểm M  3; 2; 1 , điểm M �  a; b; c  đối xứng M qua trục Oy , a  b  c A B C D Với Hướng dẫn giải M  a; b; c  � điểm đối xứng M qua trục Oy M �  a; b; c  � M�  3; 2;1 � a  b  c  r r r r Câu 33: Cho u   1;1;1 v   0;1; m  Để góc hai vectơ u , v có số đo 450 m Với A �3 cos   B 2� 1.0  1.1  1.m m   C 1� D Hướng dẫn giải m �1 � � �  m  1  m  � � 2  m  1   m  1 � � m  2� Câu 34: Cho A Tính A  1; 2;0  , B  3;3;  , C  1; 2;  , D  3;3;1 Thể tích tứ diện ABCD B C uuu r uuur uuur AB   2;5;  , AC   2; 4;  , AD   2;5;1 D Hướng dẫn giải uuur uuur uuur � AB, AC � AD  � 6� Sử dụng Casio uuur w 1 (nhập vectơ AB ) uuur q 2 (nhập vectơ AC ) uuur q (nhập vectơ AD ) V C1a6qc(abs) q53q54q57q55= (tính V ) Câu 35: Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD Độ dài đường cao vẽ từ đây: uuu r uuur uuur � AB AD � , AC � � A h uuu r uuur � � AB AC � � uuur uuur uuur � AB, AC � AD � � C h uuu r uuur AB AC D tứ diện ABCD cho công thức sau uuur uuur uuur � AB, AC � AD � � B h uuu r uuur AB AC uuur uuur uuur � AB, AC � AD � � D h uuu r uuur � � AB AC � � Hướng dẫn giải Vì VABCD uuur uuur uuur � AB, AC � AD r uuur uuur 1 uuur uuur uuu � � � � �  h � AB AC AB , AC AD nên h  u u u r u u u r � 6� � 2� � � AB AC � � Câu 36: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A  1; 2;0  , B  3;3;  , C  1; 2;  , D  3;3;1 Độ dài đường cao tứ ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng  ABC  9 A B C 7 2 diện D 14 Hướng dẫn giải uuu r uuur uuur Tính AB  2;5;  , AC  2; 4;  , AD  2;5;1 uuur uuur uuur V � AB, AC � AD  � 6� r uuur 1 uuu h  d  D,  ABC   V  B.h , với B  SABC  � AB , AC � � , 2� 3V 3.3 �h   B 7 Câu 37: Trong khơng gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(1;0; 2), B( 2;1;3), C (3; 2; 4), D(6;9; 5) Tìm tọa độ trọng tâm G tứ diện ABCD � 18 � � 14 � 9; ; 30 � 3;3; � A G � B G  8;12;  C G � D G  2;3;1 � � � 4� Câu 38: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1;2;1), B (2; 1; 2) Điểm M trục Ox cách hai điểm A, B có tọa độ A �1 � M � ; ; � �2 2 � M �Ox � M  a;0;0  B �1 � M � ;0;0 � �2 � C �3 � M � ;0;0 � �2 � D � 3� M� 0; ; � � 2� Hướng dẫn giải M cách hai điểm A, B nên MA2  MB �   a   22  12    a   22  12 � 2a  � a  Câu 39: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1;2;1), B (3; 1; 2) Điểm M trục Oz cách hai điểm A, B có tọa độ � 3� �3 � M� 0;0; � D M � ; ; � �2 2 � � 2� � Câu 40: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1; 2;3), B(0;3;1), C (4; 2; 2) Cosin góc BAC 9 9 A B C  D  35 35 35 35 r r r Câu 41: Tọa độ vecto n vng góc với hai vecto a  (2; 1; 2), b  (3; 2;1) r r r r A n   3; 4;1 B n   3; 4; 1 C n   3; 4; 1 D n   3; 4; 1 r r r r r r r r r r r 2 r Câu 42: Cho a  2; b  5, góc hai vectơ a b , u  k a  b; v  a  2b Để u vng góc với v k 45 45 B A  C D  45 45 A M  0;0;  B rr r r u.v  ka  b M  0;0; 4  C Hướng dẫn giải r r r r 2 a  2b  4k  50   2k  1 a b cos  6k  45 r r uu r Câu 43: Cho u   2; 1;1 , v   m;3; 1 , w   1; 2;1 Với giá trị m ba vectơ đồng phẳng  A B    C D  Hướng dẫn giải r r r r uu r �  2; m  2; m   , � � u , v u , v w Ta có: � � � � �  3m  r r uu r r r uu r � u , v w  � m   u , v, w đồng phẳng � � � � r r r r Câu 44: Cho hai vectơ a   1;log 5; m  , b   3;log 3;  Với giá trị m a  b A m  1; m  1 B m  C m  1 D m  2; m  2 Câu 45: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2;5;3), B(3;7; 4), C ( x; y;6) Giá trị x, y để ba điểm A, B , C thẳng hàng A x  5; y  11 B x  5; y  11 C x  11; y Hướng dẫn giải  5 D x  11; y  uuu r uuur AB   1; 2;1 , AC   x  2; y  5;3 uuur uuur x2 y 5 A, B, C thẳng hàng � AB, AC phương �   � x  5; y  11 Câu 46: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;0;0), B(0;0;1), C (2;1;1) Tam giác ABC A tam giác vuông A B tam giác cân A C tam giác vuông cân A D Tam giác Hướng dẫn giải uuu r uuu r uuu r BA   1;0; 1 , CA   1; 1; 1 , CB   2; 1;0  uuu r uuu r BA.CA  � tam giác vuông A , AB �AC Câu 47: Trong khơng gian Oxyz cho tam giác ABC có A(1;0;0), B (0;0;1), C (2;1;1) Tam giác ABC có diện tích 6 A B C D Hướng dẫn giải uuu r uuur r uuur uuu AB   1;0;1 , AC   1;1;1 S ABC  � � AB AC � 2� Câu 48: Ba đỉnh hình bình hành có tọa độ  1;1;1 ,  2;3;  ,  7;7;5  Diện tích hình bình hành A 83 B 83 C 83 D Hướng dẫn giải Gọi đỉnh theo thứ tự A, B, C 83 uuu r uuur AB   1; 2;3 , AC   6;6;  uuu r uuur �  10   142   6   83 S hbh  � AB , AC � � r r r r r r Câu 49: Cho vecto a   1; 2;1 ; b   1;1;  c   x;3x; x   Tìm x để vectơ a, b, c đồng phẳng A B 1 C 2 D Hướng dẫn giải u ruur r r r r � a c  � x  a, b, c đồng phẳng � �, b � r r r � � Câu 50: Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a   3; 2;  , b   5;1;6  , c   3;0;  Tìm vectơ x cho vectơ x r r r đồng thời vng góc với a, b, c A  1;0;0  B  0;0;1 C  0;1;0  D  0;0;0  Hướng dẫn giải r rr rr rr Dễ thấy có x  (0;0;0) thỏa mãn x.a  x.b  x.c  Câu 51: Trong không gian Oxyz , cho điểm độ điểm E A � 8� 3; ;  � � � 3� B uuu r uuu r B (1; 2; 3) , C (7; 4; 2) Nếu E điểm thỏa mãn đẳng thức CE  EB tọa � 8� 3; ; � � � 3� C 8� � 3;3;  � � 3� � D � 1� 1; 2; � � � 3� Hướng dẫn giải � �x  uuu r uuu r � � E ( x; y; z ) , từ CE  EB � �y  � � z � � Câu 52: Trong không gian với hệ trục tọa độ đỉnh thứ tư hình bình hành A 43 Oxyz , cho ba điểm A(1; 2; 1) , B (2; 1;3) , C ( 2;3;3) Điểm M  a; b; c  ABCM , P  a  b2  c có giá trị B 44 C 42 D 45 Hướng dẫn giải M ( x; y; z ) , ABCM hình bình hành �x   2  uuuu r uuur � AM  BC � �y    � M ( 3;6; 1) � P  44 �z    � Câu 53: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm chân đường phân giác góc A tam giác ABC A D (0;1;3) B D (0;3;1) A(1; 2; 1) , B (2; 1;3) , C ( 2;3;3) Tìm tọa độ điểm D C D(0; 3;1) D D(0;3; 1) Hướng dẫn giải Ta có AB  26, AC  26 � tam giác ABC cân A nên D trung điểm BC � D(0;1;3) Câu 54: Trong không gian với hệ toạ độ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A 8 I( ; ; ) 3 Oxyz , cho điểm A(1;3;5) , B(4;3;2) , C(0;2;1) Tìm tọa độ điểm I tâm B 8 I( ; ; ) 3 C Hướng dẫn giải 8 I ( ; ; ) 3 D 8 I( ; ; ) 3 AB  BC  CA   ABC Do tâm I đường tròn ngoại tiếp ABC trọng tâm Kết luận: � 8� I�  ; ; � � 3 3� ur r r Câu 55: Trong không gian Oxyz , cho vectơ  a   1;1;0  , b   1;1;0  , c   1;1;1 Cho hình hộp OABC.O � A��� B C thỏa mãn uuu r r uuu r r uuuu r r điều kiện OA  a , OB  b , OC '  c Thể tích hình hộp nói bằng: A B C D 3 Ta có: Hướng dẫn giải uuu r r uuu r r uuuu r r OA  a , � A(1;1;0), OB  b � B(1;1;0), OC '  c � C '(1;1;1) uuu r uuu r uuuur uuur uuur uuuu r uuuu r � OA , OB OO ' AB  OC � C (2;0;0) � CC '  ( 1;1;1)  OO ' � VOABC O ' A ' B ' C '  � � � Câu 56: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho tọa độ điểm A  2; 1;1 , B  1;0;0  , C  3;1;0  , D  0;2;1 Cho mệnh đề sau: Câu 57: Độ dài AB  Câu 58: Tam giác BCD vuông B Câu 59: Thể tích tứ diện ABCD Các mệnh đề là: A 2) B 3) Câu 60: Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ C 1); 3) D 2), 1) r r r a   1,1,  ; b  (1,1, 0); c   1,1,1 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng: r r cos b, c  r r r A a, b, c đồng phẳng A   r r r r a  b  c  D rr a.b  Hướng dẫn giải rr r r b.c cos(b, c)  r r b.c Câu 61: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện dài đường cao AH tứ diện ABCD bằng: A B 13 B ABCD , biết A(1;0;1) , B (1;1; 2) , C (1;1;0) , D(2; 1; 2) Độ 13 13 C D 13 13 Hướng dẫn giải uuu r uuur uuur � � AB AD � , AC � Sử dụng công thức h   uuu r uuur 13 AB AC Câu 62: Cho hình chóp tam giác S ABC với uu r uur uur uuu r SA  SB  SC A SI  uur uur uur uuu r C SI  SA  SB  SC   I trọng tâm đáy ABC Đẳng thức sau đẳng thức uu r uur uur uuu r SA  SB  SC B SI  uu r uur uur uuu r r D SI  SA  SB  SC    Hướng dẫn giải uu r uur uur SI  SA  AI � uu r uur uur � r uur uur uur uur uur uur � uu SI  SB  BI �� 3SI  SA  SB  SB  AI  BI  CI uu r uuu r uur � SI  SC  CI �   uur uur uur r uu r uur uur uuu r ABC � AI  BI  CI  � SI  SA  SB  SC Câu 63: Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(1;0;0), B (0;1;0), C (0;0;1), D( 2;1; 1) Thể tích tứ diện ABCD A B C D 2  Vì I trọng tâm tam giác  Hướng dẫn giải uuur uuur uuur  AB,  AC � AD Thể tích tứ diện: VABCD  � � 6� �  600 , CSA �  900 Gọi G trọng tâm tam giác Câu 64: Cho hình chóp S ABC có SA  SB  a, SC  3a, � ASB  CSB ABC Khi khoảng cách SG a 15 a a A B C D a 3 Hướng dẫn giải Áp dụng cơng thức tổng qt: Cho hình chóp S ABC có �   , CSA �   Gọi G SA  a, SB  b, SC  c có � ASB   , BSC trọng tâm tam giác ABC, SG  a  b  c  2ab cos   2ac cos   2bc  Chứng minh: uuu r uur uur uuu r SG  SA  SB  SC uur uur uuu r uur uur uuu r2 uur uur uur uuu r uur uuu r SA  SB  SC  SA  SB  SC  2SA.SB  2SA.SC  2SB.SC Ta có:     a  b  c  2ab cos   2ac cos   2bc  a 15 Áp dụng công thức ta tính SG  Câu 65: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A  2;5;1 , B  2; 6;  , C  1; 2; 1 điểm M  m; m; m  , để uuur uuur MB  AC đạt giá trị nhỏ m Khi A SG  B C D Hướng dẫn giải uuur uuur AC  1; 3; 2  , MB  2  m;   m;  m  uuur uuur 2 MB  AC  m2  m2   m    3m  12m  36   m    24 uuur uuur Để MB  AC nhỏ m  Câu 66: Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A  2;5;1 , B  2; 6;  , C  1; 2; 1 điểm M  m; m; m  , để MA2  MB  MC đạt giá trị lớn m A B C D Hướng dẫn giải uuur uuur uuuu r MA    m;5  m;1  m  , MB   2  m; 6  m;  m  , MC    m;  m; 1  m  MA2  MB  MC  3m  24m  20  28   m   �28 MA2  MB  MC đạt giá trị lớn m  Câu 67: Cho hình chóp S ABCD biết A  2; 2;6  , B  3;1;8  , C  1;0;7  , D  1; 2;3  Gọi H trung điểm CD, 27 SH   ABCD  Để khối chóp S ABCD tích (đvtt) có hai điểm S1 , S thỏa mãn u cầu tốn Tìm tọa độ trung điểm I SS Để A I  0; 1; 3 B I  1; 0;3 C I  0;1;3  Hướng dẫn giải D I  1;0; 3 uuu r uuur r uuur uuu 3 AB   1; 1;  , AC   1; 2;1 � S ABC  � AB , AC �  � � 2 uuur uuu r uuur uuu r DC   2; 2;  , AB   1; 1;  � DC  AB � ABCD hình thang S ABCD  3S ABC  Vì VS ABCD  SH S ABCD � SH  3 Lại có H trung điểm CD � H  0;1;5  uuur uuur uuu r uuur � AB Gọi S  a; b; c  � SH   a;1  b;5  c  � SH  k � � , AC � k  3;3;3    3k ;3k ;3k  Ta có 3  9k  9k  9k � k  �1 uuur +) Với k  � SH   3;3;3 � S  3; 2;  uuur +) Với k  1 � SH   3; 3; 3  � S  3; 4;8  Suy Suy I  0;1;3 Câu 68: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số A B C A(2; 1;7), B(4;5; 2) Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oyz ) điểm M D Hướng dẫn giải Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oyz ) điểm M � M (0; y; z ) uuur uuur � MA  (2; 1  y;7  z ), MB  (4;5  y; 2  z ) �  k.4 � uuur uuur 1  y  k   y  � k  Từ MA  k MB ta có hệ � �  z  k   z   � Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(2;1; 1), B(3;0;1), C(2; 1;3) D thuộc trục Oy Biết VABCD  có hai điểm D1  0; y1 ;0  , D2  0; y2 ;0  thỏa mãn u cầu tốn Khi y1  y2 A B C D Câu 69: Trong không gian Hướng dẫn giải D �Oy � D (0; y;0) uuu r uuur uuur Ta có: AB   1; 1;  , AD   2; y  1;1 , AC   0; 2;  uuur uuur uuur uuur uuur �  0; 4; 2  � � � �� AB AC AB AC AD   y  V  � 4 y   � y  7; y  ABCD � � � � � D1  0; 7;0  , D2  0;8;0  � y1  y2  Câu 70: Trong khơng gian Oxyz , cho tam giác ABC có A(1; 2;4), B(3;0; 2),C(1;3;7) Gọi D chân đường phân giác uuur góc A Tính độ dài OD A Gọi 207 B 203 D  x; y; z  C 201 D 205 Hướng dẫn giải DB AB 14   2 DC AC 14 � �  x  2   x  �x  uuur uuur � �  y  2   y  � �y  Vì D nằm B, C (phân giác trong) nên DB  2 DC � � � �z  �2  z  2   z  � � Suy 205 �5 � uuur D � ; 2; �� OD  �3 � Câu 71: Trong không gian với hệ toạ độ AD góc A 74 A Oxyz , cho tam giác ABC , biết A(1;1;1) , B (5;1; 2) , C (7;9;1) Tính độ dài phân giác 74 B C 74 D 74 Hướng dẫn giải D( x; y; z ) chân đường phân giác góc A tam giác ABC Ta có uuur uuur DB AB 17 11 74   � DC  2 DB � D( ; ; 1) � AD  DC AC 3 Oxyz , cho điểm A(2; 4; 1) , B (1; 4; 1) , C (2; 4;3) D(2; 2; 1) Biết M  x; y; z  , để MA2  MB  MC  MD đạt giá trị nhỏ x  y  z Câu 72: Trong không gian với hệ toạ độ A B C D Hướng dẫn giải Gọi �7 14 � G trọng tâm ABCD ta có: G � ; ;0 � �3 � Ta có:  MA2  MB  MC  MD  4MG  GA2  GB  GC  GD �7 14 � GA2  GB  GC  GD Dấu xảy M �G � ; ;0 �� x  y  z  �3 � Câu 73: Trong không gian với hệ trục tọa độ ABC , đó, độ dài đoạn OH A 870 12 Oxyz , cho ba điểm A(2;3;1) , B (1; 2;0) , C (1;1; 2) H trực tâm tam giác B 870 14 C 870 16 D 870 15 Hướng dẫn giải H ( x; y; z ) trực tâm ABC  BH  AC , CH  AB, H �( ABC ) uuur uuur �BH AC  r � 29 �uuur uuu � 2 29 � 870 �� CH AB  � �x  ; y  ; z    H � ; ;  �� OH  � 15 r uuur uuur � 15 15 15 � 15 � �uuu � � AB, AC � AH  �� Oxyz , cho tam giác ABC có A(3;1;0) , B nằm mặt phẳng (Oxy ) có hồnh độ dương, C nằm trục Oz H (2;1;1) trực tâm tam giác ABC Toạ độ điểm B , C thỏa mãn yêu cầu toán là: �3  177 17  177 � �  177 � A B � ; ;0 � ,C � 0;0; � � � � � Câu 74: Trong không gian với hệ tọa độ B �3  177 17  177 � �  177 � B� ; ;0 � ,C � 0;0; � � � � � C �3  177 17  177 � �  177 � B� ; ;0 � ,C � 0;0; � � � � � D �3  177 17  177 � �  177 � B� ; ;0 � ,C � 0;0; � � � � � Hướng dẫn giải Giả sử B ( x; y;0) �(Oxy ), C (0;0; z ) �Oz uuur uuur �AH  BC r �uuur uuu  CH  AB H trực tâm tam giác ABC  � r uuur uuur �uuu o� ngpha� ng �AB, AC, AH � uuur uuur �AH BC  r � �uuur uuu CH AB  � �uuur uuur uuur AB, AH � AC  � � �� �x  z  � 3  177 17  177  177  �  x 2x  y   ;y  ;z  4 � 3x  y  yz  z  �  �3  177 17  177 � �  177 � B� ; ;0 � ,C � 0;0; � � � � � Oxyz , cho hình vng ABCD , B (3;0;8) , D(5; 4;0) Biết đỉnh A thuộc mặt uuu r uuu r phẳng ( Oxy ) có tọa độ số nguyên, CA  CB bằng: Câu 75: Trong không gian với hệ tọa độ A 10 B 10 C 10 D 10 Hướng dẫn giải Ta có trung điểm BD I (1; 2; 4) , BD  12 điểm A thuộc mặt phẳng (Oxy ) nên A( a; b;0) �AB  AD ( a  3)  b  82  ( a  5)  (b  4) � � � ABCD hình vng � � �1 � � ( a  1)  (b  2)   36 �AI  � BD � � � � � � 17 a � b   2a a 1 � � 17 14 � � � �� �� � A(1; 2; 0) A � ; ;0 �(loại) Với A(1; 2;0)  � 2 b2 14 5 ( a  1)  (6  2a )  20 � � � � � b � C ( 3; 6;8) Câu 76: Trong khơng gian với hệ tọa độ tròn nội tiếp tam giác ABC bằng: A  Oxyz , cho tam giác ABC , biết A(5;3; 1) , B (2;3; 4) , C (3;1; 2) Bán kính đường B  C  D  Hướng dẫn giải Ta có AC  BC    AB � tam giác ABC vuông C Suy ra: r CA.CB S ABC 3.3    93 p   AB  BC  CA   Câu 77: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm M  3;0;0  , N  m, n,  , P  0;0; p  Biết 2 � MN  13, MON  600 , thể tích tứ diện OMNP Giá trị biểu thức A  m  2n  p A 29 B 27 C 28 D 30 Hướng dẫn giải uuuu r uuur uuuu r uuur OM   3;0;0  , ON   m; n;0  � OM ON  3m uuuu r uuur uuuu r uuur uuuu r uuur OM ON m OM ON  OM ON cos 60 � uuuu  r uuur  � 2 OM ON m n MN  Suy  m  3  n  13 m  2; n  �2 uuuu r uuur uuu r � � OM , ON OP  p � V  3p  � p  � � � Vậy A   2.12   29 Câu 78: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(2;3;1) , B ( 1; 2;0) , C (1;1; 2) Gọi I  a; b; c  tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tính giá trị biểu thức P  15a  30b  75c A 48 B 50 C 52 D 46 Hướng dẫn giải I ( x; y; z ) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  AI  BI  CI , I �( ABC ) �AI  BI � 61 14 61 � � 14 � �� CI  BI � �x  ; y  ; z   � I � ; ;  �� P  50 30 15 30 � r uuur uur � 15 � �uuu � � AB , AC AI  � �� ... , b   0;1;  không gian A 10 B 13 C 12 D 14 Câu 5: Trong không gian cho hai điểm A  1; 2;3 , B  0;1;1 , độ dài đoạn AB A C 10 D 12 rr r uuuu r Câu 6: Trong không gian Oxyz , gọi i, j ,... không gian Câu 1: Gọi A 10 B 13 Câu 5: Trong không gian cho hai điểm C 12 D r b   2; 6; 8  D 14 A  1; 2;3  , B  0;1;1 , độ dài đoạn AB C 10 D 12 rr r uuuu r Câu 6: Trong không gian. .. a;1;1 r r r r Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho a   0;3;  b  a , tọa độ vectơ b Câu 11: Trong khơng gian D  8;0; 6  r r r r u, v� Câu 13: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ u v , �