SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG TRƯỜNG THPT HỒNG QUANG Năm học: 2016 – 2017 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN THI: TỐN, LỚP 12 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu I (2.0 điểm) 1) Cho P( x) = x3 − x − Q ( x) = x3 + x − x − Chứng minh P( x) = có nghiệm x1 , x2 , x3 tính Q ( x1 ).Q( x2 ).Q( x3 ) 2) Cho hàm số y = x3 − 2mx + 2mx − (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành ba điểm phân biệt A(1; 0), B C cho k1 + k =BC k1, k2 hệ số góc tiếp tuyến điểm B C với đồ thị hàm số (1) Câu II (2.0 điểm)  2  xy + 4( x + y ) + ( x + y ) =  1) Giải hệ phương trình:   2x + =3  x+ y 2) Giải phương trình: x + x sin x − 2cos x + = Câu III (2.0 điểm) 2 2013 1) Tính tổng: C2013 + C2013 + C2013 + + 2013 C2013 2) Cho dãy số { an } có a0 = 2; an +1 = 4an + 15an2 − 60 , tìm cơng thức số hạng tổng qt dãy Câu IV (3.0 điểm) Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông cân cạnh huyền AB = Mặt phẳng (A A’B) vng góc với mặt phẳng (ABC) , AA’ = Góc ·A ' AB góc nhọn mặt phẳng (A’AC) tạo với mặt phẳng (ABC) góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ Gọi O tâm mặt bên BCB’C’ mặt phẳng (P) qua AO cắt cạnh A’B, A’C M, N Tìm giá trị nhỏ thể tích khối chóp A’AMN Câu V (1.0 điểm) Cho số thực x, y thỏa mãn x + y − = x − + y + Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: S = ( x + y ) − − x − y + × x+ y -Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu, không sử dụng máy tính cầm tay Họ tên thí sinh:………………………………………… Số báo danh:………………… ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 NĂM HỌC 2016 - 2017 TỔ TOÁN - THPT HỒNG QUANG (Điểm tồn lấy điểm lẻ đến 0,25; thí sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa) Câu Nội dung Điểm 1)Cho P( x) = x − x − Q ( x) = x + x − x − Chứng minh P( x) = có nghiệm x1 , x2 , x3 tính Q ( x1 ).Q( x2 ).Q( x3 ) 3 Lập bảng biến thiên P ( x) sử dụng định lí tính liên tục hàm số chứng minh I.1 P ( x) = có nghiệm x1 , x2 , x3 Lúc P ( x) = ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) (1,0đ) 0,25 0,25 Q ( x) = ( x + 1)( x − 2) = ( x + 1)( x − 2)( x + 2) Q ( x1 ).Q( x2 ).Q( x3 ) = ( x1 + 1)( x1 − 2)( x1 + 2)( x2 + 1)( x2 − 2)( x2 + 2)( x3 + 1)( x3 − 2)( x3 + 2) 0,25 = −(−1 − x1 )(−1 − x2 )(−1 − x3 ) = − P(−1).P( 2).P( − 2) = −2.(−1 − 2)(−1 + 2) = 14 0,25 2) Cho hàm số y = x − 2mx + 2mx − (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành ba điểm phân biệt A(1; 0), B C cho k1 + k =BC k1, k2 hệ số góc (1,0đ) tiếp tuyến điểm B C với đồ thị hàm số (1) Ta có phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số với trục Ox x = x − 2mx + 2mx − = ⇔ ( x − 1)  x + (1 − 2m) x + 1 = ⇔   x + (1 − 2m) x + = 0(*) 0,25 Đồ thị hàm số cắt trục Ox điểm phân biệt ⇔ pt(*) phải có nghiệm phận biệt khác I.2 ⇔ x + (1 − 2m) x + = phải có nghiệm phận biệt khác ⇔ m> h c m< 2 0,25 Giả sử: B(xB ; 0); C(xC ; 0) Vì xB, xC nghiệm phân biệt pt(*) nên theo định lí viet ta có: xB + xC = 2m -1 xBxC =1 0,25 2 Tính : BC = = 4m − 4m − ; k1 + k2 = 4m − 4m − Theo giải thiết ta có: k1 + k2 = BC ⇔ 4m2 − 4m− = 5(4m2 − 4m− 3) ⇔ 4m2 − 4m− = v×4m2 − 4m− >  m= −1(tho¶ m· n) ⇔ m2 − m− = ⇔   m= (tho¶ m· n)  m = −1 Vậy với  thoả mãn yêu cầu toán m = II.1  2  xy + 4( x + y ) + ( x + y ) =  1) Giải hệ phương trình:   2x + =3  x+ y Điều kiện x + y ≠ Khi ta có 0,25 (1,0đ) 0,25  2 3( x + y ) + ( x − y ) + ( x + y ) =    x+ y+ +x− y =3  x+ y Đặt u = x + y + ( u ≥ 2); v = x − y x+ y 3u + v = 13 ta hệ   u+v =3 0,25 Giải hệ ta u = 2, v=1 ( u ≥ ) Từ ta có hệ  =2 x + y =  x = x + y + x+ y ⇔ ⇔  x − y =1 y =   x − y =1  0,25 Vậy hệ có nghiệm (1; 0) Giải phương trình: x + x sin x − 2cos x + = - Phương trình ⇔ x + x sin x + sin x + cos x − 2cos x + = - ⇔ ( x + sinx) + (cos x − 1) = II.2  x + sinx = ⇔ x=0 - ⇔ cos x − =  - Vậy phương trình có nghiệm x = 1) Tính tổng: 0,25 (1,0đ) 0,25 0,25 0,25 0,25 (1,0đ) 2013 C2013 + 2 C2013 + 32 C2013 + + 20132 C2013 2013 2013 + C2013 x + C2013 x + + C2013 x ( + x ) = C2013 2012 2013 2012 2013 ( + x ) = C2013 + 2C2013 x + 3C2013 x + + 2013C2013 x (1) III.1 2011 2013 2011 2013.2012 ( + x ) = 2C2013 + 3.2C2013 x + 4.3C2013 x + + 2013.2012C2013 x (2) 2012 2013 2013 ( + 1) = C2013 + 2C2013 + 3C2013 + + 2013C2013 2011 2013 2013.2012 ( + 1) = 2C2013 + 3.2C2013 + 4.3C2013 + + 2013.2012C2013 2013 ⇒ 2013.2014.2 2011 =C 2013 +2 C 2 2013 +3 C 2013 + + 2013 C 2013 2013 III.2 Cho dãy số { an } có a0 = 2; an+1 = 4an + 15an2 − 60 , tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy 0,25 0,25 0,25 0,25 (1,0đ) gt ⇒ ( an +1 − 4an ) = 15an2 − 60 ⇔ an2+1 − 8.an an +1 + an2 + 60 = ( 1) Thay n n+1 với n ta 0,25 an2+ − 8.an +1.an + + an2+1 + 60 = ( ) (1) (2) suy an , an + nghiệm PT t − 8an +1t + an2+1 + 60 = Vi et t1 + t2 = 8an +1 ⇒ an + an + = 8an +1 ⇔ an + − 8an +1 + an = Xét PT x − x + = có hai nghiệm x1 = − 15, x2 = + 15 ( ) n ( Đặt un = α − 15 + β + 15 ) n với u0 = a0 = 2; u1 = a1 = 0,25 0,25 α +β =2  α = ⇒ ⇔ β =  − 15 α + + 15 β = ( ⇒ un ) ( ) = ( − 15 ) + ( + 15 ) n n Chứng minh un +1 = 4un + 15un2 − 60 ( ) ( n Vậy an = un = − 15 + + 15 ) 0,25 n Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông cân cạnh huyền AB = Mặt phẳng (A A’B) vng góc với mặt phẳng (ABC) , AA’ = Góc ·A ' AB góc nhọn mặt phẳng (A’AC) tạo với mặt phẳng (ABC) góc 600 (1,0đ) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ 0,25 IV.1 Gọi K., M hình chiếu A’ AB AC có : ( AA' B) ⊥ ( ABC) ⇒ A' K ⊥ ( ABC) Ta có A’M ⊥ AC KM ⊥ AC ·A' MK = 600 A' K = x ta có AK = A' A2 − A' K = 3− x2 Mặt khác MK = A' K cot60 = VABC A'B'C ' x · , MK = AK sin KAM = 3− x2 ta có pt 3− x2 x = ⇔ x= 5 = SΛABC A' K = AC.BC.A ' K = 10 2 0,25 0,25 0,25 IV.2 Gọi O tâm mặt bên BCB’C’ mặt phẳng (P) qua AO cắt cạnh A’B, A’C lần (2,0đ) lượt M, N Tìm giá trị nhỏ thể tích khối chóp A’AMN 0,25 Gọi I,J trung điểm BC B’C’ => O trung điểm IJ Gọi G giao A 'G = A' J Gọi V thể tích lăng trụ, V1 thể tích chóp A’AMN ta có V VA ' ABJ = VA ' ACJ = VA ' ABC = điểm AO A’J ta có 0,25 A' M A' N ,y= ( x, y ∈ (0;1]) A'B A 'C VA ' AMG A ' A A ' M A ' G x V x Vx = = ⇒ VA ' AMG = = VA ' ABJ A' A A' B A' J Vy V Tương tự VA ' AGN = ⇒ V1 = VA ' AMG + VA ' AGN = ( y + x ) (1) 9 V1 A' A A'M A' N V = = xy ⇒ V1 = xy (2) VA ' ABC A ' A A ' B A ' C 0,25 Từ (1) (2)=>x+y=3xy (*) 0,25 0,25 Đặt x = Từ (*) ta có 3xy ≥ xy ⇔ xy ≥ ; Dấu “=” xảy x=y= 0,25 0,25 V 27 = ≤ dấu “=” xảy x=y= V1 xy 0,25 V= V 27 45 x , y Cho số thực thỏa mãn x + y − = x − + y + Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (1,0đ) × biểu thức: S = ( x + y ) − − x − y + x+ y Điều kiện: x ≥ 2; y ≥ −1;0 < x + y ≤ 9; Từ kết suy V1 ≥ V Ta có ≤ x + y − = x − + y + ≤ 3( x + y − 1) ⇒ ( x + y − 1) ≤ 3( x + y − 1) ⇒ ≤ x + y − ≤ ⇔ ≤ x + y ≤ Đặt t = x + y, t ∈ [1; 4] , ta có S = t − − t + t 0,25 0,25 S '(t ) = 2t + 1 − > 0, ∀t ∈ [1; 4] Vậy S(t) đồng biến [1;4] − t 2t t 0,25 Suy S max = S (4) = 42 − − + 33 − = ⇔ x = 4; y = 0; S = S (1) = − 2 ⇔ x = 2; y = −1 Lưu ý: - Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa -Hết -(Đáp án gồm trang) 0,25 ... C2013 2 012 2013 2 012 2013 ( + x ) = C2013 + 2C2013 x + 3C2013 x + + 2013C2013 x (1) III.1 2011 2013 2011 2013.2 012 ( + x ) = 2C2013 + 3.2C2013 x + 4.3C2013 x + + 2013.2012C2013 x (2) 2 012 2013...ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 NĂM HỌC 2016 - 2017 TỔ TOÁN - THPT HỒNG QUANG (Điểm tồn lấy điểm lẻ đến 0,25; thí sinh... 2013 ( + 1) = C2013 + 2C2013 + 3C2013 + + 2013C2013 2011 2013 2013.2 012 ( + 1) = 2C2013 + 3.2C2013 + 4.3C2013 + + 2013.2012C2013 2013 ⇒ 2013.2014.2 2011 =C 2013 +2 C 2 2013 +3 C 2013 + + 2013