Lý thuyết chuyên đề đại số Chuyền đề : Hàm số Vấn đề 1: Khảo sát hàm số Caùc bước khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số  Tìm tập xác đònh hàm số  Xét biến thiên hàm số: + Tính y + Tìm điểm đạo hàm y không xác đònh  Tìm giới hạn vô cực, giới hạn vô cực tìm tiệm cận (nếu có)  Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu đạo hàm, chiều biến thiên, cực trò hàm số  Vẽ đồ thò hàm số: + Tìm điểm uốn đồ thò (đối với hàm số bậc ba hàm số trùng phương) – Tính y – Tìm điểm y = xét dấu y + Vẽ đường tiệm cận (nếu có) đồ thò + Xác đònh số điểm đặc biệt đồ thò giao điểm đồ thò với trục toạ độ (trong trường hợp đồ thò không cắt trục toạ độ việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp bỏ qua) Có thể tìm thêm số điểm thuộc đồ thò để vẽ xác + Nhận xét đồ thò: Chỉ trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) đồ thò Hàm số bậc ba y  ax3  bx  cx  d (a  0) : Lý thuyết chun đề đại số Các dạng đồ thò: a>0 a y y I 0 x I x y’ = có nghiệm keùp ∆′ = b2 – 3ac = y’ = vô nghiệm  ∆′= b2 – 3ac < y y I I 0 x x Haøm số trùng phương y  ax  bx  c (a  0) Các dạng đồ thò: a>0 a 0 Lý thuyết chuyên đề đại số Hàm số biến y  ax  b (c  0, ad  bc  0) : cx  d  d - Tập xác ñònh D = R \    c - Đồ thò có tiệm cận đứng x   d a tiệm cận ngang y  c c - Các dạng đồ thò: y y 0 x ad – bc > x ad – bc < Vấn đề 2: Tính đơn điệu hàm số Đinh nghóa: Hàm số f đồng biến K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) < f(x2) Hàm số f nghòch biến treân K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) > f(x2) Dạng 1: Xét tính đơn điệu hàm số Để xét chiều biến thiên hàm số y = f(x), ta thực bước sau: – Tìm tập xác đònh hàm số – Tính y Tìm điểm mà y = y không tồn – Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên) Từ kết luận khoảng đồng biến, nghòch biến hàm số Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu TXĐ – khoảng Lý thuyết chuyên đề đại số 1) Lý thuyết : +) Neáu y '  ax  bx  c thì:  a  b   c   y '  0, x  R     a      a  b   c   y '  0, x  R     a     +) Đònh lí dấu tam thức bậc hai g( x )  ax  bx  c :  Neáu  < g(x) dấu với a  Nếu  = g(x) dấu với a (trừ x =  b ) 2a  Neáu  > g(x) có hai nghiệm x1, x2 khoảng hai nghiệm g(x) khác dấu với a, khoảng hai nghiệm g(x) dấu với a +) So sánh nghiệm x1, x2 tam thức bậc hai g( x )  ax  bx  c với số 0:     x1  x2    P  S       x1  x2   P  S   x1   x2  P  2) Bài tốn 1: Cho hàm số y  f ( x, m) , m tham số, có tập xác đònh D  Hàm số f đồng biến treân D  y  0, x  D Lý thuyết chun đề đại số  Hàm số f nghòch biến D  y  0, x  D Từ suy điều kiện m 3) Bài tốn 2: Tìm đk để hàm số 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝐷 coù độ dài khoảng đồng biến (nghòch biến) (x1; x2) d ta thực bước sau:  Tính y  Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến nghòch biến: a     (1)  Biến đổi x1  x2  d thaønh ( x1  x2 )2  x1x2  d (2)  Sử dụng đònh lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m  Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm Vấn đề 3: Cực trị hàm số Lý thuyết 1) Khaùi niệm cực trò hàm số Giả sử hàm số f xác đònh tập D (D  R) x0  D a) x0 – điểm cực đại f tồn khoảng (a; b)  D x0  (a; b) cho f(x) < f(x0), với x  (a; b) \ {x0} Khi f(x0) gọi giá trò cực đại (cực đại) f b) x0 – điểm cực tiểu f tồn khoảng (a; b)  D x0  (a; b) cho f(x) > f(x0), với x  (a; b) \ {x0} Khi f(x0) gọi giá trò cực tiểu (cực tiểu) f Lý thuyết chun đề đại số c) Nếu x0 điểm cực trò f điểm (x0; f(x0)) gọi điểm cực trò đồ thò hàm số f 2) Điều kiện cần để hàm số có cực trò Nếu hàm số f có đạo hàm x0 đạt cực trò điểm f (x0) = Chú ý: Hàm số f đạt cực trò điểm mà đạo hàm đạo hàm 3) Điểu kiện đủ để hàm số có cực trò Đònh lí 1: Giả sử hàm số f liên tục khoảng (a; b) chứa điểm x có đạo hàm (a; b)\{x0} a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương x qua x0 f đạt cực tiểu x0 b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm x qua x0 f đạt cực đại x0 Đònh lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng (a; b) chứa điểm x0, f (x0) = có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 a) Nếu f (x0) < f đạt cực đại x0 b) Nếu f (x0) > f đạt cực tiểu x0 Các dạng tập Dạng 1: Tìm cực trị hàm số Qui tắc 1: Dùng đònh lí  Tìm f (x)  Tìm điểm xi (i = 1, 2, …) mà đạo hàm đạo hàm  Xét dấu f (x) Nếu f (x) đổi dấu x qua xi hàm số đạt cực trò xi Qui tắc 2: Dùng đònh lí  Tính f (x)  Giải phương trình f (x) = tìm nghiệm xi (i = 1, 2, …) Lý thuyết chuyên đề đại số  Tính f (x) f (xi) (i = 1, 2, …) Nếu f (xi) < hàm số đạt cực đại xi Nếu f (xi) > hàm số đạt cực tiểu xi Dạng 2: Đường thẳng qua điểm cực trị 1) Hàm số bậc ba y  f ( x )  ax  bx  cx  d  Chia f(x) cho f (x) ta được: f(x) = Q(x).f (x) + Ax + B  Khi đó, giả sử (x1; y1), (x2; y2) điểm cực trò thì:  y1  f ( x1 )  Ax1  B   y2  f ( x2 )  Ax2  B  Các điểm (x1; y1), (x2; y2) nằm đường thẳng y = Ax + B P( x ) ax  bx  c 2) Hàm số phân thức y  f ( x )   Q( x ) dx  e  Giả sử hàm số có cực đại cực tiểu phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trò là: y P '( x ) 2ax  b  Q '( x ) d Dạng 3: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị 1) Hàm số bậc ba y  ax  bx  cx  d có cực trò  Phương trình y = có hai nghiệm phân biệt Khi x0 điểm cực trò ta tính giá trò cực trò y(x 0) hai cách: + y( x0 )  ax03  bx02  cx0  d + y( x0 )  Ax0  B , Ax + B phần dư phép chia y cho y Lý thuyết chuyên đề đại số 2) Hàm số y  ax  bx  c P ( x ) = (aa 0) có cực trò  Phương trình y = có Q( x ) a' x  b' hai nghiệm phân biệt khác  b' a' Khi x0 điểm cực trò ta tính giá trò cực trò y(x 0) hai cách: y( x0 )  P ( x0 ) Q( x0 ) hoaëc y( x0 )  P '( x0 ) Q '( x0 ) Chú ý: +) Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trò cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai +) Khi giải tập loại thường ta sử dụng đònh lí Vi–et Vấn đề 4: Giá trị lớn – nhỏ hàm số Lý thuyết Đònh nghóa: Giả sử hàm số f xác đònh miền D (D  R)  f ( x )  M , x  D a) M  max f ( x )   D x0  D : f ( x0 )  M  f ( x )  m, x  D b) m  f ( x )   D x0  D : f ( x0 )  m Tính chất: a) Nếu hàm số f đồng biến [a; b] max f ( x )  f (b), f ( x )  f (a) [a;b] [a;b] b) Nếu hàm số f nghòch biến [a; b] max f ( x )  f (a), f ( x )  f (b) [a;b] Các dạng tập Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất- nhỏ hàm số [a;b] Lý thuyết chuyên đề đại số Cách 1: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số khoảng  Tính f (x)  Xét dấu f (x) lập bảng biến thiên  Dựa vào bảng biến thiên để kết luận Cách 2: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số liên tục đoạn [a; b]  Tính f (x)  Giải phương trình f (x) = tìm nghiệm x1, x2, …, xn [a; b] (nếu có)  Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn)  So sánh giá trò vừa tính kết luận M  max f ( x )  max  f (a), f (b), f ( x1), f ( x2 ), , f ( xn ) [a;b] m  f ( x )   f (a), f (b), f ( x1), f ( x2 ), , f ( xn ) [a;b] Dạng 2: Ứng dụng giá trị lớn – nhỏ Giả sử f(x) hàm số liên tục miền D coù f ( x)  m; max f ( x)  M D Khi đó:  f (x)   1) Hệ phương trình  có nghiệm  m    M x  D  f (x)   2) Hệ bất phương trình  có nghieäm  M   x  D  f (x)   3) Hệ bất phương trình  có nghiệm  m   x  D 4) Bất phương trình f(x)   với x  m   5) Bất phương trình f(x)   với x  M   D Lý thuyết chuyên đề đại số Vấn đề 5: Giới hạn, tiệm cận Đònh nghóa:  Đường thẳng x  x0 gọi đường tiệm cận đứng đồ thò hàm số y  f ( x ) điều kiện sau thoả mãn: lim f ( x )   ; lim f ( x )   ; x  x0  x  x0  lim f ( x )   ; x  x0  lim f ( x )   x  x0   Đường thẳng y  y0 gọi đường tiệm cận ngang đồ thò hàm số y  f ( x ) điều kiện sau thoả mãn: lim f ( x )  y0 ; x  lim f ( x )  y0 x   Đường thẳng y  ax  b, a  gọi đường tiệm cận xiên đồ thò hàm số y  f ( x ) điều kiện sau thoả mãn: lim  f ( x )  (ax  b)  ; x  lim  f ( x )  (ax  b)  x  Chú ý: a) Nếu y  f ( x )  P( x ) laø hàm số phân thức hữu tỷ Q( x )  Nếu Q(x) = có nghiệm x0 đồ thò có tiệm cận đứng x  x0  Nếu bậc(P(x))  bậc(Q(x)) đồ thò có tiệm cận ngang  Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + đồ thò có tiệm cận xiên b) Để xác đònh hệ số a, b phương trình tiệm cận xiên, ta áp dụng công thức sau: a  lim x  hoaëc f ( x) ; x a  lim x  b  lim  f ( x )  ax  x  f ( x) ; x b  lim  f ( x )  ax  x  10 Lý thuyết chuyên đề đại số ax  C (0  a  1) ln a   cos xdx  sin x  C   0dx  C   a x dx    dx  x  C   x dx   x 1  C,  1 (  1)   sin xdx   cos x  C  x dx  ln x  C   e x dx  e x  C   cos(ax  b)dx  sin(ax  b)  C (a  0) a   sin(ax  b)dx   cos(ax  b)  C (a  0) a dx  tan x  C cos2 x dx   cot x  C   sin2 x   eax b dx  eax b  C, (a  0) a 1   dx  ln ax  b  C ax  b a   Phương pháp tính nguyên hàm a) Phương pháp đổi biến số Nếu  f (u)du  F(u)  C u  u( x ) có đạo hàm liên tục thì:  f u( x).u '( x)dx  F u( x)  C b) Phương pháp tính nguyên hàm phần Nếu u, v hai hàm số có đạo hàm liên tục K thì:  udv  uv   vdu Dạng 1: Tính nguyên hàm dựa vào bảng ngun hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng bảng nguyên hàm Chú ý: Để sử dụng phương pháp cần phải: – Nắm vững bảng nguyên hàm – Nắm vững phép tính vi phân Dạng 2: Tính ngun hàm phương pháp đổi biến số 33 Lý thuyết chuyên đề đại số 1) Nếu f(x) có dạng: f(x) = g u( x ) u '( x ) ta ñaët t  u( x)  dt  u '( x)dx Khi đó:  f ( x )dx Chú yù: Sau tính  g(t)dt =  g(t)dt ,  g(t)dt dễ dàng tìm theo t, ta phải thay lại t = u(x) 2) Thường gặp trường hợp sau: f(x) có chứa a x a x Cách đổi biến x  a sin t, hoaëc hoaëc   t  x  a cos t, 2 0t  x  a tan t,  x  a cot t,  t  2 0t  Dạng 3: Tính ngun hàm phương pháp thành phần Với P(x) đa thức x, ta thường gặp dạng sau:  P( x ).e u dv x dx P(x) x e dx  P( x).cos xdx  P( x).sin xdx  P( x).ln xdx P(x) cos xdx P(x) sin xdx lnx P(x) Dạng 4: Tính nguyên hàm phương pháp dùng ngun hàm phụ Để xác đònh nguyên hàm hàm số f(x), ta cần tìm hàm g(x) cho nguyên hàm hàm số f(x)  g(x) dễ xác đònh so với f(x) Từ suy nguyên hàm f(x) Bước 1: Tìm hàm g(x) Bước 2: Xác đònh nguyên hàm hàm số f(x)  g(x), tức là:  F ( x )  G( x )  A( x )  C1   F ( x )  G( x )  B( x )  C2 34 (*) Lý thuyết chun đề đại số Bước 3: Từ hệ (*), ta suy F( x )   A( x)  B( x)  C nguyên hàm f(x) Dạng 5: Nguyên hàm hữu tỷ, căn, lượng giác f(x) hàm hữu tỉ: f ( x )  P( x ) Q( x ) – Nếu bậc P(x)  bậc Q(x) ta thực phép chia đa thức – Nếu bậc P(x) < bậc Q(x) Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử ta phân tích f(x) thành tổng nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất đònh) Chẳng haïn: A B   ( x  a)( x  b) x  a x  b ( x  m)(ax  bx  c) 2 ( x  a ) ( x  b)   A Bx  C  , vớ i   b2  4ac  x  m ax  bx  c A B C D    x  a ( x  a) x  b ( x  b)2 f(x) hàm vô tỉ  ax  b  +) f(x) = R  x, m  cx  d    đặt t  m ax  b cx  d   + ) f(x) = R   đặt t  x  a  x  b  ( x  a)( x  b)    f(x) hàm lượng giác Ta sử dụng phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa nguyên hàm Chẳng hạn:  sin ( x  a)  ( x  b) 1  , sin( x  a).sin( x  b) sin(a  b) sin( x  a).sin( x  b)  sin ( x  a)  ( x  b)  1 sin(a  b)   ,  sử dụ ng   cos( x  a).cos( x  b) sin(a  b) cos( x  a).cos( x  b)  sin(a  b)  35  sin(a  b)   sử dụ ng   sin(a  b)   Lý thuyết chuyên đề đại số  cos ( x  a)  ( x  b) 1 ,  sin( x  a).cos( x  b) cos(a  b) sin( x  a).cos( x  b)  Neáu R( sin x,cos x)  R(sin x,cos x) đặt t = cosx  Nếu R(sin x,  cos x)  R(sin x,cos x) đặt t = sinx  Neáu R( sin x,  cos x)  R(sin x,cos x) đặt t = tanx (hoaëc t = cotx)  cos(a  b)   sử dụ ng   cos(a  b)   Vấn đề : Tích phân Khái niệm tích phân  Cho hàm số f liên tục K a, b  K Nếu F nguyên hàm f K thì: F(b) – F(a) đgl tích phân f từ a đến b kí hiệu b  f ( x )dx a b  f ( x )dx  F(b)  F(a) a  Đối với biến số lấy tích phân, ta chọn chữ khác thay cho x, tức là: b  a b b a a f ( x )dx   f (t )dt   f (u)du   F (b)  F (a)  Ý nghóa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục không âm đoạn [a; b] diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thò y = f(x), trục Ox hai b đường thẳng x = a, x = b laø: S   f ( x )dx a Tính chất tích phân   f ( x )dx  0  b  a a f ( x )dx    f ( x )dx b 36 Lý thuyết chuyên đề đại số    b b a a  kf ( x )dx  k  f ( x )dx (k: const) b b b a a a   f ( x)  g( x)dx   f ( x )dx   g( x )dx b  a c b a c f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx  Nếu f(x)  [a; b] b  f ( x )dx  a  Neáu f(x)  g(x) [a; b] b b a a  f ( x )dx   g( x )dx Phương pháp tính tích phân a) Phương pháp đổi biến số b u( b ) a u( a )  f u( x ).u '( x)dx   f (u)du đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục K, y = f(u) liên tục hàm hợp f[u(x)] xác đònh K, a, b  K b) Phương pháp tích phân phần Nếu u, v hai hàm số có đạo hàm liên tục K, a, b  K thì: b b b  udv  uv a   vdu a a Chú ý: – Cần xem lại phương pháp tìm nguyên hàm 37 Lý thuyết chun đề đại số – Trong phương pháp tích phân phần, ta cần chọn cho b  vdu dễ tính a b  udv a Dạng 1: Tính tích phân dựa vào bảng ngun hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng bảng nguyên hàm Tìm nguyên hàm F(x) f(x), sử dụng trực tiếp đònh nghóa tích phân: b  f ( x )dx  F(b)  F(a) a Chú ý: Để sử dụng phương pháp cần phải: – Nắm vững bảng nguyên hàm – Nắm vững phép tính vi phân Dạng 2: Tính tích phân phương pháp đổi biến số Giả sử ta cần tính b  g( x )dx a Nếu viết g(x) dạng: g( x )  f u( x ).u '( x) Giả sử ta cần tính b u( b ) a u( a )  g( x )dx    f ( x )dx  Đặt x = x(t) (t  K) vaø a, b  K thoả mãn  = x(a),  = x(b)    b b a a  g(t)  f  x(t).x '(t) f ( x )dx   f  x (t ) x '(t )dt   g(t )dt Thường gặp trường hợp sau: 38  f (u)du Lý thuyết chuyên đề đại số f(x) coù chứa a2  x a2  x x  a2 Cách đổi biến x  a sin t, hoaëc hoaëc  t  x  a cos t, 2 0t  x  a tan t,  x  a cot t, a x , sin t a x , cos t hoaëc   t  2 0t     t    ;  \ 0  2   t   0;   \   2 Dạng 3: Tính tích phân phương pháp thành phần Với P(x) đa thức x, ta thường gặp dạng sau: b x  P( x ).e dx a u dv P(x) e x dx b  P( x ).cos xdx a P(x) cos xdx b  P( x ).sin xdx a b  P( x ).l n xdx a P(x) sin xdx lnx P(x) Dạng 4: Tính tích phân có chứa dấu trị tuyệt đối Để tính tích phân hàm số f(x) có chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta cần xét dấu f(x) sử dụng công thức phân đoạn để tính tích phân đoạn nhỏ Dạng 5: Tính tích phân hàm hữu tỷ- căn-lượng giác-mũ logarit Tương tự nguyên hàm Dạng 6: Tích phân hàm đặc biệt Tích phân hàm số chẵn, hàm số lẻ  Nếu hàm số f(x) liên tục hà m số lẻ [-a; a] a  a 39 f ( x )dx  Lý thuyết chuyên đề đại số  Nếu hàm số f(x) liên tục hàm số chẵn [-a; a] a  a a f ( x )dx   f ( x )dx Vì tính chất phần lý thuyết SGK nên tính tích phân có dạng ta chứng minh sau: a Bước 1: Phân tích I   f ( x )dx  a  a Bước 2: Tính tích phân J   a    J   f ( x )dx; K   f ( x )dx    a   a f ( x )dx   f ( x )dx f ( x )dx phương pháp đổi biến Đặt t = – x a – Nếu f(x) hàm số lẻ J = –K I=J+K=0 – Nếu f(x) hàm số chẵn J = K  I = J + K = 2K Nếu f(x) liên tục hàm chẵn R thì:  f ( x)  (với   R+ vaø a > 0) dx   f ( x )dx  a   x Để chứng minh tính chất này, ta làm tương tự I   f (x) f (x)  J   dx; K   dx  x x   a  a      f ( x) f ( x) dx  dx   x  x  x dx  a   a  a 1  f ( x) Để tính J ta đặt: t = –x    Nếu f(x) liên tục  0;   2  f (sin x )dx    f (cos x )dx Để chứng minh tính chất ta đặt: t   x Nếu f(x) liên tục f (a  b  x)  f ( x) hoaëc f (a  b  x)   f ( x) ñaët: t = a + b – x 40 Lý thuyết chun đề đại số Đặc biệt: a + b =  đặt t=–x a + b = 2 đặt t = 2 – x Tính tích phân cách sử dụng nguyên hàm phụ Để xác đònh nguyên hàm hàm số f(x) ta cần tìm hàm g(x) cho nguyên hàm hàm số f(x)  g(x) dễ xác đònh so với f(x) Từ suy nguyên hàm f(x) Ta thực bước sau: Bước 1: Tìm hàm g(x) Bước 2: Xác đònh nguyên hàm hàm số f(x)  g(x), tức là:  F ( x )  G( x )  A( x )  C1   F ( x )  G( x )  B( x )  C2 Bước 3: Từ hệ (*), ta suy F( x )  (*)  A( x)  B( x)  C nguyên hàm f(x) Vấn đề 3: Ứng dụng tích phân Diện tích hình phẳng  Diện tích S hình phẳng giới hạn đường: – Đồ thò (C) hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a; b] – Trục hoành – Hai đường thẳng x = a, x = b laø: b (1) S   f ( x ) dx a  Diện tích S hình phẳng giới hạn đường: – Đồ thò hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục đoạn [a; b] – Hai đường thẳng x = a, x = b 41 Lý thuyết chuyên đề đại số laø: b (2) S   f ( x )  g( x ) dx a Chú ý:  Nếu đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì: b  f ( x ) dx  a b  f ( x )dx a  Trong caùc công thức tính diện tích trên, cần khử dấu giá trò tuyệt đối hàm số dấu tích phân Ta làm sau: Bước 1: Giải phương trình: f(x) = f(x) – g(x) = đoạn [a; b] Giả sử tìm nghiệm c, d (c < d) Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn: b  a c d b a c d f ( x ) dx   f ( x ) dx   f ( x ) dx   f ( x ) dx = c  f ( x )dx  a d  f ( x)dx  c b  f ( x)dx d (vì đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu)  Diện tích S hình phẳng giới hạn đường: – Đồ thò x = g(y), x = h(y) (g h hai hàm số liên tục đoạn [c; d]) – Hai đường thẳng x = c, x = d d S   g( y)  h( y) dy c Thể tích vật thể  Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm điểm a b 42 Lý thuyết chun đề đại số S(x) diện tích thiết diện vật thể bò cắt mặt phẳng vuông gó c với trục Ox điểm có hoành độ x (a  x  b) Giả sử S(x) liên tục đoạn [a; b] b Thể tích B là: V   S( x )dx a  Thể tích khối tròn xoay: Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường: (C): y = f(x), trục hoaønh, x = a, x = b (a < b) sinh quay quanh truïc Ox: b V    f ( x )dx a Chú ý: Thể tích khối tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường sau quay xung quanh truïc Oy: (C): x = g(y), truïc tung, y = c, y = d Laø: d V    g2 ( y )dy c Chuyên đề: Số Phức Lý thuyết Khái niệm số phức  Tập hợp số phức: C  Số phức (dạng đại số) : z  a  bi (a, b  R , a phần thực, b phần ảo, i đơn vò ảo, i2 = –1)  z số thực  phần ảo z (b = 0) 43 Lý thuyết chun đề đại số z ảo  phần thực z (a = 0) Số vừa số thực vừa số aûo a  a ' a  bi  a’  b’i   (a, b, a ', b '  R) b  b '  Hai số phức nhau: Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b  R) biểu diễn điểm M(a; b) hay u  (a; b) mp(Oxy) (mp phức) Cộng trừ số phức:   a  bi    a’  b’i    a  a’   b  b’ i   a  bi    a’  b’i    a  a’   b  b’ i  Số đối z = a + bi –z = –a – bi  u biểu diễn z, u ' biểu diễn z' u  u ' biểu diễn z + z’ u  u ' biểu diễn z – z’ Nhân hai số phức:   a  bi  a ' b ' i    aa’– bb’   ab’  ba’ i  k(a  bi)  ka  kbi (k  R) Số phức liên hợp số phức z = a + bi laø z  a  bi z  z  z  z ; z  z '  z  z ' ; z.z '  z.z ';    ;  z2  z2  z số thực  z  z ; z số ảo  z   z Môđun số phức : z = a + bi 44 z.z  a2  b2 Lý thuyết chuyên đề đại số  z  a2  b2  zz  OM  z  0, z  C ,  z.z '  z z ' z 0z0  z z  z' z'  z  z'  z  z'  z  z' Chia hai số phức:  z1  z z (z  0)  z' z '.z z '.z  z ' z1   z z.z z  z'  w  z '  wz z Căn bậc hai số phức:   z  x  yi bậc hai số phức w  a  bi  z2  w   x  y  a  xy  b  w = có bậc hai z =  w  có hai bậc hai đối  Hai bậc hai a >  a  Hai bậc hai a <  a i Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = (*) (A, B, C số phức cho trước, A  )   B2  AC    : (*) có hai nghiệm phân biệt z1,2     : (*) có nghiệm kép: z1  z2   B   , (  bậc hai ) 2A B 2A Chú ý: Nếu z0  C nghiệm (*) z0 nghiệm (*) 10 Dạng lượng giác số phức: 45 Lý thuyết chuyên đề đại số  z  r(cos   i sin ) (r > 0) dạng lương giác cuûa z = a + bi (z  0)  r  a2  b2  a  cos   r  b sin    r   acgumen z,   (Ox, OM )  z   z  cos  i sin  (  R) 11 Nhân, chia số phức dạng lượng giác Cho z  r(cos   i sin ) , z '  r '(cos  ' i sin  ') :  z.z '  rr '. cos(   ')  i sin(   ')  z r   cos(   ')  i sin(   ') z' r ' 12 Công thức Moa–vrơ: n  r(cos   i sin )  r n (cos n  i sin n) , ( n  N * ) n   cos   i sin   cos n  i sin n 13 Căn bậc hai số phức dạng lượng giác:  Số phức z  r(cos    i sin  ) (r > 0) có hai bậc hai là:    r  cos  i sin   2         vaø  r  cos  i sin   r  cos      i sin       2  2   2   i sin  ) (r > 0) có n bậc n là:  Mở rộng: Số phức z  r(cos  n    k 2   k 2  r  cos  i sin  , k  0,1, , n  n n   Các dạng tập 46 Lý thuyết chun đề đại số Dạng 1: Tính tốn Áp dụng quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, bậc hai số phức Chú y:ù Các tính chất giao hoán, kết hợp phép toán cộng nhân Dạng 2: Giải PT trường số phức Giả sử z = x + yi Giải phương trình ẩn z tìm x, y thoả mãn phương trình Dạng 3: Tìm tập hợp số phức Giả sử số phức z = x + yi biểu diển điểm M(x; y) Tìm tập hợp điểm M tìm hệ thức x y Dạng 4: Dạng lượng giác số phức Sử dụng phép toán số phức dạng lượng giác 47