100 CÂU HỎI VỀ CÁC LOẠI HÌNH HỌC Tài liệu dịch lại sách Mathematics: Marvels and Milestones (Queries and Answers) A L Audichya xuất năm 2008(Phần hình học) Mục đích của sách đưa người đọc kiến thức toán học từ thấp đến cao làm quen với thành tựu toán học thơng qua câu hỏi vấn đáp Hình học gì? Hinh học phát triển thé ? Hình học phát triển người Ai Cập, kết đo đạc đất đai họ Vào kỉ thứ trước Cơng ngun, hình học lan truyền từ Ai Cập sang Hi Lạp, nơi phát triển thành lí thuyết tốn học Như vậy, hình học lí thuyết tốn học có nguồn gốc Hi Lạp Người Hi Lạp gắn giá trị lớn cho chứng minh phát triển hình học theo hướng tiên đề Toán học số có nguồn gốc thuộc tốn học người Hindu, người Arab người Babylon Họ không quan tâm đến việc đưa chứng minh nên toán học số truyền lại cho đơn dạng tập hợp quy tắc tính tốn khơng liên quan với Xu hướng đại trình bày tất nghiên cứu tốn học dạng tiên đề Có loại hình học? Chủ yếu gồm ba loại (Nhưng có nhiều hơn) Ba loại Hình học Euclid, hình học Lobachewski, hình học Riemann Có đặc biệt khiến chúng khác à? Vâng Trong hinh học Euclid, tổng số đo ba góc tam giác 180 o, hình học Lobachewski ln nhỏ 180o, hình học Riemann ln lớn 180o Vậy ba loại liên tục mâu thuẫn với rồi! Khơng, chúng đồng thời tồn khơng khí hòa bình Hinh học Euclid gì? Hình học dạy nhà trường hình vẽ sơ đồ vẽ tờ giấy bảng đen bình thường gọi hình học Euclid để tơn vinh nhà tốn học Euclid Ơng sinh sống vào khoảng năm 300 trước Công nguyên Syria có gốc gác Hi Lạp Euclid có đóng góp cho Hình học? Ơng tổng hợp tồn kiến thức hình học tích lũy thời đại ơng thành dạng có hệ thống logic biên soạn thành 13 tập sách đặt tên “Các nguyên tố” Ông phát triển hình học cấu trúc logic Một cấu trúc logic gì? Trong cấu trúc logic, vài thuật ngữ vài tiền đề không chứng minh giả định, tồn phần lại phát triển dựa logic Những thuật ngữ không định nghĩa gọi khái niệm bản, tiền đề không chứng minh gọi “sự thật nửa-hiển nhiên”, tiên đề, giả thuyết, hay đơn giản giả thiết Làm thuật ngữ không định nghĩa tiền đề không chứng minh lại có chỗ đứng cấu trúc logic? Trong nghiên cứu có hệ thống nào, tự nhiên trông đợi định nghĩa tỉ mỉ toàn thuật ngữ cho biết nói Nhưng thuật ngữ phải định nghĩa định nghĩa trước đó, thuật ngữ lại phải định nghĩa, thế; hành trình ngược dòng phải dừng lại Vì thế, có vài thuật ngữ khơng định nghĩa xem hiển nhiên với chúng định nghĩa không cần thiết Tương tự, để chứng minh định lí đúng, ta cần tuân theo tiền đề chứng minh trước đó, tiền đề hóa lại cần phải chứng minh, Hành trình lần ngược lần phải dừng lại nên có số tiền đề chấp nhận chúng chứng minh không cần thiết Phải tiền đề không chứng minh hay giả thuyết không chịu ràng buộc cả? Chúng chịu hai ràng buộc quan trọng Thứ giả thuyết phải quán Điều có nghĩa phát biểu mâu thuẫn không gợi đến giả thuyết Chúng phải không dẫn tới “A B” “A B” Thứ hai giả thuyết phải hồn chỉnh Điều có nghĩa định lí hệ thống logic phải suy từ giả thuyết 10 Có ràng buộc khác khơng? Cái hợp lí giả thuyết độc lập Nghĩa giả thuyết suy luận từ giả thuyết khác Đây đáng khao khát cho lí giải kinh tế học đẹp nội hàm giả thuyết không độc lập không làm vô hiệu hệ thống Việc phát giả thuyết đơi chẳng dễ dàng Và, tất nhiên, giả thuyết phải đơn giản không chứa nhiều số; không hệ thống logic phát triển khơng có lợi nhiều 11 Phải giả thuyết không cần phù hợp với kinh nghiệm ngày? Các giả thuyết không thiết phù hợp với kinh nghiệm ngày, phát triển cấu trúc tảng giả định chắn đưa đến khám phá tinh tiến quan trọng Những giả định chắn đưa đến khám phá hình học khác ngồi hình học Euclid trường hợp thấy 12 Các giả thuyết sử dụng dẫn tới gì? Một vài giả định quy tắc nêu lúc bắt đầu bình thường tránh khỏi nên dự đoán hết hệ chúng Từ đây, quy tắc vạch phải ăn khớp từ xâu chuỗi, tới kết cuối cùng, thường bất ngờ Người ta cảm thấy có động lực mạnh mẽ để xét lại chuỗi ý tưởng khẳng định lại kết cuối mà thôi! 13 Những khái niệm hình học Euclid gì? Trong hình học Euclid, điểm đường khái niệm Một điểm nói khơng có độ lớn, đường khơng có bề rộng Nhưng mô tả gợi mở khơng phải định nghĩa tốn học 14 Các điểm đường hình học khác với đối tác vật chất chúng? Khái niệm điểm đối tượng nhỏ có thân vật chất chấm bút chì Một đường thẳng tự thân sợi bị kéo căng tia sáng Điểm đường hình học trừu tượng từ chấm bút chì đường kẻ bút chì kinh nghiệm ngày 15 Cơng dụng trừu tượng gì? Ưu điểm từ trừu tượng điểm đường hình học có tính chất đơn giản nhiều so với chấm đường vật chất Ví dụ, hai chấm bút chì đủ to nối lại nhiều đường kẻ bút chì, hai chấm có kích cỡ lúc nhỏ, tồn đường kẻ trơng giống hệt chẳng gặp khó khăn việc nhận thức tiên đề hình học có đường thẳng vẽ hai điểm 16 Các giả thiết hình học Euclid gì? Các giả thiết Euclid sau: Qua hai điểm bất kì, luôn vẽ đường thẳng Đường thẳng kéo dài vơ hạn Với tâm bán kính bất kì, ln ln vẽ đường tròn Mọi góc vng Nếu hai đường thẳng tạo thành với đường thẳng thứ ba hai góc phía có tổng nhỏ 180 độ chúng cắt phía 17 Các tiên đề hình học Euclid gì? Các tiên đề Euclid sau: Hai thứ ba Thêm vào Bớt từ Trùng Toàn thể lớn phần 18 Tiên đề khác với giả thiết nào? Các tác giả đại thường không nhớ phân biệt Euclid tiên đề giả thiết, họ sử dụng tên gọi nhầm lẫn gọi chúng giả thiết 19 Euclid thu từ tập hợp nhỏ gồm giả thiết thế? Chỉ sử dụng vài giả thiết này, Euclid chứng minh hàng trăm định lí, nhiều số chúng tiếng, đến xếp thứ tự định lí Khái niệm chứng minh, cấu thành tinh thần toán học, Euclid nêu Vì chứng minh phải thực hồn tồn khn khổ giả thiết, chọn lựa giả thiết Euclid thật đáng nể thành tựu thiên tài 20 Định đề hai đường song song gì? Giả thiết thứ năm Euclid nói gọi định đề hai đường song song Một dạng tương đương định đề sau: Qua điểm cho trước nằm đường thẳng cho trước, ta vẽ đường thẳng song song với đường thẳng cho Đây xem “định đề song song” tiếng Đây dấu ấn thiên tài Euclid ông công nhận điều chứng minh Một hệ hợp lý định đề Định Lý Pythagoras cho tổng ba góc tam giác hai vng 21 Hình học Lobachewsky gì? Định đề vừa nói hiển nhiên nên người ta chưa nghĩ có lẽ nên thay đổi Nhưng vài nhà toán học, Lobachewsky số đó, nghĩ tới xảy định đề thay định đề sau đây: Qua điểm cho trước nằm đường thẳng cho trước, vẽ hai đường thẳng khác song song với đường thẳng cho Chúng ta vẽ sau, hai đường thẳng tách biệt vẽ qua điểm P, hướng sang trái hướng sang phải Các nhà toán học tìm thấy giả thiết lạ lẫm khơng khơng mang lại sai lầm mà hệ logic giả thiết đưa họ đến với mơn hình học tổng số đo ba góc tam giác nhỏ 180 độ 22 Nó giả thiết lạ hay sao? Nói cho hợp lí chẳng có sai giả sử người ta có quyền tự lựa chọn giả thiết miễn chúng không mâu thuẫn 23 Nhưng hai đường thẳng hình vẽ trơng khơng song song với đường thẳng cho! Nguyên nhân hai đường thẳng hình vẽ trên, hướng sang phải hướng sang trái, khơng song song với đường thẳng cho hình vẽ mặt phẳng bình thường, nơi có hình học Euclid hình học khơng! 24 Còn có khác tới quan điểm trên? Ba nhà toán học khác nhau, Gauss người Đức, Bolyai người Hungary Lobachewsky người Nga khám phá mơn hình học phù hợp logic độc lập nhau, gần đồng thời, khoảng năm 1826 25 Vậy lại gọi hình học Lobachewsky? Gauss, nhà tốn học tiếng thời ấy, không dám mạo hiểm với quan niệm sợ ảnh hưởng đến danh tiếng ông Bolyai dũng cảm xông pha, ông không phát triển khái niệm sâu sắc trọn vẹn Lobachewsky Lobachewsky người giới thiệu khái niệm cách rộng rãi, phát triển chúng sau số báo Vì thế, mơn hình học gọi hình học Lobachewsky 26 Hình học Riemann gì? Riemann, nhà toán học người Đức, vào khoảng năm 1854, nghĩ tới việc thay định đề hai đường song song định đề sau đây: Qua điểm cho trước không thuộc đường thẳng cho trước, không vẽ đường thẳng song song với đường thẳng cho Một hệ logic giả thiết đưa ơng đến với mơn hình học tổng ba góc tam giác lớn 180 độ.Bộ mơn hình học gọi hình học Riemann 27 Những định lí ba mơn hình học? Những định lí hình học Euclid không phụ thuộc vào định đề hai đường song song khơng thay đổi Ví dụ, định lí sau ba mơn hình học: (i) Hai góc đối đỉnh (ii) Hai góc đáy tam giác cân 28 Đâu chỗ khác ba mơn hình học? So sánh nêu rõ chỗ khác biệt Trong hình học Euclid: (i) Tổng ba góc tam giác ln 180 độ (ii) Hai đường thẳng song song khơng gặp nhau, cho dù có kéo dài bao xa, luôn cách khoảng không đổi (iii) Hai tam giác có ba góc diện tích khác Hai tam giác gọi tam giác đồng dạng, tam giác hình phóng to tam giác (iv) Qua điểm nằm đường thẳng, vẽ đường vng góc với đường thẳng (v) Tỉ số chu vi đường tròn đường kính p Trong hình học Lobachewsky: (i) Tổng ba góc tam giác ln nhỏ 180o, lượng nhỏ tỉ lệ với diện tích tam giác (ii) Hai đường thẳng song song khơng gặp nhau, khoảng cách chúng nhỏ dần kéo dài chúng xa (iii) Chỉ hai tam giác diện tích có ba góc nhau, hai tam giác có diện tích khác khơng đồng dạng Trong mơn hình học này, tam giác tăng diện tích, tổng số đo ba góc giảm (iv) Qua điểm nằm đường thẳng, vẽ đường vng góc với đường thẳng giống hình học Euclid (v) Tỉ số chu vi đường tròn đường kính ln lớn p, tỉ số lớn diện tích vòng tròn lớn Trong hình học Riemann: (i) Tổng ba góc tam giác ln lớn 180o (ii) Mỗi cặp đường thẳng nằm mặt phẳng phải cắt (iii) Tam giác lớn góc lớn (iv) Có thể vẽ vơ số đường vng góc từ điểm đến đường thẳng cho trước (v) Tỉ số chu vi đường tròn đường kính ln nhỏ p, giảm diện tích vòng tròn tăng 29 Bộ mơn hình học đúng? Mỗi mơn hình học mặt mà có nghĩa thơi Hình học Euclid áp dụng cho hình vẽ tờ giấy mặt phẳng Hình học phi Euclid Riemann gần cho hình vẽ bề mặt hình cầu Hình học phi Euclid Lobachewsky cho hình vẽ mặt gọi giả cầu Xem bên dưới: Mặt giả cầu mặt tròn xoay thu cách quay đường cong gọi tractrix xung quanh trục thẳng đứng Oy Các tam giác vẽ mặt khác thể hình bên dưới: Mỗi mơn hình học hoạt động tốt mặt tương ứng 30 Vì mơn hình học sáng tạo dựa hệ thống tiên đề nó, đâu khả phụ thuộc vào giới vật chất? Đặc điểm khơng gian vật lí xác định xác hình học Euclid nên 2000 năm áp dụng ln xem chân lí tuyệt đối khơng gian vật lí Chỉ đến khám phá mơn hình học phi Euclid người ta nhận hình học khơng phải chân lí khơng gian vật lí Nó nghiên cứu khơng gian có Những mơn hình học khác nhau, xác định hệ tiên đề khác nhau, đó, khơng phải mô tả thực Chúng đơn mơ hình mà thơi Từ quan điểm này, may mắn mơ hình Euclid mơ tả thực đầy đủ 31 Vậy định lí tốn học có ý nghĩa gì? Một định lí tốn học xác nhận có điều kiện Nó tập hợp giả thiết từ suy Nhưng chuyện tập hợp giả thiết hay sai định lí khơng xác nhận 32 Tại sao? Nguyên nhân gì? Nguyên nhân giả thiết lập theo khái niệm, nói đại khái chúng khơng có ý nghĩa đặc biệt nào, giả thiết hay sai xác nhận 33 Phải hình học Euclid khơng mâu thuẫn với hình học phi Euclid? Đúng Vì mặt phẳng có độ cong khơng, nên thay số không vào giá trị độ cong cơng thức hình học phi Euclid, công thức thu giống hệt với công thức hình học Euclid Vì vậy, hình học Euclid xem trường hợp đặc biệt hình học phi Euclid, chúng vốn khái quát 34 Một đường thẳng có ý nghĩa gì? Một đầu đường thẳng mặt cầu hay mặt giả cầu thật bị cong khơng thích hợp gọi chúng thẳng Nhưng tất tùy thuộc vào cách định nghĩa đường thẳng Một cách định nghĩa đường thẳng nhận khoảng cách ngắn hai điểm 35 Định nghĩa làm đơn giản vấn đề nào? Bây khoảng cách ngắn hai điểm bề mặt hình cầu khơng phải đường thẳng mà đoạn đường tròn nằm bề mặt hình cầu Một đường tròn gọi “đường tròn lớn” tâm nằm tâm hình cầu.* * Nếu hai điểm nằm bề mặt hình cầu nối lại với hỗ trợ thước đâm xuyên qua hình cầu, đường thẳng thu khơng nằm bề mặt hình cầu Nhưng đường thẳng phải nằm bề mặt, nên phải theo “đường tròn lớn” Một đường tròn lớn chia hình cầu thành hai phần Đường xích đạo đường tròn lớn, đường vĩ tuyến khơng phải Một đường kinh tuyến nửa đường tròn lớn Khái qt hóa khái niệm này, đường cong nằm bề mặt khoảng cách ngắn hai điểm bề mặt gọi “đường trắc địa” bề mặt Trên mặt phẳng đường trắc đạc đường thẳng 36 Đường trắc địa mặt khác có khác không? Vâng, đường trắc địa khác tùy theo mặt định Đường trắc địa mặt phẳng hướng theo đường thẳng Hai đường trắc địa mặt phẳng cắt điểm, chúng song song chúng khơng cắt Đường trắc địa mặt cầu hướng theo đường tròn lớn Trên mặt cầu, hai đường trắc địa, cho dù chúng song song nhau, luôn cắt hai điểm Trong trường hợp Trái đất chúng ta, toàn đường kinh tuyến đường trắc đạc Tại xích đạo, tất kinh tuyến trông song song nhau, chúng cắt hai cực Các đường trắc đạc mặt giả cầu tiến đến sát tốt, chúng khơng cắt 37 Cái xác định chất đường trắc địa? Bản chất đường trắc đụa mặt phụ thuộc vào độ cong mặt Một mặt phẳng có độ cong khơng Một mặt cầu có độ cong dương khơng đổi điểm mặt Bề mặt trứng có độ cong dương biến thiên từ điểm sang điểm khác Một mặt giả cầu có độ cong âm khơng đổi Một mặt giống mặt yên ngựa có độ cong âm 38 Một “đường thẳng” có phải kéo dài đến vơ tận hai phía hay khơng? Những đường thẳng song song hình học Euclid khơng cắt kéo dài chúng hai phía xa đến đâu khoảng cách chúng không thay đổi Một đường thẳng giả định vươn dài đến vơ tận hai phía Riemann đề nghị logic khơng cần phải có khái niệm đường thẳng kéo dài đủ xa trở lại quay với có độ dài đường kinh tuyến bề mặt Trái Đất Trong trường hợp mặt cầu Trái Đất kinh tuyến cắt kinh tuyến khác hai điểm, cực Bắc Nam cho cặp “đường thẳng” ln giao khép kín diện tích, khơng có hai “đường thẳng” song song 39 Nhưng làm đường thẳng tuân theo Euclid lẫn Riemann? Giả định ngầm Euclid ám đường thẳng kéo dài đến vô tận Theo Riemann đường thẳng, kéo dài đủ xa, quay trở với Xung đột hiển nhiên Riemann giải phân biệt quan trọng vơ tận bị chặn Đường thẳng không bị chặn không vô tận mặt cầu khơng bị chặn khơng vơ tận Một đường thẳng không cần phải hi sinh yêu cầu tính quán phục tùng Euclid lẫn Riemann hồn tồn thỏa đáng 40 Còn hình học Trái Đất? Đối với mục đích thơng thường bề mặt Trái Đất xử mặt phẳng Chẳng hạn để xây dựng tòa nhà, cầu cống, đường hầm, đường xá, sân thể thao, khoảng cách ngắn hai điểm đoạn thẳng tổng ba góc tam giác hai vng, hình học Euclid áp dụng 41 Còn xét khoảng cách lớn Trái đất sao? Xét tam giác lớn bề mặt Trái đất tạo cung xích đạo hai đoạn kinh tuyến, tức hai đường tròn lớn vẽ từ cực Bắc kết thúc cung Xem hình dưới: Hai góc đáy góc $90^{o}$ nên tổng ba góc tam giác cộng lại lớn $180^{o}$ Khoảng cách ngắn hai điểm khơng đường thẳng mà đoạn cung kinh tuyến, hình học Euclid khơng áp dụng Thật vậy, hai điểm bề mặt Trái đất cách vài trăm mét, việc cơng nhận độ cong Trái đất xác định khoảng cách xác chúng 42 Trái đất phẳng hay cong bao nhiêu? Một đường thẳng mặt phẳng nói thẳng khơng có độ cong, trường hợp đường tròn đường tròn nhỏ độ cong lớn Nếu lấy đường tròn bán kính $1$ foot có độ cong đơn vị, độ cong đường tròn bán kính $1$ yard phần ba đơn vị; với tỉ lệ độ cong đường tròn lớn bề mặt Trái đất vào khoảng phần $21$ triệu Độ cong nhỏ nên cung đường tròn thực tế khơng thể phân biệt với đoạn thẳng Vì thế, hình học Trái đất hình học Euclid chiều dài hay khoảng cách nhỏ, hình học phi Euclid khoảng cách lớn 43 Hình học không gian mà sống hình học nào? Gauss, “ơng hồng tốn học”, chọn ba đỉnh núi xa tạo nên tam giác tìm thấy tổng số đo ba góc tam giác tạo $180^{o}$ giới hạn sai số thực nghiệm Thí nghiệm tỏ khơng thuyết phục tam giác mà ơng sử dụng đủ lớn so với hình vẽ giấy, nhỏ so với kích cỡ vũ trụ Nếu thay cho ba núi xa, chọn ba ngơi xa, thí nghiệm không thuyết phục, lần lí hồn tồn khác 44 Những lí gì? Vì trường hợp này, phép đo góc phải theo phương tiện tia sáng, hành trình xun khơng gian chúng, tia sáng bị bẻ cong theo độ lớn trường hấp dẫn mà chúng qua, kết phép đo cho biết định luật truyền ánh sáng nhiều chất không gian, dù Euclid hay không 45 Khơng gian có ý nghĩa xác gì? Một quan điểm khơng gian hồn tồn trống rỗng, khoảng khơng khơng có vết tích vật chất, khơng gian khơng có để phân biệt vị trí hay phương hướng, khơng có vị trí, khơng có phương hướng và, thế, khơng gian hồn tồn trống rỗng chẳng trừu tượng 46 Quan điểm khác sao? Quan điểm khác cho “khơng gian hình thức tồn vật chất”, tính chất khơng gian thật tính chất liên hệ định vật thể, ví dụ, kích cỡ chúng, vị trí tương hỗ, vân vân Theo quan điểm này, không gian thật chia tách với vật chất Vật chất xác định hình học hình học giải thích cho tượng trước quy cho lực hấp dẫn Không vậy, Einstein chứng minh, không gian tách rời với thời gian, chúng tạo nên hình thức tồn vật chất, khơng-thời gian 47 Nếu khơng gian thời gian xem thực thể riêng biệt sao? Cấu trúc không-thời gian phức tạp không gian tách rời với thời gian ngoại trừ giả thiết định, trường hợp khơng gian hóa Euclid vùng nhỏ so với kích cỡ vũ trụ, vùng lớn có chứa khối lượng lớn vật chất, sai lệch khỏi hình học Euclid trở nên rõ nét 48 Hình học gần vũ trụ hình học nào? Nhiều giả thuyết đặt cấu trúc vũ trụ xem tổng thể, giả sử phân bố khối lượng đồng vũ trụ không tĩnh Những giả thuyết làm đơn giản hóa vấn đề cho phép có khái niệm gần khuôn khổ thật vạn vật Dưới giả thuyết vậy, lí thuyết đề xuất nhà vật lí Liên Xơ Friedmann cho thấy hình học vũ trụ tổng thể hình học Lobachewsky 49 Hình học áp dụng cho hạt sơ cấp? Giống trường hợp hình học Euclid khơng áp dụng cho khoảng cách lớn vũ trụ, khơng áp dụng cho khoảng cách cực nhỏ Hình học phi Euclid áp dụng cho khoảng cách bên nguyên tử, phân tử, hạt sơ cấp, vân vân 50 Chỉ có ba mơn hình học thơi sao? Rõ ràng có vơ số mơn hình học, bắt đầu với tiên đề người ta xây dựng nên mơn hình học mới, tiên đề khơng dẫn tới mâu thuẫn Một bề mặt tìm thấy nơi áp dụng cho lí thuyết hình học Tuy nhiên, bề mặt phức tạp, mơn hình học xây dựng thích hợp cho thật kì cục 51 Hình học xạ ảnh gì? Xét người họa sĩ đứng trước quang cảnh mà muốn vẽ lại Ta hình dung khung vẽ kính suốt xen quang cảnh mắt Hình vẽ khung vẽ hóa hình chiếu quang cảnh kính với tâm chiếu nằm mắt người họa sĩ Vì khung vẽ thật khơng suốt quang cảnh mà người họa sĩ muốn vẽ nằm trí tưởng tượng anh ta, nên người họa sĩ cần khn khổ tốn học phép miêu tả giới thực ba chiều khung vẽ hai chiều Hình học xạ ảnh cung cấp khn khổ Nó nghiên cứu tính chất hình học hình vẽ bất biến phép chiếu 52 Đó phép chiếu nào? Ví dụ quen thuộc phép chiếu bóng nguồn sáng điểm tạo Cái bóng hình tròn nguồn sáng điểm tạo khơng phải lúc tròn Chúng hình elip dẹt dẹt nhiều Bóng hình vng hình bình hành, tứ giác Bóng tam giác vng khơng phải lúc tam giác vuông Những viên gạch lát hình vng sàn nhà tranh khơng vẽ hình vng Nhưng ấn tượng để lại mắt người nhìn giống viên gạch thật 53 Hình chiếu khác với hình gốc chỗ nào? Trong hình chiếu nguồn điểm gây ra, kích cỡ góc, diện tích đoạn thẳng bị biến dạng, có số tính chất khơng bị thay đổi cho cấu trúc hình gốc thường nhận khung vẽ 54 Đó tính chất nào? Đó tính chất đơn giản: Hình chiếu điểm điểm hình chiếu đoạn thẳng đoạn thẳng, tức đoạn thẳng khơng bị cong Như vậy, hình chiếu tam giác luôn tam giác, hình chiếu tứ giác ln tứ giác Ba tính chất quan trọng rút từ tính chất đơn giản này: (i) Nếu điểm nằm đoạn thẳng sau phép chiếu điểm tương ứng nằm đoạn thẳng tương ứng Tính chất gọi tính rơi (ii) Nếu ba điểm trở lên nằm đoạn thẳng, hình chiếu tương ứng chúng nằm đoạn thẳng Tính chất gọi cộng tuyến (iii) Nếu ba đoạn thẳng trở lên cắt qua điểm, hình chiếu chúng cắt qua điểm Tính chất gọi đồng quy 55 Hình học xạ ảnh áp dụng đâu? Hình học xạ ảnh có ứng dụng lĩnh vực nhiếp ảnh không, kiến trúc tập phối cảnh mà họa sĩ thường nghiên cứu 56 Hình học xạ ảnh khác với hình học Euclid chỗ nào? Các định lí hình học Euclid xét độ lớn chiều dài, góc diện tích theo khái niệm liên quan tương đẳng đồng dạng Đây tính chất đo đạc Chúng xử lí độ lớn bất biến chuyển động Hình học xạ ảnh xét tính chất chiếu hay tính chất bất biến phép chiếu, tức tính tính rơi, cộng tuyến đồng quy 57 Có cần thiết phân biệt tính chất chiếu tính chất đo đạc hay khơng? Sự phân biệt tính chất đo đạc tính chất chiếu hình nghiên cứu nhà toán học người Anh Cayley Ông xét toàn vấn đề phương diện đại số thống hai 58 Hình học tọa độ gì? Hình học tọa độ lĩnh vực nghiên cứu hình học phương pháp đại số Hình học tọa độ khai thác có hệ thống thực tế có tương ứng tự nhiên số thực điểm không gian Lấy điểm O nằm đường thẳng Gọi gốc tọa độ, tức điểm xuất phát cho phép đo dọc theo đường thẳng Khi ấy, số thực tương ứng với điểm đường thẳng đó, ngược lại Số thực gọi tọa độ điểm tương ứng Xét hai đường thẳng vng góc nhau, gọi hai trục tọa độ, Ox Oy, qua gốc tọa độ O Khi ấy, vị trí điểm P mặt phẳng xác định khoảng cách x1 đến đường thẳng đứng Oy khoảng cách y1 đến đường nằm ngang Ox Cặp số thực theo trật tự (x1,y1) xác định điểm Ptrong mặt phẳng, gọi tọa độ Hình học tọa độ gọi hình học giải tích hay hình học tọa độ Descartes để tơn vinh người phát minh nó, Rene Descartes 59 Phải hình học tọa độ cơng cụ mạnh hình học bình thường? Sức mạnh hình học tọa độ nằm thực tế nghiên cứu đối tượng hình học phương pháp đại số Khái niệm tọa độ biến tốn hình học thành tính tốn theo đại lượng đại số Và phép tính đại số dễ làm chứng minh hình học liên quan nhiều đến trực giác kinh nghiệm với hình vẽ sơ đồ! Vì thế, hình học tọa độ xứng đáng tơn vinh “giải phóng hình học khỏi lệ thuộc vào hình vẽ” 60 Làm giải phóng hình học khỏi lệ thuộc vào hình vẽ? Bằng phương pháp tọa độ, phương trình đại số đơn giản bậc theo hai biến x y có ý nghĩa trực quan chúng biểu diễn cho đường thẳng cho việc nghiên cứu đối tượng hình học gọi đường thẳng thực thơng qua việc nghiên cứu phương trình Phương pháp dễ làm đáng làm hơn! Phương trình 2x+3y=6, tương đương x3+y2=1, thu cách chia hai vế phương trình cho 6, biểu diễn trực quan đường thẳng AB Tương tự, phương trình khái qt cho đường thẳng có dạng sau ax+by+c=0 Các phương trình đại số bậc hai theo hai biến x y biểu diễn đường cong mặt phẳng 61 Đó đường cong nào? Quen thuộc đường cong đường tròn, đường parabol, đường elip đường hyperbol Một biểu diễn hình học đường cong với phương trình cho bên 62 Các đường conic gì? Giao tuyến hình nón với mặt phẳng khác gọi đường conic Nếu mặt phẳng cắt qua hình nón vng góc với trục giao tuyến đường tròn Nếu mặt phẳng cắt xiên với trục hình nón giao tuyến thu đường elip Nếu mặt phẳng cắt song song với đường sinh hình nón giao tuyến đường parabol Nếu mặt phẳng cắt qua hình nón hai lần ta thu đường hyperbol Nếu mặt phẳng cắt qua hình nón hai lần đồng thời qua đỉnh nón, ta thu cặp đường thẳng xun đỉnh 63 Tính phản xạ parabol có ý nghĩa gì? Parabol có tính chất bật đặt nguồn sáng tiêu điểm S nó, tồn tia sáng từ S, sau phản xạ parabol, truyền song song với trục Tính chất gọi tính phản xạ parabol Chính tính chất mà gương lắp phía sau đèn trước xe chế tạo có hình paraboloid, tức hình dạng tạo cách quay parabol xung quanh trục Gương parabol giúp người lái xe nhìn thấy xa phía trước 64 Tính chất âm học parabol gì? Các tia sáng từ tiêu điểm bị phản xạ song song với trục parabol Ngược lại, tia sáng tới song song với trục parabol sau bị phản xạ qua tiêu điểm 10 Vì sóng âm hành xử theo kiểu giống vậy, nên tính chất âm bị hội tụ tiêu điểm gọi tính chất âm học parabol Đây nguyên số phòng trưng bày nghệ thuật, tiếng thầm lại nghe rõ bạn đứng chỗ định, chỗ khác khơng nghe Chỗ định đó, S, thật tiêu điểm cấu trúc parabol 65 Tính chất phản xạ elip gì? Elip có tính chất tia sáng từ hai tiêu điểm, ví dụ S1, sau bị phản xạ elip qua tiêu điểm kia, S2 Tính chất gọi tính chất phản xạ elip Như vậy, elip làm từ dải kim loại sáng bóng, tia sáng từ tiêu điểm hội tụ đến tiêu điểm Một vật đặt S2 rọi sáng nhờ nguồn sáng đặt S1, cho dù S1 S2ở xa 66 Tính chất âm học elip gì? Sự phản xạ âm từ tiêu điểm qua tiêu điểm elip gọi tính chất âm học elip Đây nguyên số phòng trưng bày nghệ thuật, người xem đứng hai chỗ định nghe tiếng thầm nhau, cho dù họ có nhiều người 67 Động thúc đẩy người ta nghiên cứu đường cong này? Đó chuỗi kiện khám phá nhu cầu cấp thiết, quan trọng số chúng là: Kepler khám phá hành tinh chuyển động quanh Mặt trời theo quỹ đạo elip Galileo khám phá đá bị ném khơng khí vạch quỹ đạo parabol Tương tự, viên đạn bay từ nòng súng vạch parabol Vì thế, có nhu cầu tính tốn elip parabol mô tả quỹ đạo viên đạn 68 Còn nhu cầu khác nữa? Nền thiên văn học lấy Trái đất tĩnh làm trung tâm không nữa, học Hi Lạp cổ đại Những lí thuyết cần đánh giá lại xét lại Sự phát triển nhanh ngành hàng hải làm phát sinh nhu cầu liên hệ đồ hải trình địa cầu với đồ phẳng Những lĩnh vực khoa học tự nhiên khác có tốn tương tự chờ giải tính tốn xác 69 Tại tính chất đường conic không khai thác mà người Hi Lạp xưa biết rõ chúng? Tính chất đường conic người Hi Lạp xưa biết rõ từ trước Descartes đến 2000 năm, chúng cấu thành nên phận hình học Người ta chưa biết có phương pháp sử dụng chúng lĩnh vực khác Công cụ hệ tọa độ thay đường cong phương trình, chúng tương đối dễ xử lí Và kĩ thuật tọa độ mở rộng cửa cho ngơi nhà đầy châu báu trước chưa dám mơ tới! 70 Kĩ thuật đại số có đủ để làm việc với đường cong hay không? Không, người ta sớm nhận kĩ thuật khơng thể xử lí độ dốc độ cong, chúng tính chất đường cong 71 Độ dốc độ cong định nghĩa nào? - Độ dốc tốc độ mà đường cong tăng giảm tính đơn vị hồnh độ - Độ cong tốc độ mà chiều đường cong biến thiên đơn vị chiều dài đường cong Độ dốc đường thẳng không đổi tồn chiều dài nó, độ cong khơng Độ cong đường tròn giữ ngun khơng đổi tồn chiều dài Độ dốc độ cong biến thiên từ điểm sang điểm khác đường cong khác 72 Độ dốc độ cong tính nào? Giải tích cung cấp phương pháp tính đại lượng cho đường cong khác 11 73 Hình học Vi phân? Việc nghiên cứu đường cong mặt với giúp đỡ phép tính vi phân gọi Hình học Vi phân Mơn xử lý dạng tốn khác ngồi việc tính độ dốc độ cong Môn xử lý toán quan trọng đường trắc địa, tức toán giải khoảng cách ngắn hai điểm mặt 74 Còn hình học toạ độ khơng gian gì? Nếu ta thêm trục Oz vng góc với Ox lẫn Oy, tức vng góc với mặt phẳng tờ giấy đo khoảng cách theo phương Ox, Oy Oz theo thứ tự đó, điểm P khơng gian xác định ba (x1, y1, z1) số thực, Đảo lại, ba thứ tự số thực xác định điểm không gian (x1, y1, z1) gọi toạ độ điểm P Hình học toạ độ ba kích thước xử lý với điểm không gian, hay ba thứ tự 75 Còn hình học n chiều? Cayley nhà toán học Đức Grassmann tổng qt hóa hình học toạ độ hai chiều cách độc lập Trong hình học chiều, điểm xác định hai toạ độ khoảng cách hai điểm có toạ độ (x1, y1) (x2, y2) cho cơng thức 12 76 Hình học toạ độ bốn chiều có ích lợi gì? Hình học toạ độ bốn chiều vơ hữu ích nhà vật lý Cũng điểm mặt phẳng hoàn toàn xác định hai số gọi tọa độ điểm không gian toạ độ ggoomf số, biến cố xác định ba toạ độ cho ta vị trí khơng gian toạ độ thứ tư cho ta thời điểm xảy biến cố Khoảng cách hai biến cố, nói cách khác khoảng cách khơng-thời gian, cho bởi: Hình học sử dụng công cụ thiết yếu phát triển thuyết tương đối việc nghiên cứu không gian, thời gian trọng lực 77 Khái niệm khơng gian Tốn học gì? Thuật ngữ khơng gian bao gồm hai ý nghĩa Nghĩa thứ khơng gian thực bình thường, tức khơng gian ta sống Theo nghĩa thứ hai, “khơng gian trừu tượng”, tập hợp vật thể đồng mối liên hệ thuộc khơng gian bảo tồn Chẳng hạn, “khoảng cách” hai vật thể xác định khơng gian Trong tốn học ln ln nghĩa thứ hai thích đáng 78 Điểm gì? Khái niệm điểm hình học toạ độ hai kích thước khái niệm phần tử không gian mà vị trí xác định hai độ dài Tương tự, không gian ba kích thước coi tập hợp tất phần tử mà vị trí xác định ba độ dài.Với ba toạ độ đến giới hạn biểu thị với bốn toạ độ hay ta hiểu vị trí điểm khơng gian thực 79 Thế giải bết tắc sao? Thay gán cho ba độ dài để định vị điểm khơng gian ba chiều, ta nói gán ba số thực để xác định điểm Điểm hóa ba có thứ tự, ta khơng cần thiết thắc mắc phải định vị mắt nhìn khơng gian Một mà bẳn phải nhìn rõ điểm khơng thơi thúc điểm đồng với ba số, ta khơng dự thay số số tổng qt n Và ta có khơng gian n chiều, n lớn Khi “điểm” định nghĩa “phần tử” tốt “không gian” “đa tạp” 80 Có phải đa tạp khái niệm tổng quát hơn? 13 Tên gọi đa tạp mang tính khái qt xác thuật ngữ “khơng gian” Một đa tạp đại khái giống lớp Một mặt phẳng lớp gồm tất điểm xác định hai tọa độ, đa tạp hai chiều Tương tự, khơng gian hình học tọa độ ba chiều xem đa tạp ba chiều ba tọa độ cần thiết để cố định điểm nằm Nếu cần $n$ số hay tọa độ để cố định nguyên tố đa tạp, dù khơng gian hay lớp khác, gọi đa tạp $n$ chiều Đa tạp cho khơng có thuộc tính, ngoại trừ việc lớp 81 Chúng ta có đa tạp khác khơng? Chúng ta có nhiều loại đa tạp chẳng có liên quan đến khơng gian hay hình học Một đa tạp ba chiều lớp nguyên tố, nguyên tố cần ba số để xác định Một nhóm người xem đa tạp – đa tạp ba chiều, với ba số $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ biểu diễn tuổi tác, chiều cao cân nặng, cần đủ để phân biệt họ Cũng nhóm người xem đa tạp bốn chiều, bốn số $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ biểu diễn tuổi tác, chiều cao, cân nặng, số nhà sử dụng Nhóm người trở thành đa tạp năm chiều bổ sung thêm số $x_{5}$ biểu diễn thu nhập Chúng ta nghĩ tới đa tạp bốn chiều gồm hạt chất khí, sử dụng ba chiều để cố định vị trí chúng chiều cố định mật độ chúng 82 Ưu điểm biểu diễn gì? Giả sử muốn minh họa phụ thuộc áp suất chất khí vào thể tích Ta làm việc cách dựng hai trục mặt phẳng, dùng trục biểu diễn thể tích, trục áp suất Đường cong thu hyperbol cho chất khí lí tưởng nhiệt độ khơng đổi Nếu có hệ phức tạp có trạng thái cho khơng phải hai thuộc tính mà nói ví dụ năm thuộc tính, đồ thị biểu diễn hành trạng liên quan đến khơng gian năm chiều, tức trạng thái hệ xem điểm không gian năm chiều Tương tự, trạng thái hệ cho n thuộc tính, hay n biến, trạng thái xem điểm khơng gian n chiều Ưu điểm cách biểu diễn việc nghiên cứu hệ thực cách áp dụng mở rộng tương đương hình học khái niệm quen thuộc 83 Có phải khơng gian thực tế nằm không gian bốn chiều? Khái niệm chiều thứ tư khái niệm trừu tượng sáng tạo để mô tả theo ngơn ngữ hình học ý tưởng khơng thể mơ tả biểu diễn hình học bình thường Nó phát triển để đáp ứng u cầu hệ phụ thuộc vào vài ba biến số Nhưng dự tính phương pháp tốn học mơ hình hóa tượng vật lí khơng liên quan với chất khơng gian thực tế, có tiểu thuyết khoa học thường mô tả chiều không gian thứ tư Quan điểm cho không gian ba chiều dìm khơng gian bốn chiều thực chất liệu tư thần bí xuyên tạc khái niệm khoa học 84 Có thể áp dụng khái niệm hình học cho đại số hay khơng? Những tốn đại số liên quan đến hai hay ba biến thường có cách hiểu hình học Điều có nghĩa tốn có nghiệm đơn giản rõ ràng từ góc độ hình học, nghiệm có ý nghĩa cho tốn xét phương tạp đại số Một ví dụ làm sáng tỏ vấn đề Giả sử muốn biết nghiệm nguyên bất đẳng thức $$x^{2}+y^{2}