TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH-MARKETING KHOA CƠ BẢN BỘ MƠN TOÁN – THỐNG KÊ BÀI GIẢNG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN Giảng viên ThS Lê Trƣờng Giang LÝ THUYẾT XÁC SUẤT & THỐNG KÊ TOÁN Chƣơng BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Bài Một số luật phân phối xác suất thường dùng Phân phối Bernoulli B(1, p) Phân phối nhị thức B(n, p) Phân phối siêu bội Phân phối Poisson Phân phối (SV tự đọc) Phân phối chuẩn Phân phối chi bình phương (SV tự đọc) Phân phối Student (SV tự đọc) Phân phối Fisher (SV tự đọc) Bài Một số luật phân phối xác suất thường dùng Phân phối Bernoulli B(1, p) a Định nghĩa BNN X có tập giá trị Im  X   0,1 bảng phân phối xác suất X B 1-p p gọi có phân phối Bernoulli tham số p   0,1 kí hiệu X b Tham số đặc trưng i Kỳ vọng E  X   p ii Phương sai Var  X   p 1  p  B 1, p  James BERNOULLI Bài Một số luật phân phối xác suất thường dùng Phân phối Bernoulli B(1, p) c Mơ hình ứng dụng Thực phép thử Bernoulli, xảy hai kết Một kết kiện T xảy gọi thành công với xác suất p > kết lại T gọi thất bại với xác suất – p Xây dựng biến ngẫu nhiên X cho mơ sau X T   1, X T   Khi X tn theo phân phối Bernoulli d Ví dụ Phép thử tung đồng tiên cân đối đồng chất, kết xuất mặt sấp S, X  S   xảy mặt ngửa N, X  N   Xác suất P  X  1  , X  1 B  1,   2 Bài Một số luật phân phối xác suất thường dùng Phân phối nhị thức B(n, p) a Định nghĩa Biến ngẫu nhiên X nhận giá trị số tự nhiên Im  X   0, 1, 2,, n với xác suất sau P  X  k   C p 1  p  k n k nk gọi có phân phối Nhị thức, kí hiệu X b Tham số đặc trưng i Kỳ vọng E X  np   ii Phương sai Var  X   np 1  p  iii Mode : np  q  Mod( X )  np  p B  n, p  Bài Một số luật phân phối xác suất thường dùng Phân phối nhị thức B(n, p) Ví dụ Một máy sản xuất sản phẩm với xác suất có phế phẩm 3% Cho máy sản suất 20 sản phẩm a) Tính xác suất 20 sản phẩm sản xuất có phế phẩm? b) Tìm số sản phẩm tốt trung bình 20 sản phẩm sản xuất ra? Bài Một số luật phân phối xác suất thường dùng Phân phối nhị thức B(n, p) Ví dụ (BTN) Một nhà máy có 50 máy giống hoạt động độc lập Xác suất xảy hư hỏng máy ngày 0,05 Tính xác suất ngày có nhiều máy hư hỏng? Số máy hư hỏng trung bình ngày?Nhiều khả máy hỏng? Ví dụ 4(BTN) Một người nuôi 200 gà mái đẻ Xác suất để gà đẻ trứng ngày 80% a) Tìm số trứng gà trung bình thu ngày? b) Nếu muốn ngày thu 300 trứng gà cần phải ni thêm bao nhiên gà? Bài Một số luật phân phối xác suất thường dùng Phân phối siêu bội Định nghĩa Biến ngẫu nhiên X thuộc loại rời rạc, phụ thuộc vào ba tham số nguyên dương N, M n Xác suất biến ngẫu nhiên X giá trị k cho sau PX  k  CMk CNnkM C n N ,   k    max 0, n   N  M  ,min n, M   Biến ngẫu nhiên X X H  N , M, n M Đặc trƣng số p  có phân phối siêu bội kí hiệu N i Kỳ vọng E  X   np N n ii Phương sai Var  X   np 1  p  N 1 Bài Một số luật phân phối xác suất thường dùng Phân phối chuẩn x Công thức ứng với   x    2 t  e dt       P   X          ;             PX        ; P X       ;       1      ;       ;     0;   z     z  2   P  X       2     Bài Một số luật phân phối xác suất thường dùng Phân phối chuẩn Công thức ứng với   x   x   2 t  e dt       P   X          ;             P X        1; P  X        ;            1;      1;     0.5;    z      z   P  X       2       Bài Một số luật phân phối xác suất thường dùng Phân phối chuẩn Quy tắc k Cho biến ngẫu nhiên X N   ,  Ta có P  X       2 1  0,68268 P  X    2   2    0,9545 P  X    3   2  3  0,9973 Ta nhận thấy chắn X lấy giá trị khoảng    3 ;   3  Định lý Cho X1, X2 độc lập X1 X2    N 1,12 ,  N 2 , 22 Với a, b  ta có aX1  bX2   N 1  2 , a212  b2 22 Bài Một số luật phân phối xác suất thường dùng Xấp xỉ phân phối nhị thức phân phối chuẩn Cho X n  30  X B  n, p  thỏa np  n 1  p    Ta có cơng thức xấp xỉ  k2  np   k1  np  P  k1  X  k2         npq   npq       k  np  PX  k  f   npq  npq  N  np, npq  Bài Một số luật phân phối xác suất thường dùng Phân phối chuẩn Ví dụ 13 Điểm thi Toeic sinh viên năm cuối trường đại học BNN X có phân phối chuẩn với giá trị trung bình 560 điểm độ lệch chuẩn 78 điểm Tính: a Tỷ lệ sinh viên có điểm từ 600 đến 700 điểm? b Tỷ lệ sinh viên có điểm thi 500 điểm? Bài Một số luật phân phối xác suất thường dùng Phân phối chuẩn Ví dụ 14 (BTN) Thời gian để sản xuất sản phẩm loại A biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn với trung bình 10 độ lệch chuẩn (đơn vị phút) a Tính xác suất để sản phẩm loại A sản xuất khoảng thời gian từ phút đến 12 phút? b Tính thời gian cần thiết để sản xuất sản phẩm loại A bất kỳ? Bài Một số luật phân phối xác suất thường dùng Phân phối chuẩn Ví dụ 15 (VN) Trọng lượng loại cá năm tuổi nuôi hồ biến ngẫu có phân phối chuẩn với trung bình 1,2kg độ lệch chuẩn 0,2kg a Tính tỉ lệ cá từ 0,9kg đến 1,1kg? b Trọng lượng cá từ x gam trở lên đạt tỉ lệ 90%, tìm giá trị x ? Bài Một số luật phân phối xác suất thường dùng Phân phối chuẩn Ví dụ 16 Người ta lấy ngẫu nhiên 400 hạt lúa từ kho lúa lớn, có tỉ lệ hạt lép 0,2 để kiểm tra Tính xác suất để có từ 80 đến 100 hạt lép Ví dụ 17 (BTN) Theo thống kê cơng ty sản xuất xe máy có 60% khách mua họ phụ nữ Chọn ngẫu nhiên 200 người mua xe cơng ty Tính xác suất để 200 người có 140 phụ nữ Bài Một số luật phân phối xác suất thường dùng Phân phối chi bình phương Định nghĩa Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất f n x     x2 e neáu x   n f x    n      2  x  0 Trong đó,  hàm Gamma xác định sau       y 1e y dy Biến ngẫu nhiên X xác định gọi tuân theo luật phân phối chi bình với n bậc tự do, kí hiệu X   n Bài Một số luật phân phối xác suất thường dùng Phân phối chi bình phương Đặc trƣng số i Kỳ vọng E  X   n ii Phương sai Var  X   2n Định lý Biến ngẫu nhiên X X có phân phối chuẩn tắc N  0;1 biến ngẫu nhiên X  1 Định lý Cho X1, X2 độc lập X1   k1  , X2 Khi tổng X1  X2   k1  k2    k2  • Phân phối (n ) Karl Pearson đưa năm 1900 Bài Một số luật phân phối xác suất thường dùng Phân phối Student Định nghĩa Cho Z V độc lập, Z N  0;1 , V   n  Khi đó, BNN T xác định sau T Z gọi luật Student với n bậc tự do, kí hiệu T V n BNN T t  n  có hàm mật độ xác suất f n 1  n 1     x2    1   f x  n  n  n     2 x  , n  Đặc trƣng số i Kỳ vọng E  X   ii Phương sai Var  X   n n2 t n Bài Một số luật phân phối xác suất thường dùng Phân phối Student Bảng phân vị BNN T t  n  , giá trị phân vị t  n  xác suất P T  t  n   cho bảng Student y t  n   f  t  dt    f(x)  O tα(n) x • Phân phối St(n ) Willam.S.Gosset đưa năm 1908 XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN! ...  2? ??  3  0,9973 Ta nhận thấy chắn X lấy giá trị khoảng    3 ;   3  Định lý Cho X1, X2 độc lập X1 X2    N 1, 12 ,  N ? ?2 , 22 Với a, b  ta có aX1  bX2   N 1  ? ?2 , a2 12. .. Var  X   2n Định lý Biến ngẫu nhiên X X có phân phối chuẩn tắc N  0;1 biến ngẫu nhiên X  1 Định lý Cho X1, X2 độc lập X1   k1  , X2 Khi tổng X1  X2   k1  k2    k2  • Phân...   2? ??       Bài Một số luật phân phối xác suất thường dùng Phân phối chuẩn Quy tắc k Cho biến ngẫu nhiên X N   ,  Ta có P  X       2? ?? 1  0,6 826 8 P  X    2? ??   2? ??