TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH-MARKETING KHOA CƠ BẢN BỘ MƠN TOÁN – THỐNG KÊ BÀI GIẢNG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN Giảng viên ThS Lê Trƣờng Giang LÝ THUYẾT XÁC SUẤT & THỐNG KÊ TOÁN Chƣơng BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Bài Biến ngẫu nhiên phân phối xác suất Biến ngẫu nhiên Luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Bài Biến ngẫu nhiên phân phối xác suất Biến ngẫu nhiên a Định nghĩa Xét phép thử không gian mẫu  Hàm X xác định X:   X   gọi biến ngẫu nhiên (BNN số gán cho kết phép thử) Kí hiệu biến ngẫu nhiên chữ in hoa X, Y, Z,… Miền giá trị hàm X kí hiệu Im(X) Im  X   x  :  , X    x Với a  Im  X  , tập  : X    a kiện ngẫu nhiên Bài Biến ngẫu nhiên phân phối xác suất Biến ngẫu nhiên a Định nghĩa Ví dụ Xét phép thử Bernoulli, phép thử có hai kết “thành cơng” kí hiệu T “thất bại” kí hiệu T Xác định quy tắc X sau: X T   1, X T   0, Khi X biến ngẫu nhiên Im(X) = {0,1} Cho xác suất thành công P T   q , xác suất thất bại P T    q   P  X  1  P  : X     P T   q , tương tự P  X     q Bài Biến ngẫu nhiên phân phối xác suất Biến ngẫu nhiên b Phân loại Định nghĩa BNN X thuộc loại rời rạc Im(X) tập hữu hạn hay vơ hạn đếm Ví dụ 2.Thực dãy phép thử Bernoulli, gọi X BNN số lần thực phép thử xuất lần thành cơng Trong ví dụ Im(X) = {1, 2, 3, …}, dó X BNN rời rạc P  X  k   q 1  q  k 1 , k  1,2, Định nghĩa BNN X liên tục Im(X) khoảng hay đoạn số thực, tập vô hạn khơng đếm Ví dụ BNN X thời gian xuất hư hỏng lần máy điện thoại Khi đó, BNN X thuộc loại liên tục Bài Biến ngẫu nhiên phân phối xác suất Biến ngẫu nhiên c Chú ý BNN coi xác định ta biết yếu tố sau:  Tập giá trị BNN,  Các xác suất mà BNN nhận giá trị thuộc tập Bài Biến ngẫu nhiên phân phối xác suất Luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên + Luật phân phối xác suất BNN biểu đồ,  Các giá trị nhận BNN,  Xác suất tương ứng để BNN nhận giá trị + Luật phân phối xác suất thường thể hai hình thức: hàm mật độ xác suất hàm phân phối xác suất Bài Biến ngẫu nhiên phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên a Biến ngẫu nhiên rời rạc Định nghĩa BNN X rời rạc, Im(X) = {x1, x2, …, xn,…} ứng với giá trị X xác suất fX  x   P  X  x  , x  Im  X  Hàm fX gọi hàm mật độ xác suất BNN X Hàm mật độ xác suất thỏa mãn điều kiện sau i, fX  x   0, x  Im  X  ii,  xIm X  fX  x   Bài Biến ngẫu nhiên phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên BNN X có hữu hạn giá trị, Im(X) = {x1, x2, …, xn} Bảng phân phối xác suất X dạng sau X x1 x2 … xn pi  fX  xi   P  X  xi  P p1 p2 … pn Tập A  Im  X  , P  X  A    f x xA Ví dụ Lơ hàng có 20 sản phẩm giống nhau, có sản phẩm chất lượng Lấy ngẫu nhiên lần sản phẩm Lập bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X số sản phẩm chất lượng tính xác suất P  X   Bài Biến ngẫu nhiên phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Ví dụ 10 (BTN) Một người ngày từ nhà đến quan phải qua ngã tư Xác suất gặp đèn đỏ ngã tư 25% Lập hàm phân phối xác suất số lần gặp đèn đỏ người Bài Một số đặc trưng biến ngẫu nhiên Kỳ vọng biến ngẫu nhiên Phương sai biến ngẫu nhiên Độ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên Mode Median biến ngẫu nhiên Bài Một số đặc trưng biến ngẫu nhiên Kỳ vọng biến ngẫu nhiên Định nghĩa BNN X rời rạc, có bảng phân phối xác suất dạng X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn Kỳ vọng X kí hiệu  E  X  cho n   E  X    xi pi  i 1   E  X    xi pi X có vơ hạn đếm giá trị i1 BNN X liên tục với hàm mật độ f , kỳ vọng giá trị   EX     x f  x  dx Bài Một số đặc trưng biến ngẫu nhiên Kỳ vọng biến ngẫu nhiên    xi  pi   i Nếu Y    X  E Y        x  f  x  dx   Tính chất Với k số E  k   k E  X  Y   E  X   E Y  X rời rạc X liên tục E  kX   kE  X  E  XY   E  X  E Y  X Y độc lập Nếu X  Y E  X   E Y  Nếu X  E  X   Bài Một số đặc trưng biến ngẫu nhiên Kỳ vọng biến ngẫu nhiên Ý nghĩa kỳ vọng: Kỳ vọng nói lên giá trị trung bình biến ngẫu nhiên Khi BNN có độ phân tán nhỏ kỳ vọng làm đại diện cho giá trị biến ngẫu nhiên Bài Một số đặc trưng biến ngẫu nhiên Kỳ vọng biến ngẫu nhiên Ví dụ BNN X số lượng hàng hóa bán ngày, có bảng phân phối xác suất sau X P 0,1 0,3 0,4 0,2 Tính kỳ vọng X ? Bài Một số đặc trưng biến ngẫu nhiên Kỳ vọng biến ngẫu nhiên Ví dụ Tuổi thọ dân cư quốc gia BNN X có hàm mật độ xác suất sau 2   kx 100  x  f  x     x  0,100  x  0,100  a) Xác định số k? b) Tuổi thọ trung bình dân cư quốc gia bao nhiêu? c) Tìm tỉ lệ người có tuổi thọ từ 60 đến 70 tuổi? Bài Một số đặc trưng biến ngẫu nhiên Phương sai biến ngẫu nhiên Định nghĩa BNN X có kỳ vọng  Phương sai biến ngẫu nhiên X số E( X   )2 tồn Phương sai X kí hiệu Var(X), D(X)  Khi X rời rạc có bảng phân phối xác suất n X x1 x2 … xn Var  X     xi    pi P p1 p2 … pn i 1 Đối với biến ngẫu nhiên X liên tục Var  X      x    f  x  dx  Chú ý Để tính phương sai X ta dùng cơng thức sau   Var  X   E X   Phương sai biến ngẫu nhiên Ý nghĩa phương sai: Giá trị phương sai biểu thị độ tập trung hay phân tán giá trị biến ngẫu nhiên xung quanh trung bình Bài Một số đặc trưng biến ngẫu nhiên Phương sai biến ngẫu nhiên Ví dụ Cho bảng phân phối xác suất X X P 0,4 0,24 0,144 0,216 Tính kỳ vọng, phương sai X Ví dụ Cho BNN X liên tục, có hàm mật độ xác suất f  3x  f  x    16 0  x   2,2  x   2,2  Hãy tính kỳ vọng, phương sai X Bài Một số đặc trưng biến ngẫu nhiên Phương sai biến ngẫu nhiên Tính chất Với k số Var  k   Var  kX   k Var  X  Var  X  Y   Var  X   Var Y  X Y độc lập Ví dụ Cho BNN X có kỳ vọng  , phương sai  X  * xác định kỳ vọng phương sai X   Ví dụ Cho BNN X1 , X2 , , Xn độc lập có kỳ vọng  phương sai  Hãy tìm kỳ vọng, phương sai dạng chuẩn hóa X   X1  X2   Xn  n Bài Một số đặc trưng biến ngẫu nhiên Độ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên Dù phương sai biểu thị phân tán biến ngẫu nhiên, nhiên lại không đơn vị với biến ngẫu nhiên Chính mà người ta đưa tham số có ý nghĩa giống phương sai, đơn vị với biến ngẫu nhiên Đại lượng gọi độ lệch chuẩn ký hiệu   X  se  X  Biểu thức xác định độ lệch chuẩn se  X   var  X  Bài Một số đặc trưng biến ngẫu nhiên Mode Median a Mode Định nghĩa: Mode kí hiệu Mod(X) Nếu X BNN rời rạc Mode X giá trị mà xác suất P(X = Mod(X)) lớn Nếu X BNN liên tục Mode X giá trị mà hàm mật độ xác suất f(x) đạt cực đại Một BNN X có hay nhiều Mode khơng có Mode Bài Một số đặc trưng biến ngẫu nhiên Mode Median b Median Định nghĩa Median (trung vị) kí hiệu Med(X) Median giá trị nằm phân phối xác suất BNN Nói cách khác giá trị chia phân phối BNN thành hai phần 1 Median biến ngẫu nhiên X số m cho P  X  m   P  X  m   2 Với X BNN rời rạc Med  X   xi F  xi    F  xi 1  , xi  X   x0 Với X BNN liên tục Med  X   x0 F  x0    f  x  dx   Chú ý: Median khơng nhất, có nhiều Median Bài Một số đặc trưng biến ngẫu nhiên Mode Median Ví dụ Gọi BNN X bảng phân phối xác suất X -200000 -50000 30000 100000 P 0,3 0,2 0,4 0,1 Tìm Mod(X) Med(X) ... P  X  a   0, ? ?a  Suy P  a  X  b   P  a  X  b   P  a  X  b   P  a  X  b  P (a ≤ X ≤ b) y Xác suất P  a  X  b    f  x  dx b f(x) a miền diện tích tơ đen a O b x...    x  f  x     x x   a, b   F  x       t  dt x   a, b ? ?a   x x? ?a     t  dt  F  x  ? ?a x? ?a   x? ?a a  x  b khi x? ?a x? ?a xb Bài Biến ngẫu nhiên phân phối... {x1, x2, …, xn} Bảng phân phối xác suất X dạng sau X x1 x2 … xn pi  fX  xi   P  X  xi  P p1 p2 … pn Tập A  Im  X  , P  X  A    f x x? ?A Ví dụ Lơ hàng có 20 sản phẩm giống nhau,