ĐỀ CƯƠNG TOÁN CẢ NĂM CHƯƠNG 1: CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA BÀI CĂN BẬC HAI LÝ THUYẾT I MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA BẬC HAI a ≥ 0, ∀a ∈ R a2 > ⇔ a ≠ 1) * * a2 < ⇔ a = φ a2 ≤ ⇔ a = * * a = b a = b2 ⇔  a = b2 ⇔ a = b a = − b 2) 4x = 25 Ví dụ Tìm x, biết:  2 x =  25 5  5 ⇔ x2 = ⇔ x2 =   = −  ⇔  2  2 x = −  3) a = a + b2 = ⇔  b = x − 2xy + 2y − 2y + = Ví dụ Tìm x, y biết:  x = y x = x − y = 2 ⇔ ( x − y ) + ( y − 1) = ⇔  ⇔ ⇔  y =  y =1  y −1 = a > b ⇔ a > b ; ∀a, b ∈ R 4) Đặc biệt: a > b2 ⇔ a > b * Nếu a, b dương thì: a > b2 ⇔ a < b * Nếu a, b âm thì: Ví dụ > 52 ⇔ > (do 7; > 0) ( − ) > ( − 5) ⇔ −7 < −5 − 7; − < (do ) ∀a, b, c ∈ R ; ta có: 5) 2 ( abc) = a b c ; a2 a   = ( b ≠ 0) b b II CĂN BẬC HAI SỐ HỌC Ở lớp ta biết: * Căn bậc hai số a không âm số x cho x2 = a a * Số dương a có hai bậc hai hai số đối nhau: số dương ký hiệu =0 * Số có bậc hai số 0, ta viết 1) Định nghĩa a Với số dương a (a > 0), số gọi bậc hai số học (CBHSH) a Số gọi bậc hai số học 16 = 4≥0 = 16 Ví dụ CBHSH 16 (vì ) 1,44 = 1,2 1,2 = 1,44 1,2 ≥ CBHSH 1,44 (vì ) CBHSH 25 = 25 (vì ≥0 3   = 25 5 ) 2) Chú ý a≥0 a) Với , ta có: x= a x≥0 x2 = a Nếu x= a x≥0 x =a Nếu x ≥ x= a ⇔ 2 x = a = a ( ) a Khi viết ta phải có đồng thời (− a ) = ( a ) b) Ta có Với a>0 a≥0 a ≥0 =a x = a x2 = a ⇔  x = − a (− ) = ( ) 2 x = = 5; x = ⇔  x = − Ví dụ c) Số âm khơng có bậc hai số học d) Phép tốn tìm bậc hai số học số a≥0 gọi phép khai phương III SO SÁNH CĂN BẬC HAI SỐ HỌC * Với số a, b khơng âm 3>2⇔ > Ví dụ BÀI TẬP ( a ≥ 0, b ≥ 0) ta có: a > b2 ⇔ a > b ⇔ a > b số âm ký hiệu − a 16; 36 ; 0; 25; ;19; − 64 49 Bài Tìm bậc hai số học số: 49; 0,01; ; ; ; ( − )( − 36) 25 16 Bài Tính: − ; 0,81 + ; 412 − 402 ; 582 − 422 16 ( ) ( ) Bài Giải phương trình sau: a) x − 10 = b) c) x − 4x + = 5x + 125 = d) 2x − = e) 13 36 f) x2 − = x − 6x = x − 3x + = x + 2x + = g) Bài Giải phương trình sau: ( x − 3) = 11 + a) 4x + 4x = 27 − 10 c) x + 3x = − e) h) b) d) f) x − 10x + 25 = 27 − 10 x + 5x = 16 − 4x − 12 x − 33 + 10 = 3x − 30x + 26 + = 2x − 12x + + = g) h) Bài Khơng dùng máy tính; so sánh số thực sau: a) b) c) d) 80 − 59 + 10 + 35 e) 13 − 12 15 − 10 f) +1 31− 19 c) 12 − 11 15 3+ 5 −5 −3 −3 −2 d) e) Bài Khơng dùng máy tính; so sánh số thực sau: 17 + 26 48 13 − 35 a) b) − 58 +3 − 17 − 21 + f) −1 + + + +          g) h) i) Bài Các số sau số có bậc hai số học? (giải thích) 2− − 15 a) b) − +1 11 − 26 − 37 d) e) 100 c) f) − −1 26 + 17 + − 99 A2 = A BÀI CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC LÝ THUYẾT I ĐỊNH NGHĨA Nếu dấu biểu thức A có chứa biến hằng; ta gọi dấu A thức bậc hai; A biểu thức 3x + ; 4x + y ; − Ví dụ II ĐIỀU KIỆN ĐỂ A CĨ NGHĨA A ⇔A≥0 xác định (hay có nghĩa) (A khơng âm) Ví dụ Tìm điều kiện có nghĩa của: C = − 3( − 3x) B = − 2x − a) b) Giải a) (Điều kiện xác định) ĐKXĐ: d) − 2x − ≥ ⇔ −2x ≥ ⇔ x ≤ −4 − 3( − 3x) ≥ ⇔ − 3x ≤ ⇔ −3x ≤ −4 ⇔ x ≥ 1) 2) b) ĐKXĐ: x + 2x + = ( x + 2x + 1) + = ( x + 1) + ≥ > 0, ∀x ∀x ∈ R c) Vì nên ĐKXĐ: * Chú ý Điều kiện có nghĩa số biểu thức: A( x ) ⇒ A( x ) a) biểu thức ngun ln có nghĩa A( x ) ⇔ B( x ) ≠ B( x ) b) có nghĩa A( x ) ⇔ A( x ) ≥ c) có nghĩa A( x ) ⇔ A( x ) > d) có nghĩa A>0 Với ; ta có: X = A X2 = A2 ⇔ X = A ⇔  X = −A X ≤ A ⇔ X ≤ A ⇔ −A ≤ X ≤ A X ≥ A X2 ≥ A2 ⇔ X ≥ A ⇔  X ≤ − A Ví dụ Tìm điều kiện xác định của: E= x2 − a) Giải D = x + 2x + F= b) − x2 x2 − > ⇔ x2 > ⇔ x2 > ( 3) a) ĐKXĐ: b) ĐKXĐ: x > ⇔ x < − > ⇔ − x2 > ⇔ x2 < ⇔ x2 < 5− x ( 5) ⇔− 50 ( ) +1 = +1 c) BÀI TẬP Bài Với giá trị x thức sau có nghĩa: − 5x + 3x + a) b) d) − 5x e) ) −x x −2 + x −3 3x + + − 2x + g) h) Bài Với giá trị x thức sau có nghĩa: 3x + ( 2x − 3)( 3x − 2) x−2 a) b) (vì +1 > c) f) ) −3 − 2x + 15 8−x x 7x + 12 i) c) x − 8x + 15 d) g) j) 35 − x + 2x x − 8x + 18 − x −1 e) h) k) − x + 4x − − x − 2x − − 2x 3x + f) i) l) 9x − 6x + 5x − 4x − 3x − + − 2x x−2 −4 2− x −3 m) Bài 10 Rút gọn biểu thức sau: a) (3 − ) (3 n) o) ( − 1− 3−2 ) b) (3 − ) d) Bài 11 Rút gọn biểu thức sau: e) 7−4 + 4−2 a) 32 − 10 − 43 − 12 với ( x − 3) c) với với ( x + 1) + 3( x + 1) với x < −5 với với với − 4x + 4x − d) 9x − 12x + 3x − x ( x − 1) f) với a= x = − 3; y = − với x − 2y − x − 4xy + 4y2 x = − 1; y = − với x − 8x + 16 − x − 4x + x = −1 x − 4x + x−2 (với x −1 y −1 4a − 4a + − a − 6a + x≥2 h) x + y + x − 2xy + y e) (2 x 18 = −3 + = −2 BÀI TẬP Bài 15 Phân tích thành nhân tử: 11 − 33 a) 4x − c) ax − by + bx − ay ( a, b, x, y ≥ ) e) b) d) f) 15 − + x − 2x ab + 7b − a − b ( a, b ≥ ) 5− >0 ) g) a b − b a + a − b ( a, b ≥ ) ( a) x − 25y2 − x − 5y ( x ≥ 5y ≥ 0) h) − 3a + a − ( a > 0) i) Bài 16 Tính (rút gọn): ( ) 7 −3 a) c) e) ( 3− (1 − )( 6+2 b) )    −    + 3 − d) )( + 1+ − ) f) (5 + ). + 47 + − + + + + + + − + g) +  − +    h) + + + + + + − + + i) 31+ + + + + + − + + j) Bài 17 Rút gọn biểu thức sau: +7 − 10 10 21 a) c) b) 3− 3+ − 3+ 3− ( 2− e) ) d) 3 − 11 )( + −3 30 ( ) − 11 ) g) f) ) − 35 + 35 h) 6 − 12 + − 2 +1 i) Bài 18 Rút gọn biểu thức sau: 10 18 + − 15 27 −4 a) b) + + 14 − c) ( j) 13 + + − ( ) ) − 19 + − − + 11 − d) 23 + 10 + 47 + 10 e) ( 56 − (5  +5 −5    − − +  : 23   21 − 10 + 21 + 10 f) 49 − 20 + 106 + 20 83 − 20 + 62 − 20 g) h) 302 − 20 + 203 − 20 601 − 20 − 154 − 20 i) Bài 19 Rút gọn biểu thức sau: j) 6−3 + 2− 15 + 5 − − a) b) 24 − 15 − 36 − 15 2− − 2+ c) d) 3− − 3+ − 17 + + 17 e) f) + 13 − − 13 g) Bài 20 Tính (rút gọn):  +  10 + −   a) ( c) ( 6+ )( )( 3−2 ) 12 − − 12 + h) ) b) 3+2 d) 3− 2− f) g) (4 + 15 )( ) 10 − − 15 (    + −  10 −   2+ 3+ ) − 15 + + 15 − − h) Bài 21 A = + 10 + + − 10 + a) Thu gọn biểu thức M = 4+ − 4− b) So sánh N = 2+ − 2− C = 45 + 2009 c) Cho E = 45 − 2009 D= d) Thu gọn biểu thức E= Chứng minh rằng: 7+ + 7− + 11 +2−2 C+E = − 3− 2 +1 +1 e) Thu gọn biểu thức F = 3+ − +8 − +1 f) Thu gọn biểu thức G= + 27 − 38 − − 3 −4 g) Thu gọn biểu thức Bài 22 Rút gọn biểu thức sau (với giá trị biến làm cho biểu thức có nghĩa): ab + b b : 2 2 a + b − 2ab a + b − 2a b b ab − b a) b) ( )( ) x + y − 2xy 2 d) A = x −2+2 x −3 − x −3 a) c) e) b) C = 4x2 − 12x + + 2x − + xy − xy 9x y 3y x x +x−y x −y c) Bài 23 Rút gọn biểu thức sau: với x< E = x − x −1 + x + − x −1 với d) B = 2x − x − + x − D= x−4 x−4 4≤x ≤5 2 0) B B B (nhân tử mẫu với ) Ví dụ 2 3 = = = 15 5 • 3) Nếu mẫu biểu thức dạng tổng có chứa căn, ta nhân tử mẫu với biểu thức liên hợp mẫu ( A − B)( A + B) = A − B , A – B A + B hai biểu thức liên hợp với A− B A− B A− B = = = 2 A −B A + B A + B A − B A2 − B ( ( ) )( ) Ví dụ = 2− ( ( ( ) )( • V MỘT SỐ CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI A, B ≥ Với ; ta có: 1) A = A A ) 2+ 2+ 2+ = =− 2−5 2− 2+ ) A± A = A 2) ( ) A ×1 A B ± B A = A B 3) A + B ± A.B = 5) ( ( A± B A± B ) ) A−B= 4) ( A− B ( A ) + ( B) = ( A + B A − A.B + B A A −B B = ( A) − ( B) = ( A − B A + A.B + B 6) A+ B ) A A +B B = )( 3 )( ) )( ) BÀI TẬP Bài 27 Viết biểu thức dấu thành dạng tích thích hợp đưa thừa số dấu căn: − 288x y 125.96a b a) ( − 10x y − ) − 8x y z b) c) − 9a ( a − ) 3x − 6xy + 3y2 d) e) Bài 28 Đưa thừa số vào dấu căn: f) x−y x x x−y a b3 b a a) với a, b dấu; a, b ≠ x+y x−y x−y x+y c) với x > x > y x −2 −a b) d) với x > x > y x2 x −5 x − 3x (2 − ) x y 5x3 a) x >5 với ( x − 5) 5( y − 5) 5− y g) e) f) Bài 29 Khử mẫu biểu thức lấy căn: b) − 4x 7x y c) với x < 0, y > a a f) Bài 30 Trục thức mẫu: 2− với x, y dấu; x ≠ x −1 x − 2 x − d) với x < e) với x > 1 − ( x − 1) ( x − 1) −a g) h) ( b) a) e) 1− 2 −3 x−y x+ y f) ) 15 − 1− 4− −2 a b −b a b− a i) j) Bài 31 Các số thực sau có bậc hai khơng? (giải thích) ( c) 3− 8− ) d) x+a x a x g) k) h) a a −2 b 2+ 2− a−2 a a −2 x x −3 y l) a) b = 56 − a = 12 18 − 50 − 98 b) 30 + 45 − 15 + c = 501 − 11 − 20 + 10 c) Bài 32 Tính (rút gọn) 20 + 45 − 80 + 125 a) 162 − c) b) − 15 − 10 − d) 27 − + 243 + 125  1  5   − 20 20 + +  : +   3       − −  3 − 12 −     e) Bài 33 Tính: a) c) g) −1 − 10 + d) −2 5− f) − − −7 +5 4−5 12 − 140 − − 60 − h) 3 +1  5−   5−       + + 1 :  + − 1     −2 +5 +2 + +2 −2 +5 (  12 15  − +   + 11 +1  −2 3− j)  1  23 −  3+ 2+ 6  3+ 2− + 10 + + 14 + 6 l) − + 13 + 48 6− m) Bài 34 Rút gọn biểu thức sau: 2+ 2− + + 2+ − 2− a) 45 + 27 + 45 − 27 c) 5+3 − 5−3 − ) 2 − − + 3− 7+ − 40 + 21 10 + 84 i) k) − b)  −  +5 1 + 1 +   −  +   e) 1 − 3− 2 3+ 2 3+ + 3+ b) 3+ + 3− 3+ − 3− + 3− − 3− d) (2 − ) ( ) 26 + 15 − + 26 − 15 e) f)  5  3  + 2− + 3+ −  5 + + − −   2    ( )   −  − + 12 − + − −    ( ) ( − + 14 + 9,5 + 21 − 14 g) Bài 35 Tính giá trị biểu thức sau: + 2x − 2x A= + x= + + 2x − − 2x biết Bài 36 Rút gọn tính: A= a) c) d) a b −b a − ab a− b b) a− a  a +a   C =  +  −  a − 1 + a    với a + b − ab a−b D= − a− b a+ b F= ( )( a + a − ab ( a − b) ( f) G= g) )( a+ b a3 + a ) ) với )  a − a  a + a  1 −  B = 1 + a −  + a   a = 19 − e) a = 2000  b = 2001 a b +b a a b −b a + a b −b a a b +b a a a +b b  a + b   E =  − ab   a − b a + b    G= a2 − a a2 + a − + a +1 a + a +1 a − a +1 h)  2+ a a −  a a + a − a −    I =  −   a − a + a + a    a > 0; a ≠ i) ( ) Bài 37 Chứng minh: a) A∈Z A= biết: (với a > 0) 3+ − + 3+ 2 −2 3 −1 10 + 60 + 24 + 40 = + + b) với a2 = 3− 2 c) C∈Z C= (5 + )(49 − 20 ) − 11 5−2 biết:  1 x +    1+  D =  + −  x > 0; x ≠  + x − x − x  x  d) Biểu thức D không phụ thuộc vào với : x > 0; y > 0; x ≠ y e) Biểu thức E không phụ thuộc vào biến x, y với  xy x− y  x  E= + +  x−y x + y  x + y   ( ) y−2 g) y− x  x −1 x x −1  : F =  +  − x x −   F ≥ ∀x ∈ R + x ≠1 f) ( ), biết: − 4y − y y ( ) + 4y − y = 55 + 109 − 55 − 109 2− x   x + 3( x − 3) + 9x + = 1+ 1 + − x  x −1  x +2 x −1 x + x +2 ( )( ) h) Bài 38 Rút gọn biểu thức:  a −1 a +1     A= + 1 −  a −   a +  ( a > 0; a ≠ 1)  a +1 a)  a a +1 2a + a + a  : ( a − 1) + B =  −  a −1 a +1  a +1  b) với a > C= c) (x ( ( ) )( )( )( ) D= (với x > 1) ) d) 2 0; a ≠ a −1 a − a b) Thu gọn với So sánh C 3x + 9x − x +1 x −2 A= − − x+ x −2 x +2 x −1 Bài 41 Cho biểu thức: a ≥ 0; a ≠ 9; a ≠ với C x = 3+ 2 a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A  x −3 x  x −3 x −2 9−x  P = 1 − + − :  x −   − x + x x + x −  ( x ≥ 0; x ≠ 9; x ≠ )  Bài 42 Cho biểu thức: a) Thu gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x để P = ) A= x −9 x +1 x +3 − − x −5 x + 3− x x −2 Bài 43 Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức A R= Bài 44 Xét biểu thức sau: b) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên x +2 x + 3x + x − − − x +1 − x x − x − R > −2 a) Rút gọn R b) Tìm số thực x để c) Tìm số tự nhiên x số phương cho R số nguyên x +2 x +1 x −1 Q= − −3 x −3 x −2 x −5 x +6 Bài 45 Cho biểu thức: a) Rút gọn Q b) Tìm giá trị x để 2Q ∈ Z x∈Z c) Tìm giá trị cho Bài 46 Tính: 1 + + + 1+ 2+ 99 + 100 a) So sánh 1 1 A= + + + + 100 c) B = 10 Bài 47 a) Với số tự nhiên k ≥1 Q < −1 b) C= + + + + 2005 2004 d) D = 1 = − ( k + 1) k + k k + k k + , chứng minh rằng: b) Áp dụng tính giá trị biểu thức sau: 1 1 − + − 1− 2− 3− 50 − 51 +1 + 1 + + 2+2 100 99 + 99 100 Bài 48 a) Cho 16 − 2x + x − − 2x + x = B= Tính − + + + + − + + + + A = 16 − 2x + x + − 2x + x < b) Chứng minh Bài 49 (x + a) Cho x, y thỏa mãn đẳng thức (x (tử số có 2011 dấu căn, mẫu số có 2010 dấu căn) )( ) x + 2007 y + y + 2007 = 2007 +4 −x )( ) Tính x + y y +4 −y =4 b) Cho x, y thỏa mãn đẳng thức Tính x + y Bài 50 Chứng minh: a+b ≥ ab a, b, c > a + b + c ≥ ab + bc + ca a) với (Bất đẳng thức Cauchy) b) với 1 1 1 + + ≥ + + a b c ab bc ca a, b, c > c) e) với ab bc ca + + ≥a +b+c c a b d) a + bc ≥ ab 2c a +b ≥2 a−b a, b, c > với f) a, b, c > với với a>b ab = Bài 51 a) Tìm GTNN A = x − 6x + b) Tìm GTNN C = − x − 2x + c) Tìm GTLN E= e) Tìm GTLN D = −5 + − 9x + 6x x2 − x +1 G= g) Tìm GTNN GTLN i) Tìm GTNN d) Tìm GTLN f) Tìm GTNN GTLN k) Tìm GTNN GTLN + 2x − x + h) Tìm GTNN j) Tìm GTLN x − 2x + = 4x + 4x + ( x − 2)( − x ) l) Tìm GTNN BÀI MỘT SỐ CƠNG THỨC (dùng để giải phương trình) c) Giải b) d) H = 4x − 12x + + 4x + 4x + J = x−2 + 4−x L= LÝ THUYẾT I DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI B ≥ ( A ≥ ) A = B⇔ A = B 1) B ≥ A =B⇔ A = B 2) B = A + B =0⇔ A = 3) (nghiệm chung) II DẠNG PHƯƠNG TRÌNH “CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI” A = B A =B⇔ A = − B 1) B ≥ A =B⇔ A = B hay A = −B 2) Ví dụ Giải phương trình: − x = x − 3x − F = − x + 4x + + I = x + x −1 + x − x −1 K= a) B = x − 6x + 13 2x − 11x + 13 = x − x − 2x + = 2x − ( x + 3)( − x ) với −3< x < a) x ≤1 1 − x ≥ x ≤1 − x = x − 3x − ⇔  ⇔ ⇔ 1 − x = x − 3x − x − 2x − = ( x + )( x − ) =  x ≤1 ⇔ ⇔ x = −2 x = −2 hay x = S = { − 2} Tập nghiệm phương trình  x ≥ x ≥ x − ≥ 2x − 11x + 13 = x − ⇔  ⇔ 2 ⇔  2  x − 5x + = 2x − 11x + 13 = x − 6x + 2x − 11x + 13 = ( x − 3) b) x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ ⇔x=4 ( x − )( x − ) = x = hay x =   Tập nghiệm phương trình S = { 4} x − 2x + = 4x + 4x + ⇔ c) Tập nghiệm phương trình d) ( x − 1) = ( 2x + 1)  x − = 2x +  x = −2 ⇔ x − = 2x + ⇔  ⇔ x =  x − = −( 2x + 1) S = { − 2; 0} (có thể giải ví dụ a)  2x − ≥ x − 2x + = 2x − ⇔ ( x − 1) = 2x − ⇔ x − = 2x − ⇔  x − = 2x − hay x − = − 2x  x ≥ ⇔ ⇔x=4 x = hay x = Tập nghiệm phương trình (có thể giải ví dụ b) BÀI TẬP Bài 52 Giải phương trình: S = { 4} 2− ( 3x + 1) = 35 1  −  x −  = 12 2  a) b) Bài 53 Giải phương trình: 1 18x − − 2x − + 25( 2x − 1) + 49( 2x − 1) = 24 2 a) x2 −5 4x − 20 + −3 x2 −5 = b) 1 16 − + −5 =1 3x + 2 3x + 3x + 22 12x + c) Bài 54 Giải phương trình: x + = 2x − a) b) x2 − x − = x −3 ... − 19 + − − + 11 − d) 23 + 10 + 47 + 10 e) ( 56 − (5  +5 −5    − − +  : 23   21 − 10 + 21 + 10 f) 49 − 20 + 106 + 20 83 − 20 + 62 − 20 g) h) 3 02 − 20 + 20 3 − 20 601 − 20 − 154 − 20 i)... 1  −  x −  = 12 2  a) b) Bài 53 Giải phương trình: 1 18x − − 2x − + 25 ( 2x − 1) + 49( 2x − 1) = 24 2 a) x2 −5 4x − 20 + −3 x2 −5 = b) 1 16 − + −5 =1 3x + 2 3x + 3x + 22 12x + c) Bài 54 Giải...   2 +5 +2 + +2 2 +5 (  12 15  − +   + 11 +1  2 3− j)  1  23  −  3+ 2+ 6  3+ 2 + 10 + + 14 + 6 l) − + 13 + 48 6− m) Bài 34 Rút gọn biểu thức sau: 2+ 2 + + 2+ − 2 a) 45 + 27 +