Tài liệu toán 12 năm học 2018 PHNG TRèNH MẶT PHẲNG A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Phương trình mặt phẳng a) Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ phương mặt phẳng    • Vectơ n  vectơ pháp tuyến (VTPT)  giá n vng góc với    • Hai vectơ a , b không phương cặp vectơ phương (VTCP)  giá chúng song song nằm  Chú ý:   • Nếu n VTPT  kn k  0 VTPT       • Nếu a , b cặp VTCP  n  a , b  VTPT  b) Phương trình tổng quát mặt phẳng Ax  By  Cz  D  với A2  B  C   • Nếu  có phương trình Ax  By  Cz  D  n  A; B;C  VTPT   • Phương trình mặt phẳng qua M x ; y ; z  có VTPT n  A; B;C  là: A x  x   B y  y   C z  z   c) Các trường hợp đặc biệt Các hệ số Phương trình mặt phẳng  D0 Ax  By  Cz   qua gốc tọa độ O A0 By  Cz  D    Ox   Ox B0 Ax  Cz  D    Oy   Oy C 0 Ax  By  D    Oz   Oz AB 0 Cz  D    Oxy  A C  By  D    Oxz    Oxz  B C  Ax  D    Oyz hoc Oyz Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Tớnh cht mt phng hoc   Oxy  Page | Tµi liƯu toán 12 năm học 2018 Chỳ ý: Nu phương trình  khơng chứa ẩn  song song chứa trục tương ứng • Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn x y z  : a  b  c  Ở  cắt trục toạ độ điểm a; 0; 0, b; 0; 0, c; 0; 0 với abc  Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng Trong không gian Oxyz , cho điểm A x A ; yA ; z A  mặt phẳng  : Ax  By  Cz  D  Khi khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  tính theo cơng thức d A,     Ax A  ByA  Cz A  D A2  B  C Vị trí tương đối a) Vị trí tương đối hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng  : A1x  B1y  C 1z  D1    : A2x  B2y  C 2z  D2    •        •      •      A1 A2 A1 A2 A1 A2    B1 B2 B1 B2 B1 B2   C1 C2 C1 C2   B1 B2 D1 D2 D1 D2  C1 C2 •      A1A2  B1B2  C 1C  b) Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng mặt cầu  : Ax  By  Cz  D  S  : x  a   y  b   z  c   R 2 Để xét vị trí  S  ta làm sau: •Bước Tính khoảng cách từ tâm I S  đến  •Bước + Nếu d I ,   R  không cắt S    + Nếu d I ,   R  tiếp xúc S  H Khi H gọi tiếp điểm, hình chiếu vng góc I lên    gọi tiếp diện Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | Tài liệu toán 12 năm học 2018 2  x  a   y  b   z  c)2  R   + Nếu d I ,   R  cắt S  theo đường tròn có phương trình C  :    Ax  By  Cz  D   Bán kính C  r  R  d I ,    Tâm J C  hình chiếu vng góc I  Góc hai mặt phẳng Trong khơng gian Oxyz , cho hai mặt phẳng  : A1x  B1y  C 1z  D1    : A2x  B2y  C 2z  D2    Góc    bù với góc hai VTPT n  , n  Tức   cos ,     n  n      cos n  , n      n n A1A2  B1B2  C 1C A12  B12  C 12 A22  B22  C 22 B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG Phương trình mặt phẳng Phương pháp Phương trình:Ax + By + Cz + D = phương trình mặt phẳng A2 + B2 + C2 > Chú ý: Đi kèm với họ mặt phẳng (Pm) thường có thêm câu hỏi phụ: Câu hỏi 1: Chứng minh họ mặt phẳng (Pm) qua điểm cố định Câu hỏi 2: Cho điểm M có tính chất K, biện luận theo vị trí M số mặt phẳng họ (Pm) qua M Câu hỏi 3: Chứng minh họ mặt phẳng (Pm) chứa đường thẳng cố định ví dụ minh họa Ví dụ Cho phương trình:mx + m(m - 1)y − (m2 − 1)z - = (1) a Tìm điều kiện m để phương trình (1) phương trình mặt phẳng, gọi họ (P m ) b Tìm điểm cố định mà họ (P m ) qua c Giả sử (P m ) với m ≠ 0, ±1 cắt trục toạ độ A, B, C  Tính thể tích tứ diện OABC 1 1  Tìm m để ∆ABC nhận điểm G  ; ;   làm trọng tâm  18 24  Nhận xét: Như vậy, để tìm điểm cố định mà họ mặt phẳng (P m ) qua ta thực theo bước: Bước Bước Bước Ví dụ Giả sử M(x ; y ; z ) điểm cố định họ (P m ), Ax + By + Cz + D = 0, ∀m Nhóm theo bậc m cho hệ số 0, từ nhận (x ; y ; z ) Kết luận Cho phương trình:(a + b)x + ay + bz - 3(a + b) = a Tìm điều kiện a, b để phương trình cho phương trình mặt phẳng, gọi họ (P a,b ) b Giả sử (Pa,b) với a, b ≠ cắt trục toạ độ A, B, C Tìm a, b để:   4 làm trọng tâm   ∆ABC nhận điểm G  1; 4;  ∆ABC nhận điểm H ( 2; 1; 1) lm trc tõm Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | Tài liệu toán 12 năm häc 2018 Tứ diện OABC tích nhỏ với a > 0, b > c Chứng tỏ họ (P a,b ) chứa đường thẳng cố định DẠNG Viết phương trình mặt phẳng Phương pháp Để viết phương trình mặt phẳng (P) ta lựa chọn cách sau: Cách 1: Thực theo bước:  Bước Xác định M0(x0; y0; z0) ∈ (P) vtpt n (n1; n2; n3) (P) Bước Khi đó:(P): qua M (x ;y ;z )  ⇔ (P): n1(x − x0) + n2(y − y0) + n3(z − z0) =   vtpt n(n1 ; n ; n ) Cách 2: Sử dụng phương pháp quỹ tích Chú ý: Chúng ta có kết quả: Mặt phẳng (P) qua điểm M(x0; y0; z0), ln có dạng: (P): A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) =  Mặt phẳng (P) có vtpt n (n1; n2; n3), ln có dạng: (P): n1x + n2y + n3z + D = Để xác định (P), ta cần xác định D Mặt phẳng (P) song song với (Q): Ax + By + Cz + D = 0, ln có dạng: (P): Ax + By + Cz + E = Để xác định (P), ta cần xác định E Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, mặt phẳng (P) qua ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) x y z + + = có phương trình:(P): a b c Với phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm không thẳng hàng M, N, P lựa chọn hai cách sau:     n ⊥ MN   Cách 1: Gọi n vtpt mặt phẳng (P), ta có:    ⇔ n =  MN, MP     n ⊥ MP Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) cho bởi:(P): qua M    vtpt n Cách 2: Giả sử mặt phẳng (P) có phương trình:Ax + By + Cz + D = 0, (1) với A2 + B2 + C2 > Vì M, N, P thuộc mặt phẳng (P) nên ta có hệ ba phương trình với bốn ẩn A, B, C, D Biểu diễn ba ẩn theo ẩn lại, thay vào (1) nhận phương trình mặt phẳng (P) ví dụ minh họa Ví dụ Viết phương trình mặt phẳng (P), biết: a (P) mặt phẳng trung trực đoạn AB với A(1; 1; 2) B(1; −3; 2) b (P) qua điểm C(1; 2; −3) song song với mặt phẳng (Q) có phương trình x − 2y + 3z + =   c (P) qua điểm D(1; 1; 2) có cặp vtcp a (2; -1, 1), b (2; -1; 3) d (P) qua điểm E(3; 1; 2) vng góc với hai mặt phẳng:(R ): 2x + y + 2z - 10) (R ): 3x + 2y + z + = Ví dụ Cho ba điểm A(1; 2; 3), B(3; 5; 4), C(3; 0; 5) a Lập phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm A, B C b Lập phương trình mặt cầu nhận đường tròn ngoại tiếp ∆ABC làm đường tròn lớn Ví dụ Cho hai điểm A(1; −1; 5), B(0; 0; 1) a Tìm điểm M thuộc Oy cho ∆MAB cân M b Lập phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, B song song với trục Oy c Lập phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ qua hai điểm A, B cắt (P) theo thiết diện đường trũn ln Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | Tài liệu toán 12 Vớ d Vớ d năm học 2018 Cho hai im A(2; 1; −3), B(3; 2; −1) mặt phẳng (Q) có phương trình (Q): x + 2y + 3z − = a Lập phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, B vng góc với mặt phẳng (Q) b Tìm tọa độ điểm I thuộc (Q) cho I, A, B thẳng hàng Cho điểm A(2; −2; −4) a Lập phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A chứa trục Ox b Tìm điểm B thuộc mặt phẳng (P) cho ∆OAB Ví dụ Viết phương trình mặt phẳng trường hợp sau: a Đi qua điểm G(1; 2; 3) cắt trục tọa độ điểm A, B, C cho G trọng tâm ∆ABC b Đi qua điểm H(2; 1; 1) cắt trục tọa độ điểm A, B, C cho H trực tâm ∆ABC c Đi qua điểm M(1; 1; 1) cắt chiều dương trục toạ độ ba điểm A, B, C cho tứ diện OABC tích nhỏ DẠNG Vị trí tương đối hai mặt phẳng Phương pháp Sử dụng kiến thức phần vị trí tương đối hai mặt phẳng ví dụ minh họa Ví dụ Cho hai mặt phẳng (P) (Q) có phương trình là: (P): x − 3y − 3z + = 0, (Q): (m2 + m + 1)x − 3y + (m + 3)z + = Với giá trị m thì: a b c d Ví dụ Hai mặt phẳng song song ? Hai mặt phẳng trùng ? Hai mặt phẳng cắt ? Hai mặt phẳng vng góc ? Cho hai mặt phẳng (P ) (P ) có phương trình là:(P ): Ax + By + Cz + D = 0, (P ): Ax + By + Cz + D' = với D ≠ D' a Tìm khoảng cách hai mặt phẳng (P ) (P ) b Viết phương trình mặt phẳng song song cách hai mặt phẳng (P ) (P ) Áp dụng với hai mặt phẳng:(P ): x + 2y + 2y + = 0, (P ): 2x + 4y + 4y + =  Chú ý: Trong trường hợp hai mặt phẳng (P ) (P ) song song với (giả sử có vtpt n(A; B; C) ) thường gặp thêm câu hỏi: Tính khoảng cách (P ) (P ) Viết phương trình mặt phẳng (P) song song cách (P 1), (P 2) Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P ), (P ) d((Q), (P )) = k.d((Q), (P )) Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P ) điểm M và: a Tiếp xúc với (P ) b Cắt (P ) theo thiết diện đường tròn lớn Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P ) điểm M cắt (P ) theo thiết diện đường tròn (C) có bán kính r (hoặc biết chu vi, diện tích (C)) Với yêu cầu "Tính khoảng cách d (P ) (P )" sử dụng kết quả:d = d((P ), (P )) = d(M , (P )), với M ∈ (P ) Với yêu cầu "Viết phương trình mặt phẳng song song cách (P ), (P )", lựa chọn hai cách sau: Cách 1: (Sử dụng tính chất): Thực theo bước: Bước 1.Mặt phẳng (P) song song với hai mặt phẳng cho có dạng:(P): Ax + By + Cz + D = (*) Bước 2.Lấy điểm E ∈ (P ) E ∈ (P2), suy đoạn thẳng AB cú trung im E(x0; y0; z0) Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | Tài liệu toán 12 năm học 2018 (P) cỏch u (P1) v (P2) điều kiện (P) qua điểm M, tức là: Ax0 + By0 + Cz0 + D = ⇒ Giá trị D Bước 3.Thay D vào (*), ta nhận phương trình (P) Cách 2: (Sử dụng phương pháp quĩ tích): Điểm M(x; y; z) ∈ (P) cần dựng khi:d(M, (P1)) = d(M, (P2)) ⇒ Phương trình (P) Với yêu cầu "Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P1), (P2) d((Q), (P1)) = k.d((Q), (P2))", sử dụng ý tương cách yêu cầu (2), cụ thể: Điểm M(x; y; z) ∈ (Q) cần dựng khi:d(M, (P1)) = k.d(M, (P2)) ⇒ Phương trình (Q) Với yêu cầu "Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) điểm M1 thoả mãn điều kiện K", thực theo bước: Bước Gọi M2 hình chiếu vng góc M1 (P2) Toạ độ điểm M2 xác định cách:   M1M ⊥ (P2 ) M1M = t.n ⇔   M ∈ (P2 ) M ∈ (P2 ) Bước Với điều kiện K là: a Tiếp xúc với (P2) mặt cầu cần dựng mặt cầu đường kính M1M2 b Cắt (P2) theo thiết diện đường tròn lớn mặt cầu cần dựng mặt cầu tâm M2 bán kính R = M1M2 = d Với yêu cầu "Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) điểm M1 cắt (P2) theo thiết diện đường tròn (C) có bán kính r", thực theo bước: Bước Giả sử mặt cầu (S) cần dựng có tâm I(x; y; z) bán kính R Ta lần lượt:   Bước   (S) tiếp xúc với (P1) M1 khi: M1I ⊥ (P1 ) ⇔ M1I = t.n (S) cắt (P2) theo thiết diện đường tròn (C) có bán kính r khi:r2 + M2I2 = R2 = M1I2 ⇒ Giá trị t ⇒ Toạ độ tâm I Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I bán kính R = M1I Cho điểm M1(2; 1; −3) hai mặt phẳng (P1), (P2) có phương trình: (P1): x + y + 2z + = 0, Ví dụ (P2): x + (m − 2)y + (m − 1)z − 3m = Tìm để (P1) song song với (P2) Với m tìm câu 1) hãy: a Tìm khoảng cách hai mặt phẳng (P1) (P2) b Viết phương trình mặt phẳng song song cách hai mặt phẳng (P1) (P2) c Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P1), (P2) d((Q), (P1)) = 2d((Q), (P2)) d Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) điểm M1 tiếp xúc với (P2) e Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) điểm M1 cắt (P2) theo thiết diện đường tròn lớn f Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) điểm M1 cắt (P2) theo thiết diện đường tròn (C) có bán kính r=6 Chú ý: Trong trường hợp hai mặt phẳng (P1) (P2) cắt thường gặp thêm câu hỏi: Tính góc (P1) (P2) Viết phương trình giao tuyến (d) (P1) (P2) Viết phương trình mặt phẳng phân giác góc tạo (P1) (P2) Viết phương trình mặt phẳng chứa (d) thoả mãn điều kiện K Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) điểm M1 và: a Tiếp xúc với (P2) b Cắt (P2) theo thiết diện đường tròn lớn c Cắt (P2) theo thiết diện đường tròn (C) có bán kính r (hoặc biết chu vi, diện tích (C)) Với u cầu "Tính góc (P1) (P2)", có ngay:    (P1) có vtpt n1 (A1; B1; C1) (P2) có vtpT n (A2; B2; C2)  Gọi α góc tạo hai mặt phẳng (P1) (P2) (0 ≤ α ≤ Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 ), ta cú: Page | Tài liệu toán 12 năm häc 2018   n1 n cosα =   = n1 n A1A + B1B2 + C1C2 A12 + B12 + C12 A 22 + B22 + C22 Lưu ý: Để (P1) ⊥ (P2) ⇔ cosα = ⇔ A1A2 + B1B2 + C1C2 = Với yêu cầu "Viết phương trình giao tuyến (d) (P1) (P2)", thực theo bước sau: (P1 ) Bước Giao tuyến (d) hai mặt phẳng (P1) (P2) gồm điểm M(x; y; z) thoả mãn hệ:  Bước Lựa chọn cách sau: (P2 )     (1) Qua M   vtcp u Cách 1: Lấy điểm M∈(d) gọi u vtcp (d) thì: u =  n1 , n  Từ đó, ta có:(d):    Qua M ⇔ (d): Qua N Cách 2: Lấy hai điểm M N thuộc (d), ta có:(d):  Qua M     vtcp u = MN x = f1 (t)  Cách 3: Đặt x = f1(t) (hoặc y = f2(t) z = f3(t)) (t ∈  ), ta biến đổi hệ (1) dạng:  y = f2 (t) , t ∈  z = f (t)  Đó phương trình tham số đường thẳng (d) Lưu ý: Như vậy, để thực yêu cầu cần có thêm kiến thức đường thẳng khơng gian Với yêu cầu "Viết phương trình mặt phẳng phân giác góc tạo (P1) (P2)", lập luận: Mặt phẳng phân giác (Q) góc tạo hai mặt phẳng (P1) (P2) gồm điểm M(x; y; z) thoả mãn: d(M, (P1)) = d(M, (P2)) ⇒ Hai mặt phẳng (Q1) (Q2) Với yêu cầu "Viết phương trình mặt phẳng chứa (d) thoả mãn điều kiện K", thấy thông qua yêu cầu "Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm A, B thoả mãn điều kiện K" dạng toán thấy chủ đề đường thẳng Với yêu cầu "Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) điểm M1 thoả mãn điều kiện K", thực theo bước: Bước Giả sử mặt cầu (S) cần dựng có tâm I(x; y; z) bán kính R     (S) tiếp xúc với (P1) điểm M1 suy ra: M1I ⊥ (P1 ) ⇔ M1I // n1 ⇔ M1I = t.n1 Bước Với điều kiện K là: a Tiếp xúc với (P2) thì:M1I = d(I, (P2)) ⇒ Giá trị tham số t ⇒ Toạ độ tâm I Lưu ý: Với giả thiết sử dụng phương trình mặt phẳng phân giác (Q1), (Q2) để xác định toạ độ tâm I b Cắt (P2) theo thiết diện đường tròn lớn thì:I ∈ (P2)) ⇒ Giá trị tham số t ⇒ Toạ độ tâm I c Cắt (P2) theo thiết diện đường tròn (C) có bán kính r thì: Bước R2 = d2(I, (P2)) + r2 ⇔ M1I2 = d2(I, (P2)) + r2 ⇒ Giá trị tham số t ⇒ Toạ độ tâm I Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I bán kính R = M1I Ví dụ Cho điểm M1(2; 5; 0) hai mặt phẳng (P1), (P2) có phương trình: (P1): 3x − 2y − z + = 0, (P2): x − 3y + 2z − = a Chứng tỏ (P1) cắt (P2) theo giao tuyến (d) Tính góc (P1), (P2) tìm vtcp đường thẳng (d) b Viết phương trình mặt phẳng phân giác góc tạo (P1) (P2) c Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) điểm M1 tiếp xúc với (P2) d Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) điểm M1 cắt (P2) theo thiết diện đường tròn lớn e Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) điểm M1 cắt (P2) theo thiết diện đường tròn (C) có bán kính r = 21/ Chú ý: Với ba mặt phẳng (P), (Q) (R) có chứa tham số thường gặp thêm câu hỏi "Xác định giá trị tham số để ba mặt phẳng (P), (Q) (R) đơi vng góc với Tìm điểm chung ba mặt phẳng" Khi đó, chỳng ta thc hin theo cỏc bc: Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | Tài liệu toán 12 Bước Bước Để ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đơi vng góc với nhau, điều kiện là:     n P n Q = n P ⊥ n Q       n P ⊥ n R ⇔ n P n R =       n R n Q = n R ⊥ n Q Bc Vớ d năm học 2018    Tìm vtpt n P , n Q , n R mặt phẳng (P), (Q), (R) Toạ độ điểm chung I ba mặt phẳng (P), (Q), (R) nghiệm hệ phương trình tạo (P), (Q), (R) Cho ba mặt phẳng (P), (Q) (R) có phương trình: (P): x + y + z – = 0; (Q): x – 2y + z = 0; (R): kx + (m – 1)y – z + = a Xác định giá trị m k để ba mặt phẳng qua đường thẳng b Xác định giá trị m k để ba mặt phẳng đơi vng góc với Tìm điểm chung ba mặt phẳng DẠNG Vị trí tương đối mặt cầu với mặt phẳng Phương pháp Ta thực theo bước: Bước Xác định tâm I tính bán kính R mặt cầu (S) Xác định d = d(I, (P) Bước So sánh d với R để đưa kết luận:  Nếu d > R ⇔ (P) ∩ (S) = ∅ (Hình trang bên)  Nếu d = R ⇔ (P) tiếp xúc với (S) H (Hình trang bên)  Nếu d < R ⇔ (P) ∩ (S) = (C) đường tròn nằm mặt phẳng (P) (Hình trang bên) Và trường hợp (S): x2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0, (P): Ax + By + Cz + D = 0, phương trình đường tròn (C) có phương trình: (C): I H P Hình I P Hình H R P I H Hình Chú ý: Trong phần quan tâm nhiều tới dạng tốn: D¹ng 1: D¹ng 2: D¹ng 3: D¹ng 4: Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu thỏa mãn điều kiện K cho trước Viết phương trình mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến đường tròn (C) thỏa mãn điều kiện K cho trước Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng thỏa mãn điều kiện K cho trước Viết phương trình mặt cầu cắt mặt phẳng theo giao tuyến đường tròn (C) thỏa mãn điều kiện K cho trước  Trong trường hợp mặt phẳng không cắt mặt cầu, cụ thể với mặt phẳng (P) (có vtpt n(A; B; C) ) khơng cắt mặt cầu (S) (có tâm I bán kính R) thường gặp thêm câu hỏi: Viết phương trình mặt phng song song vi (P) v: Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | Tài liệu toán 12 năm học 2018 a Tip xỳc vi (S) b Ct (S) theo thiết diện đường tròn lớn c Cắt (S) theo thiết diện đường tròn (C) có bán kính r (hoặc biết chu vi, diện tích (C)) Viết phương trình đường thẳng vng góc với (P) cắt (S) hai điểm A, B cho AB có độ dài lớn Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P) Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P) (S) Ta lần lượt: Với yêu cầu "Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) thoả mãn điều kiện K", thực theo bước: Bước Mặt phẳng (Q) song song với (P) nên có phương trình:(Q): Ax + By + Cz + D = Bước Với điều kiện K là: a (Q) tiếp xúc với (S), suy ra:d(I, (Q)) = R ⇒ Giá trị D ⇒ Phương trình (Q) b (Q) cắt (S) theo thiết diện đường tròn lớn, suy ra: I ∈ (Q)) ⇒ Giá trị D ⇒ Phương trình (Q) c (Q) cắt (S) theo thiết diện đường tròn (C) có bán kính r, suy ra: d(I, (Q)) = R − r ⇒ Giá trị D ⇒ Phương trình (Q) Với u cầu "Viết phương trình đường thẳng vng góc với (P) cắt (S) hai điểm B cho AB có độ dài lớn nhất",  thấy đường thẳng qua I có vtcp n Với u cầu "Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P)", thực theo bước: Bước Tìm toạ độ điểm I’ đối xứng với I qua (P) Bước Mặt cầu (S') có tâm I' bán kính R Với yêu cầu "Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P) (S)", em học sinh cần có thêm kiến thức đường thẳng để trình bày theo bước: Bước Gọi (T) mặt cầu thoả mãn điều kiện đầu giả sử (T) tiếp xúc với (S), (P) theo thứ tự M H (H hình chiếu vng góc I (P)), suy M, H, I thuộc (d) có phương trình cho bởi: Qua I  (d) :   vtcp n Bước Bước Bước Tiếp điểm H (T) với mặt phẳng (P) giao điểm (d) với (P) Tiếp điểm M (T) với mặt cầu (S) giao điểm (d) với (S) Viết phương trình mặt cầu đường kính MH ví dụ minh họa Ví dụ Cho mặt phẳng (P) mặt cầu (S) có phương trình: (P): 2x − 3y + 2z − = 0, (S) : ( x − ) + ( y + ) + ( z − ) = 68 a b c d 2 Xác định vị trí tương đối mặt phẳng (P) mặt cầu (S) Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) cắt (S) theo thiết diện đường tròn lớn Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) cắt (S) theo thiết diện đường tròn (C) có bán kính r = 51 e Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P) f Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P) (S)  Chú ý: Trong trường mặt phẳng (P) (có vtpt n(A; B; C) ) tiếp xúc với mặt cầu (S) (có tâm I bán kính R) điểm M thường gặp thêm câu hỏi: Tìm tọa độ tiếp điểm M (P) (S) Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | Tài liệu toán 12 năm học 2018 Vit phng trình mặt phẳng song song với (P) và: a Tiếp xúc với (S) b Cắt (S) theo thiết diện đường tròn lớn c Cắt (S) theo thiết diện đường tròn (C) có bán kính r (hoặc biết chu vi, diện tích (C)) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt mặt cầu (S) điểm N cho MN có độ dài lớn Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P) Với yêu cầu "Tìm tọa độ tiếp điểm M (P) (S)", thấy M hình chiếu vng góc I (P) Với yêu cầu "Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) thoả mãn điều kiện K", thực tương tự trường hợp (P) không cắt (S) Tuy nhiên, với yêu cầu (2.a) thực sau: Bước Giả sử mặt phẳng (Q) cần dựng tiếp xúc với (S) điểm N, suy N điểm đối xứng với M qua I Bước Qua N   vtpt n Phương trình mặt phẳng (Q) cho bởi: (Q) :  Với yêu cầu "Viết phương trình đường thẳng (d) qua M cắt mặt cầu (S) điểm N cho MN có độ dài lớn nhất", thấy đường thẳng (d) qua hai điểm M I Với yêu cầu "Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P)", thực theo bước: Bước Tìm toạ độ điểm I’ đối xứng với I qua (P), suy I' đối xứng với I qua M Bước Mặt cầu (S') có tâm I' bán kính R Ví dụ Cho mặt phẳng (P) mặt cầu (S) có phương trình:(P): 2x − y + 2z − = 0, (S) : ( x − 3) + y + ( z − ) = 2 a Chứng tỏ mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) Tìm toạ độ tiếp điểm M (P) (S) b Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) c Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) cắt (S) theo thiết diện đường tròn lớn d Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) chia (S) thành hai phần có tỉ số thể tích e Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P) 20  Chú ý: Trong trường mặt phẳng (P) (có vtpt n(A; B; C) ) cắt mặt cầu (S) (có tâm I bán kính R) theo thiết diện đường tròn (C) thường gặp thêm câu hỏi: Xác định toạ độ tâm tính bán kính (C) Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và: a Tiếp xúc với (S) b Cắt (S) theo thiết diện đường tròn lớn c Cắt (S) theo thiết diện đường tròn (C’) có bán kính r (hoặc biết chu vi, diện tích (C’)) Viết phương trình đường thẳng vng góc với (P) cắt (S) hai điểm A, B cho AB có độ dài lớn Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P) Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P) (S) Với yêu cầu "Xác định toạ độ tâm tính bán kính (C)", thực theo bước: Bước rC Bán kính rC (C) xác định bởi= R − d(I, (P)) Bước Toạ độ tâm (C) hình chiếu vng góc M I (P) Với yêu cầu "Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) thoả mãn điều kiện K", thực tương tự trường hợp (P) không cắt (S) Tuy nhiên, với yêu cầu "Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) cắt (S) theo thiết diện đường tròn có bán kính (C)" thực sau: Bước Giả sử mặt phẳng (Q) cần dựng cắt (S) theo thiết diện đường tròn có tâm N, suy N điểm đối xứng với M qua I Bước Qua N   vtpt n Phương trình mặt phẳng (Q) cho bởi: (Q) :  Các yêu cầu lại thực tương tự trường hợp (P) không cắt (S) Ví dụ Cho mặt phẳng (P) mặt cầu (S) có phương trình:(P): x + 2y + 3z − 10 = 0, (S) : ( x − ) + y + ( z + ) = 56 Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 10 Tài liệu toán 12 năm häc 2018 − a − 3(a + 5) + 2a + a =0 ⇔ a =−11 Vì (P) vuông góc với nên (R) 3(4 − a) − (a + 5).c + a.a(c − a) = 0, hay 1376 127 1376   Vậy giá trò cần tìm a,c laø (a;c) =−  11; − 127     Bài 12 Ta kí hiệu n(α ) để VTPT mặt phẳng (α )     Ta coù AB(−1; − 5; 3), n( P ) (2; − 1; − 1) neân  AB, n( P )  = (8; 5;11)   45 + 6c + 121(c + 11) =0 ⇔ c =− Mặt phẳng (α ) qua A, B vuông góc với mặt phẳng ( P) nên         n(α ) ⊥ AB, n(α ) ⊥ n( P ) ⇒= n(α )  AB, n = ( P )  (8; 5;11)  Phương trình mặt phẳng (α ) cần tìm: x + y + 11z − = Goïi M ( x; y; z) điểm thuộc mặt phẳng (α ) Ta có d( M , (β )) = d( M , (γ )) ⇔ x + y − 2z + 2x + y + z + = 12 + 22 + (−2)2 22 + 22 + 12  x + y − 2z + = 2x + y + z + ⇔ x + y − 2z + = 2x + y + z + ⇔   x + y − z + =−2 x − y − z −  x + 3z + = ⇔ 3x + y − z + = Vậy có hai mặt phẳng (α ) cần tìm (α ) : x + 3z + = hoaëc (α ) : 3x + y − z + = Maët phẳng (α ) qua điểm C(−1; 0; 2) nên có phương trình dạng a( x + 1) + by + c( z − 2) = 0, a2 + b2 + c2 > Vì (α ) qua D(1; − 2; 3) neân 2a − 2b + c = ⇒ c = 2b − 2a (1) Ta coù d(O, (α )) = neân a − 2c 2 a +b +c = (2) Thế (1) vào (2) bình phương, rút gọn ta thu  a = 2b 5a − 8ab − 4b = 0⇔ a = − b  2 Do a2 + b2 + c2 > neân 1⇒ a = 2, c = −2, phương trình (α ) : x + y − z + = • Với a = 2b chọn b = b chọn b =−5 ⇒ a =2, c =−14, phương trình mặt phẳng (α ) laø x − y − 14 z + 30 = • Với a = − Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn x + y − z += 0, x − y − 14 z + 30 = Mặt phẳng (α ) qua E(0; 1; 1) có phương trình dạng: Ax + B( y − 1) + C( z − = 1) 0, A2 + B2 + C > Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 36 Tài liệu toán 12 năm học 2018 = d( A, (α )) 2; d( B, (α )) Theo ra= 11 nên  A + B − 2C  =2   A2 + B2 + C C A2 + B2 + C (1)  A + B − 2= ⇔  −4 B + C  11 A + B − 2C = 14 −4 B + C (2) 11 =  2  A + B + C  −67 B + 36C = A  11( A + B − 2C) = 14(−4 B + C) 11 Từ (2) ta có  ⇔ C) 14(4 B − C) 45 B + 8C  11( A + B − 2=  A = 11 −67 B + 36C • Với A = , thay vào (1) ta có phương trình 11 2    −56 B + 14C   −67 B + 36C  2  + B + C ⇔ 3826 B2 − 4432= BC + 1368C (3)   =     11 11      Phương trình (3) có nghiệm B= C= 0, A = (không thỏa mãn điều kieän A + B2 + C > ) 45 B + 8C • Với A = , thay vào (1) ta có phương trình 11 2    56 B − 14C   45 B + 8C  2  + B + C ⇔ 1362 B2 + 1112 BC = + 136C   =     11 11      34 ⇔B= − C, B = − C 227 • Với B = − C chọn C =−3 ⇒ B =2, A =6 phương trình (α ) : x + y − 3z + = 34 227 ⇒ B = −34, A = 26 phương trình (α ) • Với B = − C chọn C = 227 26 x − 34 y + 227 z − 193 = + 0, 26 x − 34 y + 227 z − = 193 Vậy có hai mặt phẳng cần tìm laø: x + y − 3z= ( α ) qua A(1;2;3) nên có phương trình dạng A(x − 1) + B(y − 2) + C(z − 3)= 0, A + B2 + C2 > ( α ) qua B(5; − 2;3) neân B = A  α ), (β )) = 450 neân 5A −= Vì (( C 2A + C2 , suy 7A − 10AC − 8C2 =⇒ A= 2C, A = − C Từ tìm hai mặt phẳng thỏa mãn ( α ) : 2x + 2y + z − 9= 0, ( α ) : 4x + 4y − 7z + 9= ( α ) qua C(1; − 1; 1) neân có phương trình dạng A(x − 1) + B(y + 1) + C(z − 1)= 0, A + B2 + C2 >  α ), ( γ )) = 600 nên A −= Vì (( B 2(A + B2 + C2 ) Vì d(O,( α )) = neân − A + B −= C Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 2(A + B2 + C2 ) Page | 37 Tµi liƯu toán 12 năm học 2018 Suy A B = − A + B − C Do có hai trường hợp 5(B − A) B−A 2(A − B)2 = A + B2 + 25  Với C =  nên   8A − 7AB + 8B2 =0 ⇒ A =B =0 (loại) B−A B−A Với C = 2(A − B)2 = A + B2 +   neân   4A − 17AB + 4B2 =0 ⇒ A =4B, A = B Từ ta có hai mặt phẳng thỏa maõn 4x + y − z −= 0; x + 4y + z += Bài 13 )) d(M,( α2 )) suy phương trình mặt phẳng cần tìm Gọi M ∈ ( α ), M(x, y,z) Từ d(M,( α1 = ( α ) : 5x + 2y + 7z + 34 = ( α ) song song với ( α3 ) : 6x − 3y − 2z + = neân = (D ≠ 1) ( α ) : 6x − 3y − 2z + D d(A,( α )) = 1⇔ 2+D = ⇒ D =5; D =−9 Coù hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán ( α ) : 6x − 3y − 2z + 5= 0, ( α ) : 6x − 3y − 2z − 9= ( α ) qua B( −5;0; − 3) nên có phương trình dạng A(x + 5) + By + C(z + 3)= 0, A + B2 + C2 > 7A + 3C ( α ) qua C(2; − 5;0) neân B = Ta coù d(M,( α ))= d(N,( α )) ⇔ 6A − 2B − 3C= 4A − 4B + 5C Giaûi ta có hai mặt phẳng thỏa mãn ( α ) : x + 2y + z + 8= 0, ( α ) : 17x + 31y + 12z + 121= ( α ) qua D(1; − 3; 1) nên có phương trình dạng A(x − 1) + B(y + 3) + C(z − 1)= 0, A + B2 + C2 > ( α ) vuoâng góc với mặt phẳng 3x − 2y + 2z + = neân 2C = 2B − 3A 4A + 5B + 2C Ta coù d(E,( α )) = ⇔ = A + B + C2   2B − 3A   2 Suy (A + 7B) =  A + B +    , tức     62 113A − 164AB − 124B2 =⇒ A= 2B; A = B − 113 Có hai mặt phẳng thỏa mãn ( α ) : 2x + y − 2z + 3= 0, ( α ) : 62x − 113y − 206z − 195= ( α ) qua F(4;2;1) nên có phương trình dạng A(x − 4) + B(y − 2) + C(z − 1)= 0, A + B2 + C2 > Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 38 Tài liệu toán 12 Vỡ d(I,( = )) năm học 2018 , d(J,( = ))        nên ta có hệ −3A − 3B + C 2 A +B +C − A + 2B A + B2 + C2 = 3 −3A − 3B + C = − A + 2B ⇔ 2  − A + 2B= A + B + C =1 Có hai trường hợp Với C = 1 16A − 5B 256A − 124AB − 2B2 =⇒ A =B; A = − B 64 Suy mặt phẳng thỏa mãn ( α ) : x + 2y + 2z − 10 = 0, ( α ) : x − 64y + 112z + 12 = Với C = 2A + 23B 2A + 64AB + 251B2 =0 ⇒ A = −32 − 58 −32 + 58 B; A = B 2 Suy mặt phẳng thỏa mãn ( α ) : ( −32 − 58 )x + 2y − (6 + 58 )z + 130 + 14 58 = ( α ) : ( −32 + 58 )x + 2y − (6 − 58 )z + 130 − 14 58 = Vậy có bốn mặt phẳng thỏa mãn ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM Câu 115 Chọn D Câu 116 Chọn D Câu 117 Ta cần ý ● Khi D    qua gốc tọa độ BC  ● Nếu    chứa trục O x Chọn B  A  D  Câu 118 Ta có P  song song với Q  nên có dạng:  P  : x  y  z  D  với D  Lại có P  qua E 1;2; 3 nên thay tọa độ điểm E vào phương trình  P  , ta D  15 Vậy P  : x  y  5z  15  Chọn C  Câu 119 Mặt phẳng  P  qua A 0;1;1 nhận AB  1;1;2 làm VTPT nên có phương trình  P  : x  y  z   Chọn A  Câu 120 Mặt phẳng  P  qua G 1;1;1 nhận OG  1;1;1 làm VTPT nên có phương trình  P  : x  y  z   Chọn A  Câu 121 Mặt phẳng cần tìm qua A 2;1; 1 nhận BC  1; 2; 5 làm VTPT nên có phương trình x  y  z   Chọn C 9 1 Câu 122 Tọa độ trung điểm AB M  ;5;  2 Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 39 Tài liệu toán 12 năm học 2018 Mặt phẳng cần tìm qua 9 1 M  ;5;  nhận  2   AB  1;8;5 làm VTPT nên có phương trình x  y  z  47  Chọn D Câu 123 Do   đối xứng với   qua I nên      Suy   : x  y  z  D  với D  Chọn M 0;1;0    , suy tọa độ điểm N đối xứng với M qua I N 2; 3;2 Rõ ràng N 2; 3;4     nên thay tọa độ vào phương trình   , ta D  11 Vậy phương trình mặt phẳng   : x  y  z  11  Chọn B     Câu 124 Ta có AB  1;0; 3 AC  1;1;0 Suy  AB, AC   3;3;1     Mặt phẳng cần tìm qua A 3; 1;2 nhận  AB, AC   3;3;1 làm VTPT nên có phương trình   x  y  z   Chọn B Câu 125 Mặt phẳng   chứa trục O z nên phương trình có dạng Ax  By  với A  B  Lại có   qua P 2; 3;5 nên A  3B  Chọn B   A  Vậy phương trình mặt phẳng   : 3x  y  Chọn C     Câu 126 Ta có MN  1;1; 4  , trục Oy có VTCP j  0;1;0 Suy  MN , j   4;0; 1     Mặt phẳng   qua M 1; 1;5 nhận  MN , j   4;0; 1 làm VTPT nên có phương trình     : x  z   Chọn A   Câu 127 Ta có  a, b   10;4;6  1.10; 4; 6     M 0;0; 1 nhận  a, b   10;4;6 làm VTPT nên có phương trình     : 10 x  y  z   Chọn A Mặt phẳng   qua   Câu 128 Mặt phẳng  P  có VTPT nP  2;0; 1 Q  có VTPT nQ  0;1;0   Ta có  nP , nQ   1;0;2     Mặt phẳng   qua A 2; 1;1 nhận  nP , nQ   1;0;2 làm VTPT nên có phương trình   : x  z     Chọn B   Câu 129 Ta có PQ  1; 1;4  , mặt phẳng P  có VTPT nP  3;2; 1   Suy  PQ , nP   7;11;1   Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 40 Tài liệu toán 12 năm học 2018 Mt phẳng   qua P 2;0; 1 nhận  PQ , nP   7;11;1 làm VTPT nên có phương trình     : 7 x  11 y  z  15  Chọn C Câu 130 Phương trình mặt phẳng   theo đoạn chắn : x y z   1 a b c Mà M 8;0;0, N 0; 2;0, P 0;0;4  thuộc   nên x y z   :     x  y  2z   Chọn D Câu 131 Từ giả thiết, ta có M 4;0;0, N 0; 3;0, P 0;0;2 Phương trình mặt phẳng MNP  theo đoạn chắn là: x y z     3x  y  6z 12  Chọn B  Câu 132 Ta có  P   Oz  M 0;0;2 Mặt phẳng Oxy  có VTPT k  0;0;1  Mặt phẳng cần tìm  P  qua M 0;0;2 nhận k  0;0;1 làm VTPT nên có phương trình  P  : z   Chọn A Câu 133 Do A     Ox  A a;0;0 Tương tự B 0; b;0 C 0;0; c  a b c  Suy tọa độ trọng tâm tam giác ABC G  ; ;   3  Kết hợp với giả thiết, ta a  3; b  6; c  Vậy phương trình mặt phẳng   : x y z    hay   : x  y  z 18  Chọn C Câu 134 Vì A  Ox , B  Oy, C  Oz nên   có dạng Vì H 2;1;1     x y z   1 a b c 1     2bc  ab  ac  abc a b c    AH BC  c  b     Và H trực tâm tam giác ABC     BH AC  c  2a   Từ đó, ta a  3, b  c  Do phương trình mặt phẳng   : x y z    hay   : x  y  z   Chọn A 6    AB  0;3; 6   Câu 135 Ta có   , suy     AC 2;0; Giảng dạy: nguyễn bảo vương    AB, AC   18;12;6 VTPT mp  ABC    - 0946798489 Page | 41 Tài liệu toán 12 năm học 2018 Do SBH    ABC  nên mặt phẳng SBH  có VTPT           AB, AC  , SB   6; 30;42 Vậy mặt phẳng SBH  qua điểm B 0;3;0 có VTPT           AB, AC  , SB   6; 30;42 nên có phương trình x  y  z 15  Chọn A 3.1  4.2  2.3  Câu 136 Ta có d  A,  P   2 4 2  29 Chọn C Câu 137 Vì H hình chiếu vng góc A   Do AH  d  A,   Mà d  A,    16.2 12.1 15.1  2 16  12  15  11 Chọn B     Câu 138 Ta có AB  2;2; 1 BC  0; 1;1 nên  AB ; BC   1;2;2   Suy phương trình mặt phẳng  ABC  : x  y  z   9 Khi d O ,  ABC    22  22  Chọn B Câu 139 Ta có S  : x  y  z   x  y  z   22  2 hay S  :  x 1   y 1   z 1  25 Suy mặt cầu S  có tâm I 1;1;1 Khoảng cách cần tìm là: d  I ,  P   3.1  2.1  6.1  14 32  2  Câu 140 Bán kính S  là: R  d  I ,     Chọn C 2.2  2.1  11  2  2  1  Chọn C  BC  3,0,1  Câu 141 Ta có   BD  4, 1,2    Suy mặt phẳng  BCD  có VTPT  BC , BD   1,2,3   Do mặt phẳng  BCD  có phương trình x  y  z   Suy bán kính mặt cầu cần tìm: R  d  A,  BCD   3  7 14  14 Chọn C Câu 142 Mặt cầu S  có tâm I 4; 5; 2 , bỏn kớnh R Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 42 Tài liệu toán 12 năm học 2018 Ta cú d I , P   3.4  5  3.2  32  12  3  19 Bán kính đường tròn giao tuyến là: r  R  d  I ,  P   52 19  Chọn C Câu 143 Mặt cầu S  có tâm I 3; 2;0 bán kính R  Mặt phẳng cần tìm cắt S  theo đường tròn có bán kính r   d  I ,  P   R  r  Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng cho có kết D thỏa mãn Chọn D Câu 144 Ta có d  I ,  P   1   1  3 Suy bán kính mặt cầu R  r  d  I ,  P   12  32  10 2 Vậy S  :  x  2   y 1   z 1  10 Chọn D Câu 145 Mặt cầu S  có tâm I 0;1;1 bán kính R  Ta có d  I ,  P   2.0  2.1  2.1  15 2   2 2  3 Vậy khoảng cách ngắn nhất: hmin  d  I ,  P   R  Chọn A Câu 146 Chọn O 0;0;0   P  Do  P   Q  nên d  P , Q   d O , Q   2 2 1 1  Khoảng cách hai mặt phẳng  P  Q  d  P ;Q   2  1  2  Chọn D Câu 147 Đường thẳng  qua M 1;7;3 Vì   mặt phẳng chứa  song song với mặt phẳng   nên d  ,    d  M ,    3.1  2.7   2  2  1  14 Chọn B   Câu 148 Mặt phẳng  P  có VTPT nP  2; 3;4  , mặt phẳng Q  có VTPT nQ  4; 13; 6 Ta có 3  Do  P  cắt Q  13 Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 43 Tài liệu toán 12 năm học 2018   Lại có nP nQ  2.4  3.13  4.6  23  Chọn C Câu 149 Ta có 2 14    Do  P  song song với Q  Chọn A 1 2 2 16 Câu 150 Ta xét hai mặt phẳng  R  S  , ta có 1 3      R   S  2 Xét cặp lại ta thấy chúng khơng song song với Chọn B    Câu 151 Ta có VTPT  ,  ,   n   1;1;2, n    1;1; 1, n    1; 1;0   1 Xét cặp n  n   , ta có   Suy   không song song với   Chọn C 1 1 Câu 152 Ta có A  Q  1  2.2  3.1    1 Mặt phẳng  P  có VTPT n P   2;4; 6 , mặt phẳng Q  có VTPT n Q   1;2; 3  n P  Vậy mặt phẳng Q  qua A song song với  P  Chọn A  Câu 153 Mặt phẳng  P  có VTPT nP  1; 3;2  Mặt phẳng Q  có VTPT nQ  2m 1; 2m  m;2m       Để  P   Q   nP  nQ  nP nQ   2m 1.1  2m  m .3  2m  .2  m    6m  3m     Chọn A m      Câu 154 Mặt phẳng   có VTPT n  1; 1; n  , mặt phẳng   có VTPT n  2; m;2   k.2      m  2  Để      n  k.n k  0  1  k.m   Chọn A   n 1      n  k.2  Câu 155 Ta có AB  5;0; 4  Suy    AB, v   4; 23; 5     Do mặt phẳng  P  xác định qua A 3;2;2 có VTPT  AB, v   4; 23; 5 nên có phương   trình  P  : x  23 y  z  44  Để  P   Q  Câu 156 Để   trùng   Để   song song   m 1 n    , suy 23 44 m  23 Chọn A  n  45 m 6  m     m  m  2 5m  10 m 6  m    : khơng có giá trị m m  2 5m  10 Vậy để   cắt  thỡ m Chn C Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 44 Tài liệu toán 12 năm học 2018 Cõu 157 Trc Oz có VTCP k  0;0;1 Mặt phẳng   có VTPT n  4; 3;7    Rõ ràng n không phương với k n.k   Suy trục Oz cắt mặt phẳng   M 0;0;1 Chọn A   Câu 158 Trục Ox có VTCP i  1;0;0 Mặt phẳng   có VTP n  0;2;1  Ta có i.n  điểm O 0;0;0    Suy mặt phẳng   chứa trục Ox Chọn D P  Ox  A 2;0;0     Câu 159 Xét mặt phẳng  P  , ta có P  Oy  B 0; 3;0 Chọn A    P  Oz  C 0;0;1  Cách khác Ta thấy Q  vắng y z nên song song với Oyz  ,  R  vắng y nên song song với trục Oy , S  vắng x nên song song với trục Ox  Câu 160 Mặt phẳng   có VTPT n  0;0;1 phương với VTCP trục Oz Suy    Oz  Do B sai Chọn B Câu 161 Mặt cầu S  có tâm I 0;4;1 , bán kính R  Khoảng cách từ tâm I đến  P  là: d  I ,  P   8  3 1  3 R Vậy  P  cắt S  Chọn D Câu 162 Mặt cầu S  có tâm I 1;2;3 , bán kính R  Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng  P  d  I ,  P      24 1   27 9 R Do  P  không cắt S  Chọn B Câu 163 Mặt cầu S  có tâm I 3;2;1 , bán kính R  14 Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng  P  là: d  I ,  P     1 1   14  R Do  P  tiếp xúc với S  Chọn C Câu 164 Mặt cầu S  có tâm I 1;2;1 bán kính R  Nhận thấy d  I ,  P4   1    12  12  12 0 Suy  P4  qua tõm mt cu S Chn D Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 45 Tài liệu toán 12 năm học 2018 Cõu 165 Mt cu S  có tâm I 1; 3;2 bán kính R  Mặt phẳng   tiếp xúc với mặt cầu S   d  I ,    R Nhận thấy mặt phẳng x  y  z  55  thỏa mãn Chọn C Câu 166 Mặt cầu S  có tâm I 1;2;1 bán kính R  Do  P     nên suy  P  : x  y  z  D  với D  4 Lại có  P  tiếp xúc với S   d  I ,  P   R  1.2  2.1  2.1  D D    D      D  4 loaïi  Vậy  P  : x  y  z   Chọn B  Câu 167 Mặt cầu S  có tâm I 1;2; 1 Suy IA  2;2;1  Mặt phẳng tiếp diện với S  A qua A 3;4;0 nhận IA  2;2;1 làm VTPT nên có phương trình x  y  z 14  Chọn C Câu 168 Mặt cầu S  có tâm I 1; 3; 1 bán kính R  Để   tiếp xúc S   d  I ,    R   2m  3.1  m  3  3m 1  2m   m    m    2m  7  10m  8m  25  m  2m    m  2 10m  8m  25 Chọn A   Câu 169 VTPT mặt phẳng  P  Q  là: nP  2; 1; 1, nQ  1;0; 1   nP nQ    1  Ta có cos  P , Q   cos nP , nQ       1  nP nQ   Suy hai mặt phẳng  P  Q  hợp với góc 30 Chọn A   Câu 170 VTPT mặt phẳng  P  Q  là: n1  2; 1; 2, n2  1; 1;0 Gọi  góc hai mặt phẳng  P  Q    Ta có cos   cos n1 , n2    2.1  11 2 2 2 1  1  3     450 Chọn B    Câu 171 Vectơ pháp tuyến mặt phẳng  A BC  n1   AB ; AC   2 2; 2 2; Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 46 Tài liệu toán 12 năm học 2018 Vect phỏp tuyn ca mặt phẳng  ACD  n2   AC ; AD   2;0;0     Gọi  góc hai mặt phẳng  ABC   ACD    Ta có cos   cos n1 , n2    2 .4 2   2   4  2 2 2     60 Chọn C    Câu 172 Mặt phẳng MNP  có VTPT n   MN ; MP   1;1;1    Mặt phẳng O xy  có VTPT k  0;0;1 Gọi  góc hai mặt phẳng MNP  O xy    1.0  1.0  1.1 Ta có cos   cos n, k  Chọn C  2 1 1    Câu 173 Từ giả thiết, suy O H  2; 1; 2 VTPT mặt phẳng Q   Mặt phẳng  P  có VTPT nP  1; 1;0 Gọi  góc hai mặt phẳng  P  Q    Ta có cos   cos nP , OH    2.1  11 2 2 2 1  1  3     450 Chọn B   Câu 174 Ta có AB  1;2;0 , AC  1;0; m     Suy mặt phẳng  A BC  có VTPT n   AB, AC   2m; m;2    Mặt phẳng O xy  có VTPT k  0;0;1 Gọi  góc hai mặt phẳng  ABC  O xy    2m.0  m.0  2.1 12  m Ta có cos   cos 60  cos n, k  cos 60  2 2 2 m   m    Chọn C Câu 175 Vì M  Oy nên M 0; y0 ;0  M 0;7;0  y0  y0  Theo giả thiết: d  M ,       y0        y  5 1   M 0; 5;0  Chọn B Câu 176 Gọi M 0; y;0  Oy Ta có: d  M , P  d M , Q Giảng dạy: nguyễn bảo vương y y - 0946798489  y   y   y   M 0;2;0 Page | 47 Tài liệu toán 12 năm học 2018 Chn A Câu 177 Giả sử M 0;0; z   Oz điểm cần tìm 2.0  3.0  z 17 2 Theo giả thiết: AM  d  M ,    0  2  0  3   z    2  32  12 2  13   z     z 17 14  z – z    z   M 0;0;3 Chọn C Câu 178 Gọi E 1; y;0 với y   Theo giả thiết: d  E ,    d  E ,    2y 2  1  4 y 2 2  1  1  2 y   y y     E 1; 4;0 Chọn B  y  4  y    y  4 Câu 179 Ta có M  d nên M 2  3t ;2  t ; t  Do I trung điểm MN , suy N 3t ;2  t ; t  2 Mặt khác, N  S  nên 3t 1  2  t  2  t  3  36  N 3; 2;1 t  Chọn B  26t  26       t  1   N 3;6; 1 Câu 180 Đặt f  x  y  z  Ta có f  A       f  B       12  Suy A , B khác phía mặt phẳng  P  Khi điểm M thỏa mãn tốn giao điểm đường thẳng AB mặt phẳng  P   x 2    Phương trình đường thẳng AB :  y   3t      z   3t  x    y   3t  M 2;1;1 Chọn A Suy tọa độ điểm M thỏa mãn   z   3t   x  y  z   Câu 181 Đặt f  x  y  z  Ta có f  A       f  B    1    Suy A , B phía mt phng P Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 48 Tài liệu toán 12 năm học 2018 Ta cú MA MB  AB Từ 1 2 suy điểm M thỏa mãn giao đường thẳng AB với mặt phẳng  P  Phương trình đường thẳng  AB  : x 1 y  z    1 1  x 1 y  z    Suy độ điểm M thỏa mãn  1 1  M 1; 3;4  Chọn A  2 x  y  z      Câu 182 Gọi I a; b; c  điểm thỏa mãn IA  IB  , suy I 4; 1; 3           Ta có MA  MB  MI  IA  MI  IB  MI Suy 2MA  MB  MI  MI   Do 2MA  MB nhỏ MI nhỏ hay M hình chiếu I mặt phẳng  P  Đường thẳng qua I vng góc với  P  có d : x  y 1 z    1 1 Tọa độ hình chiếu M I  P  thỏa mãn  x  y  z     1  M 1; 4;0 Chọn D   x  y  z        Câu 183 Gọi I a; b; c  điểm thỏa mãn IA  IB  IC  , suy I 1;2;2          Ta có MA  MB  MC  MA  MB  MC  MI  IA  MI  IB  MI  IC            MI  MI IA  IB  IC  IA  IB  IC  MI  IA  IB  IC   Do I cố định nên MA  MB  MC nhỏ MI nhỏ hay M hình chiếu vng góc I  P  Đường thẳng qua I vng góc với  P  có d : x 1 y  z    3 2 Tọa độ hình chiếu M I  P  thỏa mãn  x 1 y  z     3 2  M 4; 1;0 Chọn B   3 x  y  z 15     Câu 184 Gọi I a; b; c  điểm thỏa mãn IA  IB  , suy I 13; 11;19       Ta có MA  MB  MA  MB  MI  IA  MI  IB         MI  MI IA  IB  IA  IB  MI  IA IB Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 49 Tài liệu toán 12 năm học 2018 Do I c nh nên MA  MB lớn MI lớn hay MI nhỏ nên M hình chiếu I ( P ) Vì M hình chiếu vng góc I  P  nên    M 13  t ; 11  t ;19  t   t  7 Suy M 6; 18;12 Chọn C     M   P   13  t   11  t   19 t Giảng dạy: nguyễn bảo v­¬ng - 0946798489 Page | 50 ... B22  C 22 B CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG Phương trình mặt phẳng Phương pháp Phương trình: Ax + By + Cz + D = phương trình mặt phẳng A2 + B2 + C2 > Chú ý: Đi kèm với họ mặt phẳng (Pm) thường... vtpt (P2 ) Dạng toán 2: Viết phương trình mặt phẳng Phương pháp Để viết phương trình mặt phẳng (P) ta lựa chọn cỏc cỏch sau: Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | Tài liệu toán 12 năm... c d 2 Xác định vị trí tương đối mặt phẳng (P) mặt cầu (S) Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) cắt (S)