www.thuvienhoclieu.com ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 2018 SỐ Câu 1.(2,0 điểm) a) Giải bất phương trình: x − x + ≥ 2(2 − x) x −  x + xy = y10 + y b) Giải hệ phương trình:   x + + y + = Câu 2.(2,0 điểm)  x − m = y ( x + my ) Tìm tất giá trị tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm   x − y = xy Câu 3.(2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm I (2; 4) đường thẳng d1 : x − y − = 0, d : x + y − = Viết phương trình đường tròn (C ) có tâm I cho (C ) cắt d1 A, B cắt d C , D thỏa mãn AB + CD + 16 = AB.CD Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có AB= c ,BC=a ,CA=b Trung tuyến CM vng góc với phân giác AL CM b = − Tính cos A AL c Cho a,b ∈ ¡ thỏa mãn: (2 + a )(1 + b) = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 16 + a + + b Câu (2,0 điểm) Cho f ( x ) = x − ax + b với a,b∈ ¢ thỏa mãn điều kiện: Tồn số nguyên m, n, p đôi phân biệt ≤ m, n, p ≤ cho: f ( m ) = f ( n ) = f ( p ) = Tìm tất số (a;b) Câu 6: (2,0 điểm) Giải phương trình cos x(tan x + tan x) = sin x + cos x Câu (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) : x + y − x − y − = tâm I điểm M (3; 2) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M , ∆ cắt (C ) hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác IAB lớn  x4 − x = y − y  (x, y ∈ ¡ ) Câu (2,0 điểm) Giải hệ phương trình  x − y =  Câu (2,0 điểm) Cho số a, b, c không âm cho tổng hai số dương Chứng minh : ( ) a b c ab + bc + ca + + + ≥6 b+c a+c a+b a+b+c Câu 10.(2 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho A ( 3;1) , B ( −3;9 ) , C ( 2; −3 ) uuur a) Gọi D ảnh A qua phép tịnh tiến theo BC Xác định tọa độ D b) Viết phương trình đường thẳng qua A , cắt đoạn thẳng CD M cho tứ giác ABCM có diện tích 24 www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN ĐỀ 01 Câu1 Đáp án Điều kiện: x ≥ Đặt t = x − ( t ≥ ) x = t + Khi ta có x − x + − 2(2 − x)t ≥ ⇔ x + 2tx − 4t − 3(t + 1) + ≥ Điểm 1.0 ⇔ ( x + t ) − (2t + 1) ≥ ⇔ ( x + 3t + 1)( x − t − 1) ≥ 1điểm ⇔ x − ≥ t (do x + 3t + > 0; ∀x ≥ ; ∀t ≥ ) x ≥ ⇔ x ≥ + Với x − ≥ t ta có x − ≥ x − ⇔   x − 2x + ≥ 2x −1 Đối chiếu điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình S = [2 + 2; +∞)  x + xy = y10 + y (1)   x + + y + = (2) Điều kiện: x ≥ − 1,0 Th1: y = ⇒ x = không thỏa mãn điểm x x Th2: y ≠ ta có: (1) ⇔  ÷ + = y + y ⇔ (t − y )(t + t y + t y + ty + y ) = với t=x/y  y y ⇔ (t − y )  (t + y ) + (t + y )2 (t − yt + y ) +  = ⇔ t=y hay y = x 23  x ≤ Thay vào (2): x + + x + = ⇔ x + 37 x + 40 = 23 − x ⇔   x − 42 x + 41 =  ⇒ x = ⇒ y = ±1 Đối chiếu đk ta nghiêm hệ là: ( x; y ) = { (1;1);(−1;1)} Câu2  my − y + m = (1) Hệ cho tương đương với:   x − yx − y = (2) 2.0 y ≥ Phương trình (2) (ẩn x ) có nghiệm ∆ x = y + y ≥ ⇔   y ≤ −4 Th1: m = 0, ta có y = 0, x = Suy m = thỏa mãn www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Th2: m ≠ Phương trình (1) (ẩn y ) khơng có nghiệm thuộc khoảng (−∞; −4] ∪ [0; +∞) (*) nghiệm (1) có nghiệm thuộc (−4;0), điều kiện 1 ∆ = − 4m2 <  m ∈ ( −∞ ; − ) ∪ ( ; +∞)   2   ∆ = − 4m <  ∆ = − 4m ≥   − ≤ m <      ∆ = − 4m ≥ ⇔  ⇔  (B) − − 4m   −4 < y <  −4 < + 8m ( A)  2m     −4 < y2 < + − 4m    − m < − − 8m − < <      2m điểm (1) vô (với y1 , y2 nghiệm phương trình (1))  1 4 − ≤ m < − ⇔ − ≤ m < − ⇒ (B) ⇔ m ∈ (−∞; − ) ∪ ( ; +∞) (A) ⇔  17 17  − m < −1 − m  Hệ phương trình cho có nghiệm phương trình (1) (ẩn y ) có nghiệm −4 ≤ m ≤ ; m ≠ Vậy tất thuộc khoảng (−∞; −4] ∪ [0; +∞) hay (*) không xảy ra, điều kiện 17 −4 ≤m≤ giá trị m cần tìm 17 2 ; IF = d ( I ;d2 ) = Gọi hình chiếu I d1 , d E , F IE = d ( I ;d1 ) = 5 Gọi R bán kính đường tròn (C ) cần tìm ( R > ) Câu3 điểm 4.a điểm 2,0 36 AB = AE = R − ; CD = 2CF = R − 5 4  36  36  R2 − Theo giả thiết ta có:  R − ÷+  R − ÷+ 16 = 20 R − 5   5  ⇔ R − 16 = (5 R − 4)(5R − 36) ⇔ R − = (5 R − 4)(5 R − 36) 6 ⇔ (2 R − 4) = (5 R − 4)(5 R − 36) (do R > ) ⇔ R = 2 ( R > ) 5 Vậy phương trình đường tròn (C ) cần tìm (C ) : ( x − 2) + ( y − 4) = uuu r b uuur c uuur AB + AC Ta có: AL = b+c b+c uuu r uuu r uuur uuur uuuu r CA + CB AB − AC CM = = 2 uuu r uuuu r Theo giả thiết: AL ⊥ CM ⇔ AL.CM = uuu r uuur uuur uuur ⇔ b AB + c AC AB − AC = ⇔ bc + bc cos A − 2cb cos A − 2cb = ( )( 1.0 ) ⇔ ( c − 2b ) ( + cos A ) = ⇒ c = 2b (do cos A > −1) b2 + a c a − b2 − = u u u r u u u r uuu r uuur 1 AL2 = AB + AC = AB + AC + AB AC = ( 9b − a ) 9 Khi đó: CM = ( www.thuvienhoclieu.com ) ( ) Trang www.thuvienhoclieu.com CM CM a − b a − b2 a2 = 5−2 ⇔ = = − ⇔ = − ⇔ = 6− AL AL2 9b − a 9b − a b2 ( cos A = ) b + c − a 5b − a −1 = = 2bc 4b C/M : a + b + c + d ≥ (a + c) + (b + d ) ấu xẩy khi: 4.b 1điểm a b = c d 1.0  a2   a2  p (a + 4b ) Áp dụng (1) ta có : = +  ÷ + + b4 ≥ +  + b2 ÷ = + 16  4   Mặt khác: (1 + 2a)(1 + b) = ⇔ a + 2b + ab = (2) 2   a + ≥ 2a  3( a + 4b ) ⇒ + ≥ 2a + 4b + 2ab ⇒ a + 4b ≥ (3) Mà:  4b + ≥ 4b  a + 4b2  ≥ 2ab  Từ (1) (3) suy ra: p ≥ 17 Dấu “=” xẩy khi: a=1 b = Vậy: MinP = 17 Đạt a=1 b = số f(m),f(n),f(p) dương, âm có số dấu nên: Th1: f(m),f(n),f(p) -7 ⇒ loại phương trình f(x)-7=0 có nghiệm phân biệt 2,0 Th2: f ( m) = f ( n) = f ( p) = −7 Khơng tính tổng qt,giả sử m>n m − p ≥ n − p ta có: m,n nghiệm pt: x − ax + b − = p nghiệm pt: x − ax + b + = nên : Câu điểm  n − p = ⇒ n − m = 9(l ) m + n = a  p − m =    (n − p )(n + p − a) = 14 ⇒ (n − p )( p − m) = 14 ⇒   n − p = −2 (m − p )(m + p − a ) = 14  ⇒ n − m = −9(l )    p − m = −7 Th3: f ( m) = f ( n) = −7 f ( p) = ,khiđó hồn tồn tương tự ta có:  m − p = −7 m − p = ( p − n)(m − p) = −14 ⇒   p−n =  p − n = −2 Do m,n,p∈ [ 1;9] nên tìm là: (a;b)= { (11;17), (13; 29), (7; −1), (9;7)} Câu Điều kiện: cosx ≠ (*) PT cho tương đương 2sin x + 2sin x.cos x = sin x + cos x ⇔ 2sin x(sin x + cos x) = sin x + cos x ⇔ (sin x + cos x)(2sin x − 1) = π +) sin x + cos x = ⇔ tan x = −1 ⇔ x = − + kπ π 5π + k 2π + sin x = ⇔ x = + k 2π ; x = 6 www.thuvienhoclieu.com 2,0 Trang www.thuvienhoclieu.com Đối chiếu điều kiện (*), suy nghiệm PT π π 5π x = − + kπ ; x = + k 2π ; x = + k 2π (k ∈ ¢ ) 6 Câu 2,0 (C ) có tâm I (1; 2) , bán kính R = Ta có IM = < R nên M nằm đường tròn (C) Gọi H hình chiếu I AB đặt IH = t , < t ≤ Ta có S IAB = IH AB = t − t Xét hàm f ( x ) = t − t ; < t ≤ Ta có f '(t ) = − 2t − t2 > 0, ∀t ∈ ( 0; 2] , suy f (t ) đồng biến ( 0; 2] ⇒ f (t ) ≤ f (2) Vậy S IAB lớn d ( I ; ∆ ) = t = , hay H ≡ M uuur Khi ∆ nhận IM véc tơ pháp tuyến, suy ∆ : x − = Câu 2,0 điểm Đặt x + y = a, x − y = b Để cho tiện ta đặt = c Từ phương trình thứ hai hệ, ta có: ( ab ) = c ⇔ ab = c a+b a −b ab , suy x − y = (a + b ) ,y = 2 (a − b) a + 3b a + c b x − y = (a + b) − = = 2 ab a + c 3b Phương trình thứ hệ trở thành: (a + b ) = ⇔ c(a + b ) = a + c 3b 2 2 c(a + b ) = a + c b Ta có hệ  , suy  ab = c 0,25 Từ x = 0,25  c2  c4 c  a + ÷ = a + ⇔ ca + c = a + ac ⇔ (ca − 1)(a − c ) = ⇔ a = ∨ a = c a a  c  c +1 3 +1 −1 - Nếu a = c,b = x = = ,y = 2   + c3 = ,y = - Nếu a = ,b = c x =  + c ÷ = 2c 2c c  Câu   − c −1 =  − c ÷= 2c 2c   3 + 3 −   −1  ; ÷, ; ÷ Vậy hệ cho có hai nghiệm (x; y ) =  ÷ 3 2   2,0 điểm www.thuvienhoclieu.com 0,25 0,25 Trang www.thuvienhoclieu.com a b c ab + bc + ca + + + b+c a+c a+b a+b+c ab ac b.b c.c Giả sử a ≥ b ≥ c , + ≥ + = b+c a+c a+b b+c c+b Đặt P = Suy 0,25 b c b+c + ≥ a+c a+b a Đặt t = b + c P ≥ 0,25 a t at + + t a a +t 0,25 a t at a + t at + + = + ≥ (AM-GM) Do P ≥ (đpcm) t a a +t at a + t Chú ý: Đẳng thức xảy a + t = at chẳng hạn (a, b, c) thỏa mãn Ta có 0,25  7+3  (a; b; c) =  ;1;0 ÷ ÷ (HS khơng cần nêu bước này)   Câu 10(2,0 điểm) uuur a/ BC = ( 5; −12 ) uuur uuur D = T ( A ) ⇔ AD = BC uuur BC  xD − = x = ⇔ D ⇔ D ( 8; −11)   yD − = −12  yD = −11 uuu r 16 b/ AB = ( −6;8 ) ⇒ AB = 10 ;Pt(AB): x + y − 15 = ⇒ d ( ( CM ) , ( AB ) ) = d ( C , ( AB ) ) = ( AB + CM ) d ( ( CM ) , ( AB ) ) S◊ABCM = = 24 ⇒ CM = AB CD Do M thuộc đoạn thẳng CD, CM = = suy M trung điểm CD ⇒ M ( 5; −7 ) = 2 Pt (AM) là: x + y − 13 = Hết ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 2018 SỐ Câu (3,0 điểm) a) Cho hàm số y = x − 3x + hàm số y = − x + m Tìm m để đồ thị hàm số cắt hai điểm phân biệt A, B đồng thời khoảng cách từ trung điểm I đoạn thẳng AB đến trục tọa độ b) Giải bất phương trình: Câu (3,0 điểm) − x2 + 4x − − >0 2x − a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B(1;2) Đường thẳng ∆ đường phân giác góc A có phương trình 2x + y −1 = ; Khoảng cách từ C đến ∆ gấp lần khoảng cách từ B đến ∆ Tìm tọa độ A C biết C nằm trục tung www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com b) Cho tam giác ABC vng A, gọi α góc hai đường trung tuyến BM CN tam giác Chứng minh sin α ≤ Câu (3,0 điểm) uuur r uuur uuu uuur a) Cho tam giác ABC Gọi D, E điểm thỏa mãn: BD = BC; AE = AC Tìm vị trí điểm K AD cho điểm B, K, E thẳng hàng b) Chouu tam I thỏa mãn hệ r giác uur ABC uurvuông r A; BC = a; CA = b; AB = c Xác 2định2 điểm 2 2 thức: b IB + c IC − 2a IA = ; Tìm điểm M cho biểu thức ( b MB + c MC2 − 2a MA ) đạt giá trị lớn Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình: + ( x + ) x − = ( x + x ) b) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = xyz Chứng minh rằng: + + x2 + + y2 + + z + + ≤ xyz x y z Câu 5: (3,0 điểm) a) Cho tan b a b−a 3sin a = = tan Chứng minh : tan − 3cos a 2 1 + = 0 cos 290 sin 250 35 8 cos x + cos x + c) sin x + cos x = 64 16 64 b) Chứng minh : Câu 6: (3,0 điểm) Giải phương trình sau: a) sin x + 3sin x cos x + cos x = +8 = 12 cos x + 5sin x + 14 + cot2x.tan x + = 6(1 − sin 2 x) ; c) cos x Câu 7(1,0 điểm): Tìm giá trị α để phương trình : b) 12 cos x + 5sin x + (cos α + 3sin α − 3)x + ( cos α − 3sin α − 2)x + sin α − cos α + = có nghiệm x =1 Câu 8(2,0 điểm): r a).Trong mặt phẳng 0xy ,cho vectơ v =(-2;1), đường thẳng d có phương trình 2x –3y +3 =0 Hãy xác định r phương trình d’ ảnh d qua phép tịnh tiến theo vectơ v b) Trong mặt phẳng 0xy , cho đường tròn ( C) có phương trình : x + y − 2x + 4y − = r Tìm ảnh ( C) qua phép tịnh tiến theo vec tơ v =(-2;5) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ Câu Ý a Nội dung Cho hàm số y = x − 3x + hàm số y = − x + m Tìm m để đồ thị hàm số cắt hai điểm phân biệt A, B đồng thời trung điểm đoạn thẳng AB cách trục tọa độ Điểm 1,5 Yêu cầu toán ⇒ PT sau có hai nghiệm phân biệt x − x + = − x + m hay x − x + − m = (*)có ∆ ' > ⇔ m>1 www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Gọi x A ; x B nghiệm (*), I trung điểm AB ta có x I = yI = −x I + m = m − xA + xB = 1; Yêu cầu toán ⇔ y I = x I ⇔ m − = ⇔ m = 2; m = Kết hợp ĐK, kết luận b m=2 Giải bất phương trình: TXĐ: −x + 4x − − > (1) 2x − 1,5 − x + x − > ⇔ < x < 2;2 < x <  x ≠ (1) ⇔ Nếu < − x2 + x − > 0,25 2x − x < − x + x − > > x − , bất phương trình nghiệm với x: 1< x < 2 x − > Nếu < x < ⇒   − x + x − > bất pt cho ⇔ 2x − > − x + 4x − ⇔ x − 16 x + 16 > − x + x − ⇔ x − 20 x + 19 > Kết hợp nghiệm, trường hợp ta có: + Tập nghiệm bpt cho: (1;2) ∪ (2 + a 0,25 x > 2+ 0,25 5 ;x < − 5 0,25