Chuyên đề giới hạn liên tục Hội toán Bắc Nam GIỚI HẠN DÃY SỐ A LÝ THUYẾT I DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN Định nghĩa Ta nói dãy số  un  có giới hạn ( hay có giới hạn ) với số dương nhỏ tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, có giá trị tuyệt đối nhỏ số dương Kí hiệu: lim un  Nói cách ngắn gọn, lim un  un nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở Từ định nghĩa suy rằng: a) lim un   lim un  b) Dãy số không đổi  un  , với un  , có giới hạn c) Dãy số  un  có giới hạn un gần được, miễn n đủ lớn Một số dãy số có giới hạn Định lí 4.1 Cho hai dãy số  un    Nếu un  với n lim  lim un  Định lí 4.2 Nếu q  lim q n  Người ta chứng 0 a) lim n b) lim  n c) lim k  với số nguyên dương k cho trước n Trường hợp đặc biệt : lim  n nk  với k  * a  cho trước an II DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN Định nghĩa d) lim Ta nói dãy số  un  có giới hạn số thực L lim un  L   Kí hiệu: lim un  L Dãy số có giới hạn số thực gọi dãy số có giới hạn hữu hạn a) Dãy số không đổi  un  với un  c , có giới hạn c b) lim un  L khoảng cách un  L trục số thực từ điểm un đến L trở nên nhỏ miễn n đủ lớn; nói cách hình ảnh, n tăng điểm un “ chụm lại” quanh điểm L Chuyên đề giới hạn liên tục Hội tốn Bắc Nam c) Khơng phải dãy số có giới hạn hữu hạn Một số định lí Định lí 4.3 Giả sử lim un  L Khi a) lim un  L lim un  L b) Nếu un  với n L  lim un  L Định lí 4.4 Giả sử lim un  L , lim  M c số Khi a) lim un    L  M b) lim un    L  M c) lim unvn   LM D) lim  cun   cL e) lim un L  (nếu M  ) M Tổng cấp số nhân lùi vô hạn Định nghĩa Cấp số nhân lùi vơ hạn cấp số nhân có cơng bội q thỏa q  Cơng thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn: u S  u1  u1q  u 1q   1 q III DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VƠ CỰC Dãy số có giới hạn  Ta nói dãy số  un  có giới hạn  với số dương tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, lớn số dương Kí hiệu: lim un   Nói cách ngắn gọn, lim un   un lớn số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng trở Người ta chứng minh rằng: a) lim un   b) lim un   c) lim nk   với số nguyên dương k cho trước Trường hợp đặc biệt : limn   d) lim q n   q  Dãy số có giới hạn  Ta nói dãy số  un  có giới hạn  với số âm tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, nhỏ số âm Kí hiệu: lim un   Nói cách ngắn gọn, lim un   un nhỏ số âm nhỏ tùy ý, kể từ số hạng trở Nhận xét: a) lim un    lim  un    Chuyên đề giới hạn liên tục Hội toán Bắc Nam 1  trở un un nên nhỏ được, miễn n đủ lớn Nói cách khác, lim un   lim  un b) Nếu lim un   un trở nên lớn miễn n đủ lớn Đo Định lí 4.5 Nếu lim un   lim 0 un Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực Quy tắc Nếu lim un   lim v n   lim  unvn  cho bảng sau: lim u n lim v n lim  unvn              Quy tắc Nếu lim un   lim v n  L  lim  unvn  cho bảng sau: lim u n Dấu L lim  unvn              Quy tắc Nếu lim un  L  lim v n    kể từ số hạng trở u lim n cho bảng sau: Dấu L Dấu v n        lim    B CÁC DẠNG TOÁN VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ DẠNG TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO BỞI CƠNG THỨC Câu 1: un   lim  n3  2n  1 A Đáp án D B C  Lời giải D  Chuyên đề giới hạn liên tục Câu 2: Hội tốn Bắc Nam 1  Ta có: n3  2n   n3 1     n n  1  Vì lim n3   lim 1      nên theo quy tắc 2, lim  n3  2n  1    n n  lim  5n  n2  1 A  B  C Hướng dẫn giải D 1 Chọn B   Ta có 5n  n   n  1    n n     Vì lim n2   lim  1     1  nên lim  5n  n2  1   (theo quy tắc 2) n n   Câu 3: lim un , với un  A 5n  3n  bằng: n2 B C Hướng dẫn giải D 7 Chọn B  5n2 3n  7  Ta có: lim un  lim      lim      n n  n n    n Câu 4: lim un , với un  A 3 2n3  3n  n  n3  n  B C Hướng dẫn giải D Chọn C Chia tử mẫu phân thức cho n3 ( n3 lũy thừa bậc cao n phân thức), ta 2   n n n Vì lim       lim 1      nên được: un      n n n3    n n  1  n n 2n  3n  n  lim   n3  n  Ví dụ 5: Giới hạn dãy số un  , với un  A n3  2n  n  3n3  5n  C  B D Hướng dẫn giải Chọn B Chia tử mẫu phân thức cho n ( n bậc cao n phân thức), ta  3 n  2n  n n n   lim un  lim  lim 3 n  3n  5n  1   n n n Ví dụ 6: Giới hạn dãy số  un  với un  3n3  2n  , 2n  n Chuyên đề giới hạn liên tục A Hội toán Bắc Nam C  B D Hướng dẫn giải Chọn C Chia tử mẫu cho n ( n lũy thừa bậc cao n mẫu thức), ta 3n   3n  2n  n n Vậy lim u  lim  3n    un   n   2n  n   2 n sin  n ! Ví dụ 7: lim n 1 A B C  D Hướng dẫn giải Chọn A Ta có sin  n ! 1  mà lim  nên chọn đáp án A n 1 n 1 n 1  1 n  n  1 n Ví dụ 8: lim A 1 C  Hướng dẫn giải B D Chọn D  1 n  n  1 n Ta có 1  1     mà lim  nên suy lim n  n  1 n.n n n  n  1 n n Ví dụ 9: Tính giới hạn I  lim  A I  n2  2n   n  B I  1 C I  Hướng dẫn giải Chọn B Ta có I  lim  n  2n   n    lim n2  2n   n  D I   n2  2n   n  n2  2n   n 2  n  2n    n  2 2n  n  lim  lim   1  lim 1 n  2n   n n  2n   n 1  1 n n   Ví dụ 10: lim n  8n3  3n  bằng: B  A  C 1 Hướng dẫn giải D Chọn B     Ta có lim n  8n3  3n   lim n 1     n n       Vì lim n  , lim 1        1  nên lim n  8n3  3n    n n   Chuyên đề giới hạn liên tục  Hội tốn Bắc Nam  Ví dụ 11: lim n  n 4n  bằng: A 1 D  C  Hướng dẫn giải B Chọn C   Ta có n2  n 4n   n 1    n n2     Vì lim n2   lim 1      nên theo quy tắc 2, lim n2  n 4n    n n       Ví dụ 12 lim n  n3  3n2  : A 1 C  Hướng dẫn giải B D  Chọn A Ta tiến hành nhân chia với biểu thức liên hợp (bậc ba) n  n3  3n2 1 n3   n3  3n2  1 3 lim n  n  3n   lim   3 3  n  n n  3n    n  3n  1    3  n  lim  1    1     1    n n  n n  Ví dụ 13 lim A   n2  n   n3  3n  : C  B D  Hướng dẫn giải Chọn A    n2  n   n3  3n   lim   Ví dụ 14 lim  5n  2n  : lim A  B    n2  n   n  n  n3  3n     C  D Hướng dẫn giải Chọn C   n  Ta có   1      5      n  Vì lim5n   lim 1       nên theo quy tắc 2, lim 5n  2n     5    n 1 n Ví dụ 15 lim  3.2  5.3  7n  : n A  n n B  C Hướng dẫn giải Chọn A n  n 2 lim  3.2n 1  5.3n  7n   3n  5     n      3  D 5 Chuyên đề giới hạn liên tục Ví dụ 16 lim Hội toán Bắc Nam n 1 4.3  : 2.5n  7n n A Hướng dẫn giải B C D C 36 D Chọn B n lim Ví dụ 17 lim 4.3n  7n 1 2.5n  7n 3    7  lim   n  7 5    7 4n 1  6n  : 5n  8n A B Hướng dẫn giải Chọn A n lim 4n1  6n  5n  8n n 4 6    36   8  lim   n    5   1 8 2n  3n : 2n  A  Ví dụ 18 lim C  B D  Hướng dẫn giải Chọn C n 2   1 n n 3 n Chia tử mẫu cho ta n   n     n      3  3 n n n n        n   2 1 Mà lim     1  1  0, lim               với n nên theo          3  3     2n  3n lim   quy tắc 3, 2n  Dạng Tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi  2un  1 Ví dụ 19 Cho dãy số  un  xác định u1  1, un1  với n  Biết dãy số  un  có un  giới hạn hữu hạn, lim un bằng: A 1 B C D Hướng dẫn giải Chọn B Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh un  với n Đặt lim un  L  Ta có lim un1  lim  L  1  2un  1 hay L  L3 un  Chuyên đề giới hạn liên tục L   L2  L      L  1 Vậy lim un  Hội toán Bắc Nam (n) (l ) 1 2 Ví dụ 20 Cho dãy số  un  xác định u1  1, un1   un   với n  Tìm giới hạn 2 un   un  A lim un  B lim un  1 C lim un  Hướng dẫn giải D lim un   Chọn C Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh un  với n Đề không cho biết dãy số  un  có giới hạn hữu hạn hay không, nhiên đáp án đề cho giới hạn hữu hạn Do khẳng định dãy số  un  có giới hạn hữu hạn Đặt lim un  L  1 2 lim un1  lim  un   2 un  1 2 Hay L   L    L   L2   L  2 L L Vậy lim un  ( loại trường hợp L   ) Vậy lim un  với n  Khi lim un bằng: 1 C  D 2 Ví dụ 21 Cho dãy số  un  xác định u1  un1  2un  B  A Đáp án C Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn L Ta có: lim un1  2lim un  1  L  2L   L   2 Đến kết luận lim un   không? Câu trả lời khơng? Vì khơng khó để chứng minh un  với n Do dãy số có giới hạn L L  Từ suy dãy khơng có giới hạn, mà bốn đáp án có đáp án C vô cực Vậy ta chọn đáp án C Ta xét hai cách giải sau: Đặt  un  1 1  Ta có: 1  un 1   2un     un    2vn 2 2  Vậy   cấp số nhân có v1  3 q  Vậy  2n1  3.2n2 2 Chuyên đề giới hạn liên tục Do lim  lim 3.2 n 2    Suy lim u Hội toán Bắc Nam n   Ví dụ 22 Cho dãy số  un  xác định u1  , u2  , un1  2un  un 1  với n  Tìm giới hạn dãy số  un  A C  B D  Đáp án D Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn L Ta có: lim un 1  2lim un  lim un 1   L  L  L    (Vơ lý) Vậy dự đốn dãy có giới hạn vơ cực Tuy nhiên có hai đáp án vô cực (   ), chưa thể đoán đáp án Ta xem hai cách giải sau Ta có u1  , u2  , u3  , u4  Vậy ta dự đốn un   n  1 với n  Khi un1  2un  un1    n  1   n     n2   n  1  1 2 Vậy un   n  1 với n  Do lim un  lim  n 1   2 Dạng Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn Ví dụ 23 Cho số thập phân vơ hạn tuần hồn a  2,151515 (chu kỳ 15 ), a biểu diễn dạng phân số tối giản, m, n số nguyên dương Tìm tổng m  n A m  n  104 B m  n  312 C m  n  38 D m  n  114 Đáp án A Ta có a  2,151515   15 15 15    100 100 1003 15 15 15 15 , công    tổng cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1  100 100 100 100 15 71 bội q  nên a   100  100 33 1 100 Vì Vậy m  71, n  33 nên m  n  104 Ví dụ 24 Số thập phân vơ hạn tuần hồn 0,32111 biểu diễn dạng phân số tối giản a, b số ngun dương Tính a  b A a  b  611 B a  b  611 C a  b  27901 Đáp án B Lời giải Ta có: 32 1 32 289 0,32111        10  100 10 10 10 100  900 10 a , b D a  b  27901 Chuyên đề giới hạn liên tục Hội toán Bắc Nam Vậy a  289, b  900 Do a  b  289  900  611 Dạng Tìm giới hạn dãy số mà tổng n số hạng dãy số khác 1 Ví dụ 25 Tổng S      bằng: A B C D D Đáp án B Lời giải S tổng cấp số nhân lùi vơ hạn có u1  q  Do S  1 1 Ví dụ 26 Cho dãy số  un  A   1 1 với un      2n n 1 B Khi lim un bằng: C Đáp án A Lời giải un tổng n số hạng cấp số nhân có u1  1 q   2 n 1 1   n n 1 1  1 1  2  Do un   1     Suy lim un  lim 1                1     2   1 Ví dụ 27 Tính lim      bằng: 1.3 3.5 n  n       A B C D Đáp án C Lời giải Ta có: 1 1 1 1  1      1         1   1.3 3.5 2n 1 2n    2n    2n 1 2n  1  3   1 1 Vậy lim       lim 1   n 1 2 n 1 2 n 1   1.3 3.5    Chuyên đề giới hạn liên tục A 68 Hội toán Bắc Nam B 69 C 70 D 71 x   27 x  54 m m phân số tối giản, m n số nguyên  , x 3 x  n    x  3x  18 n Câu 20: Biết lim dương Khi 3m  n bằng: A 55 B 56 3x   x  Câu 21: Giới hạn lim  x  1 x 1 C 57 D 58 bằng: A  B  C Câu 22: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn 0? x2 1 B lim  x  2  x  x  x 1 A lim x 1 x  D  x2  x  C lim x 3 x  3x D x lim  x  6 x3  x x 2 Câu 23: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn khác 0? A lim x2 x  3x  2 x C lim  x  3x  x2  x  x  1 x2  B lim  x2  1 3  x  x 3 D lim x3  x 1 x2  Câu 24: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn không tồn tại? x3  A lim x 2 x  11x  18  x  3 B lim x 0  27 x C lim x 0 3x  x 2x D lim  x  2  x x2 x  3x  2 Câu 25: Trong giới hạn sau đây, giới hạn không hữu hạn? x  x  10 A lim x 2 x3  x2  x  B lim x 3 x  x  DẠNG 3: GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH DẠNG C lim x 2 x2 x 5 3 D lim x 3 1 x  x2    Câu 26: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn 1? x2 1 x3  x  2x  A lim B lim C lim x  x  x  x  x x  x  x 2x2  x 1 x  x  x D lim Câu 27: Trong giới hạn hữu hạn sau đây, giới hạn lớn nhất? A lim  x  1   x  x3  x  x3  1 x  C x lim x   1 x  x   x3  3x  1  x  1 x  x  lim  x  x   x  1  3x  1  x  lim  x  x   x  1 B x  D x  Câu 28: Trong giới hạn sau đây, giới hạn  ? 2 x  x  x  3 x A lim 3x  x  x   2x B lim  3x3  x x   x  x C lim 3x  x  x   x  x D lim Chuyên đề giới hạn liên tục Hội toán Bắc Nam x  x  3x Câu 20 Tính giới hạn lim x2   x  2 A B C  3 Câu 21 Cho a , b , c số thực khác Tìm hệ thức liên hệ a , b , c để x  ax  b x  5 x  cx  a  3b a  3b   5 A B c c D  lim C a  3b  c D a  3b  5 c  x  3x     ax  b   0, a b thỏa mãn Câu 22 Cho a b tham số thực Biết lim  x   cx   hệ thức hệ thức ? A a  b  B a  b  9 C a  b  D a  b  9  Câu 23 Trong giới hạn sau , giới hạn ? 2x  x 1 x2  5x  A lim B lim x  x  x  x   x 3 x  x  11 x  x2  D lim x  x  x  x   2x Câu 24 Tìm giới hạn nhỏ giới hạn hữu hạn sau C lim A lim x  x6  3x3  B lim x  x x x  x  x  C lim D lim 2 x  x2 8x2  x  x 3 x2  x  Câu 25 Trong giới hạn hữu hạn sau , giới hạn lớn nhất? A lim  x  51  x  x  3x3  x  x  C lim x  x4  x2   x3  1  3x  1 B  x 1 lim x2  x  5x2 x  D lim x  3 x x2   x Câu 26 Trong giới hạn hữu hạn sau , giới hạn nhỏ nhất? A lim x2  x  2x 3 x B lim 1  x  C lim x2  x  x2  2x  D lim x  x  x  x  x x 1 3x  x  x5  x  DẠNG 4: Giới hạn vô định dạng 0. 1 1 Câu 27 Cho a số thực dương Tính giới hạn lim    x a x a   x  a 2  B  C  D không tồn a2 Câu 28 Trong giới hạn sau , giới hạn hữu hạn ? 3x x3 A lim  x  1 B lim  x  1 x  x  x 1 2x  x  A  Chuyên đề giới hạn liên tục Hội toán Bắc Nam x 1 x D lim  x  1 x  x  x x 2x  x 1 Câu 29 Trong giới hạn hữu hạn sau , giới hạn nhỏ nhất? 2x 1 3x  11 A lim  x  1 B lim 1  x  x  x  x x2 x3  C lim  x   C lim  x3  1 x 1 x x 1 D lim   x  x   x2 x3  3 Câu 30 Tính giới hạn lim x   x  x x   A B   Câu 31 Tính giới hạn lim tan x tan   x   x 4  A x 1 5x  x  D  C  B C DẠNG 5: Dạng vô định    D   n  Câu 32 Cho n số nguyên dương Tính giới hạn lim   n x 1  x 1 x   n n 1 n 1 n2 A B C D 2 2   x   Câu 33 Cho hàm số f  x    x  x  Với giá trị m hàm số f  x  có giới hạn  x  mx  điểm x  A B -1 C D k Câu 34 Tìm tất giá trị tham số thực k cho giới hạn lim(  ) hữu hạn x 1 x  x 1 A k  B k  C k  D k  Câu 35 Trong giới hạn sau đây, giới hạn 1? A lim ( x  x  x) B lim ( x  x  x) C lim( x2  2x  x) D lim ( x  x  x) x  x  x  x Câu 36 Giới hạn lim ( x  3x  5+ax) = + x  A a  B a  C a  D a  Câu 37 Cho a b số thực khác Biết lim (ax  x  bx  2)  , tổng a  b x  A B 6 C D 5 Câu 38 Cho a b số thực khác Biết lim (ax+b- x  x  2)  số lớn hai số x  a b số số đây? A B C Câu 39 Trong giới hạn đây, giới hạn vô cực? A lim ( x  x  x  3) x  D B lim ( x  x   x) x  Chuyên đề giới hạn liên tục Hội toán Bắc Nam C lim ( x  3x   x) D lim ( 3x   3x  x ) 2 x  x  m m phân số tối giản, m n x  n n số nguyên dương Tìm bội số chung nhỏ m n A 135 B 136 C 138 D 140 Câu 40 Biết lim ( x  x  27 x3  x  5)   Câu 41 Cho a b số nguyên dương Biết lim ( x + ax  27 x3  bx  5)  x  thỏa mãn hệ thức đây? A a  2b  33 B a  2b  34 C a  2b  35 H Ố LI N , hỏi a b 27 D a  2b  36 C A LÝ THUYẾT Định nghĩa Định nghĩa Cho hàm số y  f  x  xác định khoảng  a, b  x0   a; b  Hàm số y  f  x  gọi iên t c x0 lim f  x   f  x0  xx0 Hàm số y  f  x  không liên tục x0 gọi gián đoạn điểm STUDY TIP Khi xét tính liên tục hàm số điểm, đặc biệt lưu ý đến điều kiện hàm số xác định khoảng (dù nhỏ) chứa điểm Định nghĩa Hàm số y  f  x  gọi i n n h ảng liên tục điểm khoảng Hàm số y  f  x  gọi i n ạn a, b liên tục khoảng  a; b  n lim f  x   f  a  ; lim f  x   f  b  xa xb Khái niệm liên tục hàm số nửa khoảng a; b  ,  a; b , a;   ,  ; b định nghĩa cách tương tự STUDY TIP Đồ thị hàm số liên tục khoảng “đường liền” khoảng y y aObx a Obx Chuyên đề giới hạn liên tục Đồ thị hàm số liên tục khoảng  a; b  Hội toán Bắc Nam Đồ thị hàm số không liên tục khoảng  a; b  Định ý Giả sử y  f  x  y  g  x  hai hàm số liên tục điểm xo Khi đó: a) Các hàm số y  f  x   g  x  , y  f  x   g  x  , y  f  x  g  x  liên tục điểm xo b) Hàm số y  f  x g  x liên tục điểm xo g  x   STUDY TIP Tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số liên tục điểm hàm số liên tục điểm (trong trường hợp thương, giá trị mẫu điểm phải khác 0) ột ố định í ản Định í a) Hàm số đa thức liên tục toàn tập số thực b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương hai đa thức), hàm số lượng giác, hàm số lũy thừa, hàm số mũ hàm số logarit liên tục khoảng tập xác định chúng (Các hàm số lũy thừa, hàm số mũ hàm số logarit s học chương trình lớp 2) STUDY TIP Các hàm số sơ cấp liên tục khoảng xác định chúng Định lí Nếu hàm số y  f  x  liên tục đoạn a; b f  a  f b   tồn điểm c   a; b cho f  c   Nói cách khác: Nếu hàm số y  f  x  liên tục đoạn a; b f  a  f b   phương trình f  x   có nghiệm nằm khoảng  a; b STUDY TIP Một phương pháp chứng minh phương trình f  x   có nghiệm khoảng  a; b : - Chứng minh hàm số y  f  x  liên tục đoạn a; b - Chứng minh f  a  f b   B CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM SỐ LIÊN T C DẠNG XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Chuyên đề giới hạn liên tục Hội toán Bắc Nam Phương pháp chung: Cho hàm số y  f  x  xác định khoảng  a; b x0   a; b  Để xét tính liên tục hàm số y  f  x  x0 ta làm sau: - Tính f  x0  ; - Tính lim f  x  - Nếu lim f  x   f  x0  kết luận hàm số liên tục x0 - Nếu lim f  x  không tồn lim f  x   f  x0  kết luận hàm số không liên tục x  x0 x  x0 x  x0 x  x0 x0 Khi xét tính liên tục hàm số tập, ta sử dụng Định lí , Định lí nêu phần Lí thuyết Câu 1: Hàm số y  f  x  có đồ thị gián đoạn điểm có hồnh độ bao nhiêu? A Đáp án B B D C Lời giải Quan sát đồ thị ta thấy lim f  x   3; lim f  x   Vậy lim f  x   lim f  x  nên lim f  x  x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 khơng tồn Do hàm số gián đoạn điểm x  Câu 2: Cho hàm số f  x   A  ;3 x2  Hàm số f  x  liên tục khoảng sau đây? x  5x  B  2;3 C  3;2 D  3;   Đáp án B Lời giải Hàm số có dạng phân thức hữu tỉ xác định tập hợp D   ;  3   3;  2   2;   nên theo Định lí , hàm số liên tục khoảng  ;  3 ;  3;  2 ;  2;   Vì  2;3   2;   nên đáp án B Câu 3: STUDY TIP Các hàm số sơ cấp liên tục khoảng tập xác định chúng x2 Cho hàm số f  x   Chọn khẳng định khẳng định sau: x  3x  A f  x  liên tục Chuyên đề giới hạn liên tục Hội toán Bắc Nam B f  x  liên tục khoảng  ;1 1;  C f  x  liên tục khoảng  ;2  2;   D f  x  liên tục khoảng  ;1 , 1;2  2;   Đáp án D Lời giải f  x  hàm phân thức hữu tỉ, có tập xác định  ;1  1;2   2;   nên theo Định lí , f  x  liên tục khoảng  ;1 , 1;2  2;  STUDY TIP x2  Thật rút gọn ta f  x   khơng mà kết luận f  x   x  1 x   x  khoảng  ;1 1;  Chú ý: Không rút gọn biểu thức hàm số trước tìm tập xác định! Câu 4:  x  x  Cho hàm số f  x    Chọn khẳng định sai khẳng định sau? x   A f  x  liên tục x  B f  x  liên tục x  C f  x  liên tục 5;  D f  x  liên tục  5;   Đáp án B Lời giải Hàm số f  x  xác định D  5;   0 Theo định lí , f  x  liên tục 5;  Do f  x  liên tục  5;   x  Vậy A, C, D suy B sai Thật vậy, khơng tồn khoảng  a; b chứa điểm x  mà f  x  xác định  a; b nên xét tính liên tục f  x  x  Do khơng thể khẳng định f  x  liên tục x  Câu 5: 3x  x  1 Cho hàm số f  x    Chọn khẳng định khẳng định sau  x  x  1 A f  x  liên tục B f  x  liên tục  ; 1 C f  x  liên tục 1;  D f  x  liên tục x  1 Đáp án C Lời giải Trên 1;  , f  x   x 1 nên theo định lí , f  x  liên tục 1;  Vậy chọn đáp án C Giải thích thêm: Ta có lim  f  x   lim   3x    1 , lim  f  x   lim   x  1  x  1 x  1 x  1 Vậy lim   lim  nên lim không tồn x  1 x  1 x 1 Do f  x  không liên tục x  1 nên A, D sai x  1 Chuyên đề giới hạn liên tục Hội toán Bắc Nam Mặt khác f  1   1   Vậy lim   f  1 nên f  x  không liên tục  ; 1 x  1 Do B sai Câu 6:  x3  x   Cho hàm số f  x    x  Tìm tất giá trị tham số thực m để hàm số  mx  x=2  liên tục x  17 15 13 11 A m  B m  C m  D m  2 2 Đáp án D Lời giải f  x  xác định x3   lim  x  x    12 x2 x2 x  x2 (có thể dùng MTCT để tính giới hạn hàm số) Ta có f  2  2m 1 lim f  x   lim Để f  x  liên tục x  lim f  x   f    2m   12  m  x2 Câu 7: 11   x  3  Chon hàm số f  x    x  x  Tìm tất giá trị tham số thực m để hàm  x   m số liên tục x  A m B m C m  D m  1 Đáp án A Lời giải Hàm số cho xác định  x  3 x 3   x  3  lim  lim  1  1 x3 x3 x3 x  x3 x3 x 3 x 3 Tương tự ta có lim f  x   (có thể dùng MTCT để tính giới hạn hàm số) Ta có lim f  x   lim  lim x3 Vậy lim f  x   lim f  x  nên lim f  x  không tồn Vậy với m , hàm số cho không x3 x3 x3 liên tục x  Do đáp án A Ta tam khảo thêm đồ thị hàm số x  để hiểu rõ Chuyên đề giới hạn liên tục Câu 8: Hội toán Bắc Nam Cho a b số thực khác Tìm hệ thức liên hệ a b để hàm số  ax   x   liên tục x  f  x   x  x  5b x   A a  5b B a  10b C a  b D a  2b Đáp án B Lời giải ax   a  Mặt khác f  0  5b Để hàm x 0 x 0 x a số cho liên tục x  lim f  x   f     5b  a  10b Vậy đáp án B x 0 Cách 2: Sử dụng MTCT Chọn giá trị cụ thể a b thỏa mãn hệ thức tính Cách : Theo kết biết lim f  x   lim toán kết lim f  x   f   Chẳng hạn với hệ thức đáp án A, chọn x 0 a  5; b  ta tìm lim x 0 5x  1  ; f    nên không thỏa mãn Với hệ thức đáp x án B, chọn a  10; b  ta lim x 0 10 x    5; f    nên thỏa mãn lim f  x   f   x 0 x Do đáp án B STUDY TIP n lim x 0 Câu 9: ax   a  x n  2x   x   Cho hàm số f  x    Tìm tất giá trị tham số thực m để x 1 x    x  2mx  3m  hàm số liên tục A m  B m  C m  D m  Đáp án C Lời giải Cách : Hàm số xác định , liên tục khoảng  2;   Ta có f    3; lim f  x   lim x 2 x 2   2x    x 1   nên hàm số không liên tục x  x 2 x 2 x  12 x  20 x 1 Nếu m  ta có lim f  x   lim  x 2 x 2 x  2mx  3m  6m Để hàm số liên tục x     m 1 m  6m x 1 Với m  x  , f  x   liên tục  ;2 x  10 x  17 Tóm lại với m  hàm số cho liên tục Nếu m  lim f  x   lim Cách 2: Hàm số xác định , liên tục khoảng  2;   Ta có f    3; lim f  x   lim x 2 x 2   2x    Thử giá trị từ A dến C thấy m  thỏa mãn lim f  x   Do chọn đáp án C x 2 Chuyên đề giới hạn liên tục Hội toán Bắc Nam DẠNG CHỨNG MINH PHƢƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM Phương pháp chung: Một phương pháp chứng minh phương trình f  x   có nghiệm khoảng  a; b : - Chứng minh hàm số y  f  x  liên tục đoạn a; b - Chứng minh f  a  f b   - Từ kết luận phương trình f  x   có nghiệm khoảng  a; b Để chứng minh phương trình f  x   có nghiệm ta cần tìm hai số a b cho hàm số liên tục đoạn a; b f  a  f b   Ví dụ Cho hàm số f  x  xác định đoạn a; b Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? A Nếu hàm số f  x  liên tục đoạn a; b f  a  f b   phương trình f  x   khơng có nghiệm khoảng  a; b B Nếu f  a  f b   phương trình f  x   có nghiệm khoảng  a; b C Nếu phương trình f  x   có nghiệm khoảng  a; b hàm số y  f  x  phải liên tục khoảng  a; b D Nếu hàm số y  f  x  liên tục, tăng đoạn a; b f  a  f b   phương trình f  x   khơng thể có nghiệm khoảng  a; b Đáp án D Lời giải A sai Chẳng hạn xét hàm số f  x   x2  Hàm số xác định đoạn  3;3 liên tục đó, đồng thời f  3 f 3  4.4  16  lại có hai nghiệm x1   5; x2  thuộc vào khoảng  3;3 B sai thiếu điều kiện f  x  liên tục đoạn a; b  x  x  C sai Chẳng hạn xét hàm số f  x    Hàm số xác định đoạn  3;3 ,  x  x  có nghiệm x  1 thuộc vào khoảng  3;3 gián đoạn điểm x    3;3 , tức không liên tục  3;3 Vậy D Thật vậy: - Vì hàm số y  f  x  liên tục, tăng đoạn a; b nên giá trị nhỏ hàm số đoạn a; b f  a  , giá trị lớn hàm số đoạn a; b f b - Nếu f  a   giá trị nhỏ hàm số đoạn a; b số dương nên khơng có giá trị x khoảng  a; b làm cho f  x   Do phương trình f  x   khơng thể có nghiệm khoảng  a; b  Chuyên đề giới hạn liên tục Hội toán Bắc Nam + Nếu f  a   0, f  a  f b   nên suy f  b   Vậy giá trị lớn hàm số đoạn a; b số âm nên khơng có giá trị x khoảng  a; b làm cho f  x  Do phương trình f  x   khơng thể có nghiệm khoảng  a; b Câu 10: Cho phương trình x3  ax2  bx  c  1 a, b, c tham số thực Chọn khẳng định khẳng định sau A Phương trình 1 vô nghiệm với a, b, c B Phương trình 1 có nghiệm với a, b, c C Phương trình 1 có hai nghiệm với a, b, c D Phương trình 1 có ba nghiệm với a, b, c Lời giải Đáp án B Dễ thấy a  b  c  phương trình 1 trở thành x3   x  Vậy A, C, D sai Do B Giải hí h h : Xét tốn “Chứng minh phương trình x3  ax2  bx  c  1 ln có nghiệm với a, b, c ” Ta có lời giải cụ thể sau: Đặt f  x   x3  ax2  bx  c Ta có: + lim  x3  ax  bx  c    với a, b, c nên tồn giá trị x  x1 cho f  x1   x  + lim  x3  ax  bx  c    với a, b, c nên tồn giá trị x  x2 cho f  x2   x  Vậy f  x1  f  x2   mà f  x  liên tục nên suy f  x   có nghiệm khoảng  x1; x2  Từ suy ĐPCM Phương trình đa thức bậc lẻ a2 n 1 x n 1 STUDY TIP  a2 n x n   a1 x  a0  a2 n 1  ln có nghiệm với giá trị , i  2n 1,0 Câu 11: Tìm tất giá trị tham số thực m để phương trình:  m2  3m  2 x3  3x   có nghiệm A m1;2 B m C m \ 1;2 D m Lời giải Đáp án B Nếu m2  3m   : Phương trình cho trở thành 3x    x  Nếu m  3m   : theo STUDY TIP vừa nêu phương trình cho ln có nghiệm Tóm lại với m phương trình cho ln có nghiệm Do B Câu 12: Cho phương trình x  3x3  x   1 Chọn khẳng định đúng: A Phương trình 1 có nghiệm khoảng  1;3 B Phương trình 1 có hai nghiệm khoảng  1;3 Chuyên đề giới hạn liên tục C Phương trình 1 có ba nghiệm khoảng  1;3 Hội tốn Bắc Nam D Phương trình 1 có bốn nghiệm khoảng  1;3 Lời giải Đáp án D Cách 1: Sử dụng chức Table MTCT: f  X   X  X  X  , Start: 1, End: 3, Step: 0.2 ta kết sau: Quan sát kết ta thấy giá trị f  x  điểm khoảng  1;3 đổi dấu lần Mà phương trình bậc có tối đa nghiệm thực Vậy phương trình 1 có bốn nghiệm khoảng  1;3 Do D đáp án Cách 2: Sử dụng chức Shift Calc (Solve) MTCT để tìm nghiệm xáp xỉ phương trình khoảng  1;3 Tuy nhiên cách tiềm ẩn nhiều may rủi cách sử dụng chức Table STUDY TIP Nếu f  x  liên tục đoạn a; b f  x  đổi dấu x từ a qua b phương trình f  x   có nghiệm khoảng  a; b Câu 13: Cho phương trình 2x4  5x2  x  1  1 Chọn khẳng định khẳng định sau: A Phương trình 1 khơng có nghiệm khoảng  1;1 B Phương trình 1 khơng có nghiệm khoảng  2;0 C Phương trình 1 có nghiệm khoảng  2;1 D Phương trình 1 có hai nghiệm khoảng  0;2 Lời giải Đáp án D Cách 1: Sử dụng chức Table MTCT: f  X   X  X  X 1, Start: 2, End: 2, Step: 0.2 ta kết sau: Chuyên đề giới hạn liên tục Hội toán Bắc Nam Quan sát kết ta thấy khoảng  1;1 phương trình có hai nghiệm, khoảng  2;0 phương trình có hai nghiệm, khoảng  2;1 phương trình có ba nghiệm, khoảng  0;2 phương trình có hai nghiệm Vậy D đáp án C BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG Câu Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình đây: Chọn khẳng định đúng: A Hàm số liên tục C Hàm số liên tục 1; Câu Cho hàm số B Hàm số liên tục  ;4 D Hàm số liên tục 1;4 Chuyên đề giới hạn liên tục  x3 2 ,  x   1 f  x   , 4  x2 1 ,   x  7x  Hội toán Bắc Nam x 1 x 1 x  Chọn khẳng định đúng: A f  x  liên tục x  không liên tục x  B f  x  liên tục x  x  C f  x  không liên tục x  liên tục x  D f  x  liên tục x  x  Câu  x4  x2  x  Tìm tất giá trị tham số thực m để hàm Cho hàm số f  x    x m  x   số liên tục x  A Khơng có giá trị m thỏa mãn B m  D m1;5 C m  Câu Cho a b số thực khác Tìm hệ thức liên hệ a b để hàm số sau liên tục x   ax  bx   x   f  x   x a  b x   A a  b  B 2a  b  Câu A m1;2 Câu D 3a  2b       x  Tìm tất giá trị tham số thực m để Cho hàm số f  x     x  x  m3 x   3m x   hàm số liên tục Câu C 3a  4b  B m1; 2 C m1;2 D m1; 2  x6 a x   Trong a b tham số thực Biết hàm Cho hàm số f  x    x    x3   2b  1 x x   số liên tục x  Số nhỏ hai số a b A B C D   x sin Cho hàm số f  x    x  a cos x  hàm số liên tục A a  11 C a  x  Tìm tất giá trị tham số thực a để x  B a  D Khơng có giá trị a thỏa mãn Chuyên đề giới hạn liên tục Hội toán Bắc Nam 1 Chọn khẳng định đúng: A Phương trình 1 vơ nghiệm khoảng  1;1 B Phương trình 1 có nghiệm khoảng  1;1 C Phương trình 1 có hai nghiệm khoảng  1;1 D Phương trình 1 có hai nghiệm khoảng  1;1 Câu Cho phương trình 4x  2x  x   Câu Tìm tất giá trị tham số thực m cho phương trình  m2  5m  4 x5  x2   có nghiệm A m \ 1;4 B m  ;1   4;  C m1;4 D m Câu 10 Tìm tất giá trị tham số thực m cho phương trình sau có nghiệm  2m  5m  2  x 1 1  \  ; 2 2  1  C m   ; 2 2  A m  2017 x 2018  2  x   1  B m   ;    2;   2  D m ... STUDY TIP: Giới hạn tích hai hàm số - Tích hàm số có giới hạn hữu hạn khác với hàm số có giới hạn vơ cực hàm số có giới hạn vơ cực Chuyên đề giới hạn liên tục Hội toán Bắc Nam - Dấu giới hạn theo... cấp số nhân lùi vô hạn: u S  u1  u1q  u 1q   1 q III DÃY SỐ CĨ GIỚI HẠN VƠ CỰC Dãy số có giới hạn  Ta nói dãy số  un  có giới hạn  với số dương tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể... với số nguyên dương k cho trước Trường hợp đặc biệt : limn   d) lim q n   q  Dãy số có giới hạn  Ta nói dãy số  un  có giới hạn  với số âm tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số