PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO PHÙ NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2017 - 2018 MƠN: TỐN Thời gian: 135 phút khơng kể thời gian giao đề Đề thi có: 03 trang I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Hãy chọn phương án trả lời ghi vào Tờ giấy thi (Ví dụ: - D) Câu Nếu phương trình  1 x  m  có nghiệm giá trị m là: A 0; B 1; C - 1; Câu Gọi a nghiệm phương trình: a  a bằng: A 10; B 12; D -  x  1  x    C 14; Câu Cho hàm số bậc nhất: y =  x  với x  D 16  x  Tìm m để hàm số đồng biến R, ta m 1 có kết : A m �-1 B m � -1 C m < - D m > -1 Câu Cho hàm số y  2x  Kết luận sau sai ? A) Đồ thị cắt trục tung điểm M(0;  5) ; B) Đồ thị cắt trục hoành điểm N( ;0) C) Các điểm E( 5; 5), F(1;  5) thuộc đồ thị hàm số D) Các điểm G( 2; 2  5), H(1;  2) khơng thuộc đồ thị hàm số Câu Phương trình x  có nghiệm là: A) x  � B) x  2 D) x  � C) x  � �x  y  xy  Câu Giải hệ phương trình � Tập nghiệm hệ phương trình là? x  y  � A S    2;3 ;  3;   B S    3;  ;  5;10   C S    1;  ;  2;1  D S    2;5 ;  5;   Câu Biết phương trình 3x2 - 4x + mx = (m tham số) có nghiệm nguyên dương bé Khi giá trị m là: A - B C - D Câu Cho ABC có điểm M cạnh AC Kẻ MN song song với BC  N �AB  , kẻ 2 MP song song với AB  P �BC  Biết S AMN   cm  ; SCMP   cm  Tính S ABC  ? A 16  cm  B 25  cm  C 32  cm  D 50  cm  Câu Cho tam giác ABC có AB = 10cm; AC = 15cm Một đường thẳng qua M thuộc cạnh AB song song với BC, cắt AC N, cho AN = BM, độ dài đoạn AM là: A 3cm B 6cm C 5cm D 4cm 2 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 2 Câu 10 Một tam giác vng có cạnh góc vng lớn dài gấp lần cạnh góc vng nhỏ diện tích 24 cm2 số đo cạnh huyền A 13 cm B 12 cm C 10 D 10 Câu 11 Cho tam giác ABC có  = 90 , AH vng góc với BC, sinB = 0,6 Kết sau sai: A) cos C = AH AC ; B) cos C = sin HAC; C) cos C = 0,6 ; D) cos C = CH AC Câu 12 Cho Đường tròn (O;R) Một dây cung đường tròn có độ dài bán kính R Khoảng cách từ tâm O đến dây cung nầy : ( Chọn câu ) A R ; B R ; C R ; D R Câu 13 Cho (O; 6cm) Từ M nằm ngồi đường tròn tâm O dựng tiếp tuyến MA với đường tròn tâm O, A tiếp điểm MA = 10 cm khoảng cách từ M đến O là: A cm B 34 cm C 34 cm D 34 cm ’ ’ Câu 14 Cho (O ; 3cm) (O ; 2cm) nhau, OO = 10 cm Điểm M nằm bên ngồi hai đường tròn cho đoạn tiếp tuyến kẻ từ M đến (O) (O ’) Gọi H hình chiếu M OO’ độ dài đoạn HO : A 4,75 cm B cm C 5,25 cm D 5,5 cm Câu 15 Cho  ABC vuông A , đường cao AH Gọi (O; r ) , (O1 ; r1 ) , (O2 ; r2 ) theo thứ tự đường tròn nội tiếp  ABC,  ABH,  ACH Khẳng định sau đúng: A O, O1, O2 thẳng hàng B r  r1  r2  AH C r12  r2  r D Cả ba khẳng định sai Câu 16 Ba bạn học sinh Nam, Bắc, Trung làm kiểm tra mơn Tốn đạt điểm khác 8, 9, 10 Biết mệnh đề: a) Nam đạt điểm 10; b) Bắc không đạt điểm 10; c) Trung khơng đạt điểm Chỉ có mệnh đề Khi điểm kiểm tra Tốn bạn là: A Bắc 10, Trung 9, Nam B Bắc 10, Trung 8, Nam C Bắc 8, Trung 9, Nam 10 D Không xác định II PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm) Câu (3,0 điểm) a) Chứng minh với số tự nhiên n ta có: A = 7.5 2n + 12.6n chia hết cho 19 b) Tìm số tự nhiên n cho: n + 24 n – 65 hai số phương Câu (3,5 điểm) a) Giải phương trình: x  2015 x  2014  2017 x  2016 �1 1 �� � : b) Cho x, y, z thỏa mãn �   �� � �x y z ��x  y  z �     21 21 y11  z11 z 2017  x 2017 Tính giá trị biểu thức B  x  y Câu (4,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC Gọi A điểm cố định nửa đường tròn (A  B;C ), D điểm chuyển động AC Hai đoạn thẳng BD AC cắt M, gọi K hình chiếu M BC https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ a) Chứng minh M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADK b) Chứng minh BM.BD + CM.CA không đổi D di chuyển AC c) Khi D di chuyển AC ( D  C), chứng minh đường thẳng DK qua điểm cố định Câu (2,0 điểm) Tìm giá trị lớn biểu thức: A = 2x +  x  x với -1 ≤ x ≤ ……………… Hết ……….…… Cán coi thi khơng cần giải thích thêm./ Họ tên thí sinh:…………………………………… SBD:…………… https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ PHỊNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO PHÙ NINH HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2017 - 2018 MƠN: TỐN I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Mỗi câu trả lời cho 0,5 điểm Câu 10 11 12 13 14 15 16 Đáp án A B C C,D C C B,C B D C A C A C B,C B II PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm) Câu (3,0 điểm) a) Với n = ta có A(0) = 19 M19 Giả sử A chia hết cho 19 với n = k nghĩa là: A(k) = 7.52k + 12.6k M19 Ta phải chứng minh A chia hết cho 19 với n = k + nghĩa phải chứng minh: A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + M 19 2(k + 1) Ta có: A(k + 1) = 7.5 + 12.6k + = 7.52k.52 + 12.6n = 7.52k.6 + 7.52k 19 + 12.6n = 6.A(k) + 7.52k 19 M 19 Vậy theo nguyên lý quy nạp A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 với số tự nhiên n  n  24 k b) Ta có:   n  65 h � k2  24  h2  65   k  h  k  h  89 1.89  k  h 89  k 45      k  h 1  h 44 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy: 0,25 0,25 0,25 n = 45 – 24 = 2001 0,50 0,25 Câu (3,5 điểm) a) Giải phương trình: x  2015 x  2014  2017 x  2016 2016 2017 Điều kiện x �  Phương trình cho tương đương với x  x   2017 x  2016  2017 x  2016   �  x  1    2017 x  2016   �x   �� � 2017 x  2016   https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 1,0 �x  �� 2017 x  2016  � � x  (thỏa mãn điều kiện) Vậy x  nghiệm phương trình cho 0,75 �1 1 �� � : b) Cho x, y, z thỏa mãn �   �� � �x y z ��x  y  z �    21 21 y11  z11 z 2017  x 2017 Tính giá trị biểu thức B  x  y �1 1 �� � �1 1 � :  x  y  z  Ta có: �   �� � � �   � �x y z ��x  y  z � �x y z � � (yz + xz + xy)(x + y + z) = xyz � xyz + zy2 + yz2 + zx2 + xyz + xz2 + yx2 + xy2 + xyz = xyz � (xyz + zx2 + xy2+ yx2)+ (zy2 + yz2 + xz2 + xyz) = � x(yz + zx + y2+ yx)+ z(y2 + yz + xz + xy) = x  y � � � (yz + zx + y2+ yx)( x+ z) = � ( x  y )( y  z )( x  z )  � � y  z � z  x � Thay vào B tính B =  1,0 0,75 Câu (4,0 điểm) D A M a Tứ giác MKCD nội tiếp  MDK  MCK ADB  ACB (hai góc nội tiếp (O) chắn AB )  MDK  MDA hay DM phân giác tam giác ADK Tương tự chứng minh AM phân giác tam giác ADK Vậy M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADK https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 0,25 0,25 0,5 b Hai tam giác BMK BM BC    BM.BD  BK.BC BK BD BCD đồng dạng 0,5 Tương tự ta có CM.CA  CK.CB 0,25 0,25  BM.BD  CM.CA  BK.BC  CK.BC  BC2 Do BC không đổi, BM.BD  CM.CA không đổi D chuyển động cung AC c Đường thẳng qua A vng góc với BC cắt DK I  AI // 0,5 0,25 0,25 MK  IAC  KMC Lại có tứ giác MDCK nội tiếp  KMC  KDC Vậy IAC  IDC tứ giác ADCI nội tiếp hay I  đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC  I O cố định, mà I  đường thẳng qua A cố định, vng góc với BC cố định Vậy I cố định hay DK qua I cố định Câu (2,0 điểm) A  2x   x  x = 2x + ( x  1)(1  x) với 1  x  0,25 Áp dụng bất5đẳng thức cosi cho hai số (x 1) 1 5x không âm ( x  1)  (1  x) 0,5 0,5 có (x 1)  1 5x  Có ( x  1)(1  x)  0,5 0,5  1 2x A  2x 1 2x  A 1 Dấu “=” xảy (x 1) 1 5x  6x   x  thỏa điều kiện 1  x  Vây giá trị lớn A đạt x  0,25 0,25 0,25 ………………… Hết ………………… https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ ... Tốn đạt điểm khác 8, 9, 10 Biết mệnh đề: a) Nam đạt điểm 10; b) Bắc không đạt điểm 10; c) Trung không đạt điểm Chỉ có mệnh đề Khi điểm kiểm tra Toán bạn là: A Bắc 10, Trung 9, Nam B Bắc 10, Trung... = 19 M 19 Giả sử A chia hết cho 19 với n = k nghĩa là: A(k) = 7.52k + 12.6k M 19 Ta phải chứng minh A chia hết cho 19 với n = k + nghĩa phải chứng minh: A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + M 19 2(k... 2014  2017 x  2016 2016 2017 Điều kiện x �  Phương trình cho tương đương với x  x   2017 x  2016  2017 x  2016   �  x  1    2017 x  2016   �x   �� � 2017 x  2016   https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/