UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017-2018 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG II Bài (3,0 điểm): Cho ba số thực a, b, c thỏa a  b   c  a  b  c   2  a 2b  b 2c  c a  a) Chứng minh 4 2 b) Tính a  b  c có thêm điều kiện a  b  c  Bài (4,0 điểm): Tam giác ABC có số đo cạnh là: a, b, c Gọi p chu vi tam giác Chứng minh : 1  � a) a b a  b 1 �1 1 �   �2 �   � �a b c � b) p  a p  b p  c 2 c) Cho 2p = 18 Tìm giá trị nhỏ a  b  c Bài (4,0 điểm): x  1  x  3  x    m  Cho phương trình: Thực hiện: a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 , x4 thỏa: 1 1     1 x1 x2 x3 x4 Bài (7,0 điểm): Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O M điểm thuộc cạnh BC (M khác B, C) Trên cạnh AB lấy điểm N cho BN = CM Tia AM cắt đường thẳng CD E a) Chứng minh ∆OMN tam giác vuông cân b) Chứng minh MN // BE c) Gọi H giao điểm OM với BE Chứng minh CH vng góc với BE Bài (2,0 điểm): 2 Tìm nghiệm nguyên phương trình: x  x  y  19 ====HẾT==== https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017-2018 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN VỊNG II Bài (3,0 điểm): Từ a  b   c  được: a  b2   c  2ab  2ac  2bc  (a  b   c )  4( ab  ac  bc ) (a  b   c )  4( a 2b  a 2c  b 2c  a 2bc  b 2ac  c 2ab) 0,25 0,25 0,25 0,50 (a  b   c )  4( a 2b  a 2c  b 2c  abc (a  b  c )) Thay a + b + c = được: (a  b   c )  4( a 2b  a 2c  b 2c ) a  b  c  2(a 2b  a 2c  b 2c ) 0,25 0,50 2 2 2 2 2 ( a  b    c )  4( a b  a c  b c ) Từ (a  b  c )2 4 a  b  c    a  b  c   2  a b  b c  c a  được: 62 a  b4  c4   18 Thay Bài (4,0 điểm): 1 ab �۳ a b ab ab ab � (a  b) �4ab (Do a > 0, b >0 nên ab(a+b)>0) 4 2 2 2 � (a  b)2 �0 Áp dụng a) được: 1 4  �  p  a p b 2p a b c ; 1 4 1 4  �   �  p  a p  c 2p  a c b ; p b p c 2p b  c a Cộng được: 1 4 2(   )�   pa p b p c c b a 1 1 1 �   �2(   ) p a p b p c c b a 2 2 2 a  b � ab ; b  c � bc ; a  c �2ac Có 2 Cộng được: 2(a  b  c ) �2ab  2ac  2bc https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 0,75 0,25 0,25 0,50 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 � 3(a  b  c ) �a  b  c  2ab  2ac  2bc (a  b  c)  p  � a b c �  3 2 a  b  c có giá trị nhỏ 182: = 108 a  b  c = 2 0,25 0,50 Bài (4,0 điểm):  x  1 ( x  1)  x  3  x    0,50 ( x  x  5)( x  x  3)  Đặt y = x  x  được: ( y  4)( y  4)  � y  25 � y  y  5 0,50 x  x   5 � x  x   � x  2 x  x   � x  x   x  2  10 x  2  10 2 Từ phương trình ( x  x  5)( x  x  3)  m (*) Đặt y = x  x  ( y  4)( y  4)  m y  m  16 y   m  16 1 1 x x x  x4     1 �   1 x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 (*) Do x1; x2 ; x3 ; x4 có vai trò biểu thức Gọi x1; x2 hai nghiệm phương trình: x  x   m  16 � x  x   m  16  (1) 0,25 0,25 0,50 0,50 0,50 Có: x1  x2  4 x1.x2  1  m  16 x3 ; x4 hai nghiệm phương trình: x  x    m  16 � x  x   m  16  (2) Có: x3  x4  4 x3 x4  1  m  16 Thay vào (*) được: 4 4 1 1   1 �   1  m  16 1  m  16 1  m  16 1  m  16 2 1  � m  16   � m  7 (1  m  16)(1  m  16) Với m = -7 (*) có nghiệm phân biệt Kết luận m = -7 Bài (2,0 điểm): x  x   21  y 0,25 0,50 0,25 2( x  1)  3(7  y ) 0,50 0,25 2 Do 2( x  1) �0 nên y �7 0,50 2 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Xét : y = 0; y = ±1; y = ±2 2 Do 2( x  1) số chẵn   y số chẵn  y = ±1 Được nghiệm (2; ) ; (2 ; -1) ; (-4, 1) ; (-4 ; -1) Bài (7,0 điểm): OBN ∆OCM có: BN = CM (gt) OB = OC (ABCD hình vng) OBN = OCM = 450  ∆OBN = ∆OCM  ON = OM (1) Và BON = COM  BON + BOM = COM + BOM  NOM =COB = 900 (2) Từ (1) (2) ∆NOM vuông cân O AM BM = AB // CE � ME MC (Theo Ta-Let) Có BM = AN � NB = MC AM AN = Thay được: ME NB � MN // BE (Theo Ta-Let đảo) MN // BE  BHM =  NMO = 450 (1)  BMH =  OMC (đối đỉnh)  BMH đồng dạng với OMC  MH/MC = MB/MO Và có  HMC =  OMB (đối đỉnh)  MHC đồng dạng với MBO  MHC = MBO = 450 (2) 0 Từ (1) (2) BMC = BHM + MHC = 45 + 45 =90 Hay CH  BE ====HẾT==== https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 0,50 0,25 0,75 0,50 0,75 0,50 0,50 0,50 0,50 0,25 0,25 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Để dành: Giải phương trình sau: 2 ( x  x )  2( x  3)  81 a) b) x  x   2 x  ( x  x)2  2( x  x  9)  81 ( x  x)  2( x  x)  18  81  2 2 Đặt y = x  x được: y  y  99  Giải phương trình theo y được: y1 = 11 y2 = - Giải x  x  11 x   20 x   20 Giải x  x  9 x  0,50 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 Vậy phương trình có ba nghiệm: x   20 ; x   20 ; x  Cộng 2x+ + vào vế được: x2  x   2x   2 x   ( x  3)2  ( x   1) x   2x   � x   2x  � x  x   x  x  2 x  x   � x  1 x    2x   x    2x  x  x  16  x  x  x  13  (vô nghiệm) https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 0,50 0,50 0,50 0,50 ...UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017-2018 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN VỊNG II Bài (3,0... 2( x  x  9)  81 ( x  x)  2( x  x)  18  81  2 2 Đặt y = x  x được: y  y  99  Giải phương trình theo y được: y1 = 11 y2 = - Giải x  x  11 x   20 x   20 Giải x  x  9 x  0,50...  HMC =  OMB (đối đỉnh)  MHC đồng dạng với MBO  MHC = MBO = 450 (2) 0 Từ (1) (2) BMC = BHM + MHC = 45 + 45 =90 Hay CH  BE ====HẾT==== https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 0,25