UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017-2018 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC - VỊNG I Bài (4,0 điểm): a) Thực tính: A = + + 14 − b) Chứng minh rằng: Nếu a, b, c a’, b’, c’ độ dài cạnh hai tam giác đồng dạng (các cạnh có độ dài a, b, c tương ứng với cạnh có độ dài a’, b’, c’) thì: aa ' + bb ' + cc ' = (a + b + c)(a '+ b '+ c ') 2017 2017 + 2017 + + = 2018 2018 2018 c) Chứng minh: Bài 2(4,0 điểm): Giải hệ phương trình sau: 4( x + y ) = 5( x - y )   x + ( y + 1) = xy + x + 40  40  x + y + x- y =  a) b) 2 x = x + y + Bài (5,0 điểm): Cho tam giác nhọn ABC có AD CE đường cao Gọi H giao điểm AD CE Đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE cắt AC F a) Chứng minh ba điểm B, H, F thẳng hàng b) Gọi M, N trung điểm AH BC Chứng minh đường thẳng EF vng góc với đường thẳng MN c) Tia phân giác góc BAC cắt MN K Chứng minh MK= MA Bài (4,0 điểm): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O M điểm di chuyển cung nhỏ BC Trên đoạn thẳng AM lấy điểm D cho MD = MB a) Khi M di chuyển cung nhỏ BC điểm D di chuyển đường nào? b) Xác định vị trí M cung nhỏ BC để MA + MB + MC lớn Bài (3,0 điểm): 3 Cho a, b, c ba số nguyên liên tiếp Chứng minh: a + b + c chia hết cho ==== HẾT==== https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017-2018 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN- VỊNG I Bài (4,0 điểm): A = + + 28 − 10 A = (1 + 3) + (5 − 3) ⇒ A =1+ + − = A = 6: = a' b' c' = = =k Đặt: a b c a’ = ka; b’ = kb; c’ = kc 2 Thay VT = ka + kb + kc = k (a + b + c) (Do a>0, b>0, c>0) Và VP = ( a + b + c)( ka + kb + kc) = k (a + b + c ) = k (a + b + c ) 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 0,50 (Do a + b + c > 0) 20182 + 2017 2.20182 + 2017 2017 = + 20182 2018 = 20182 + (2018 − 1) 20182 + 2017 2017 + 20182 2018 = 20182 + 20184 − 2.2018.20182 + 20182 + 2017 2017 + 20182 2018 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 20182 + 20184 − 2.(2017 + 1).20182 + 20182 + 2017 2017 = + 20182 2018 20184 − 2.2017.20182 + 2017 2017 (20182 − 2017) 2017 = + = + 20182 2018 20182 2018 2018 − 2017 2017 = + = 2018 2018 2018 Bài 2(4,0 điểm): 4 X = 5Y   40 40 + =9   X Y Đặt x+ y = X x – y = Y 40 5.40 10 + = ⇔ ( + ) = ⇔ X = 10 X Thay Y từ (1) vào (2) được: X X x+ y = 10 ⇒ x – y = https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 0,25 0,75 0,50  x + y = 10 x =   x− y =8 y =1  Giải hệ  2 2  x + ( y + 1) = xy + x +  x + ( y + 1) = x( y + 1) + ⇔  x = x + y +  2 x − x = y + Thay (2) vào (1) được: x + (2 x − x) = x(2 x − x) + x2 + x6 − x4 + x2 = x4 − x2 + x6 − x + 3x − = x ( x − 1) − x ( x − 1) + x − = ( x − 1)(4 x − x + 1) = Phương trình x − x + = vô nghiệm; Phương trình có x2 – = nghiệm x = ±1 Vậy hệ có nghiệm (1; 0) (-1; -2) 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài (5,0 điểm): Có ∠HEA=900 ⇒ Đường tròn đường kính HA đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE ⇒ ∠AFH =900 (Góc nội tiếp chắn ½ đường tròn) Hay HF ⊥ AC Lại có BH ⊥ AC (H trực tâm ∆ABC) ⇒ Ba điểm B, H, F thẳng hàng (Tiên đề Euclude) Từ a) BF⊥ FC ⇒ F thuộc đường tròn tâm N đường kính BC Từ CE ⊥ EB ⇒ F thuộc đường tròn tâm N đường kính BC ⇒ E, F giao điểm đường tròn tâm M đường kính HA (N) với đường tròn tâm N đường kính BC (M) ⇒ EF dây chung (N) (M) ⇒ EF⊥ MN Gọi K’ giao điểm MN với đường tròn (M) có: Do K’ thuộc (M) nên: ∠K’FE =∠K’AE ∠K’EF=∠K’AF (Góc nội tiếp) Do K’ thuộc MN nên: K’E =K’F ⇒ ∠K’FE=∠K’EF ∠K’AE = ∠K’AF ⇒ AK’ phân giác BAC ⇒ K’ ≡ K (K’ vừa thuộc phân giác ∠BAC vừa thuộc MN) Do MA =MK’ ⇒ MA = MK https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 0,50 0,50 0,25 0,25 0,50 0,25 0,50 0,50 0,50 0,50 0,25 0,25 0,25 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Bài (4,0 điểm): ∆MBD cân M Có ∠BDM = 600 ⇒ ∆MBD tam giác ⇒ ∠BDM = 600 ⇒ ∠BDA = 1200 ⇒ Khi M di chuyển cung nhỏ BC M di chuyển cung tròn (nằm nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm M) nhìn AB góc 1200 ∆DBA ∆MBC có: BA = BC (∆ABC đều) ∠BAD = ∠BCM (Cùng chắn cung BM) ∠ABD = ∠CBM (=600 - ∠DBC) ⇒ ∆DBA = ∆MBC ⇒ MC = DA ⇒ MA + MB + MC = MA + MD + DA = 2MA MA + MB + MC lớn MA lớn ⇒ AM đường kính (O) ⇒ M điểm cung nhỏ BC Bài (3,0 điểm): Đặt a = n -1 được: a + b3 + c3 = (n − 1)3 + n3 + (n + 1)3 = n3 − 3n + 3n − + n3 + n3 + 3n + 3n + = 3n3 + 6n = 3n(n + 2) Xét trường hợp: n = 3k 3n = 9k ⇒ 3n( n + 2) chia hết cho 3 ⇒ a + b + c chia hết cho n = 3k ±1 n2 + = 9k2 ± 6k + + 2= 9k2 ± 6k + n2 + chia hết cho ⇒ 3n( n + 2) chia hết cho 3 ⇒ a + b + c chia hết cho ==== HẾT==== https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 0,50 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 0,50 0,50 0,25 0,50 0,25 0,25 ... + 1) = xy + x +  x + ( y + 1) = x( y + 1) + ⇔  x = x + y +  2 x − x = y + Thay (2) vào (1) được: x + (2 x − x) = x(2 x − x) + x2 + x6 − x4 + x2 = x4 − x2 + x6 − x + 3x − = x ( x − 1). ..UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017-2018 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN- VỊNG I Bài (4,0... (n − 1)3 + n3 + (n + 1)3 = n3 − 3n + 3n − + n3 + n3 + 3n + 3n + = 3n3 + 6n = 3n(n + 2) Xét trường hợp: n = 3k 3n = 9k ⇒ 3n( n + 2) chia hết cho 3 ⇒ a + b + c chia hết cho n = 3k ±1 n2 + = 9k2