LèI CÁM ƠN Lu¾n văn đưoc hồn thành tai trưịng Đai hoc Sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan cna thay giáo TS Nguyen Văn Khái Sn giúp đõ hưóng dan t¾n tình song rat nghiêm túc cna thay suot q trình thnc hi¾n lu¾n văn giúp tác giá trưóng thành rat nhieu cỏch tiep cắn mđt van e múi Tỏc giỏ xin bày tó lịng biet ơn, lịng kính sâu sac nhat đoi vói thay Tác giá xin trân cám ơn Ban giám hi¾u trưịng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2, phịng Sau đai hoc, thay giáo nhà trưịng thay giáo day cao hoc chun ngành Tốn giái tích giúp đõ, tao đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá suot q trình hoc t¾p Tác giá xin chân thành cám ơn ngưịi thân, gia đình, ban bè giúp đõ, đng viờn v tao ieu kiắn thuắn loi e tỏc giá hồn thành khóa hoc Thac sĩ hồn thành luắn ny H Nđi, ngy 05 thỏng 11 nm 2013 Tác giá Đ¾ng Th% Hương LèI CAM ĐOAN Lu¾n văn đưoc hồn thành tai trưịng Đai hoc Sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Văn Khái Tơi xin cam đoan lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi Trong q trình nghiên cúu hồn thành lu¾n văn tơi ke thùa nhung thành khoa hoc cna nhà khoa hoc đong nghi¾p vói sn trân biet ơn Tơi xin cam đoan rang thơng tin trích dan lu¾n văn đưoc chí rõ nguon goc Hà Nđi, ngy 05 thỏng 11 nm 2013 Tỏc giỏ ắng Th% Hương Mnc lnc Má đau 1 M®t so van đe ve đa thNc n®i suy 1.1 Bài tốn n®i suy co đien 1.2 M®t so cơng thúc bieu dien 1.2.1 Công thúc n®i suy Lagrange 1.2.2 Công thúc n®i suy Newton Phân tích cơng thNc n®i suy Newton moc cách đeu 14 2.1 Phân tích đ%nh tính 14 2.2 Phân tích qua tốn cu the 15 2.2.1 Các toán lưong giác, lưong giác ngưoc .15 2.2.2 Các toán mũ, logarit 38 2.2.3 Các toán thúc, phân thúc huu tí 63 2.2.4 Các tốn dang chuoi hàm 75 2.2.5 Các tốn siêu b®i 127 Ket lu¾n 153 Tài li¾u tham kháo 156 iii Mé ĐAU Lý chon đe tài Trong cuon sách "Các só tốn hoc tính tốn" (tieng Nga) cna B.P Demidovich I.A Maron, Matxcova 1963 tai trang 510 có viet: "Neu can tính gan f (x) tai x gan x0 ta dùng cơng thúc n®i suy Newton tien, neu can tính gan f (x) tai x gan xn ta dùng cơng thúc n®i suy Newton lùi se có loi" Tù ánh hưóng cna cuon sách mà rat nhieu giáo trình ve Giái tích so ó Vi¾t Nam có nh¾n xét tương tn: Phương pháp tính, Lê Đình Th%nh, Nhà xuat bán khoa hoc ky thuắt, 1995 tai trang 103 "Cỏc cụng thỳc nđi suy Newton tien dùng đe tính giá tr% ó đau báng, cơng thúc n®i suy Newton lùi dùng đe tính giá tr% ó cuoi báng" Giái tích so, Pham Kỳ Anh, Nhà xuat bán Đai hoc Quoc gia Hà N®i, 2005 tai trang 49 "Neu can tính f (x) tai x c x0(x c xn) ta nên dùng cơng thúc n®i suy Newton tien (lùi) đ® xác cao hơn." Giái tích so, Nguyen Minh Chương - Nguyen Văn Khái - Khuat Văn Ninh - Nguyen Văn Tuan - Nguyen Tưòng, Nhà xuat bán giáo duc, 2009 tai trang 54 "Neu can tính f (x) tai x gan x0 nên dùng đa thúc n®i suy Newton ó đau báng, ý nghĩa tương tn cho đa thúc n®i suy Newton ó cuoi báng giua báng." Phương pháp so, Tơn Tích Ái, Nhà xuat bán Đai hoc Quoc gia Hà N®i, 2001 tai trang 104 "Cơng thúc n®i suy Newton tien đưoc sú dung đe n®i suy ngoai suy điem x nam gan điem x0 đau tiên cna báng.", tai trang 105 "Công thúc n®i suy Newton lùi đưoc sú dung đe n®i suy ngoai suy điem gan vói điem cuoi cna báng xn." Tốn hoc tính tốn, Dỗn Tam Hịe, Nhà xuat bán giáo duc, 2005 tai trang 79 "Vói báng so li¾u q dài, ngưịi ta dùng cơng thúc Newton tien đe n®i suy ó đau báng, cơng thúc lùi đe n®i suy ó cuoi báng" Giái tích so, Tran Anh Báo - Nguyen Văn Khái - Pham Văn Kieu Ngô Xuân Sơn, Nhà xuat bán Đai hoc Sư pham, 2003 tai trang 33 "Neu can tính f (x) tai x gan x0 nên dùng cơng thúc n®i suy Newton tien; ngưoc lai, neu can tính f (x) tai x gan xn nên dùng cơng thúc n®i suy Newton lùi." Giái tích so, Pham Phú Triêm - Nguyen Bưòng, Nhà xuat bán Đai hoc Quoc gia Hà N®i, 2000 tai trang 110 "Cơng thúc n®i suy Gregory Newton tien thưịng hay đưoc dùng đe tìm giá tr% cna hàm f (x) tai vùng đau cna báng Tuy nhiên, có the dùng đưoc đe n®i suy ó cuoi báng, rat bat ti¾n", tai trang 114 "Cơng thúc n®i suy Gregory - Newton lùi thưịng hay đưoc dùng đe tìm giá tr% cna hàm f (x) tai vùng cuoi cna báng." Tuy nhiên, có m®t so giáo trình khác ve Giái tích so khơng đưa nh¾n xét trên: Phương pháp tính, Ta Văn Đĩnh, Nhà xuat bán Giáo duc, 2007 Phương pháp tính, Dương Thny Vy, Nhà xuat bán khoa hoc ky thu¾t, 1999 Nham làm sáng tó van đe phân tích đ%nh tính phân tích đ%nh lưong qua tốn cu the tơi chon đe tài cho lu¾n văn thac sĩ cna mình: “Ve pham vi áp dnng cúa cơng thNc n®i suy Newton moc cách đeu” Mnc đích nghiên cNu Lu¾n văn làm sáng tó van đe tai x gan x0 tính gan f (x) sú dung cơng thúc n®i suy Newton tien lai tot so vói sú dung cơng thúc n®i suy Newton lùi; tương tn x gan xn tính gan f (x) sú dung cơng thúc n®i suy Newton lùi lai tot so vói sú dung cơng thúc n®i suy Newton tien Nhi¾m nghiên cNu Nghiên cúu phương pháp n®i suy Newton m®t cách chi tiet ve lý thuyet phân tích cơng thúc n®i suy Newton tien, cơng thúc n®i suy Newton lùi nhung tốn cu the nham làm sáng tó van đe Đoi tưang pham vi nghiên cNu Đoi tưong: Nghiên cúu ve đa thúc n®i suy Newton moc cách đeu úng dung Pham vi nghiên cúu: Các tài li¾u, giáo trình liên quan đen cơng thúc n®i suy Newton Trình bày cu the tốn nham làm sáng tó muc đích nghiên cúu Phương pháp nghiên cNu Nghiên cúu lý thuyet: Thu th¾p tài li¾u, đoc phân tích, tong hop đe đưoc m®t nghiên cúu tong quan ve cơng thúc n®i suy Newton moc cách đeu Nghiên cỳu ỳng dung: Vắn dung cụng thỳc nđi suy Newton moc cách đeu vào giái toán DN kien đóng góp mái Đe tài nghiên cúu làm sáng tó van đe nêu làm rõ tai dan đen ket q Lu¾n văn tài li¾u phuc vu cho ban sinh viên hoc t¾p nghiên cúu Chương M®t so van đe ve đa thNc n®i suy 1.1 Bài tốn n®i suy co đien Trong thnc te, thưịng g¾p nhung hàm so y = f (x) khơng biet bieu thúc giái tích cu the cna chúng; chang han bang đo đac, thnc nghi¾m ta chí thu đưoc ó dang m®t báng so, nghĩa biet giá tr% yi tai điem xi tương úng (i = 0, 1, , n) Cũng có trưịng hop biet quy lu¾t bien đoi y = f (x) f (x) có dang phúc tap giá tr% y = f (x) khó tính tốn đưoc Trong trưịng hop v¾y ngưịi ta tìm cách thay hàm f (x) bói hàm P (x) đơn gián, thưòng P (x) đưoc chon đa thúc Đ%nh nghĩa 1.1.1 H¾ n + điem phân bi¾t {xi} vói xi ∈ [a, b] , i = 0, , n đưoc goi n + moc nđi suy Sau õy ta kớ hiắu Pn = (1, x, , xn) không gian vecto R sinh bói h¾ đơn thúc 1, x, , xn Đ%nh lý 1.1.1 Cho n + moc n®i suy xi n + giá tr% ω0, ω1, , ωn Khi đó, ton tai nhat Pn(x) ∈ Pn cho Pn(xi) = ωi, i = 0, , n (1.1) Chúng minh Đa thúc Pn(x) ∈ Pn có dang a0 + a1x + + anxn vói n+1 h¾ so 10 Đieu ki¾n (1.1) tương đương vói n + phương trình tuyen tính n + an ai: a0 + a1xi + + anxin = ωi (i = 0, , n) (1.2) Đ%nh thúc cna h¾ đ%nh thúc Vandermonde tai x0 , x1 , , xn : n x0 x2 · · · x x x V (x0, x1, , xn, ) = n · · · x xn x2 n Đe tính V , ta xét hàm dang đ%nh thúc x0 V (x) = V (x0, x1, , xn 1, x) = − xn−1 x · · · xn n x2 · · · xn xn−1 · · · xnn−1 x2 · · · xn (1.3) rõ ràng V (x) ∈ Pn, đong thịi V (x) tri¾t tiêu tai x0, x1, , xn−1 hay nói cách khác V (x) có n nghi¾m x0, x1, , xn−1 Do V (x0, x1, , xn−1, x) = A(x − x0)(x − x1) (x − xn−1) ó A đai lưong chí phu thu®c vào x0, x1, , xn−1 Đe tính A ta khai trien (1.3) theo dịng cuoi ta có h¾ so cna xn V (x0, x1, , xn−1), v¾y A = V (x0, x1, , xn−1) Tù ta có V (x0, x1, , xn−1, x) = V (x0, x1, , xn−1)(x − x0) (x − xn−1) (1.4) Đ¾c bi¾t 290 = 688 962818104 −3 971 mac phái ∆P = 10−8 × 5.0676367 Sai so 2001 b) = −3.688971968341225 P˜ 10 00 Sai so mac phái ∆P.˜ = 10−8 × 4.5153246 9999 5) Tính gan bang cách áp dung: f 100 9999 a) P Sai b) P˜ Sai = −25.500403130963927 10 00 mac phái ∆P = 10−9 × 2.18645 so 9999 = −25.500403131835848 10 00 so mac phỏi P = 109 ì 3.05837 Nhắn xột 2.58 Sú dung cơng thúc n®i suy Newton tien, cơng thúc n®i 291 suy Newton lùi đe tính gan f (x) = dilog(x3 + 1) vói 15 moc n®i suy cách đeu [2; 10] ta thay: 2001 - Vói x gan x0 cơng thúc n®i suy Newton tien cơng 100 = thúc n®i suy Newton lùi cho ta ket q có đ® xác tương đương 9999 - Vói x gan x15 cơng thúc n®i suy Newton lùi cơng 100 = thúc n®i suy Newton tien cho ta ket q có đ® xác tương đương Như v¾y, tốn đe tính gan f (x) x gan x0 sú dung cụng thỳc nđi suy Newton tien hoắc cụng thỳc n®i suy Newton lùi đ® xác tương đương, tương tn đe tính gan f (x) x gan x15 sú dung cơng thúc n®i suy Newton lựi hoắc cụng thỳc nđi suy Newton tien thỡ đ xác tương đương Bài tốn 2.59 Cho hàm đieu hịa f (x) = harmonic(x) [0; 10] vói 10 15 moc n®i suy cách đeu xi = + ih, 15, i = 0, , 15 h= 1) Tính gan f , f 9999 trnc tiep tù bieu thúc f (x) 100 harmonic(x) = 1000 2) Xây dnng đa thúc n®i suy Newton tien P (x) vói 15 moc n®i suy cách đeu ó 3) Xây dnng đa thúc n®i suy Newton lùi P˜(x) vói 15 moc n®i suy cách đeu ó 4) Tính gan f bang cách áp dung: 1000 a) Cơng thúc n®i suy Newton tien P (x) chí sai so ∆P b) Cơng thúc n®i suy Newton lùi P˜(x) chí sai so ∆P˜ 9999 5) Tính gan f 1000 292 bang cách áp dung: a) Cơng thúc n®i suy Newton tien P (x) chí sai so ∆P b) Cơng thúc n®i suy Newton lùi P˜(x) chí sai so ∆P˜ Lịi giái 1) Ta có ≈ 0.001643733091232 f 1000 293 9999 ≈ 2.928873083107368 f 1000 2) Lắp a thỳc nđi suy Newton tien P (x) cna hàm so f (x) = harmonic(x) vói 15 moc n®i.suy cách đeu [0; 10]: 10t = 1.602835776174 10−14t15 P (x) = × 15 P −1.94826514332 × 10−12t14 + 1.084900271 × 10−10t13 −3.669051784 × 10−9t12 + 8.423420779 × 10−8t11 −0.00000139017885236t10 + 0.00001704083906t9 −0.0001581398009t8 + 0.001122981219337t7 − 0.00613572269t6 +0.02587761604295t5 − 0.08473796015t4 + 0.2196594395664t3 −0.47953792602t2 + 1.08287522958t 3) Lắp a thỳc nđi suy Newton lựi P(x) cna hm so f (x) = harmonic(x) vói 15 moc n®i suy cách đeu [0; 10]: P˜(x) = P˜ 10 = 1.602835776174 10 × 10−14 + t t15 15 +1.658115334834 × 10−12t14 + 7.802429568 × 10−11t13 +2.209321286 × 10−9t12 + 4.19707276 × 10−8t11 +5.646077752 × 10−7t10 + 0.00000553262649t9 +0.0000400018794t8 + 0.000213715247t7 + 0.00083618234t6 +0.00234705806454t5 + 0.00454865603t4 + 0.005808241222t3 +0.0021156594999t2 + 0.06471095675t + 2.92896825396825 294 4) Tính gan f bang cách áp dung: 1000 a) P = 0.001623234625318 1000 Sai so mac phái ∆P = 10−5 × 2.0498465914 b) P = 0.001623375704145 ˜ 1000 Sai so mac phái ∆P.˜ = 10−5 × 2.0357387087 9999 5) Tính gan bang cách áp dung: f 100 a) P 295 = 2.928871193161029 9999 1000 mac phái ∆P = 10−6 × 1.889946339 Sai so 9999 b) P = 2.928871192273770 ˜ 10 00 Sai so mac phái ∆P˜ = 106 ì 1.890833598 Nhắn xột 2.59 Sỳ dung cụng thỳc n®i suy Newton tien, cơng thúc n®i suy Newton lùi đe tính gan f (x) = harmonic(x) vói 15 moc n®i suy cách đeu [0; 10] ta thay: - Vói x gan x0 cơng thúc n®i suy Newton tien cơng 100 = thúc n®i suy Newton lùi cho ta ket q có đ® xác tương đương 9999 - Vói x gan x15 cơng thúc n®i suy Newton lùi cơng 100 = thúc n®i suy Newton tien cho ta ket cú đ chớnh xỏc tng ng Nh vắy, bi tốn đe tính gan f (x) x gan x0 sú dung cơng thúc n®i suy Newton tien hoắc cụng thỳc nđi suy Newton lựi thỡ đ chớnh xác tương đương, tương tn đe tính gan f (x) x gan x15 sú dung công thúc nđi suy Newton lựi hoắc cụng thỳc nđi suy Newton tien đ® xác tương đương Bài tốn 2.60 Cho f (x) = erf(x) [0; 10] vói 15 moc n®i suy cách 10 đeu xi = + ih, h 15, i = 0, , 15 = 1) Tính gan f , f 9999 trnc tiep tù bieu thúc f (x) 100 erf(x) = 1000 296 2) Xây dnng đa thúc n®i suy Newton tien P (x) vói 15 moc n®i suy cách đeu ó 3) Xây dnng đa thúc n®i suy Newton lùi P˜(x) vói 15 moc n®i suy cách đeu ó 4) Tính gan f bang cách áp dung: 1000 a) Cơng thúc n®i suy Newton tien P (x) chí sai so ∆P b) Cơng thúc n®i suy Newton lùi P˜(x) chí sai so ∆P˜ 5) Tính gan f 297 bang cách áp dung: 9999 1000 a) Cơng thúc n®i suy Newton tien P (x) chí sai so ∆P b) Cơng thúc n®i suy Newton lùi P˜(x) chí sai so ∆P˜ Lịi giái 1) Ta có f 1000 ≈ 0.001128378790969 9999 f 1000 2) Lắp a thỳc nđi suy Newton tien P (x) cna hàm so f (x) = erf(x) vói 15 moc n®i suy cách đeu [0; 10]: −13 15 t = 1.0005841826158 × 10 P (x) = 10t P 15 −1.06749585353 × 10−11t14 + 5.015600899 × 10−10t13 −1.3450108323 × 10−8t12 + 2.1914751589 × 10−7t11 −0.000001989126367t10 + 0.0000028253143838t9 +0.0001831951592687t8 − 0.002769608004t7 +0.022173670891t6 − 0.11265409756403t5 + 0.365906488271t4 −0.69055361762t3 + 0.48016535136t2 + 0.591768988986t 3) L¾p đa thúc n®i suy Newton lùi P˜(x) cna hàm so f (x) = erf(x) vói 15 moc n®i suy cách đeu [0; 10]: P˜(x) = P˜ 10 15 10 t + 298 = 8× 1.000584182615 10−1 t15 +1.18381855743 × 10−11t14 + 6.236989290 × 10−10t13 +1.9436541732 × 10−8t12 + 4.0067041956 × 10−7t11 +0.000005780316026t10 + 0.0000601416928447t9 +0.0004577910684720t8 + 0.002556023789t7 +0.010384449620t6 + 0.03009070345158t5 +0.059959807301t4 + 0.07706464780t3 +0.056562887305t2 + 0.017598817030t + 299 4) Tính gan f a) P bang cách áp dung: 1000 = 0.000888731528109 1000 Sai so mac phái ∆P = 10−4 × 2.39647262860 b) P = 0.000888728767225 ˜ 1000 Sai so mac phái ∆P.˜ = 10−4 × 2.39650023744 9999 5) Tính gan f bang cách áp dung: 100 9999 a) P = 0.999973724836649 10 00 mac phái ∆P = 10−5 × 2.6275163351 Sai so 9999 b) P = 0.999973728781166 ˜ 10 00 Sai so mac phỏi P = 105 ì 2.6271218834 Nhắn xột 2.60 Sú dung cơng thúc n®i suy Newton tien, cơng thúc n®i suy Newton lùi đe tính gan f (x) = erf(x) vói 15 moc n®i suy cách đeu [0; 10] ta thay: - Vói x gan x0 cơng thúc n®i suy Newton tien cơng 100 = thúc n®i suy Newton lùi cho ta ket q có đ® xác tương đương 9999 - Vói x gan x15 cơng thúc n®i suy Newton lùi cơng 100 = thúc n®i suy Newton tien cho ta ket q có đ® xác tương đương Như v¾y, tốn đe tính gan f (x) x gan x0 sú dung công thỳc nđi suy Newton tien hoắc cụng thỳc nđi suy Newton lùi đ® xác tương đương, tương tn đe tính gan f (x) x gan x15 sỳ dung cụng thỳc nđi suy Newton lựi hoắc cơng thúc n®i suy Newton tien đ® xác tương đương 300 Ket lu¾n 2.2.5 Đoi vói f (x) l cỏc hm so siờu bđi thnc hiắn kháo sát vói 11 tốn, ta có: Khi tính gan f (x) tai x gan x0 có tốn (18.2%) sú dnng cơng thúc n®i suy Newton tien cho ket q có đ® xác cao cơng thúc n®i suy Newton lùi, tốn (81.8%) sỳ dnng cụng thỳc nđi suy 301 Newton tien hoắc cơng thúc n®i suy Newton lùi cho ket q có đ® xác tương đương, khơng có trưịng hop cơng thúc n®i suy Newton lùi cho ket q có đ® xác cao cơng thúc n®i suy Newton tien; Tương tn tính gan f (x) tai x gan x15 có tốn (18.2%) sú dnng cơng thúc n®i suy Newton lùi cho ket q có đ® xác cao cơng thúc n®i suy Newton tien, tốn (81.8%) sú dnng cơng thúc n®i suy Newton tien hoắc cụng thỳc nđi suy Newton lựi cho ket q có đ® xác tương đương, khơng có trưịng hop cơng thúc n®i suy Newton tien cho ket q có đ® xác cao cơng thỳc nđi suy Newton lựi 302 KET LUắN Luắn văn nghiên cúu phương pháp n®i suy Newton m®t cách chi tiet ve lý thuyet thnc hi¾n phân tích cơng thúc n®i suy Newton tien, cơng thúc n®i suy Newton lùi 60 toán cu the Trên só đó, lu¾n văn rút ket lu¾n sau: Khi tính gan giá tr% cna hàm so f (x) sú dung đa thúc n®i suy Newton tien, đa thúc n®i suy Newton lùi vói x gan x0 ho¾c x gan xn ta có Ve m¾t đ%nh tính, so phép tốn can thnc hi¾n đoi vói đa thúc n®i suy Newton tien đa thúc n®i suy Newton lùi bang Ve m¾t đ%nh lưong, sú dung phan mem Maple 16 thnc hi¾n kháo sát qua 60 tốn cu the vói đa dang hàm so: hàm so lưong giác, hàm so phân thúc huu tí, hàm so siêu vi¾t, hàm so dang chuoi hàm, hàm so siêu b®i ta có ket q chung sau: - Tính gan giá tr% cna hàm so f (x) x gan x0 có 39 tốn (65%) đa thúc n®i suy Newton tien cho ket q có đ® xác cao đa thúc n®i suy Newton lùi, 21 tốn (35%) đa thúc n®i suy Newton tien đa thúc n®i suy Newton lùi cho ket q có đ® xác tương đương, khơng có trưịng hop đa thúc n®i suy Newton lùi cho ket q có đ® xác cao đa thúc n®i suy Newton tien - Tính gan giá tr% cna hàm so f (x) x gan xn có 35 tốn (58.33%) đa thúc n®i suy Newton lùi cho ket q có đ® xác cao đa thúc n®i suy Newton tien, cịn lai 25 tốn (41.67%) đa thúc n®i suy Newton tien đa thúc n®i suy Newton lùi cho ket q có đ® xác tương đương, khơng có trưịng hop đa thúc n®i suy Newton tien cho ket q có đ® xác cao đa thúc n®i suy Newton lùi Vói hàm so lưong giác, tính gan giá tr% cna hàm so f (x) 303 x gan x0 có 80% đa thúc n®i suy Newton tien cho ket q có đ® xác cao đa thúc n®i suy Newton lùi; tính gan giá tr % cna hàm so f (x) x gan xn có 70% đa thúc n®i suy Newton lùi cho ket có đ® xác cao đa thúc n®i suy Newton tien Vói hàm so mũ logarit, tính gan giá tr% cna hàm so f (x) x gan x0 có 81.8% đa thúc n®i suy Newton tien cho ket q có đ® xác cao đa thúc n®i suy Newton lùi; tính gan giá tr% cna hàm so f (x) x gan xn có 63.6% đa thúc n®i suy Newton lùi cho ket q có đ® xác cao đa thúc n®i suy Newton tien Vói hàm so thúc, phân thúc huu tí, tính gan giá tr% cna hàm so f (x) x gan x0 có 80% đa thúc n®i suy Newton tien cho ket q có đ® xác cao đa thúc n®i suy Newton lùi; tính gan giá tr% cna hàm so f (x) x gan xn có 80% đa thúc n®i suy Newton lùi cho ket q có đ® xác cao đa thúc n®i suy Newton tien Vói hàm so dang chuoi hàm, tính gan giá tr% cna hàm so f (x) x gan x0 có 69.57% đa thúc n®i suy Newton tien cho ket q có đ® xác cao đa thúc n®i suy Newton lùi; tính gan giá tr% cna hàm so f (x) x gan xn có 60.87% đa thúc n®i suy Newton lùi cho ket q có đ® xác cao đa thúc n®i suy Newton tien Vói hàm so siêu b®i, tính gan f (x) vói x gan x0 có 18.2% sú dung đa thúc n®i suy Newton tien cho ket q có đ® xác cao đa thúc n®i suy Newton lùi, tính gan f (x) vói x gan xn có 18.2% sú dung đa thúc n®i suy Newton lùi cho ket q có đ® xác cao đa thúc n®i suy Newton tien, cịn lai 81.8% tính gan f (x) vói x gan x0 ho¾c x gan xn đa thúc n®i suy Newton tien đa thúc n®i suy Newton lùi cho ket q có đ® xác tương đương Như v¾y, nh¾n xét "Neu can tính gan f (x) tai x gan x0 ta 304 nên dùng cơng thúc n®i suy Newton tien, neu can tính gan f (x) tai x gan xn ta nên dùng cơng thúc n®i suy Newton lùi đ® xác cao hơn." phù hop vói thnc tien tính tốn, viet nh¾n xét vào giáo trình chap nh¾n đưoc Vói thịi gian có han, chac chan lu¾n văn khơng tránh khói nhung thieu sót Kính mong q thay ban góp ý đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Tơi xin chân thành cám ơn ! ... n®i suy Newton tien P (x) vói 15 moc n®i suy cách đeu ó 3) Xây dnng đa thúc n®i suy Newton lùi P˜(x) vói 15 moc n®i suy cách đeu ó 4) Tính gan f bang cách áp dung: 1000 a) Cơng thúc n®i suy Newton. .. cơng thúc n®i suy Newton lựi hoắc a thỳc nđi suy Newton ú cuoi bỏng Nhắn xột 1.3 Cụng thỳc nđi suy Newton tien, cơng thúc n®i suy Newton lùi chs cách viet khác cúa cơng thúc n®i suy Lagrange Chương... dnng đa thúc n®i suy Newton lùi P˜(x) vói 15 moc n®i suy cách đeu ó 4) Tính gan 1001 f bang cách áp dung: 1000 a) Công thúc n®i suy Newton tien P (x) chí b) Cơng thúc n®i suy Newton lùi P˜(x)