B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I TRAN QUANG TUYEN PHƯƠNG PHÁP BIEN PHÂN GIÁI PHƯƠNG TRÌNH ĐAO HÀM RIÊNG Chuyên ngành: Tốn giái tích Mã so: 60 46 01 LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC Ngưài hưáng dan khoa hoc: TS Tran Văn Bang Hà N®i - 2012 LèI CÁM ƠN Tơi xin bày tó lòng biet ơn sâu sac cna tói thay giáo, đ¾c bi¾t TS Tran Văn Bang, nhung ngưòi t¾n tình hưóng dan đay hi¾u q, thưòng xun dành cho tơi sn chí báo, giúp đõ đ®ng viên giúp tơi hồn thành lu¾n văn thòi han Tơi xin chân thành cám ơn Ban Giám Hi¾u, phòng Sau Đai hoc trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i 2, tồn the thay giáo trưòng tao đieu ki¾n thu¾n loi q trình tơi hoc t¾p nghiên cúu Tơi trân cám ơn Só giáo duc Đào tao tính Vĩnh Phúc, Trưòng THCS THPT Hai Bà Trưng tao đieu ki¾n thu¾n loi cho tơi thòi gian tơi theo hoc lóp sau đai hoc Tơi xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói anh em, ban bè ngưòi thân gia đình ó đng viờn, tao moi ieu kiắn e luắn có the đưoc hồn thành Hà N®i, tháng 06 năm 2012 Tác giá Tran Quang Tuyen LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi dưói sn hưóng dan cna TS Tran Văn Bang Trong q trình làm lu¾n văn, tơi ke thùa nhung nghiên cúu, thành tnu cna nhà khoa hoc, đong nghi¾p vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng năm 2012 Tác giá Tran Quang Tuyen Mnc lnc Lài cám ơn Lài cam đoan Báng kí hi¾u Má đau Chương M®t so kien thNc chuan b% 11 1.1 Không gian Sobolev W 1,p(Ω) 11 1.2 Phương pháp bien phân 14 1.2.1 Bien phân cap m®t Phương trình Euler - Lagrange 14 1.2.2 Bien phân cap hai 17 1.3 Cnc tieu cna phiem hàm - Nghi¾m cna phương trình 18 1.3.1 Đieu ki¾n búc, tính núa liên tuc dưói 18 1.3.2 Tính loi 21 1.3.3 Nghi¾m yeu cna phương trình Euler - Lagrange 21 Chương Điem tái han qua toán cNc tieu, Đ%nh lí bien dang Nng dnng 24 2.1 Điem tói han qua tốn cnc tieu 24 2.1.1 Bài toán cnc tieu 24 2.1.2 Úng dung đoi vói tốn Dirichlet phi tuyen 29 2.2 Đ%nh lí bien dang úng dung .33 2.2.1 Đ%nh lí bien dang 33 2.2.2 Úng dung 39 Chương Đ%nh lí qua núi, đ%nh lí điem yên ngNa Nng dnng 44 3.1 Đ%nh lí qua núi 44 3.1.1 Điem tói han kieu minimax 44 3.1.2 Đ%nh lí qua núi 46 3.1.3 Úng dung đoi vói tốn Dirichlet 48 3.2 Đ%nh lí điem yên ngna 52 3.2.1 B¾c tơpơ 52 3.2.2 Đ%nh lí điem yên ngna 54 3.2.3 Úng dung đoi vói tốn c®ng hưóng 56 Ket lu¾n .61 Tài li¾u tham kháo 62 Tài li¾u tham kháo 62 BÁNG KÍ HIfiU N t¾p so tn nhiên Z t¾p so nguyên R t¾p so phúc RN khơng gian Eculidean N chieu A bao đóng cna t¾p A As s− lân c¾n cna t¾p A B(x0, r) hình cau mó tâm x0 bán kính r Cp(Ω) lóp hàm liên tuc vói đao hàm mien Ω đen cap p C∞(Ω) lóp hàm vi vơ han Ω ) lóp hàm vi vơ han tri¾t tiêu ó bên biên ∞ C(R n n R p C n t¾p cna hàm Cp(Rn) có giá compact (R ) Dk đao hàm riêng thú k S(x0, r) m¾t biên cna hình cau B(x0, r) dist(ω, B)khống cách tù ω tói B h.k.n hau khap nơi JacH Jacobi ma tr¾n supp u giá cna u C∞ c (I) C L1(I) Lp(Ω) không gian hàm đo đưoc tích Ω |u| ∈ L1(Ω) "u"X chuan cna u t¾p X · tích ch¾p [·, ·] c¾p phan tú cna khơng gian tích (·, ·) tích vơ hưóng (·, ·) Q c¾p đoi ngau ket thúc chúng minh ∞ ∂Hi ∂yj (I) ∩ Cc(I) không gian hàm tích I lay giá tr% R p Mé ĐAU Lí chon đe tài Chúng ta đưoc biet ve khái ni¾m phương trình vi phân đao hàm riêng (viet tat phương trình đao hàm riêng) tù chương trình đai hoc nhung phương trình chúa hàm so can tìm đao hàm riêng cna Phương trình đao hàm riêng đưoc nghiên cúu lan đau tiên vào the kí XVIII cơng trình cna nhung nhà tốn hoc Euler, Dalambert, Lagrange Laplace m®t cơng cu quan đe mơ tá mơ hình cna v¾t lý hoc Chí đen the kí XIX đ¾c bi¾t cơng trình nghiên cúu cna Riemann, phương trình đao hàm riêng mói tró thành cơng cu manh dùng nhieu lĩnh vnc toán hoc khác Tù xuat hi¾n cho đen ngày nay, phương trình đao hàm riêng đóng vai trò chiec cau noi giua tốn hoc úng dung, thúc đay sn phát trien ý tưóng tốn hoc nhieu lĩnh vnc tốn hoc lý thuyet khác Các phương trình đao hàm riêng nói chung rat phúc tap Moi m®t phương pháp tiep cắn phự hop oi vúi mđt lúp phng trình cu the Trong chương trình Thac sĩ chuyên ngành giái tích mà chúng tơi đưoc thay giói thiắu mđt so phng phỏp giỏi cỏc bi toỏn oi vói phương trình đao hàm riêng như: Phương pháp đ¾c trưng, Phương pháp tách bien, Phương pháp bien đoi tích phân, Phương pháp bien đoi phương trình phi tuyen thành tuyen tính, Phương pháp bien phân, Tuy nhiên đieu ki¾n thòi gian cna mơn hoc có han nên chúng tơi chưa có đieu ki¾n nghiên cúu kĩ tat các phương pháp Đưoc sn giúp đõ sn hưóng dan t¾n tình cna TS Tran Văn Bang, tơi chon đe tài "Phương pháp bien phân giái phương trình đao hàm riêng" Vói mong muon đưoc tìm hieu kĩ ve phương pháp bien phân nhung úng dung cna đoi vói giái phương trình đao hàm riêng Lu¾n văn đưoc chia làm ba chương (ngồi phan mó đau, ket lu¾n tài li¾u tham kháo) Chương M®t so kien thúc chuan b% Chng ny oc bat au bang viắc giúi thiắu mđt so cỏc khỏi niắm v a mđt so ket quan ve không gian Sobolev, can thiet cho trình sú dung sau Tiep theo bang cách tiep c¾n ngan gon chúng tơi se giói thi¾u ve phương pháp bien phân cnc tieu cna phiem hàm - nghi¾m cna phương trình Chương Điem tói han qua tốn cnc tieu, đ%nh lí bien dang úng dung Vói muc tiêu tâm nghiên cúu van đe điem tói han thơng qua tốn cnc tieu đe giái tốn Dirichlet phi tuyen, đ%nh lí bien dang úng dung vào toán Neumann phi tuyen Chương Đ%nh lí qua núi, đ%nh lí điem yên ngna úng dung Vói muc tiêu tâm nghiên cúu đ%nh lí qua núi úng dung vào tốn Dirichlet phi tuyen, đ%nh lí điem n ngna úng dung vào tốn c®ng hưóng Mnc đích nghiên cNu Tìm hieu ve phương pháp bien phân Áp dung phương pháp bien phân vào đe giái m®t so phương trình đao hàm riêng Dirichlet phi tuyen, Neumann phi tuyen v cđng húng Nhiắm nghiên cNu Vi¾c nghiên cúu lu¾n văn vói nhi¾m vu h¾ thong, làm rõ lý thuyet ve úng dung cna phương pháp bien phân vào vi¾c giái phương trình đao hàm riêng phi tuyen (Dirichlet, Neumann c®ng hưóng) Đoi tưang pham vi nghiên cNu Nghiên cúu úng dung cna phương pháp bien phân đoi vói m®t so phương trình đao hàm riêng phi tuyen cu the Phương pháp nghiên cNu - Đoc sách, nghiên cúu lý lu¾n, tài li¾u chuyên kháo - Tong hop kien thúc, v¾n dung cho muc đích nghiên cúu Đóng góp mái cúa lu¾n văn - Trình bày nhung van đe bán cna phương pháp bien phân - Trình bày điem tói han qua tốn cnc tieu, đ%nh lí bien dang úng dung - Trình bày đ%nh lí qua núi, đ%nh lí điem yên ngna úng dung Th¾t v¾y, tù iv) dan đen hàm t ›→ deg (H(t, ), U, b) liên tuc, khơng đoi chí nh¾n giá tr% nguyên Phép đong luân H(x, t) = (1 − t)Φ(x) + tΨ(x) cho ta tính chat iv) Tiep theo, ta mó r®ng đ%nh nghĩa deg (Φ, U, b) cho trưòng hop tong quát n Φ ∈ C U, R b ∈ Rn\Φ (∂U ) qua bưóc sau A) Vói Φ ∈ C U, Rn b ∈ Rn\Φ (∂U ), không nhat thiet phái lay giá tr% quy, theo đ%nh lí Sard ton tai m®t dãy so bk h®i tu tói b, moi bk m®t giá tr% quy cna Φ, ta xác đ%nh deg (Φ, U, b) bang cách chí ton tai giói han dưói khơng phu thu®c vào cách chon dãy bk deg (Φ, U, b) = lim deg (Φ, U, b ) k k→∞ B) Vói Φ ∈ C U, Rn b ∈ Rn\Φ (∂U ) ta xét dãy (Φk) Φk ∈ C U, Rn cho Φk → Φ C U, Rn ta xác đ%nh deg (Φ, U, b) bang cách chí sn ton tai giói han dưói khơng phu thu®c vào cách chon Φk deg (Φ, U, b) = lim deg (Φ , U, b) k k→∞ Cuoi ta chúng tó khái ni¾m b¾c vùa đ%nh nghĩa thóa mãn tính chat (i) đen (iv) Lưu ý rang có lí thuyet b¾c trưòng hop vơ han chieu Leray Schauder([15], [18]), sú dung đoi vói ánh xa Φ = C U, X U ⊂ X t¾p mó, b% ch¾n cna khơng gian Banach X Φ m®t nhieu compact cna ánh xa đong nhat, nghĩa Φ(u) = u − T (u) vói T ánh xa compact Lí thuyet cna b¾c Leray - Schauder thóa mãn tính chat i) đen vi) 3.2.2 Đ%nh lí điem n ngNa Nhò vào khái ni¾m b¾c tơpơ, Rabinowitz chúng minh đưoc đ%nh lí điem yên ngna sau Đ%nh lý 3.5 Cho X = V ⊕W khơng gian Banach, dim V < ∞ Goi ϕ ∈ C1(X, R) phiem hàm thóa mãn đieu kiắn Palais Smale (PS) Neu D l mđt lõn cắn b% ch¾n cúa V cho a = max ϕ < inf ϕ = b, (3.15) ∂D W Hình 3.2 c = inf max ϕ (h(u)) m®t giá tr% tói han cúa ϕ vói c ≥ b (á h∈Γ u∈D Γ lóp bien dang cúa D X vói ∂D co đ%nh theo tùng điem, nghĩa Γ = h ∈ C D, X |h(u) = u, ∀ u ∈ ∂D ) ChNng minh Ta kiem tra h D ∩ W ƒ= ∅, ∀h ∈ Γ Th¾t v¾y, goi p : X → V phép chieu V doc theo W Ph ∈ C D, V P h(u) = Pu = u ƒ= 0, ∀ u ∈ ∂D Do ta cho V = Rn vói n = dim V , nên b¾c deg(P h, D, 0) đưoc xác đ%nh theo tính chat i) đen vi) b¾c tơpơ ta có deg (P h, D, 0) = deg (Id, D, 0) = Do đó, theo tính chat ii) ∃ u0 ∈ D : P h(u0 ) = hay h(u0) ∈ W, Chúng tó max ϕ (h(u)) ≥ b = inf ϕ, hay c ≥ b (do h ∈ Γ bat kì) u∈D W Bây giò, ta giá sú c khơng phái giá tr% tói han cna ϕ Khi đó, theo Đ %nh lí 2.6 ∃ < ε < b−a cho (ta có a < b theo (3.15)) η ∈ C ([0, 1] × X, X) η(t, u) = u neu u ∈/ ϕ−1 ([c − 2ε, c + 2ε]) , t ∈ [0, 1] , (3.16) η ϕ ϕc−ε (3.17) Bây giò, chon h ∈ Γ cho max ϕ (h(u)) ≤ c + ε (3.18) u∈D đ%nh nghĩa hˆ(u) = η(1, h(u)) Do (3.16) 2ε < b−a ta có η(1, h(u)) = u neu u ∈ ∂D (do ϕ|∂D ≤ˆa < b≤−c 2ε), tó ˆmâu h ∈ thuan Γ Khivói cách (3.17) max ϕ h (u) − ε, chúng đieu xác(3.18) suy u∈D đ%nh c Vì v¾y c giá tr% tói han cna ϕ Q Chú ý 3.5 Ta thay đieu ki¾n (3.15) se đưoc thóa mãn neu ϕ có tính chat ϕ(v) → −∞ "v" → ∞, v ∈ V ϕ(w) → +∞ "w" → ∞, w ∈ W 3.2.3 Úng dnng đoi vái tốn c®ng hưáng Bây giò ta xét m®t ket Ahmad, Lazer Paul [6] ve sn ton tai nghiắm cna bi toỏn cđng húng sau: −∆u = λku + g(x, u) Ω u=0 ∂Ω, (3.19) Ω ⊂ RN , (N 1) l mđt mien trn, b% chắn, k giỏ tr% riêng thú k cna −∆u = λu Ω, u = ∂Ω ta giá thiet g : Ω × R → R phiem hàm liên tuc b% ch¾n đeu, túc |g(x, s)| ≤ M, ∀ x ∈ Ω, ∀ s ∈ R (g1) Như v¾y, hàm phi tuyen tính f (x, s) = λks + g(x, s) có tính chat s f (x,s) → λk |s| → ∞ Vì v¾y, ta có thuắt ngu bi toỏn cđng húng Cỏc ieu kiắn thờm vào can thiet cho tính giái đưoc cna tốn c®ng hưóng Như ta biet cá trưòng hop hàm g(x, s) = g(x) tuyen tính (hàm liên tuc) ta có đ%nh lí thay phiên Fedholm Bài toỏn cđng húng giỏi oc v gvdx = 0, ∀ v ∈ Nk không gian Ω riên tương úng vói λk Ahmad, Lazer Paul giá thiet hàm g thóa mãn m®t đieu kiắn g+ v g dúi õy G(x, v(x))dx → ±∞ "v" → ∞, v ∈ Nk, (g2±) s G(x, s) = ¸0 g(x, t)dt Vói giá thiet nêu Ahmad, Lazer Paul chúng minh đưoc Đ%nh lý 3.6 Vói đieu ki¾n (g1) g+ ho¾c g Bi toỏn cđng 2 húng cú nghiắm yeu u ∈ H01(Ω) Chúng minh sau cna Rabinowitz, đó± sú dung đ%nh lí điem n ngna làm rõ vai trò cna đieu ki¾n g Xét phiem hàm ¸ 2 ϕ(u) = [ (|∇u| − λk u ) − G(x, u)]dx Ω ¸ G(x, u)dx = (Lu, u) Ω − Theo (g1), ϕ(x) hoàn toàn xác đ%nh trên0 H (Ω) thu®c lóp C điem tói han cna nghi¾m yeu cna (3.19) Ta xét sn phân tích trnc giao sau cna X = H X = X− ⊕ X0 ⊕ X + , X0 = Nk X+(X−) khơng gian ó tốn tú L : H0 → H0 xác đ%nh bói (3.20) xác đ%nh dương (âm) Ta kí hi¾u phép chieu trnc giao tương úng bói P0, P+ P− Khi đó, ta có M¾nh đe 3.1 Vói đieu ki¾n (g1) g2 − ta có a) ϕ(u) → −∞ "u" → ∞, u ∈ X−; b) ϕ(u) → +∞ "u" → ∞, u ∈ X0 ⊕ X+ ChNng minh a) Giá sú u = P−u ∈ X− Sú dung đieu ki¾n (g1) vói đ%nh lí giá tr% trung bình cho hàm G(x, ) tính xác đ%nh âm cna L X− ta đưoc ¸ ϕ(u) = G(x, P−u)dx (LP−u, P−u) Ω − + M"P− u"L1 ≤ − α"P− u" ≤ + A "P−u" → −∞ − α"P− u" "u" = "P−u" → ∞, đe có bat thúc cuoi ta sú dung "v"L1 ≤ c"v"L2 có bat thúc Poincaré b) Giá sú u = P0u + P+u ∈ X0 ⊕ X+ Do L xác đ%nh dương X+ ket hop (g1) vói giá tr% trung bình đoi vói G(x, ) ta đưoc ¸ ϕ(u) G(x, u)dx (LP+u, P+u) Ω = − ¸ ¸ G(x, [G(x, u) − G(x, P0u)] ≥ α"P+u" P0u)dx dx − − ≥ 1α"P+u" Do ϕ(u) ≥ Ω − M"P+u"L1 − α"P+u " Ω ¸ Ω G(x, P0u)dx, − A "P+u" − ¸ Ω G(x, P0u)dx ∀ u = P0u + P+u ∈ X0 ⊕ X+ Theo giá thiet g → +∞ "u " = "P0u" + "P+u" → ∞ 2 − (3.20) chúng tó ϕ(u) Chú ý 3.6 Neu giá thiet g + thay cho g − a) ϕ(u) → −∞ "u" → ∞, u ∈ X− ⊕ X0; b) ϕ(u) → +∞ "u" → ∞, u ∈ X+ Q m¾nh đe có ChNng minh Đ%nh lí 3.6 Ta sú dung đ%nh lí điem yên ngna, biet rang ϕ ∈ C1(X, R) ta phái chí ϕ thóa mãn đieu ki¾n (P S) Lay dãy (un) : |ϕ(un)| ≤ C ϕr(un) → Khi đó, ∀ n đn lón ta có ¸ r (3.21) g(x, |ϕ (un).h| = (Lun, h) ≤ "h" ∀h ∈ X un)hdx − Ω Đ¾t h = P+un (3.21) có "P+un" ≥ |ϕr(un).(P+un)| ≥ α"P+un" − M"P+un "L1 ≥ α"P+un" − A "P+un" , the "P+un" phái b% ch¾n Tiep theo, đ¾t h = P−un (3.21) Ta nh¾n đưoc − "P−un" ≤ |ϕr(un).(P−un)| ≤ −α"P−un" − M"P− un "L1 ≤ −α"P−un" + A "P−un" , the "P−un" phái b% ch¾n V¾y, ta có "(P+ + P−) un" = "un − P0un" ≤ C (3.22) M¾t khác, ta có the viet ϕ(un) = ¸ (L(un − P0un), un − P0un) G(x, P0u)dx, ¸ − Ω [G(x, u) − G(x, P0 u)]dx− Ω ϕ(un) b% ch¾n vói hai so hang đau tiên bên phái cna bieu thúc (theo (3.22)) nên so hang cuoi b% ch¾n Khi đó, đieu ki¾n g− ta có "P0un" b% ch¾n Tù theo (3.22) "un" b% ch¾n Phan lai cna chúng minh ϕ thóa mãn đieu ki¾n (P S) đưoc trình bày đ%nh lí vói vi¾c sú dung ∇ϕ(u) = u − T (u) vói T tốn tú compact Cuoi cùng, vói M¾nh đe 3.1 cho phép ta áp dung đ%nh lí điem n ngna vói V = X−, W = X0 ⊕ X+ đe khang đ%nh ton tai điem tói Q han cna ϕ nghi¾m yeu cna (3.19) Chú ý 3.7 Neu hàm g : Ω × R → R thóa mãn lim G(x, s) = +∞ ∀ x ∈ Ω, (g3+) lim G(x, s) = −∞ ∀ x ∈ Ω, (g−) |s|→∞ ho¾c |s|→∞ − đieu ki¾n g+ g đưoc thóa mãn 2 Th¾t v¾y, [21] giá sú v ∈ Nk K > cho Ta viet, v = ρω ρ = "v" + w ∈ S ∩ Nk = {ω ∈ Nk| "ω" = 1} Theo g ∃ α = α(K) : G(x, s) ≥ K neu |s| ≥ α(K) x ∈ Ω Khi đó, tù sn ton tai M0 : G(x, s) ≥ −M0, ∀x ∈ Ω, s ∈ R ta có ¸ G(x, ρω(x)dx ≥ M0 |Ω| + K |Ωρ,K,ω| , (3.23) Ω ó Ωρ,K,ω = {x ∈ Ω|ρ |ω(x)| ≥ α(K)} Do S ∩ Nk t¾p compact, nên ta chon ρ(K) đn lón cho |Ωρ,K,ω| ≥ |Ω| /2, ∀ ρ ≥ ρ(K) ω ∈ S ∩ Nk Như v¾y, tù (3.23) suy g+ thóa mãn đưoc Q KET LU¾N Lu¾n văn trung nghiờn cỳu mđt cỏch hắ thong ve khụng gian Sobolev phương pháp bien phân đe giái phương trình đao hàm riêng phi tuyen 1) Điem tói han qua toán cnc tieu úng dung vào giái tốn Dirichlet phi tuyen 2) Đ%nh lí bien dang úng dung vào nguyên lí cnc tieu tốn Neumann phi tuyen 3) Đ%nh lí qua núi úng dung vào giái toán Dirichlet phi tuyen 4) Đ%nh lí điem yên ngna úng dung vào giỏi bi toỏn cđng húng Tuy nhiờn, luắn ny chí chúa đnng m®t so úng dung cna phương pháp bien phân đe giái phương trình đao hàm riêng Nhưng thòi gian có han khn kho cna lu¾n văn thac sĩ van đe chưa đưoc nghiờn cỳu mđt cỏch triắt e Hy vong rang chỳng đưoc tiep tuc trình bày nghiên cúu khoa hoc sau M¾c dù co gang nhieu đưoc sn nng h®, giúp đõ cna thay, giáo ban bè, lu¾n văn khơng tránh khói mđt vi thieu sút Vỡ vắy, tụi mong oc sn đóng góp ý kien đe lu¾n văn đưoc đay đn hồn thi¾n hơn, đong thòi giúp đõ cho tơi có nhieu kinh nghi¾m cơng vi¾c giáng day nghiên cúu sau M®t lan nua, tơi xin trân cám ơn sn quan tâm giúp đõ cna q thay cơ, ban bè, gia đình đ¾c biắt l TS Tran Vn Bang cựng hđi ong khoa hoc trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Nguyen H®i Nghĩa, Nguyen Thành Long (d%ch) (2002), Giái tích hàm lí thuyet úng dnng, Nxb Đai hoc Quoc gia TP Ho Chí Minh [2] Nguyen Manh Hùng (2007), Phương trình đao hàm riêng tuyen tính, Nxb Đai hoc sư pham Hà N®i [3] Tran Đúc Vân (2005), Lý thuyet phương trình vi phân đao hàm riêng, Nxb Đai hoc Quoc Gia, H Nđi [B] Ti liắu tieng Anh [4] R.A.Adams (1976), Sobolev spaces, Academic Press [5] S.Agmon,(1959),The Lp approach to the Dirichlet problem, Ann Scuola Norm.Sup.Pisa 13, 405 - 448 [6] S.Ahmad, A.C.Lazer and J.L Paul (1976) Elementary critical point theory and perturbations of elliptic boundary value problems at resonance,Indiana Univ Math.J 25, 933 - 944 [7] A.Ambrosetti and P.H.Rabinowitz (1973), Dual variational, meth- ods in critical point theory and applications,J.Funct.Anal.14, 349 - 381 [8] H.Brézis, J.M.Coron and L.Nirenberg (1980), Free vibrations for a nonlineer wave equation and a theorem of P.Rabinowitz, Comm Pure Appl Math.33,667 - 689 [9] D.C.Clark(1972), A variant of the Lusternik-Schnirelman theory, Ind Univ Math.J.22, 65 - 74 90 [10] David G.Costa (2007), An Invitation to Variational Methods in Differential Equations, Birkhauser, Boston [11] R.Courant and D.Hilbert (1962), Methods of Mathematical Physics, Vol.II, Wiley [12] A.Dolph (1949), Nonlinear intergral equations of Hammerstein type, Trans Amer Math.Soc.66, 289 - 307 [13] N Dunford and J.T.Schwartz (1957), Linear Operators - Part I, Interscience Publishers,Inc [14] A.Hammerstein (1930),Nichlineare Integralgleichungen nebst Anwendungen, Acta Math.54, 117 -176 [15] J.Leray and J.SChauder (1934), Topologie et equations fonctionelles, Ann.ScuolaNorm.Sup.Pisa 3, 45 -78 [16] L.Lusternik (1930), Topologische Grundlagen der allgmeinen Eigenwerttheorie, Monatsch Math.Phys.37, 125-130 [17] L.Lusternik and L.Schnirelman (1934), Topological Methods in the Calculus of Variations, Herman [18] L Nirenberg (2001), Topics in Nonlinear Function Analysis, Courant lecture Notes in Mathematics 6, New York [19] R.S.Palais (1966),Lusternik - Schnirelman theory on Banach manifolds, Topology 5, 115-132 [20] R.S.Palais (1970), Critical point theory and the minimax principle, in Proc Symp.Pure Math XV, AMS, 185-212 [21] P.H.Rabinowitz (1986), Minimax Methods in Critical Point The- ory with Applications to Differential Equations,CBMS Regional Conf.Ser.in Math.65, AMS, Providence, RI [22] L.Schnirelman (1930), Uber eine kombinatorische Invari- ante,Monatsch.Math.Phys.37,no.1 [23] M.M.Vainberg (1964), Variational Methods in the Theory of Nonlinear Operators,Holden - Day [24] M.M.Vainberg (1973), Variational Methods and Methods of Mono- tone Operators in the Theory of Nonlinear Equations,Wiley [25] M Willem (1983), Lectures on Critical Point Theory, Trabalhos de Matematica University of Brasilia, Brasilia [26] M Willem,(1996), Minimax Theorems,Birkhăauser ... thi¾u m®t so phương pháp giái tốn đoi vói phương trình đao hàm riêng như: Phương pháp đ¾c trưng, Phương pháp tách bien, Phương pháp bien đoi tích phân, Phương pháp bien đoi phương trình phi tuyen... chon đe tài "Phương pháp bien phân giái phương trình đao hàm riêng" Vói mong muon đưoc tìm hieu kĩ ve phương pháp bien phân nhung úng dung cna đoi vói giái phương trình đao hàm riêng Lu¾n văn... ∂Hi ∂yj ) 1.2 Phương pháp bien phân Xét phương trình đao hàm riêng có dang A [u] = 0, (1.1) A [·] m®t tốn tú đao hàm riêng cho trưóc, u nghi¾m can tìm Xét phương trình đao hàm riêng A [u] = 0,