Lài cám ơn Tơi xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói TS Nguyen Văn Hào, ngưòi đ%nh hưóng chon đe tài t¾n tình hưóng dan đe tơi có the hồn thành lu¾n văn Tơi xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói phòng sau đai hoc, thay cô giáo day cao hoc chun ngành Tốn giái tích, trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i giúp đõ tơi suot q trình hoc t¾p Nhân d%p tơi xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói gia đình, ban bè ln đ®ng viên, co vũ, tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tơi q trình hoc t¾p v hon thnh luắn H Nđi, thỏng 12 nm 2012 Tác giá Nguyen Biên Giái Lài cam đoan Tôi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Văn Hào, lu¾n văn Thac sĩ chun ngành Tốn giái tích vói đe tài “Khai trien ti¾m c¾n cúa tích phân loai Laplace Nng dnng giái quyet m®t so tốn lĩnh vNc V¾t lý” đưoc hồn thành bói nh¾n thúc cna bán thân tác giá Trong q trình nghiên cúu thnc hi¾n lu¾n văn, tác giá ke thùa nhung thành tnu cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng 12 năm 2012 Tác giá Nguyen Biên Giái Mnc lnc Má đau .2 Chương M®T SO KIEN THÚC VE GIÁI TÍCH TIfiM C¾N 1.1 Các khái niắm ve bắc v mđt so vớ du 1.1.1 Lòi dan .5 1.1.2 Các khái ni¾m ve “khơng” b¾c 1.1.3 Chú ý .9 1.1.4 M®t so ví du ve b¾c 1.1.5 Nh¾n xét .10 1.2 Dãy ti¾m c¾n khai trien ti¾m c¾n 10 1.2.1 Khái ni¾m ví du ve dãy ti¾m c¾n .10 1.2.2 Khái ni¾m ve khai trien ti¾m c¾n 11 1.2.3 M®t so ví du nh¾n xét ve khai trien ti¾m c¾n cna tích phân .13 1.2.4 M®t so tính chat cna khai trien ti¾m c¾n 15 1.3 Hàm Gamma 19 1.4 Hàm Gamma khơng hồn 23 Chương PHƯƠNG PHÁP LAPLACE 25 2.1 Ý tưóng khai trien ti¾m c¾n đoi vói tích phân loai Laplace 25 2.1.1 Ý tưóng chung .25 2.1.2 Ý tưóng cna phương pháp Laplace 26 2.2 Phương pháp tích phân tùng phan 27 2.2.1 M®t so ví du 27 2.2.2 Đ%nh lý (Bo đe tích phân tùng phan) 29 2.3 Bo đe Watson 32 2.3.1 Ví du phán chúng 32 2.3.2 Đ%nh lý (Bo đe Watson) 34 2.3.3 Ví du 36 2.4 Phương pháp Laplace .37 2.4.1 Ý tưóng cna phương pháp Laplace 37 2.4.2 Đ%nh lý (Phương pháp Laplace) 39 2.4.3 M®t so ví du 42 Chương ÁP DUNG OI VộI MđT SO VAN E VắT Lí TOÁN .50 3.1 Phng trỡnh Schoătdinger 50 3.2 Bài toán Burgers 53 Ket lu¾n 59 Tài li¾u tham kháo 60 Chương Má đau Lí chon đe tài Khi giái quyet nhieu van đe lĩnh vnc V¾t lý dan đen vi¾c giái mđt so cỏc phng trỡnh Toỏn hoc m nghiắm cna đưoc bieu dien dưói dang tích phân Có nhieu tích phân v¾y đưoc gan vói nhung hàm đ¾c bi¾t hàm Bessel, hàm siêu hình hoc, Ngồi ra, phái ke đen m®t cơng cu rat quan đe giái quyet tốn ve phương trình vi phân thưòng phương trình đao hàm riêng tuyen tính phép bien đoi tích phân Chang han, nghi¾m cna toỏn Cauchy oi vúi phng trỡnh Schoătdinger it + xx=0 đưoc cho bói cơng thúc Φ(x, t) = 2π ¸ +∞ Φˆ (k)e ikx−ik t dk, −∞ ó Φˆ (k) bien đoi Fourier cna du ki¾n đau Φ(x, 0) M¾c dù, tích phân v¾y cho ta nghi¾m xác cna tốn, ve m¾t đ %nh lưong cna chúng khơng han đưoc rõ ràng Đe giái thích đưoc ý nghĩa bán ve khía canh V¾t lý, ve m¾t Tốn hoc đoi vói nhung nghi¾m này, ngưòi ta thưòng phái nghiên cúu dáng đi¾u cna chúng bien x t lón Thơng thưòng, đoi vói tốn ve chuyen đ®ng sóng, q trình giói han đưoc quan tâm đen t → ∞ x mà c = van đưoc giu co đ%nh Như trưòng hop cna phương trình trên, t ngưòi ta can nghiên cúu phương trình +∞ ¸ Φ(x, t) = Φˆ (k)eitφ(k)dk; t → ∞ −∞ ó φ(k) = kc − k2 M®t nhung phương pháp xú lý tốn thu®c ve lĩnh vnc phái ke đen lý thuyet xap xí ti¾m c¾n đoi vói tích phân Điem khói đau mang tính trnc giác, ngưòi ta có the thay vi¾c dùng phương pháp tích phân tùng phan Tuy nhiên, tù sn han che nhat đ%nh cna phương pháp này, nhà tốn hoc tìm m®t so phương pháp đe khac phuc nhưoc điemó M®t nhung điem noi b¾t đó, ta phái ke đen phương pháp Laplace vi¾c xú lý tích phân dang Đe hồn thành lu¾n văn tot nghi¾p chương trình b¾c đào tao Thac sĩ khoa hoc Tốn hoc, em chon đe tài “Khai trien ti¾m c¾n cúa tích phân loai Laplace Nng dnng giái quyet m®t so tốn lĩnh vNc V¾t lý” Lu¾n văn đưoc cau trúc thành 03 chương Chương đưoc dành đe đưa m®t so kien thúc bán ve lý thuyet ti¾m c¾n Trong chương cna lu¾n văn, chúng tơi trỡnh by mđt cỏch cú hắ thong mđt so phng pháp ưóc lưong xap xí tích phân loai Laplace é chng cuoi cna luắn vn, chỳng tụi minh hoa mđt so áp dung cna phương pháp xap xí õy viắc giỏi quyet mđt so bi toỏn liờn quan đen lĩnh vnc V¾t lý Mnc đích, nhi¾m vn, đoi tưang pham vi nghiên cNu Lu¾n trỡnh by mđt cỏch cú hắ thong ve lý thuyet xap xớ tiắm cắn; trỡnh by mđt so phng pháp xap xí ti¾m c¾n đoi vói tích phân loai Laplace úng dung cna phương pháp viắc giỏi quyet mđt so bi toỏn lnh vnc V¾t lý Phương pháp nghiên cNu Đoc sách, nghiên cúu tài li¾u, tong hop kien thúc, v¾n dung cho muc đích nghiên cúu DN kien đóng góp cúa đe tài H¾ thong hóa chi tiet, bán ve lý thuyet khai trien tiắm cắn Trỡnh by mđt so phương pháp xap xí tích phân loai Laplace Minh hoa mđt so ỳng dung cna phng phỏp xap xớ tiắm c¾n đoi vói tích phân loai Laplace qua vi¾c giái quyet hai tốn xáy lĩnh vnc V¾t lý Chương M®T SO KIEN THÚC VE GIÁI TÍCH TIfiM C¾N Giái tích ti¾m c¾n đưoc hình thành khói nguon tù m®t so cơng trình tính tốn cna L Euler Đen năm 1886, lý thuyet ti¾m c¾n múi oc xõy dnng mđt cỏch hắ thong búi Stieltjes [6] Poincaré [5] é đây, ngưòi ta nghiên cúu chuoi mà đưoc bieu dien bói dãy hàm ti¾m c¾n Thơng thưòng hàm đưoc bieu dien dưói dang tích phân, chuoi lũy thùa ho¾c dưói dang nghi¾m cna phương trình vi phân Trong chương này, chúng tơi se trình bày vói múc đ® can thiet bán nhat ve lý thuyet giái tích tiắm cắn 2.1 Cỏc khỏi niắm ve bắc v mđt so ví dn 2.1.1 Lài dan Các ký hi¾u O, o ∼ đưoc sú dung đau tiên bói E Landau P D B Reymond Trưóc giói thi¾u cỏc khỏi niắm ny, chỳng ta xột en mđt bi tốn thưòng g¾p thnc te Tính giá tr% cna tích phân ¸∞ I(ε) = e−t 1+ εt dt; vói ε > 0đn nhó Như trình bày phan mó đau, chúng tơi se trình bày m®t phương pháp xap xí cna tích phân I(ε) bang phương pháp de tiep c¾n nhat (phương pháp tích phân tùng phân) Lay tích phân tùng phan lan thú nhat ta thu đưoc ¸ e−t dt I(ε) = − ε (1 + εt) ∞ L¾p lai q trình N lan, ta nh¾n đưoc I(ε) = − ε + 2!ε2 − 3!ε3 + + e−t (−1)N N !εN ¸∞ + (−1)N +1(N + 1)!εN +1 (2.1) N +2 (1 + εt) dt Ve phái cna phng trỡnh ny, oc goi l mđt khai trie tiắm c¾n cna I(ε) tói so hang (N + 1) So hang nhó rat nhieu so vói so hang thú N Đieu đương nhiên đoi vói tat cá n = 0, 1, 2, , N − Ta chí đieu vói n = N Bói ε so dương đn nhó, nên + εt ≥ ta có đánh giá ¸∞ e−t dt ≤ N +2 (1 + εt) ¸∞ e−tdt = 0 Tù đieu suy rang ∞ e −t ¸ N +1 (−1) (N + 1)!εN +1 ε N +1 N +1 dt ≤ (−1) εt (1 + (N + 1)! N +2 ) Chương ÁP DUNG ĐOI VộI MđT SO VAN E VắT Lí TON Trong chương này, minh hoa phương pháp Laplace đe úc long mđt so tớch phõn xuat hiắn tự viắc ỏnh giỏ cỏc nghiắm cna mđt so bi toỏn ve phương trình vi phân đao hàm riêng rat đưoc quan tâm Đây nhung tốn xuat hi¾n tù vi¾c nghiên cúu van đe thnc tien V¾t lý Chúng ta se nghiên cúu úng dung cna phương pháp ny e giỏi quyet hai bi toỏn Schoătdinger v bi toỏn Burgers 4.1 Phng trỡnh Schoătdinger Bi toỏn Schoătdinger dang “tn do” tốn đe c¾p vi¾c giái phương trình iΦt(x, t) + Φxx(x, t) = 0; −∞ < x < ∞, t > Φ(x, t) → ∞; |x| → ∞ vói đieu ki¾n ban đau ¸∞ |Φ0| dx < ∞ Φ(x, 0) = Φ0(x) thóa mãn −∞ (4.1) Đây phương trình vi phõn ao hm riờng Schoătdinger phu thuđc thũi gian vói v% khơng, xuat hi¾n nhieu van đe giái quyet tốn V¾t lý Hai lĩnh vnc đien hình phái ke đen nghiên cúu ve hoc lưong tú ho¾c vi¾c nghiên cúu ve phương trình truyen sóng tuyen tính quang hoc v¾t li¾u Sú dung bien đoi Fourier theo bien dùng x, túc +∞ b(k, t)eikxdk, ¸ Φ(x, t) = 2π (4.2) −∞ the tích phân thành phương trình (3.1) Giá sú rang, vi¾c hốn đoi phép lay đao hàm phép tính tích phân có the thnc hi¾n, ta nh¾n đưoc phương trình vi phân thưòng bt = −ik2b ho¾c b(k, t) = b(k, 0)e2 −ik t Khi đó, ta tìm đưoc hàm Φ đưoc cho bói phương trình +∞ t Φˆ (k)eikx−ik dk, ¸ Φ(x, t) = 2π (4.3) −∞ b(k, 0) thay Φˆ (k) Ta xét dáng đi¾u cna hàm Φ(x, cho t) x t lón, van co đ%nh Tù phương trình (3.3) suy rang t ¸ Φ(x, t) =1 b0(k)eitφ(k)dk, 2π ta viet b0(k) = b(k, 0) suy rang x x r φ(k) = k − k , φ (k) t = − 2k, φrr (k) = −2 t (4.4) Hàm φ(k) có m®t điem dùng k0 x , nên dáng đi¾u cna tích phân = 2t t → ∞ đưoc cho bói cơng thúc x x π iπ (4.5) Φ(x, t) ∼ eit( ) 2t b0 e− 2t Bói Φ(x, t) = t +∞ 2π ¸ b0(k)eik(x−kt)dk −∞ ta thay rang nghi¾m cna phương trình đưoc xem sn chong cna m®t dãy vơ han sóng có v¾n toc pha k Các sóng khác có v¾n toc pha khác nhau; đieu dan đen sn phân dã giao thoavà cho thay rang nghi¾m phân rã t → ∞ Thnc v¾y, phương trình (3.5) cho thay biên đ® phân rã t − , sn phân dã đien hình tốn phân tán tuyen tính m®t chieu Phương trình (3.5) chí rang v¾n toc tun truyen quan khơng phái v¾n toc pha k, thnc te chi phoi ket q ti¾m c¾n; đoi vói tốn φr(k) = suy x = 2kt é v¾n toc x đưoc goi v¾n toc nhóm 2k Nói chung, đai lưong cg t = Khơng may khó khăn, ta có the khái qt khái ni¾m tói bat kỳ phương trình phân tán tuyen tính phương trình +∞ ¸ Φ(x, t) = Φˆ 0(k)eitφ(k)dk; t → ∞, −∞ vói φ(k) = kc − k2 đưoc thay the bói phương trình +∞ ¸ Φˆ (k)ei(kx−w(k)t)dk, Φ(x, t) = −∞ (4.6) w(k) m®t hàm thnc cna bien k, đưoc goi moi quan h¾ w Chú ý rang neu cp(k) hang phân tán V¾n toc pha cho bói cp(k) k = so c0 nghi¾m tai bat kỳ thòi điem t > chí đơn gián hàm ban đau đưoc t%nh tien bói c0t ¸+∞ Φ(x, t) = Φˆ (k)ei(kx−c0 t)dk = Φ0 (x − c0 t) −∞ Phương trình tuyen tính khơng gian m®t chieu phu thu®c bien d2 w thòi gian đưoc goi phân tán neu w(k) hàm thnc ƒ= dk dw V¾n tương úng vói điem dùng toc nhóm đưoc cho bói cg(k) dk = x +∞ ¸ itφ(k) dk, φ(k) Φ(x, t) = Φˆ (k)e − w, −∞ = k t φr(k) = x dw − t dk x = t cg(k) = Trong bi toỏn Schoătdinger hàm bieu dien moi quan h¾ phân tán đưoc cho bói cơng thúc w(k) = k2 Do đó, v¾n toc pha v¾n toc nhóm tương úng cho đưoc bói cp = k, cg = 2k M¾t khác, trưòng hop moi quan w = c0 h¾ phân tán w(k) = c0k hang so v¾n toc pha cp = k bang v¾n toc nhóm cg = wr(k) = c0 4.2 Bài tốn Burgers Mơ hình đơn gián nhat ket hop hi¾u úng cna phương trình phi tuyen sn tán xa phương trình Burgers ut + uux = εuxx (4.7) Phương trình xuat hi¾n rat nhieu nhung úng dung v¾t lý khác Chang han, mơ phóng nhung sóng va cham yeu đ®ng lnc hoc chat lóng ch%u nén Chúng đưoc phân bi¾t sn khác vói phương trình phi tuyen khác, bói nhung phương trình có the đưoc tuyen tính hóa thơng qua m®t phép đoi bien cu the Hai nhà khoa hoc Hopf Cole chí rang phương trình Burgers có the đưa đưoc phương trình truyen nhi¾t qua phép đoi bien u = −2ε(log v)x Khi đó, ta có ut = εux − u εvxx ho¾c (log v)tx = x εvx2 v2 + εvx2 v v2 − x ho¾c sau lay tích phân (giá thiet v → cosnt; x → ∞) ta đưoc vt = εvxx (4.8) Trưóc het, ta xét tốn ve phương trình Burgers, vói giá tr% ban đau u(x, 0) = u0(x) Sú dung phép bien đoi Laplace theo bien t phương trình (3.8), ta có the thu đưoc phép bien đoi giua u v Nghi¾m cna phương trình (3.8) đưoc cho bói phương trình ¸∞ ¸∞ φ(x, t) = G(x − ξ, t)h(ξ)dξ = √ πt (x−ξ)2 h(ξ)e− 4t dξ (4.9) −∞ −∞ bang vi¾c thay t bói εt Do ¸∞ v(x, t) = √ h(η)e (x−η)2 − πεt 4t dη; −∞ vói h(x) = v(x, 0) = v0(x) 2εv0x − The tù u0(x) = ta có v0 x r u0(η ¸ − v0(x) = Ae ) 2e = h(x) dη ta thay rang u(x, t) = đưoc cho bói ¸∞ x −η G e− 2e dη u(x, t) = t −∞ ∞ ¸ e −∞ G −2εvx(x, t) v(x, t) −2e dη η ¸ (x − r r ; G(η; x, t) ≡ u0(η )dη η) + 2t (4.10) Trong úng dung v¾t lý ve sóng va cham mơi trưòng chat lóng, ε hieu đ® nhót é ta quan tâm đen trưòng hop ε → 0, sú dung phương pháp Laplace đe đánh giỏ sn phõn bo trđi cna tớch phõn xuat hiắn phương trình (3.10) Đe làm đưoc đieu này, ta tìm nhung điem cho ∂G x− = u0(η) − ∂η η t (4.11) Goi η = ξ(x, t) l mđt iem nh vắy; ngha l (x, t) l mđt nghiắm cna phng trỡnh x = + u0()t) (4.12) Bang phương pháp Laplace, sú dung phương trình (2.7) phương x−ξ x−η − G(ξ) −G 4πε trình (2.12) vói k = ¸∞ 2ε ta suy −∞ t e 2ε dη ∼ |Grr(ξ)| e t ¸∞ e −∞ − G 2ε dη ∼ 4πε − e |Grr(ξ)| G(ξ) 2e 2e , Do đó, neu phương trình (3.12) chí có nghi¾m nhatξ vói u0 cho trưóc u(x, t) ∼ x − ξ = u (ξ) (4.13) t Đe giái thích cho phương trình (3.13), ta xét tốn sau: Giái phương trình ρt + ρρx = 0; ρ(x, 0) = u0(x) (4.14) Phương trình (3.14) phương trình hypebolic b¾c nhat có the giái bang phương pháp đ¾c trưng dρ dt đ¾c trưng ξ(x, t) dx dt =0 = ρ Tích phân nhung phương trình này, ta thay nghi¾m phương trình (3.14) đưoc cho bói ρ(x, t) = u0(ξ); (4.15) vói ξ(x, t) đưoc xác đ%nh bói x = ξ + u0(ξ)t Đieu chúng tó rang phương trình (3.12) cú mđt nghiắm n Nh vắy rang, vúi giá tr% u0 thích hop, ε → 0, giói han nghi¾m cna phương trình Burger đưoc cho bói phương trình (3.14) Tuy nhiên, moi quan h¾ giua phương trình Burger phương trình (3.14) can đưoc làm sáng tó Thnc te, vói m®t so u0(x) đó, phương trình (3.14) cho nhung nghi¾m đa tr%, nghi¾m cna phương trình (3.10) chí nghi¾m đơn Đieu có nghĩa là, ngồi tat cá nghi¾m mà phương trình (3.14) có the nh¾n đưoc, van ton tai mđt nghiắm nhat l giúi han cna phng trình Burger ε → Đieu thú v% phương pháp Laplace lay đưoc nghi¾m cna mà đ¾c trưng cna phương trình (3.14) g¾p tró ngai phương trình (3.12) nh¾n hai nghi¾m ξ1 ξ2 Phương pháp Laplace chí rang u(x, t) ∼ rr u− 0(ξ1)|G (ξ1)| e −1 − G(ξ1) 2ε + u0(ξ2)|Grr(ξ2)| G(ξ2) 2ε e− G(ξ1) − |Grr(ξ1)| − 2ε + |Grr(ξ (4.16) G(ξ2) − 2)| e− 2ε e Do u(x, t) ∼ u0(ξ1); vói G(ξ1) < G(ξ2) u(x, t) ∼ u0(ξ2);vóiG(ξ1) > G(ξ2) (4.17) Sn thay đoi dien tai điem (x, t) mà G (ξ1) = G (ξ2) Bang vi¾c lay tích phân phương trình (3.12) ta thay giá tr% (x, t) thõa mãn (x − ξ1) 2t ξ − (x − ξ2) =− 2t ¸2 u0(η)dη ξ1 ho¾c x (ξ1 − ξ2) − t + ξ1 + ξ2 2t ξ ¸2 = − u0(η)dη ξ1 Tù phương trình (3.12) ta thay rang x − t ξ1 + ξ2 + 2t = − (u0(ξ1) + u0(ξ2)) Do (u0(ξ1) + u0(ξ2)) (ξ1 − ξ2) = 58 ¸ ξ2 ξ1 u0(η)dη (4.18) Các phương trình (3.18) vói đieu ki¾n (3.12) chí rang ε → sn thay đoi dáng đi¾u cna u(x, t) dan đen sn gián đoan Theo cách thúc 59 nghi¾m cna phương trình Burger tien tói m®t sn va sóng ε → Đây nghi¾m đ¾c bi¾t cna phương trình giói han (3.14) thóa mãn đieu ki¾n va (3.18) Đieu ki¾n có m®t sn giái thích hình hoc đơn gián là: vói u0(ξ) cho trưóc, tìm ξ1, ξ2 cho phan ó giu dây cungξ1 − ξ2 đưòng cong u0(ξ) bói hai phan bang Khi đó, đưa m®t điem vào nghi¾m đa tr% ρ(ρ = u0(ξ)) cna phương trình (3.14) tai v% trí x = s(t), vói s(t) = ξ1 + u0 (ξ1) t = ξ2 + u0 (ξ2) t (4.19) Ket lu¾n Lu¾n văn giái quyet đưoc van đe sau Trình bày h¾ thong m®t so van đe bán ve lý thuyet ti¾m c¾n Phân tích rõ ràng ý tưóng cna phương pháp Laplace Tù đưa m®t so phương pháp xap xí ti¾m c¾n đoi vói loai tích phân trưòng hop cu the Trình bày úng dung cna phương pháp Laplace đoi vói hai bi toỏn Schoătdinger v bi toỏn Burgers Vắt lý Tài li¾u tham kháo [1] M J Ablowitz and A S Fokas (2003), Complex Variables Introduction and Applications, Second edition, Cambrigde University Press [2] I Avramidi (2000), Lecture Notes on Asymptotic Expansions, New Mexico Institute of Mining and Technology [3] E T Copson (1965), Asymptotic Expansions, Cambridge at the university press [4] A Erdélyi (1956), Asymptotic Expansions, Dover publications, Inc New York [5] H Poincaré (1886), Asymptotic Expansions, Acta Math 8, 295-344 [6] Th Stieltjes (1886), Asymptotic Expansions, Ann.de l’Éc Norm Sup (3) 3, 201-258 ... phương pháp Laplace vi¾c xú lý tích phân dang Đe hồn thành lu¾n văn tot nghi¾p chương trình b¾c đào tao Thac sĩ khoa hoc Tốn hoc, em chon đe tài Khai trien ti¾m c¾n cúa tích phân loai Laplace Nng... tiet, bán ve lý thuyet khai trien ti¾m c¾n Trình bày m®t so phương pháp xap xí tích phân loai Laplace Minh hoa m®t so úng dung cna phương pháp xap xí ti¾m c¾n đoi vói tích phân loai Laplace qua... ngành Tốn giái tích vói đe tài Khai trien ti¾m c¾n cúa tích phân loai Laplace Nng dnng giỏi quyet mđt so bi toỏn lnh vNc Vắt lý đưoc hồn thành bói nh¾n thúc cna bán thân tác giá Trong q trình