B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I **************** BÙI TH± THÙY HÀM SO SIÊU GIÁI TÍCH TRÊN M¾T PHANG PHÚC LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC Chun ngành: Tốn Giái Tích Mã so : 60 46 01 02 Ngưòi hưóng dan khoa hoc PGS TS Hà Tien Ngoan Hà N®i, 2013 Lài cám ơn Tơi xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói PGS TS Hà Tien Ngoan, ngưòi đ%nh hưóng chon đe tài t¾n tình hưóng dan đe tơi có the hồn thành lu¾n văn Tơi xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói phòng sau đai hoc, thay cô giáo day cao hoc chuyên ngành Tốn giái tích, trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i giúp đõ tơi suot q trình hoc t¾p Nhân d%p tơi xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói gia đình, ban bè ó luụn đng viờn, co v, tao moi ieu kiắn thu¾n loi cho tơi q trình hoc t¾p hon thnh luắn H Nđi, ngy 05 thỏng 11 năm 2013 Tác giá Bùi Th% Thùy Lài cam đoan Tơi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna PGS TS Hà Tien Ngoan, lu¾n văn Thac sĩ chuyên ngành Tốn giái tích vói đe tài “Hàm so siêu giái tích m¾t phang phNc” đưoc hồn thành bói nh¾n thúc cna bán thân tác giá Trong trình nghiên cúu thnc hi¾n lu¾n văn, tác giá ke thùa nhung thành tnu cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, ngày 05 tháng 11 năm 2013 Tác giá Bùi Th% Thùy Mnc lnc Má đau .3 Chương HÀM SO SIÊU GIÁI TÍCH 1.1 Hàm hình 1.1.1 Khái ni¾m hàm hình 1.1.2 Các tính chat cna hàm hình 1.2 Hàm siêu phúc 1.2.1 So siêu phúc 1.2.2 Hàm so siêu phúc .9 1.2.3 Toán tú D 1.3 Hàm siêu giái tích 10 1.3.1 Khái ni¾m hàm so siêu giái tích 10 1.3.2 Sn ton tai nghi¾m sinh cna hàm siêu giái tích .11 1.3.3 Cơng thúc tích phân Cauchy đoi vói hàm siêu giái tích .14 Chương HÀM SO SIÊU GIÁI TÍCH SUY R®NG 18 2.1 Toán tú Pompieu siêu phúc 18 2.1.1 Các đ%nh nghĩa đ%nh lý 18 2.1.2 Toán tú Pompieu siêu phúc 21 2.1.3 Các tính chat bán cna toán tú Pompieu siêu phúc 24 2.2 Hàm so siêu giái tích suy r®ng Đ%nh lý Liouville 28 2.2.1 Hàm so siêu giái tích suy r®ng .28 2.2.2 Không gian Lp,ν (C) 29 2.2.3 Đ%nh lý Liouville .38 2.3 Cơng thúc tích phân Cauchy đoi vói hàm so siêu giái tích suy r®ng 40 2.3.1 Công thúc tích phân Cauchy .40 2.3.2 Các ket ve tính trơn cna nghi¾m 46 Ket lu¾n 52 Tài li¾u tham kháo 53 Má đau Lí chon đe tài Lý thuyet hàm so hình m®t bien phúc đưoc hình thành phát trien tù lâu Nhieu tính chat thú v% cna hàm hình đưoc nghiên cúu Giáo trình hàm so m®t bien phúc Trong nhung năm 50-60 cna the ký 20, khái ni¾m hàm hình m®t bien phúc đưoc mó r®ng khái qt thành hàm vectơ siêu giái tích sau nua hàm vectơ siêu giái tích suy r®ng Nhieu tính chat cna hàm so loai tương tn cna hàm hình đưoc chúng minh Vì v¾y chúng tơi chon đe tài lu¾n văn thac sĩ cna “Hàm so siêu giái tích m¾t phang phNc.” Nđi dung chớnh cna luắn oc tham khỏo tự chương cna tài li¾u [2] Bo cuc cna lu¾n văn gom chương : Chương trình bày khái ni¾m, tính chat cna hàm hình, hàm siêu phúc hàm siêu giái tích Cơng thúc tích phân Cauchy đoi vói hàm siêu giái tích Chương trình bày ve tốn tú Pompieu, khái ni¾m hàm siêu giái tích suy r®ng, đ%nh lý Liouville cơng thúc tích phân Cauchy đoi vói hàm siêu giái tích suy r®ng đ%nh lý ve sn ton tai tính trơn cna hàm siêu giái tích suy r®ng Mnc đích nghiên cNu Mơ tá lý thuyet hàm so siêu giái tích m¾t phang phúc, tính chat bán cna hàm so Nhi¾m nghiên cNu • Tong quan lý thuyet hàm hỡnh mđt bien phỳc; a khỏi niắm hm siờu giỏi tớch v siờu giỏi tớch suy rđng; Phát bieu chúng minh tính chat bán cna hàm so Đoi tưang pham vi nghiên cNu Hàm so siêu giái tích siêu giái tích suy r®ng cna m®t bien so phúc, cơng thúc tích phân Cauchy đoi vói hàm so loai Phương pháp nghiên cNu Nghiên cúu lý thuyet : thu th¾p tài li¾u, đoc phân tích, tong hop đe đưoc m®t nghiên cúu tong quan ve hàm so hình m®t bien phúc lý thuyet hàm siêu giái tích siêu giái tích suy r®ng DN kien đóng góp mái cúa đe tài Tong quan ve lý thuyet hàm siêu giái tích siêu giái tích suy r®ng Chương HÀM SO SIÊU GIÁI TÍCH 1.1 Hàm hình 1.1.1 Khái ni¾m hàm hình Hàm f xác đ%nh mien Ω ⊂ C vói giá tr% C đưoc goi chsnh hình tai điem z0 ∈ Ω neu ton tai r > đe f hàm C−khá vi tai moi z ∈ D(z0, r) ⊂ Ω, túc ton tai giói han f (z + ∆ z ) − f ( z ) lim = f r(z), ∆z→0 ∆z D(z0, r) = {z ∈ C : |z − z0| < r} Neu f hình tai moi z ∈ Ω ta nói f hình Ω Neu ta đ¾t z = x + iy, z = x − iy liên hop cna so phúc z Hàm so f (z) chsnh hình chí thóa mãn phương trình ∂f ∂z ∂ = ∂z =0 (1.1) ∂ ( ∂ + i ) toán tú Cauchy-Riemann ∂x ∂y Neu ta đ¾t f = u + iv, u v lan lưot phan thnc phan áo cna f, phương trình (1.1) tương đương vói h¾ phương trình Cauchy-Riemann sau  ∂u ∂v  = ;  ∂x ∂y ∂v ∂u  =− ∂x y Nhắn xột 1.1 Ta cú the mú rđng khỏi ni¾m nêu tói trưòng hop Ω mien tùy ý C f ánh xa tù Ω vào C bói phép ngh%ch đáo Như v¾y z0 huu han f (z0) = ∞ ta nói f chsnh hình tai z0 neu 1 chsnh hình tai z0, z0 = ∞ ta nói f f chsnh hình tai z0 neu f ( ) z chsnh hình tai 1.1.2 Các tính chat cúa hàm hình Đ%nh lý 1.1 Giá sú Ω ⊂ C mđt mien v H() l cỏc hm chsnh hỡnh Ω Khi (i) H(Ω) m®t khơng gian véctơ C; (ii) H(Ω) m®t vành; (iii) Neu f ∈ H(Ω) f ∈ H(Ω); f (z) ƒ= 0, ∀z ∈ H(Ω) (iv) Neu f ∈ H(Ω) f chs nh¾n giá tr% thnc f khơng đoi Chúng minh Ta chí chúng minh (iv), f chí nh¾n giá tr% thnc nên ∂ f chí nh¾n giá tr% thnc Hơn nua, f ∂ hình nên tù h¾ f , ∂ x ∂ y phương trình CauchyRiemann ta có V¾y f = const ∂f ∂f = iT ∂x ù ∂y ∂f ∂f = = ∂x ∂y Neu đieu ki¾n tính giái đưoc [h, vl] = thóa mãn, thỡ mđt nghiắm cna Mw = h cng l nghiắm cna M0 w = h =[Mˆ0 wl , vl ] = [M0 w, vl ][w, wl ] =[w, M ∗ v l] + [w, wl] = [w, wl], kéo theo Mˆ0 w = M0 w Moi nghi¾m cna M0 w = h đưoc cho bói N w= R[h] + clwl, vói hang so thnc cl bat kỳ l=1 Ta có the bieu dien giái tích tương0 tn cho M ∗ v = h Ký hi¾u R∗[h] giái thúc cna M ∗ v = M0v + [v, vl]wl Các nhân cna giái thúc M ∗ 0 r r Γ (z, ζ) Γ (z, ζ) Vì v¾y, neu w nghi¾m cna M0w = h, N [R[h] + clwl, wk] = [R[h], wk] + ck = [h, R∗[wk]] + ck = ck l=1 R∗[wk] = vk [h, vk] = 0, k = 1, · · · , N Tù đó, ck = [w, wk ] 2.3.2 Các ket q ve tính trơn cúa nghi¾m Ta có ket ve đ® trơn sau Đ%nh lý 2.19 (Goldschmidt, 1980) Giá sú rang w ∈ L2(C0) M0w = h, h ∈ C0,β (Ω), < β < α chay t¾p Khi w ∈ C0,α(C0) vói α =ˆ min(β, chs so ˆ p p2 ), vúi Hoălder vúi ong cau Beltrami vúi cỏc khoi cúa Q Chúng minh Cho P rw := − ¸¸ ζ) + K2 (z , ζ) w( ζ) )d σζ ( K ( z , ζ ) w ( C0 L o ¾ c p la i w = P r w + h , ta th u đ n+1 w = P n+2 w + P h∈C min( P k h k=0 Vì h ∈ C(C0), ta có k 0,γ p−2 ˆ )α, k = 1, · · · , n + 1, (C0), γ = p theo Đ%nh lý 2.7, theo Đ%nh lý 2.9, P n+1 w ∈ C(C0), P n+2 w ∈ C0,γ (C0), tù có ket Đ¾c bi¾t, ta có the suy wl ∈ C0,γ (C0), l = 1, · · · , N, vói γ đưoc đ%nh nghĩa ó Bây giò ta se sú dung ket q trưóc cho phương trình tích phân ban đau Mw = h Cho v ∈ L2(C0) l mđt nghiắm cna M v = Neu ta ánh xa ngang qua đưòng tròn đơn v%, ta thu đưoc ¸¸ L(ζ, z)r v1−A(z)r − ζ C0 L(ζ, z)r ¸¸ −B(z) r −z C0 − ζ v2(z−1 ) ¸¸ z|z|2 − r π v1(ζ)dσζ − L(ζ, z)r π ¸¸ dσζ C\C0 ζ− |ζ|2ζ dσζ z L(ζ, z)r v2(ζ) ¸¸ v1(ζ)dσ −z ζ |ζ| 2ζ L(ζ, z)r v2(ζ) ¸¸ ζ C0 ζ− z − π π =0 −A(z) C\C0 −z ζ π ¸¸ v1(ζ)dσ L(ζ, z)r v2(ζ) C\C0 − ζ− z |ζ| dσζ ζ (2.26) π L(ζ, z)r ¸¸ L(ζ, z)r v2(ζ) −B(z)r − C0 ζ π =0 −z v1(ζ)dσζ − v2(z−1)   2, |z| z ζ− |ζ|2ζ dσζ z π Neu ta đ%nh nghĩa vói v ∈ L2(C0)  v (z), C0 v(z) = C\C0 neu z ∈ neu z ∈/ C0 , (2.27) hien nhiên v ∈ L2,3(C) Vói v đưoc đ%nh nghĩa, M ∗ C0 v = tương đ n g v ó i tz (z)r v ( ζ ) d σ MC ∗ t v (t(z)r : ζ = ) v ζ r z − − A ( ) − π ¸1 ¸ tz r (z) −C v ( ζ ) d σ r −t − ζ ( t(z) r ζ ) =  (2.28) Ta thay rang toán tú M ∗ tốn tú liên hop cna tốn tú M đoi vói "tích vơ hưóng" sau : , ∈ ¸¸ [w, v] (1,3) : = Re C (w, v)dσζ v = đưoc liên h¾ theo (2.20) (2.27), [w, v] = [w, v](1,3) Cuoi cùng, ta van có sn bieu dien giái thúc ó dang ¸¸ N w( (Γ 1(z, ζ)h(ζ) + Γ2(z, ζ)h(ζ))dσζ + z) c lw l = (2.29) C l=1 sól=trnc chuan vói nghi¾m cna Mw = theo tích vơ hưóng ¸¸ [w, w˜] (w, w˜)λdσz , C (1,1) := Re tron g ú (z) = Cng vắy, áá l N | ne Hơn nua, de dàng kiem tra lai rang, neu w, w, v v vói nghi¾m cna Mw = h, N wl −2 u C z| , neu z  z0 ∈/ C0 ,  (Γ1(ζ, z)rh∗(ζ )+ Γ2(ζ, z)h∗(ζ) )dσ ζ+ c∗ vl (2.30) C l= vói nghi¾m cna M ∗ v = h∗, vói vl trnc chuan vói tích vơ hưóng ¸¸ [v, v˜](3,3) = (v, v˜)λ−1 dσζ C Re Các nhân cna Γ1 Γ2 thóa mãn phương trình tích phân Γ1(z, τ ) − − tτ (τ ) π¸ ¸t(τ ) − tζ t(z) (ζ) πN C A(τ ) (A(ζ)Γ1(ζ, τ ) + B(ζ)Γ2 (ζ, τ ))dσζ t(ζ) − t(z) l + |z| v (z), vl(τ ) = l=1 (2.31) tζ (τ ) Γ (z, τ ) − B(τ ) t(τ ) − ¸¸ tζ (ζ) t(z) (A(ζ)Γ1(ζ, τ ) + B(ζ)Γ2 (ζ, τ ))dσζ − t(ζ) − πN C t(z) l l + |z| v (z), v (τ ) = l=1 tτ (τ ) Γ1(z, τ ) − tζ π t(τ ) − A(τ ) (ζ) t(z) ¸ ¸ (Γ (z, ζ) 1 − π t(ζ) − C A(ζ) + Γ (z, ζ) tζ (ζ) B(ζ))dσ t(ζ) − t(z) t(z) N + l=1 l w (z), |τ | −2 l w (τ ) = (2.32) tτ (τ ) Γ2(z, τ ) − π t(τ ) − t(z) B(τ ) − ¸ ¸ (Γ (z, ζ) tζ (ζ) B(ζ) + Γ (z, ζ) t(ζ) − C t(ζ) − t(z) t(z) N l=1 A(ζ))dσ π + tζ (ζ) l w (z), |τ | −2 l w (τ ) = Vì v¾y ta có (τ − z)Γj (z, τ ) ∈ L2,0(C) × L2C vói j = 1, Chú ý rang L2,2(C) = L2(C) Phương trình (2.31) xác đ%nh Γj (z, τ ) m®t hàm cna z vói τ tham so C¾p thú hai cna phương trình (2.32) xác đ%nh Γj (z, τ ) m®t hàm cna τ Đ%nh lý 2.20 Đieu ki¾n can đú đe phương trình Mw = h có nghi¾m vói h ∈ L2,1 (C) cho trưóc, vói M : L2,1 (C) −→ L2,1 (C) đưoc đ%nh nghĩa (2.17), [h, v](1,3) = vói moi nghi¾m cúa M ∗ v = 0, M ∗ : L2,3 (C) −→ L2,3 (C) đưoc cho (2.28) Các nghi¾m cúa Mw = h ∈ L2,1(C) M ∗ v = h∗ ∈ L2,3(C) có sn bieu dien giái thúc tương úng đưoc cho (2.29) (2.30), vói nhân giái thúc đưoc xác đ%nh nhat theo phương trình (2.31) (2.32) Đ%nh lý 2.21 Cho h ∈ C0,β (C), < β < Khi đó, moi nghi¾m b% chắn p2 cỳa Mw = h se thuđc C0, ( ), α = min( α, β) C v p l chs so Hoălder vúi đong cau Beltrami chúng chay tat cá khoi cúa Q Chúng minh Vói w = −J (Aw + Bw) + h, tù đó, ket l mđt hắ quỏ trnc tiep tự %nh lý 2.11 Trong trưòng hop tong quát cna Đ %nh lý 2.19, ta ket lu¾n rang wl ∈ C0,γ (C), γ := min( ˆ p p−2 )α Bây giò ta xétphương trình vi phân không thuan nhat sau: Dw + Aw + Bw = f Ta giá thiet rang A, B f thu®c Lp,2(C) Neu mien ban đau cna đ %nh nghĩa Ω0 khơng C, ta mó r®ng h¾ so bang cách đ¾t chúng bang bên ngồi Ω0 Cho w nghi¾m cna (2.9) mien b% ch¾n quy Ω, giá thiet thêm rang w liên tuc Ω Ta mó r®ng w tói C bang cách đ¾t w ≡ vói z ∈/ Ω Vói z ∈ Ω ta có w(ζ) ¸ dt(ζ) + JΩf w + JΩ(Aw + Bw) t(ζ) − = 2πi ∂Ω t(z) Vói z ∈/ Ω theo thúc Green ta có w(ζ) ¸ dt(ζ) + JΩf JΩ(Aw + Bw) = JΩ(−Dw + 2π ∂Ω t(ζ) − t(z) f )= i Vỡ vắy, w oc mú rđng tói C thóa mãn ¸ w(ζ) dt(ζ) + JΩf Mw = ∂Ω t(ζ) − 2π i t(z) Đe ý rang cá hai hang tú đeu O(|z|−1) tai vụ cựng, v vỡ vắy chỳng thuđc L2,1(C) Thắt v¾y, de thay rang bat kỳ hàm b% ch¾n mà O(|z|−1) vói α > thu®c L2,1(C) Neu ta thay the ve phái thành (2.29) đoi thú tn lay tích phân, ta có ¸ w= S1(z, ζ)w(ζ)dt(ζ) − S2(z, ζ)w(ζ)dt(ζ) 2πi ∂Ω − N ¸¸ (S1(z, ζ)f (ζ) − S2(z, ζ)f (ζ))dσ(ζ) + π clwl, (2.33) l=1 Ω tζ (ζ) S1(z, ζ) = S2(z, ζ) = t(ζ) − t(z) ¸¸ ¸¸ + tζ (ζ) Γ (z, τ ) dσ τ t(ζ) − t(τ ) C (ζ) dστ Γ2(z, τ t(ζ)tζ − t(τ ) ) C (2.34) Các Sj goi nhân Cauchy suy r®ng cna A B Vì (z −τ )Γj (z, τ ) ∈ L2,0(C) × L2(C) Nó khơng khó đe thay rang −α −α tζ (ζ) t(ζ) − t(z) + O(|ζ − z| ), S2(z, ζ) = O(|ζ − z| ) S1(z, ζ) = vói ≤ α < Do đó, kỳ d% tr®i cna nhân Cauchy suy r®ng kỳ d% tr®i cna nhân Cauchy siêu giái tích Ket lu¾n Lu¾n văn trỡnh by cỏc van e sau: Khỏi niắm hm so siêu phúc hàm so siêu giái tích, cơng thúc tích phân Cauchy bieu dien hàm siêu giái tích • Giói thi¾u ve tốn tú Pompieu siêu phúc, khái niắm hm so siờu giỏi tớch suy rđng, %nh lý Liouville cơng thúc tích phân Cauchy đoi vói hàm siờu giỏi tớch suy rđng Ti liắu tham khỏo [1] Lê M¾u Hái, Nguyen Văn Khuê (2005), Hàm bien phúc, NXB ĐHQG Hà N®i [2] R P Gilbert and J L Buchanan (1983), First Order Elliptic Systems: A Function Theoreric Approach, Academic Press ... lý thuyet hàm siêu giái tích siêu giái tích suy r®ng DN kien đóng góp mái cúa đe tài Tong quan ve lý thuyet hàm siêu giái tích siêu giái tích suy r®ng Chương HÀM SO SIÊU GIÁI TÍCH 1.1 Hàm hình... hàm siêu phúc hàm siêu giái tích Cơng thúc tích phân Cauchy đoi vói hàm siêu giái tích Chương trình bày ve tốn tú Pompieu, khái ni¾m hàm siêu giái tích suy r®ng, đ%nh lý Liouville cơng thúc tích. .. phỳc; a khỏi niắm hàm siêu giái tích siêu giái tích suy r®ng; • Phát bieu chúng minh tính chat bán cna hàm so Đoi tưang pham vi nghiên cNu Hàm so siêu giái tích siêu giái tích suy r®ng cna m®t